Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Начальные понятия теории множеств
Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых объектов. Объекты при этом называют элементами образуемого ими множества.
Для обозначения множеств используют прописные буквы, а для обозначения элементов множеств — строчные буквы латинского алфавита.
Запись означает, что является элементом множества ; в противном случае пишут .
Множество называют конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. Множество, не содержащее элементов, называют пустым и обозначают символом .
Число элементов конечного множества называют его мощностью и обозначают .
Множество можно описать, указав свойство, присущее элементам только этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством , обозначают так: .
Конечное множество можно задать путем перечисления его элементов, т.е. .
Если каждый элемент множества есть элемент множества B , то говорят, что есть подмножество и записывают .
Заметим, что пустое множество считают подмножеством любого множества.
Если и , то говорят, что множества и равны, и пишут: .
Если и , то называют собственным подмножеством .
Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берут из некоторого одного, достаточно широкого множества (в каждом случае своего), которое называют универсальным и обозначают I .
Покрытие множества . Семейство подмножеств множества называют покрытием , если .
Разбиение множества . Покрытие, образованное семейством непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества , называют разбиением . Множества называют блоками разбиения.
Ну, есть множество, например,
{1,2,3,4,5,6,7}
Разбиение - это множество подмножеств, например:
{{1,2},{3,6,7},{5},{4}}
В объединении эти подмножества дают исходное множество, а в пересечении - пусто. Это и есть разбиение. Собственно, там может быть много вариантов:
{{1,2,3},{4,5,6,7}}
или даже так:
{{1,2,3,4,5,6,7}}
{{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7}}
Это всё разбиения.
Покрытие отличается от разбиения тем, что пересечение подмножеств не будет пустым. Например:
{{1,2,3,4},{4,5,6,7}}
есть общая вершина - 4. Понятно, что разных покрытий - намного больше, чем всего разных разбиений.
Декартовое произведение
Декартовым (прямым) произведением множеств А и В (обозначение AxB) называется множество всех упорядоченных пар (a;b), таких, что aEA, bEB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А2. Аналогично, прямым произведением множеств A1, A2, ... An называется множество всех векторов (a1, a2, ... an) длины п, таких, что a1EA1,a2EA2 ... anEAn.
Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.
Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.
Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.
Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.
Определение. Проекцией вектора a(a1, a2, ... an) на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается прia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ [Cartesian product] — множество А × В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a принадлежит множеству A, b — множеству B. Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре (векторе, кортеже) определяется порядком следования перемножаемых элементов. Поэтому A × B ≠ B × A, если B ≠ A.
Если обобщить сказанное на любое количество множеств A1, A2, ..., An, то Д. п. записывается так:
Если перемножаются одинаковые множества, используется обозначение степени:
An = A × A × A ×...× A
при n сомножителях.
Способы задания множеств
Возможны различные способы задания множеств.Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в это множество.
Пример:
Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в классном журнале, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.
Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем.
Пример:
Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.
В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства.Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые облоадают данным свойством.
Пример:
Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.
Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различныххарактеристических свойства задают одно и то же множество, т.е всякий элемент,обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.
Пример:
Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.
Итак, множества можно задавать двумя способами:
Имеется два существенно различных способа задания множеств. Можно либо перечислить все элементы множества, либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит рассматриваемому множеству любой данный объект. Таким образом, множество можно задать с помощью перечисления или с помощью описания.
При перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки: {2,4,6,...} — множество четных чисел, {3,6,9,...} — множество чисел кратных трем. Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.
С другой стороны, для задания (описания) некоторого множества X, состоящего из элементов, обладающих свойством α, используют запись X={x |α(x)}. Читается как: «X — множество элементов x таких, что α(x)". Например, Y={y | y∈N и y<7} — множество натуральных чисел, меньших 7.