У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

на тему- ldquo;Виды тригонометрических

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-09

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 10.5.2025

Реферат

на тему:

Виды тригонометрических                                                                                                                                                                                     у                 уравнений” 

                                                                            Успенского Сергея

                                                                   

                                                                          Харцызск

                                                                           2001 год

                         Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - /4) -1 = 0.

 Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4).

sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

- /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, nZ.

Зх - /4 = (-1)n  /6 + n, nZ; 3x = (-1)n /6 + /4 + n, nZ;

x = (-1)n  /18 + /12 + n/3, nZ

Если k = 2n (четное), то х = /18 + /12 + 2n/3, nZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2n + 1))/3 =

= /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz.

Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 n, nZ; x, = 65° + 120° n, nZ.

Пример 2. sinx + з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо з значение ctg /6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6 cosx = 1;

sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

     х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 + /6 + 2n, nZ;

    x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ;

    x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2  = -/6 + 2n, nZ;

Ответ: x1 = /2 + 2n, nZ;  x2  = -/6 + 2n, nZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx  cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

                               sinx = 0       или   cos2x = 0.

                              x1 = n, nZ,        x2 =  /4 + n/2, nZ.

 Ответ: x1 = n, nZ,  x2 =  /4 + n/2, nZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx 

Решение. cosx 0; x  /2 + n, nZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx  cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 =  n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4  sin(/4 - x) = -1;

2 sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, nZ;

x2 = /4 - (-1) n+1  /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) n  /4 + n, nZ.

Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n.

Ответ: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)n   /4 + n, nZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; Д = 5;  z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ. Ответ: х = ± /3 + 2n, nZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или 

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx 0, cosx 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. 3sin2 2x - 2sin4x + 3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение 3sin22x - 4sin2xcos2x + 3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид 3 tg22x – 4tg2x + 3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда 3z2 - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.

z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 – 2)/23 = 1/3

tg2x = 3          или         tg2x = 1/3

2x = /3 + n, nZ;         2x = /6 + n, nZ;

x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.

Ответ: x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin = 4/5; cos = 3/5; sin(x+) = 1, x +  =  /2 + 2n, nZ.

Ответ: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, nZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(3-tgx) – 1/(3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ± 3, х ± /8 + n, nZ и х  ± /2 + n, nZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = n, nZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2  = ± /4 + n, nZ.

Ответ: x1 = n, nZ; х2 = ± /4 + n, nZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. ( cos2x + ½) + ( sin2x + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + ½ + 2 (( cos2x + ½) ( sin2x + ½)) + sin2x + ½ = 4

(( cos2x + ½) ( sin2x + ½)) = 1; ( cos2x + ½) ( sin2x + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos22x = 1; cos2x=0; x = /4 + n/2, nz

Ответ: x = /4 + n/2, nz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + n, nZ; х2 + 5х - (6+n) = 0, nz;

Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 =  (-5  (49 + 4n))/2, nz 

Решение имеет смысл, если 49 + 4n > 0, т.е. n -49/4; n -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)




1. Модуль контролю підсумковий Визначники
2. Теоретические основы организации электронного архива [3
3. Песнь о Роланде и Песнь о Нибелунгах Рыцарство как особый социокультурный институт в Средние века
4. на тему- УЧЕНИЕ ХРИСТА О СВЯТОСТИ БРАКА И О ДЕВСТВЕ Москва 2000 г
5. Тематика контрольных работ Зачное отделение по дисциплине Психология СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЫ Специальнос
6. вариант Дать оценку инженерногеологических условий площадки строительства
7.  Как начинался менеджмент Исторически функции менеджмента возникают при возникновении иерархии уже в п
8. правовая информатика как уже отмечалось студенты должны приобрести знания об информационных процессах ю
9. Тема 4 Мировой рынок капиталаВопросы1
10. Ненецкая аборигенная порода северных оленей