Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 13
Евклидовы пространства
|
Определение евклидова пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Шмидта |
13.1. Понятие евклидова пространства
Определение 1. Евклидовым пространством называется n-мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и (это число обозначим ), причем выполняются следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Замечание. Аксиомы 2 и 3 справедливы также в форме 2’: и форме 3’: .
Пример 1. Пусть - линейное пространство геометрических векторов, скалярное произведение определено равенством
. (13.1)
Аксиомы 1 - 4 выполняются (см. алгебраические свойства скалярного произведения, доказанные в Лекции 2), следовательно, со скалярным произведением, определенным равенством (13.1), является евклидовым пространством.
Пример 2. В линейном пространстве арифметических векторов формула
, (13.2)
где , , задает скалярное произведение. Докажем это. Проверим выполнение аксиом 1 - 4. Поскольку компоненты - вещественные числа, имеем
следовательно, аксиома I выполняется.
Пусть . По определению сложения в . Имеем
,
аксиома 2 справедлива.
Пусть - произвольное вещественное число. По определению умножения вектора на число в
.
Далее имеем
,
аксиома 3 выполняется.
Проверим выполнение аксиомы 4:
Если , то среди компонент вектора найдется , , тогда и , следовательно, аксиома 4 выполняется.
Таким образом, линейное пространство арифметических векторов со скалярным произведением (13.2) является евклидовым пространством.
В любом евклидовом пространстве справедливы следствия из аксиом 1 - 4:
а) ;
б) если , , то
Доказательство следствий проведите самостоятельно.
Определение 2. Нормой вектора называется число, равное .
Обозначим норму . Норма - аналог длины вектора, определенной для геометрических векторов.
Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется равенством
. (13.3)
Покажем, что угол действительно можно определить равенством (13.3), т.е. покажем, что
.
Теорема 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любого и любого справедливо неравенство
. (13.4)
Доказательство. Пусть - произвольное вещественное число. Положим . Тогда по аксиоме 4 имеем
.
Воспользуемся аксиомами 1 - 3:
.
Так как , то дискриминант квадратного трехчлена неположителен:
.
Отсюда или , и неравенство (13.4) выполняется.
Теорема доказана.
Упражнения.
1. Пусть и - произвольные векторы пространства арифметических векторов . Показать, что скалярное произведение в можно определить следующими способами:
а) ; б) .
Вычислить скалярное произведение векторов и каждым из указанных способов.
2. Доказать, что в пространстве соотношение
задает скалярное произведение. Написать неравенство Коши - Буняковского для этого пространства.
13.2. Ортогональные и ортонормированные
базисы в
Определение 3. Пусть - евклидово пространство, , . Векторы и называются ортогональными, если
.
Определение 4. Система векторов называется ортогональной системой векторов в евклидовом пространстве , если при .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть - произвольная ортогональная система векторов в ; .
Пусть
. (13.5)
Умножим обе части (13.5) скалярно на :
. (13.6)
Поскольку система векторов ортогональна, то верны равенства ,…, ; следствие а) из аксиом дает ; согласно аксиоме 4 . Тогда из равенства (13.6) получим .
Аналогично, скалярно умножая (13.5) последовательно на , получим , следовательно, система линейно независима.
Теорема доказана.
Опишем процесс построения ортогонального базиса в линейной оболочке любых линейно независимых векторов.
Пусть линейно независимы.
Шаг 1. Примем .
Шаг 2. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией и , причем и линейно независимы (линейная комбинация векторов и с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля, не может равняться ).
Подберем так, чтобы :
и .
Шаг 3. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией , и , а эти векторы линейно независимы. Подберем и так, чтобы и .
Отсюда
, .
Шаг 4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов , причем , является линейной комбинацией векторов . Положим
.
Вектор , так как является линейной комбинацией линейно независимых векторов с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля (поскольку не входит в ).
Коэффициенты подберем так, чтобы был ортогонален векторам :
.
Отсюда
и
, .
Продолжая процесс, построим ортогональную систему векторов , причем , , откуда в силу теоремы 2 следует, что линейно независимы. Линейная оболочка векторов является подпространством размерности (), а это означает, что - базис в (по построению - ортогональный).
Описанный выше процесс носит название процесса ортогонализации Шмидта.
Пример 3. - евклидово пространство геометрических векторов. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в подпространстве, натянутом на векторы и .
Полагаем
, .
Подбираем :
,
откуда .
Итак, , и базис в линейной оболочке составляют векторы , .
Геометрический смысл процедуры иллюстрирует рис. 13.1. Подпространство , натянутое на векторы , - плоскость, проходящая через и векторы и , приведенные к точке . В этой плоскости построен базис , такой, что .
Упражнения.
1. Проверить ортогональность системы векторов и в евклидовом пространстве и дополнить ее до ортогонального базиса.
2. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в линейной оболочке системы векторов , , , .
Замечание. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами.
Действительно, пусть - евклидово пространство, , - базис в . Применим к базису процесс ортогонализации Шмидта, получим некоторый ортогональный базис в .
Определение 5. Вектор называется нормированным, если .
Если , то нормированием называется переход к вектору ( является нормированным, так как и, следовательно, ).
Определение 6. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной системой, если
Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.
В самом деле, ранее было показано, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами. Возьмем в произвольный ортогональный базис и нормируем все его векторы, т.е. перейдем к системе векторов
. (13.7)
Система (13.7) - ортонормированный базис в .
Пример 4. - евклидово пространство геометрических векторов. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов и .
В примере 3 был построен ортогональный базис , в .
Имеем
, ,
, .
Векторы - ортонормированный базис в .
Упражнения.
1. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов , , , .
2. - евклидово пространство геометрических векторов. Построить какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов , и .
Теорема 3. Пусть - евклидово пространство, (I) – базис в . Базис является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов , , , скалярное произведение выражается равенством
.
Доказательство. Необходимость. Пусть базис (I) – ортонормированный, т.е.
Тогда .
Но во внутренней сумме всего одно слагаемое отлично от нуля при (). Таким образом, .
Достаточность. Пусть базис (I) таков, что , . Для векторов базиса справедливы разложения
,
.
В силу этих разложений получим , , – и базис (I) – ортонормированный.
13.3. Линейные операторы в евклидовом пространстве
Определение 7. Квадратная матрица называется ортогональной, если
.
Пример 5. В линейном пространстве всех геометрических векторов плоскости матрица линейного оператора поворота на угол против часовой стрелки имеет вид
.
Для нее , и, следовательно, - ортогональная матрица.
Отметим некоторые свойства ортогональной матрицы.
Утверждение 1. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов.
Доказательство. Необходимость. Пусть , , ортогональна.
Имеем
, .
В соответствии с правилом умножения матриц , , где
. (13.8)
Так как ортогональна, то , и, следовательно,
(13.9)
Равенства (13.8) и (13.9) означают, что строки матрицы , рассматриваемые как арифметические n-мерные векторы, составляют ортонормированную систему, необходимость тем самым доказана.
Достаточность. Пусть строки матрицы составляют ортонормированную систему арифметических векторов. Тогда в соответствии с введенными выше обозначениями (см. (13.8))
Но это означает, что и, следовательно, (в силу единственности обратной матрицы) и ортогональна.
Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.
Доказательство. Пусть (I) и (II) – два ортонормированных базиса в . , , - матрица перехода от (I) к (II).
В соответствии с определением матрицы перехода от базиса к базису справедливо равенство
,
или
, . (13.10)
Так как (II) – ортонормированный базис, то
Используя (13.10), получаем
а это означает, что столбцы матрицы составляют ортонормированную систему. Привлекая утверждение I, заключаем, что - ортогональная матрица.
Упражнения. Доказать следующие свойства ортогональной матрицы.
1. Если - ортогональная матрица, то .
2. Если - ортогональная матрица, то тоже ортогональная.
3. Если - ортогональная матрица, то тоже ортогональная.
4. Матрица является ортогональной в том и только в том случае, когда ее строки составляют ортонормированную систему арифметических векторов.
Определение 8. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным, если
(оператор сохраняет норму любого вектора).
Пример 6. Евклидово пространство - пространство всех геометрических векторов плоскости, скалярное произведение введено равенством , - оператор поворота на угол против хода часовой стрелки. Оператор - ортогональный.
В самом деле, оператор - линейный, так как из геометрических соображений ясно, что - действительного числа , . А так как при повороте длина любого вектора сохраняется, то - ортогональный оператор.
Теорема 4. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда
( сохраняет скалярное произведение).
Доказательство. Пусть , , рассмотрим .
Имеем
. (13.11)
С другой стороны,
. (13.12)
Сравнивая (13.11) и (13.12) заключаем, что .
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис, - ортогональный оператор в . Тогда система векторов (II) - ортонормированный базис.
Доказательство. Имеем
и, следовательно, - ортонормированная система. Но тогда , и по теореме 2 система (II) линейно независима, а так как , (II) – базис, и по доказанному – ортонормированный.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей.
Доказательство. Пусть (I) – произвольный ортонормированный базис в . Тогда система векторов (II) – тоже ортонормированный базис (теорема 5).
Пусть - матрица оператора в базисе (I).
В соответствии с определением матрицы оператора (определение 3 в лекции 12) справедливо следующее равенство:
и, следовательно, матрица является матрицей перехода от базиса (I) к базису (II) (см. равенства (11.1) в лекции 11). Тогда в силу доказанного выше утверждения 2 матрица является ортогональной.
Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется самосопряженным (симметрическим), если
.
Пример 7. Пусть - произвольное евклидово пространство, - тождественный оператор, т.е. .
Имеем , следовательно, симметрический.
Пример 8. Пусть - произвольное евклидово пространство, - некоторое действительное число. Положим .
Справедливо равенство
,
и, следовательно, - симметрический.
Отметим некоторые свойства симметрического оператора.
Определение 10. Матрица , , называется симметрической, если .
Теорема 7. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис в , - симметрический оператор в . Тогда матрица оператора в (I) симметрическая.
Доказательство. Пусть , - матрица оператора в (I). В соответствии с определением матрицы оператора справедливы следующие равенства:
,
,
…………………………………….. ... (13.13)
.
Воспользовавшись соотношениями (13.13), получим
. (13.14)
. (13.15)
Так как - симметрический оператор, .
Сравнивая (13.14) и (13.15), находим, что , и матрица - симметрическая.
Теорема доказана.
Теорема 8. Если линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задается хотя бы в одном ортонормированном базисе симметрической матрицей, оператор - симметрический.
Доказательство. Пусть - линейный оператор в евклидовом пространстве , (I) – произвольный ортонормированный базис в , , - матрица оператора в базисе (I) (т.е. справедливы равенства (13.13)), - симметрическая, или .
Пусть , . Так как (I) – базис, найдутся числа и такие, что , .
Имеем
, (13.16)
. (13.17)
Используя равенства (13.16) и (13.17) и условие, что (I) – ортонормированный базис, получим
,
.
Так как симметрическая, и , а это означает, что оператор симметрический.
Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одно свойство самосопряженного оператора.
Теорема 9. Пусть - евклидово пространство, - линейный оператор в . Оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда в существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора .
Пример 9. Линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задан в некотором ортонормированном базисе матрицей . Выяснить, существует ли для этого оператора базис, в котором его матрица диагональна.
Так как - симметрическая матрица (в ортонормированном базисе), оператор симметрический (теорема 8), а тогда по теореме 9 для него существует базис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна (лекция 12, § 12.3).
PAGE 168