13. Метод прогонки.

Метод прогонки является модификацией метода гаусса для частного случая разреженных систем – системы ур-ний с трехдиагональной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для диф-уров.

Запишем систему:

……………..

На главной диагонали матрицы стоят  коэф. , (i=1,…,n) обычно . Над ней элементы   (j=1,…,n-1), а под ней элементы (i=1,…,n).

Метод прогонки состоит из 2х этапов – прямой прогонки (//аналог прямого хода метода  гаусса) и обратной прогонки (//аналог обратного хода гаусса).

Прямая прогонка состоит в том что каждое неизвестное выражается ч/з  с помощью прогоночных коэф-тов

Из 1ого ур-ния системы (17) найдем

С другой стороны по (18)  Приравнивая коэф-ты в обоих выражениях для получаем

Из 2ого ур-ния  системы (17) выразим  через  заменяя  по формуле (18):

Отсюда найдем

14. Итерационые методы решения лин. ур-ний.

Уточнение решения. Решения, получаемые с помощью прямых методов, обычно содержат погрешности, вызванные округлениями при выполнении операций над числами с плавающей точкой на ЭВМ с ограниченным числом разрядов. В ряде случаев эти погрешности могут быть значительными, и необходимо найти способ их уменьшения. Рассмотрим здесь один из методов, позволяющий
уточнить решение, полученное с помощью прямого метода.

Найдем решение системы линейных уравнений

…..                                                                                           (21)

Пусть с помощью некоторого прямого метода, вычислены приближенные значения неизвестных   Подставляя это решение в левые части системы (21) получаем некоторые значения отличные от

…..                                                                                           (22)

Введем обозначения: погрешности значений неизвестных , - невязки, т.е.

Вычитая каждое ур-ние системы (22) из (21), то с учетом обозначений (23) получаем:

…..                                                                                           (24)

15. Решение нелинейных уравнений. Этапы решения.

Задача нахождения корней нелинейных уравнении вида F(x)=0   (1) встречается в различных областях научных исследовании (здесь F(х)—некоторая непрерывная функция.) Нелинейные уравнения можно разделить на два класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие
функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения(формулы).

Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения
приближенного значения до некоторой заданной степени точности.