Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Основные формулы
• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения
,
где — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
• Момент инерции относительно оси вращения:
а) материальной точки
J=mr2,
где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;
б) дискретного твердого тела
где — масса i-го элемента тела; ri — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;
в) сплошного твердого тела
Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то
dm=dV и
где V — объем тела.
• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
|
Тело |
Ось, относительно которой определяется момент инерции |
Формула момента инерции |
|
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R |
Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр шара |
1/12ml2 1/3ml2 mR2 1/2mR2 2/5mR2 |
• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси
J=J0+ma2,
где J0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.
• Момент импульса вращающегося тела относительно оси
L=J.
• Закон сохранения момента импульса
где Li — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел
где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,
где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.
• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
Mdt=d(J), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;
J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде
Мt=J.
В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид
M=J, где — угловое ускорение.
• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,
A=M,
где — угол поворота тела.
• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,
N=M.
• Кинетическая энергия вращающегося тела
T=1/2J.
• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
T==1/2mv2+l/2J,
где l/2mv2 — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; l/2J,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.
• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением
.
• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.
Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:
Поступательное движение Вращательное движение
Основной закон динамики
Ft=mv2—mv1; Mt=J—J;
F = та М = .J
Закон сохранения
импульса момента импульса
Работа и мощность
A=Fs; А=М,
N=Fv N=M
Кинетическая энергия
Т =1/2 mv2 T=1/2J