Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №1.
Основные комбинаторные конфигурации
Основные формулы комбинаторики
Правило произведения. Пусть требуется выбрать по одному элементу из k множеств. При этом в первом множестве содержится n1 элемент, во втором – n2 и т.д., в k-ом - nk элементов. Тогда число m способов, которыми могут быть выбраны все k элементов равно
т= n1* n2*…* nk (1)
Пример. В столовой предлагаются 3 вида первых блюд, 6 видов вторых и 4 вида напитков. Сколькими способами можно выбрать первое и второе блюда и напиток?
m=3*6*4=72.
Правило суммы. Пусть требуется выбрать один элемент из k множеств. При этом в первом множестве содержится n1 элемент, во втором – n2 и т.д., в k-ом - nk элементов. Тогда число m способов, которым может быть выбран 1 элемент равно
т= n1+ n2+…+ nk. (2)
Пример. В салоне сотовой связи предлагаются 6 моделей телефонов Nokia, 5 моделей Samsung и 3 модели Acer. Сколькими способами можно выбрать 1 телефон?
m=6+5+3=14.
В Excel’e вычисления по правилам произведения и суммы производятся с помощью обычных арифметических операций «*» и «+».
Правило произведения часто применяется при подсчёте числа способов использования элементов одного и того же множества, когда элемент множества используется в образуемой выборке неоднократно. Например, при составлении номера из цифр. В этом случае элемент множества возвращается после его применения обратно в исходное множество. Говорят, что осуществляется выборка с возращением. Число способов, которыми можно выполнить k действий, согласно правилу умножения для множеств с одинаковым числом элементов n равно
m=nk (3)
Пример. Если при кодировании замков боксов гаражном кооперативе используются трёхзначные номера из 5 цифр от 0 до 5, то число различных кодов, которые можно составить, равно m=63=216.
В Excel’e для возведения числа в степень необходимо использовать математическую функцию СТЕПЕНЬ(число;степень), где первый параметр – основание степени, второй показатель степени.
Размещения. Различные упорядоченные k-элементные подмножества множества из n элементов называются размещениями из n элементов по k. Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком следования.
Число k-элементных размещений множества, состоящего из n элементов, обозначается и вычисляется по формуле
Пример. Сколькими способами в группе из 25 студентов можно выбрать старосту, его заместителя и профорга?
Число размещений из n элементов по k (размещения) можно вычислить с помощью статистической функции ПЕРЕСТ(n; k).
Сочетания. Произвольное k-элементное подмножество данного множества из n элементов называется сочетанием из n элементов по k. Порядок элементов в сочетании не существенен.
При составлении сочетания взятый из множества элемент не возвращается в исходное множество. Говорят, что в этом опыте осуществляется выборка без возвращения.
Число k-элементных сочетаний множества из n элементов обозначается и вычисляется по формуле
,
где
Пример. Сколькими способами из группы в 25 студентов можно выбрать 5 человек для участия в олимпиаде?
Число сочетаний можно вычислить с помощью функции ЧИСЛКОМБ(n, k), которая относится к математическим функциям Excel. Обратите внимание, что первым параметром является число элементов в множестве, а вторым – число элементов в выборке.
Перестановки. Множество из n элементов называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число (номер элемента) от 1 до n так, что различным элементам соответствуют различные числа. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, то есть могут быть получены из того же самого множества перестановкой местами элементов, называются перестановками этого множества.
Число перестановок множества из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле
Pn = n! (6)
Пример. Сколькими способами 6 студентов могут выстроиться в очередь в деканат?
m=P6=6!=120
Для вычисления факториала в Excel следует использовать математическую функцию ФАКТР(число), где параметр должен быть неотрицательным числом (факториал нуля по определению равен 1). Также можно использовать функцию ПЕРЕСТ(n;n) c одинаковыми параметрами.
Задание на лабораторную работу №1.
1. Изучить решение варианта 0.
2. Решить задачи 1.1-1.6, используя числовые данные из таблиц 1.1-1.6 по образцу решения варианта 0.
3. Решить задачи 2.1-2.3 по образцу решения варианта 0.
4. Составить отчет и защитить. В отчет должны входить:
Задача 1.1 В библиотеке имеются a экземпляров учебников по теории вероятностей первого автора, b учебников второго, с третьего и d учебников четвертого автора. Сколькими способами можно выбрать один учебник?
Задача 1.2 Из Москвы до Уфы можно добраться а различными рейсами самолетов, из Уфы до Салавата - b различными рейсами поездов, а из Салавата до райцентра – c различными рейсами автобусов. Сколькими способами можно добраться из Москвы до райцентра?
Задача 1.3 В кафе продаются а видов мороженого. Сколькими способами можно выбрать b порций?
Задача 1.4 Школьное расписание на 1 день должно содержать a уроков. Сколькими способами можно составить такое расписание, если всего b предметов и все предметы должны быть различны?
Задача 1.5 Сколькими способами студент может выбрать a элективных курсов из b предлагаемых университетом?
Задача 1.6 Собрание сочинений писателя содержит a томов. Сколькими способами их можно расставить на полке?
Таблица 1.1
|
№ варианта |
a |
b |
c |
d |
|
0 |
38 |
18 |
41 |
50 |
|
1 |
52 |
89 |
14 |
62 |
|
2 |
44 |
75 |
78 |
67 |
|
3 |
83 |
59 |
30 |
52 |
|
4 |
84 |
8 |
10 |
54 |
|
5 |
65 |
40 |
10 |
9 |
|
6 |
57 |
38 |
26 |
69 |
|
7 |
73 |
99 |
39 |
11 |
|
8 |
47 |
14 |
2 |
12 |
|
9 |
43 |
48 |
88 |
90 |
|
10 |
57 |
55 |
39 |
38 |
|
11 |
64 |
61 |
89 |
61 |
|
12 |
59 |
42 |
95 |
24 |
Таблица 1.2
|
№ варианта |
a |
b |
c |
|
0 |
7 |
4 |
3 |
|
1 |
6 |
2 |
6 |
|
2 |
4 |
3 |
3 |
|
3 |
7 |
4 |
5 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
|
5 |
3 |
7 |
8 |
|
6 |
4 |
4 |
6 |
|
7 |
5 |
7 |
2 |
|
8 |
3 |
5 |
3 |
|
9 |
3 |
6 |
6 |
|
10 |
6 |
5 |
3 |
|
11 |
3 |
3 |
5 |
|
12 |
4 |
6 |
7 |
Таблица 1.3
|
№ варианта |
a |
b |
|
0 |
11 |
3 |
|
1 |
9 |
3 |
|
2 |
8 |
5 |
|
3 |
11 |
4 |
|
4 |
12 |
2 |
|
5 |
9 |
3 |
|
6 |
10 |
3 |
|
7 |
12 |
2 |
|
8 |
7 |
2 |
|
9 |
8 |
3 |
|
10 |
11 |
5 |
|
11 |
8 |
2 |
|
12 |
9 |
5 |
Таблица 1.4
|
№ варианта |
a |
b |
|
0 |
5 |
12 |
|
1 |
5 |
10 |
|
2 |
6 |
11 |
|
3 |
4 |
9 |
|
4 |
5 |
11 |
|
5 |
4 |
10 |
|
6 |
4 |
12 |
|
7 |
5 |
14 |
|
8 |
6 |
12 |
|
9 |
3 |
9 |
|
10 |
4 |
11 |
|
11 |
5 |
13 |
|
12 |
6 |
13 |
Таблица 1.5
|
№ варианта |
a |
b |
|
0 |
4 |
11 |
|
1 |
2 |
13 |
|
2 |
3 |
12 |
|
3 |
4 |
9 |
|
4 |
6 |
8 |
|
5 |
3 |
9 |
|
6 |
5 |
12 |
|
7 |
2 |
7 |
|
8 |
6 |
12 |
|
9 |
4 |
10 |
|
10 |
7 |
11 |
|
11 |
3 |
10 |
|
12 |
5 |
11 |
Таблица 1.6
|
№ варианта |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
a |
11 |
12 |
16 |
18 |
9 |
21 |
17 |
14 |
13 |
15 |
10 |
20 |
19 |
Таблица 2.
|
№ варианта |
Задачи 2.1-2.3 |
|
0 |
1.Сколькими способами можно распределить 4 восстановившихся студентов по 3 параллельным группам? 2. Преподаватель подготовил 25 теоретических вопросов по дисциплине и 40 задач. Сколько можно составить различных экзаменационных билетов, если каждый билет должен содержать 2 теоретических вопроса и 3 задачи? 3.Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было не менее 2 красных карт, хотя бы 1 валет и не было шестерок? |
|
1 |
1. Сколькими способами можно надеть на руки 4 различных кольца? 2. Сколькими способами из группы в 25 студентов, среди которых 15 девушек, можно составить команду для участия в КВН, если в неё должны входить 3 юношей и 2 девушки? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них была ровно 1 черная карта и не менее 2 дам? |
|
2 |
1. ЕГЭ проводится по 14 предметам, из которых 2 обязательных. Сколькими способами школьник может выбрать предметы для сдачи ЕГЭ, если не допускается сдача более чем 7 предметов? 2. Предприятию требуются 4 бухгалтера и 3 программиста. Сколькими способами можно принять на работу кандидатов, если среди соискателей 10 бухгалтеров и 9 программистов? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них был 1 туз, 1 король и ровно 2 красные карты? |
|
3 |
1. Сколько существует делителей числа 360? 2. Автомобильный номер может состоять из 3 букв русского алфавита и 3 цифр. Сколько различных номеров возможны? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было хотя бы 2 короля и ровно 1 черная карта? |
|
4 |
1. В аудитории имеются 10 ламп в различных местах. Сколькими способами можно их включить? 2. Логин пользователя состоит из 8 символов, первым из которых должна быть буква латинского алфавита, а остальные – буквами или цифрами. Сколько различных логинов возможно? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было 2 туза и не более 1 красной карты? |
|
5 |
1. Стоматолог в зубной карте пациента указывает цифру 0 – если зуб отсутствует, 1 – если зуб здоров и 2 - если зуб требует лечения. Сколько различных зубных карт может существовать? 2. Новогодний подарок должен включать 5 разных видов конфет и 2 разных фрукта. Сколькими способами можно составить подарок, имея 25 сортов конфет и 6 видов фруктов? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них не было дам и был хотя бы 1 красный валет? |
|
6 |
1. Сколькими способами можно разложить 10 разных монет по 3 карманам? 2. В игре «мафия» должны быть 3 мафиози, 2 комиссара и доктор. Сколькими способами можно распределить эти роли среди 12 человек? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было 3 шестерки и не менее 2 карт черной масти? |
|
7 |
1.Сколько существует нечетных делителей числа 900? 2. Мастер должен в смену произвести ремонт 3 телевизоров и 5 телефонов. Сколькими способами он может выбрать изделия для ремонта, если сдано в починку 10 телевизоров и 16 телефонов? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них был ровно 1 король и хотя бы 2 туза? |
|
8 |
1.На первом этаже 9-этажного дома в лифт вошли 4 человека. Сколькими способами они могут выйти на последующих этажах? 2. Студенту необходимо решить любые 10 задач по теории вероятностей и 5 по математической статистике. Сколькими способами он может это сделать, если всего 50 задач, 35 из которых по теории вероятностей? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было 2 дамы и ровно 3 карты красной масти? |
|
9 |
1. Флаг факультета должен содержать 3 горизонтальные полосы различных цветов. Сколько можно составить флагов, если допустимо использовать 7 различных цветов? 2. В группе из 30 человек 12 умеют играть в шахматы, 6 стрелять и 4 занимаются боксом. Для участия в спартакиаде необходима команда из 3 человек: 2 шахматистов и 1 стрелка или боксера. Сколькими способами можно её составить? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них был хотя бы 1 туз и ровно 2 карты пиковой масти? |
|
10 |
1. 3 студента договорились решить 20 задач по теории вероятностей. Сколькими способами они могут распределить задачи между собой? 2. Вопросы по теории вероятностей разделены на 3 темы – 8, 12 и 10 вопросов в каждой соответственно. Сколькими способами составить билет, если в него должны входить 2 вопроса из различных тем? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было не менее 2 карт бубновой масти и хотя бы 1 дама? |
|
11 |
1. В зоомагазине имеются 3 клетки. Сколькими способами можно рассадить в них 12 хомяков, если ни одна клетка не должна пустовать? 2. В зоомагазине продаются 12 рыбок ,7 попугаев и 3 кролика. Для школьного живого уголка необходимо пробрести 5 рыбок, 2 попугаев и 1 кролика. Сколькими способами это можно сделать? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было 2 черные и 2 красные карты и не более 1 туза? |
|
12 |
1. Банк предлагает 4 различных вида вклада, но первоначальный взнос на каждый должен быть кратен 5.000 рублей. Сколькими способами можно поместить 25.000 рублей? 2. На кафедре работают 3 профессора, 21 доцент и 6 старших преподавателей. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек для пересдачи, если в нее должен входить ровно 1 профессор и хотя бы 1 доцент? 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было 2 шестерки и не более 1 карты пиковой масти? |
Образец. Решение варианта 0.
Задача 1.1 В библиотеке имеются a экземпляров учебников по теории вероятностей первого автора, b учебников второго, с третьего и d учебников четвертого автора. Сколькими способами можно выбрать один учебник?
Решение. В данном случае необходимо использовать правило суммы – формулу 1, так как мы выбираем 1 элемент из нескольких множеств. Запишем в ячейке А1 номер задачи, в ячейках B1-E1 обозначения букв, в ячейках В2-E2 числовые данные. В ячейке F2 наберем формулу «=B2+C2+D2+E2» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 1.2 Из Москвы до Уфы можно добраться а различными рейсами самолетов, из Уфы до Салавата - b различными рейсами поездов, а из Салавата до райцентра – c различными рейсами автобусов. Сколькими способами можно добраться из Москвы до райцентра?
Решение. Так как необходимо выбрать по 1 виду транспорта на каждом из трех участков пути, следует использовать правило произведения – формулу 2. Запишем в ячейке А4-E4 номер задачи и буквенные обозначения, в ячейках B5-D5 числовые данные. В ячейке E5 наберем формулу «=B5*C5*D5» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 1.3 В кафе продаются а видов мороженого. Сколькими способами можно выбрать b порций?
Решение. При выборе каждой порции вид мороженого остается во множестве, поэтому надо использовать формулу для выборки с возвращением - 3. Запишем в ячейке А7-D7 номер задачи и буквенные обозначения, в ячейках B8-C8 числовые данные. В ячейке D8 наберем формулу «=СТЕПЕНЬ(B8;C8)» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 1.4 Школьное расписание на 1 день должно содержать a уроков. Сколькими способами можно составить такое расписание, если всего b предметов и все предметы должны быть различны?
Решение. При составлении расписания порядок предметов имеет значение, поэтому следует использовать формулу 4 для числа размещений. Запишем в ячейке А10-С10 номер задачи и буквенные обозначения, в ячейках B11-C11 числовые данные. В ячейке D11 наберем формулу «=ПЕРЕСТ(C11;B11)» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 1.5 Сколькими способами студент может выбрать a элективных курсов из b предлагаемых университетом?
Решение. При выборе курсов порядок их выбора не важен, а важен только их состав, поэтому используем формулу 5 для числа сочетаний. Запишем в ячейке А13-С13 номер задачи и буквенные обозначения, в ячейках B13-C13
числовые данные. В ячейке D13 наберем формулу «=ЧИСЛКОМБ(C14;B14)» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 1.6 Собрание сочинений писателя содержит a томов. Сколькими способами их можно расставить на полке?
Решение. Для вычисления числа способов выстроить тома в ряд используем число перестановок – формулу 6. Запишем в ячейке А16-C16 номер задачи и буквенные обозначения, в ячейке B17 числовые данные. В ячейке С13 наберем формулу «=ПЕРЕСТ(B17;B17)» , вычисленный результат и будет ответом.
Задача 2.1 Сколькими способами можно распределить 4 восстановившихся студентов по 3 параллельным группам?
Решение. Представим решение в виде вектора, где число элементов будет соответствовать числу студентов – 4, а значение будет означать номер группы, в которую попадет студент. Например, вектор (2,1,1,3) означает, что первый студент попадет во вторую группу, второй и третий студенты – в первую, а четвертый - в третью. Тогда задача сводится к подсчету числа таких векторов. Выбор номеров групп производится с повторением, следовательно, следует использовать формулу 3 для выборки с возвращением. Запишем в ячейках A19-C19 номер задачи и буквенные обозначения (m – означает размер выборки, n – число элементов множества, из которого производится выборка), в ячейках B20-C20 числовые данные. В ячейке D20 запишем формулу «=СТЕПЕНЬ(B20;C20)».
Задача 2.2 Преподаватель подготовил 25 теоретических вопросов по дисциплине и 40 задач. Сколько можно составить различных экзаменационных билетов, если каждый билет должен содержать 2 теоретических вопроса и 3 задачи?
Решение. В данном случае требуется произвести 2 различные выборки – теоретических вопросов и задач. Будем считать, что порядок в каждой выборке значения не имеет, то есть билеты с одинаковым содержанием вопросов, но различным их следованием, одинаковы. Тогда каждую из выборок следует производить по формуле (4). Обозначим через k1 число выборок теоретических вопросов, через k2 – задач. Так как мы выбираем и теоретические вопросы, и задачи, для окончательного ответа надо к значениям k1 и k2 применить формулу 2 – правило произведения. На рисунке показаны данные задачи и ответ, полученный в Excel.
Задача 2.3 Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 4 карты так, чтобы среди них было не менее 2 карт бубновой масти и хотя бы 1 дама?
Решение. Будем выбирать по одной карте, стараясь удовлетворить ограничениям выборки. Рассмотрим 2 случая – 1) в выборке будет бубновая дама и 2) бубновой дамы не будет. В первом случае выбираем единственным способом бубновую даму – первую карту. Вторую карту выберем любую из оставшихся 8 бубновых - способов. Третью и четвертую карты мы можем выбрать любые из оставшихся 34, так как необходимые 1 дама и 2 бубновые карты уже есть, это можно сделать способами. Во втором случае в качестве первой карты нам необходимо выбрать любую из 3 дам, кроме бубновой - способов, в качестве второй и третьей карты необходимо выбрать 2 любые карты бубновой масти, кроме дамы, - способов. И последнюю карту можно выбрать любую, кроме уже выбранных 3 и бубновой дамы - способов. Далее, в каждом из случаев надо перемножить число способов выбора 4 карт и результат поделить на 4!, чтобы учесть возможные перестановки четырех карт. И, наконец, ответы полученные для 1 и 2 случая надо сложить по правилу суммы.