Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕХАНИКА
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью 1 = 16 км/ч, вторую половину времени – со скоростью 2 = 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.
Ответ:
2. Точка прошла половину пути со скоростью 0. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью 1, а последний участок прошла со скоростью 2. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
Ответ: .
3. За промежуток времени точка прошла половину окружности радиуса R. Вычислить за это время: а) среднее значение модуля скорости ; б) модуль среднего вектора скорости ; в) модуль среднего вектора полного ускорения , если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.
Ответ: а) ;
б) ;
в) .
4. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки: А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок , если скорость каждой лодки относительно воды в = 1,2 раза больше скорости течения.
Ответ:
|
5. Из пункта А, находящегося на шоссе (cм. рис.), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?
Ответ: |
6. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A–Bt+Ct2+Dt3, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 3,0 м/c2, D = 1,0 м/с3. Определить для тела в интервале времени от t1 = 1,0 с до t2 = 4,0 с: а) среднюю скорость ; б) среднее ускорение .
Ответ: а)
б)
7. Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону , где и – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y (x), изобразить ее график; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла между векторами и .
Ответ: а) ;
б) , , , ;
в) .
8. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами x = y = 0, со скоростью , где a и b – постоянные, и – орты осей x и y соответственно. Определить: а) уравнение траектории точки y (x); б) форму траектории.
Ответ: а) ; б) парабола.
9. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r = 3,0 м задается уравнением , где а Определить для момента времени t = 1,0 с после начала движения следующие ускорения: а) нормальное; б) тангенциальное; в) полное.
Ответ: а)
б)
в)
10. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону , где – начальная скорость, модуль которой 0 = 10 см/с, = 5,0 с. Найти координату х частицы в момент времени 6,0; 10 и 20 с.
Ответ: x = 0t(1 – t/2) и соответственно x = 0,24; 0 и –4,0 м.
11. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону , где – постоянный вектор, – положительная постоянная. Найти: а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени t, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.
Ответ: a) , const;
б) t = 1/, s = b/2.
12. Точка движется в плоскости xy по закону x = t, y = t (1 – t), где и – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки y (x); изобразить ее график; б) скорость и ускорение а точки в зависи-мости от t; в) момент t0, когда угол между скоростью и ускорением равен /4.
Ответ: а) y = x–x2/;
б) = ; a = 2;
в) t0 = 1/.
13. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска , от времени задается уравне-нием , где а Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол .
Ответ: t = 2 с.
14. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением Определить полное ускорение a точки диска к концу второй секунды движения, если ее линейная скорость в этот момент = 0,40 м/с.
Ответ:
15. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени по закону , где и – положительные постоянные. Найти момент времени , в который тело останавливается, а также число оборотов N тела до остановки.
Ответ: , .
16. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = at – bt3, где а и b – положительные постоянные. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
Ответ: а) = 2а/3, = ;
б) = .
17. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где – его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна 0.
Ответ: .
18. Круглый конус с углом полураствора и радиусом основания R катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С – центром основания конуса. Скорость точки С равна . Найти модули:
|
а) угловой скорости конуса; б) углового ускорения конуса. Ответ: а) = / (R cos ); б) tg . |
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
19. Тело массой m = 2,0 кг движется прямолинейно по закону s = A – Bt + + Ct2 – Dt3, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 2,0 м/c2, D = 0,40 м/с3. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
Ответ: F = (t) m = 3,2 Н.
20. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с различными массами m1 и m2 (например, m1>m2), которые подвешены на нити, перекинутой через легкий неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, найти: а) ускорение грузов a; б) силу натяжения нити T; в) силу, действующую на ось блока F.
Ответ: а) ;
б)
в)
21. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела в раз меньше времени спуска.
Ответ: = (2 – 1)(2 + 1)tg.
22. В момент t = 0 частица массой m начинает двигаться под действием силы , где и – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?
Ответ: t = ; s = 2F0/m2; макс = F0/m.
23. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения лежит тело массой m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как , где – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.
Ответ: , где – момент времени, с которого начнется движение. При путь s = 0.
24. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой m1 и на ней брусок массой m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = t, где – постоянная. Найти зависимость от t ускорений доски а1 и бруска а2, если коэффициент трения между доской и бруском равен . Изобразить примерные графики этих зависимостей.
Ответ: При t t0 ускорения а1 = а2 = t/(m1 + m2); при t t0 a1 = gm2/m1,
a2 = (t – m2g)/m2. Здесь t0 = gm2(m1 + m2)/m1.
25. На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α = 35 положена доска массой m2 = 2,0 кг, а на нее – брусок массой m1 = 1,0 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 1 = 0,10, а между доской и плоскостью – 2 = 0,20. Определить: а) ускорение бруска a1; б) ускорение доски a2; в) коэффициент трения 2, при котором доска не будет двигаться.
Ответ: а)
б)
в)
26. Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) приращение импульса тела за первые t секунд движения;
б) модуль приращения импульса тела за все время движения.
Ответ: а) ; б) .
27. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью 0, разрывается в верхней точке траектории на два осколка, разлетающиеся горизонтально. Один из них полетел в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии s по горизонтали от орудия упадет второй осколок, если верхняя точка траектории отстояла от орудия на расстояние l по горизонтали.
Ответ: s = 4l.
28. Платформа массой m0 начинает двигаться вправо под действием постоянной силы (см. рис.). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Найти зависимости от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.
|
Ответ: , . |
29. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m0 и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.
Ответ: ; .
30. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m0, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразить скорость ракеты в зависимости от m и t (m – масса ракеты и t – время полета). Поле сил тяжести считать однородным.
Ответ:
31. Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью 0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
Ответ: <P> = 0, P(t) = mg(gt – 0 sin ).
32. Небольшое тело массой m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости, высота которой h и угол наклона к горизонту (см.
|
|
рис.). Найти модуль момента импульса тела относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через время t после начала движения. Ответ: = (1/2)mghtsin2. |
33. Уравнение движения материальной точки массой 5 г имеет вид х = 4sin(2t/8+2) (см). Определить амплитуду колебаний, циклическую частоту, период колебаний, начальную фазу, максимальную скорость, максимальное ускорение, максимальную силу, поддерживающую это движение и полную энергию колеблющейся точки.
Ответ: хмакс. = 4 см; 4 с-1; Т = 2 = 8 с; макс = хмакс. = 3,1 см/с;
амакс = 2,5 см/с2; Fмакс = 1,310–4 Н; Е = 2,510–6 Дж.
34. Тело массой m движется в плоскости xy по закону , где A, B, ω – некоторые постоянные. Определить модуль силы F, действующей на это тело.
Ответ:
35. За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в = 5,00 раз. Найти: a) коэффициент затухания ; б) за какое время амплитуда уменьшится в е раз?
Ответ: а) = 0,100 с-1; б) = 10,0 с.
36. Для плоской монохроматической волны смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4,0 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/6 равно половине амплитуды. Определить длину волны.
Ответ: = 0,48 м.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
37. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью . На задней тележке находится человек массой m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью относительно своей тележки. Масса каждой тележки равна M. Найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после прыжка.
Ответ: , .
38. Платформа с песком общей массой M = 2,0 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8,0 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда = 450 м/с, а его направление – сверху вниз под углом α = 30 под углом к горизонту.
Ответ: u = m cos / (M + m) = 1,6 м/с.
39. Пушка массой М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.
Ответ: .
40. На катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью u = 6,0 м/с относительно катера воду с расходом μ = 25 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера через t = 3,0 мин после начала движения; б) предельно возможную скорость катера max.
Ответ: (t) = следовательно:
а) = 3,8 м/с; б) max = u = 6,0 м/с.
41. Ствол пушки направлен под углом = 45 к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в = 50 раз меньше массы пушки, 0 = 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.
Ответ: u = 0 cos (1 + ) = 25 м/c.
42. Шайба массой m соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным .
Ответ: Атр = mgl / (1 – ctg).
43. Тело массой m начинает двигаться под действием силы , где и – орты осей x и y соответственно. Определить мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.
Ответ:
44. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3 и за время t = 1 мин развивает скорость = 18 км/ч. Коэффициент трения = 0,01. Определить среднюю мощность локомотива .
Ответ:
45. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U = 1,0x + 2,0y2 + 3,0z3 (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,0; 1,0; 1,0) в точку с координатами (2,0; 2,0; 2,0).
Ответ: А = –28 Дж.
46. К нижнему концу пружины жесткостью k1 прикреплена другая пружина жесткостью k2, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение их потенциальных энергий.
Ответ:
47. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где и – положительные постоянные, r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; в) изобразить примерные графики зависимостей и Fr(r) – проекции силы на радиус-вектор .
Ответ: а) , б) .
48. Материальная точка массой m брошена под углом к горизонту с начальной скоростью . Траектория полета частицы лежит в плоскости ХY, ось Z направлена «на нас». Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: а) момента силы, действующей на частицу; б) момента импульса частицы. Оба момента берутся относительно точки бросания.
Ответ: а) , б) .
49. Шарик массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью 0. а) Найти модуль момента импульса L шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения; б) вычислить L в вершине траектории, если m = 130 г, = 45 и 0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: а) L = (1/2)mg0t2cos ;
б) L = (m03/2g) sin2 cos = 37 кгм2/с.
50. Небольшой шарик массой m, привязанный на нити длиной l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности так, что нить вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Относительно каких точек момент импульса шарика остается постоянным? Найти модуль приращения момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.
Ответ: относительно центра окружности; .
51. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.
Ответ: , .
52. На однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (см. рис.). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением
|
|
в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинети-ческой энергии всей системы.
Ответ: а) , б) . |
Тестовые вопросы и качественные
задачи по механике
1. При каком характере движения частицы имеет место равенство = ?
2. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Показать на рисунке среднюю скорость и среднее ускорение за все время движения. Сопротивление не учитывать.
3. Частица ударяется о стенку и упруго отражается от нее так, что угол падения равен углу отражения. Найти , х, y, где – скорость частицы.
4. Зависимость радиус-вектора частицы от времени дается законом , где и – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории в параметрической форме x = x (t), y = y (t); б) уравнение траектории в виде y (x); в) скорость и ускорение частицы; г) мо-дули скорости и ускорения а; д) среднюю скорость частицы за время от 0 до t; е) в произвольной точке траектории изобразить векторы
5. Частица движется по криволинейной траектории. Имеют ли какой-либо физический смысл (и какой, если имеют) следующие выражения:
a) б) в) г)
д) e) ж) з)?
6. Модуль скорости частицы меняется со временем t по закону = + t, где и – положительные постоянные. Модуль ускорения а = 3. Найти тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны R траектории в зависимости от t.
7. Нормальное ускорение частицы постоянно по модулю. Что можно сказать о форме траектории частицы в случаях, когда проекция тангенциального ускорения на направление движения а) равна нулю; б) положительная; в) отрицательная.
8. Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. В некоторый момент времени известны угловая скорость вращения () и угловое ускорение () диска. Найти скорость и ускорение произвольной точки А диска, положение которой задается вектором , проведенным из центра диска. Рассмотреть случаи: а) и параллельны; б) и антипараллельны. Ответы проиллюстрировать рисунками.
9. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону = 2(t – t3), где и – положительные постоянные. Найти среднюю угловую скорость и среднее угловое ускорение за все время движения.
10. Шайбу массой m пустили вверх по горке с начальной скоростью . Добравшись до некоторой высоты, она соскальзывает вниз, имея у основания скорость . Найти работу сил трения за все время движения.
11. Частица массой m движется в положительном направлении оси Х. Найти ее момент импульса относительно точки О (начало координат) и точки О, имеющей координаты (0; а; 0).
12. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел: и .
а) Сохраняется ли импульс системы?
б) Сохраняются ли какие либо проекции импульса на декартовые оси координат?
в) Чему равна результирующая всех сил, приложенных к телам?
13. Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R. Скорость частицы и тангенциальное ускорение . Найти момент импульса частицы и момент сил относительно центра окружности О.
14. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью . Масса диска m, радиус R. Найти его момент импульса и кинетическую энергию относительно точки О, лежащей в плоскости движения на этой горизонтальной поверхности.
15. Тангенциальное ускорение при движении по криволинейной траектории изменяется по закону а = s, где – положительная постоянная. Масса частицы m. Чему равна работа сил А на пути s?
16. Изобразить эквипотенциальные поверхности, а также силу и градиент потенциала U в некоторой точке поля, создаваемого зарядом q.
17. Частица, положение которой относительно начала отсчета дается радиус-вектором (–3, 2, –7) (м), имеет импульс (2, 4, 3) (кгм/с). Определить: а) момент импульса относительно начала отсчета, б) моменты импульсов относительно осей X, Y, Z.
18. U (x, y, z) = x2 + y2 – z2. Определить: а) силу, действующую на частицу; б) работу А, совершаемую силой поля при перемещении частицы из точки 1 (x1, y1, z1) в точку 2 (x2, y2, z2).
19. Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R с an = ct2. Найти: момент импульса и момент силы относительно центра окружности О.
20. Сплошной цилиндр массой m и радиуса R вращается с угловой скоростью вокруг оси z, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности. Найти импульс цилиндра, момент импульса и кинетическую энергию цилиндра Ек.
21. Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения тонкого проволочного кольца, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости?
22. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr2, где k – положительная постоянная, r – расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r1, а скорость на наибольшем расстоянии .