Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Теорема 2.15. Дана последовательность точек , , в пространстве и точка . Следующие условия равносильны.
1. .
2. .
3. Каждая окрестность точки содержит все точки последовательности при всех , некоторое натуральное число.
Доказательство.
12. Возьмем произвольное число . Из условия вытекает, что при любом . Отсюда и условия 2 теоремы 2.5 следует справедливость неравенства при любом , .
Обозначим символом . Тогда все неравенства:
, ,…,
будут справедливы при всех . Рассмотрим числовую последовательность. Теперь неравенство
справедливо при всех . Из условия 2 теоремы 2.5 следует
.
2 3. Рассмотрим произвольную окрестность точки . Из условия и условия 2 теоремы 2.5 получаем, что неравенство , т.е. , справедливо при всех .
3 1. Заметим, что при любом и любом верно неравенство
. (10.2)
Возьмем произвольное число . Из условия 3 теоремы 2.15 имеем: при всех . Отсюда и из неравенства (10.2) следует, что неравенство справедливо при всех и любом . Теперь из условия 2 теоремы 2.5 вытекает при любом , поэтому . ■
Теорема 2.16. Следующие утверждения справедливы.
1. Сходящаяся последовательность точек в пространстве ограничена.
2. Если , то любая подпоследовательность последовательности сходится к точке .
Доказательство.
1. Из сходимости последовательности вытекает покоординатная сходимость: последовательность сходятся при любом . Следовательно, последовательность ограничена при любом . Теперь из определения ограниченного множества вытекает ограниченность последовательности .
2. Так как последовательность , то из условия 2 теоремы 2.15 следует . Из утверждения 2 в §5 получаем, что предел подпоследовательность последовательности также равен нулю. Значит последовательность (теорема 2.15). ■
Теорема 2.17. Точка является предельной точкой множества в пространстве тогда и только тогда, когда во множестве найдется последовательность точек , причем при любом , сходящаяся к точке .
Необходимость. Так как — предельная точка, то в каждой окрестности найдется точка и . Отсюда вытекает двойное неравенство . Крайние члены в этом неравенстве сходятся к нулю. Из теоремы о трех последовательностях следует, что .
Теперь из теоремы 2.15 получаем, что .
Достаточность. Последовательность точек из множества сходится к точке , причем при любом . Тогда в каждой окрестности точки содержатся все точки последовательности , начиная с некоторого номера. Следовательно, в каждой окрестности точки содержатся точки множества , отличные от точки , поэтому — предельная точка множества . ■
Теорема 2.18 (теорема Вейерштрасса). Из ограниченной последовательности точек можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Если последовательность точек является числовой, то
эта последовательность содержит монотонную подпоследовательность (теорема 2.2). Из ограниченности последовательности следует ограниченность ее монотонной подпоследовательности, поэтому она сходится.
Докажем, что из ограниченной последовательности точек пространства можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Первые координаты точек последовательности образуют ограниченную числовую последовательность. Эта последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность . Тогда у подпоследовательности первые координаты уже имеют предел. Затем из ограниченной последовательности вторых координат точек выделим сходящуюся подпоследовательность . Теперь у подпоследовательности сходятся вторые координаты, а ее первые координаты – подпоследовательность сходящейся последовательности . Следовательно, у подпоследовательности сходятся первые и вторые координаты.
Через конечное число шагов получим подпоследовательность последовательности , у которой сходятся последовательности всех координат, поэтому сама подпоследовательность сходится. ■
Определение предела функции одной переменной
Число называется пределом функции в точке , если функция перерабатывает произвольную последовательность (1), сходящуюся к числу , , в последовательность (2), сходящуюся к числу . Это определение называют пределом функции по Гейне.
Из определения предела функции имеем: , где — произвольная последовательность, сходящаяся к числу , .
Замечание
1. Если и последовательность , то .
2. Функция не имеет предела в точке , если, хотя бы для одной последовательности (1), последовательность (2) не имеет предела, или разные последовательности, сходящиеся к числу , функцией перерабатываются в последовательности, сходящиеся к разным пределам.
3. Если произвольная числовая последовательность сходится к числу , , а или , то в этом случае пишут или ▲
При дальнейшем изучении предела функции будем считать само собой разумеющимся следующее:
1. предел функции рассматривается только в предельной точке области определения функции ; функция может быть не определена в самой точке , поэтому рассматриваются только такие последовательности , элементы которых не равны ;
2. члены произвольной числовой последовательности , которая сходится к , принадлежат множеству и при любом .
Теорема 3.1. Равносильны следующие условия.
1. Функция имеет предел справа и слева в точке и
.
2. Функция имеет предел в точке и .
Доказательство
12. Докажем, что функция перерабатывает произвольную последовательность в последовательность . Последовательность является объединением своих подпоследовательностей и : подпоследовательность состоит из тех членов последовательности , которые больше (меньше) числа . Тогда и .
Из условия 1 теоремы следует:
, .
Так как последовательность является объединением подпоследовательностей и , которые сходятся к одному и тому же пределу , то , поэтому .
21. Возьмем произвольные последовательности , , и , . Так как , то и . Отсюда вытекает, что . ■
Теорема 3.3. Если значения строго монотонной на отрезке функции сплошь заполняют отрезок , то
, если .
Доказательство теоремы проведем для возрастающей функции. Из условия теоремы следует, что существует возрастающая функция, определенная на отрезке .
Если , то. Найдется окрестность точки
, которая принадлежит интервалу . Возьмем произвольную последовательность и докажем, что . Для этого возьмем произвольное , , и докажем, что неравенство справедливо при всех .
Имеем следующую цепочку равносильных неравенств:
. Так как , то . Теперь из следствия
к теореме 2.5 вытекает, что неравенство справедливо при всех . Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Полагаем . Тогда при всех справедливо неравенство . Поэтому равносильное ему неравенство справедливо при всех . Этим установлено, что , поэтому .
Терерь докажем теорему, для случая . Возьмем произвольную последовательность , , и докажем, что . Так как , то . Возьмем произвольное , , и рассмотрим следующую цепочку равносильных неравенств:
.
Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Поэтому неравенство также справедливо при всех . Этим установлено, что . Аналогично доказывается теорема для .
Замечание. Чтобы доказать, что значения строго монотонной на отрезке функции сплошь заполняют отрезок достаточно установить, что уравнение имеет решение при любом .
Лемма. Если , то справедливо неравенство: .
Доказательство. Так как и — четные функции, то это утверждение достаточно доказать только для значений . Рассмотрим тригонометрический круг радиуса 1(рис. 3.1),
Рис.3.1.
где , , . Площади сектора , треугольника и сектора связаны двойным неравенством . Площади этих фигур равны соответственно, и . Следовательно,
.
Теорема 3.5 (первый замечательный предел). .
Доказательство. Пусть произвольная последовательность и , если . Из леммы следует неравенство
, если . (1)
Используя утверждение теоремы 3.4, имеем:
.
Отсюда получаем, что предел последовательностей в левой и правой частях неравенства (1) равен 1, поэтому (теорема 2.11).
Лемма. Если и , то
, (2)
где целая часть числа , и
,
Доказательство. Можно считать, что , поэтому , и
. Из неравенств и следует, что
. Так как последовательность и , то . Последовательности и являются подпоследовательностями последовательности , поэтому справедливы равенства
, .
Используя эти пределы, получим далее:
,
. ■
Теороема 3.6 (второй замечательный предел).
.
Доказательство. Сначала докажем, что . Возьмем произвольную последовательность , при любом . Из леммы следует, что крайние члены в неравенстве (2) сходятся к числу . Из теоремы о трех последовательностях вытекает, что . Отсюда следует, что .
Теперь докажем, что
.
Возьмем произвольную последовательность , при любом .
Так как , то, начиная с некоторого номера , . Введем
обозначение: . Тогда, ввиду, и , получаем, что и . Следовательно, .
Рассмотрим цепочку импликаций:
.
Теперь, ввиду равенств и , имеем:
.
Итак, . Следовательно, . ■
Следствие. .
Доказательство. Возьмем произвольную бесконечно большую последовательность . Полагая , получим . Теперь из определения предела функции и формулы второго замечательного предела следует:
. ●
Свойства бесконечно малых функций
1. Если — бесконечно малая функция, а функция является ограниченной, то является бесконечно малой функцией.
2. , где — бесконечно малая функция в точке .
Доказательство.
1. Возьмем произвольную последовательность, сходящуюся к точке . Так как является ограниченной функцией, то — ограниченная последовательность. Из 1-го свойства бесконечно малых последовательностей следует цепочка равносильных утверждений: — бесконечно малая функция — бесконечно малая функция в точке .
2.
, где — бесконечно малая . ■
Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
Теорема 3.7. Если и — бесконечно малые функции в точке , то справедливы следующие утверждения:
1. ;
2. ;
3. и существуют пределы и
а) ;
б) .
4. для любой последовательности .
Доказательство.
1. ,
, так как .
2. 1: .
3. а) ;
б) .
4. Возьмем произвольную последовательность, сходящуюся к точке .
. ■
6. Положим . Тогда , т.е. бесконечно малая функция. Так как , то, используя формулу 5, имеем:
.
8. Заметим, что последовательность является бесконечно малой. Поэтому из формулы 7 следует, что . Теперь, применяя формулу 4, имеем:
.
Теорема 3.10. Функции , и определены в некоторой окрестности точки , и функции и имеют предел в точке . Справедливы следующие утверждения.
1. Если для всех точек справедливо неравенство , то .
2. Если , и для всех точек справедливо неравенство , то .
Доказательство.
1. Рассмотрим произвольную последовательность точек . Из условия теоремы и теоремы 2.10 следует цепочка импликаций:
.
2. Рассмотрим произвольную последовательность точек . Из определения предела функции и условия теоремы следует, что и . Отсюда и условия следует, что (теорема 2.11), поэтому . ■
Теорема 4.2. Если функция непрерывна в точке , функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность точек
.
Используя определение непрерывности функций в точке и функции в точке , имеем следующую цепочку импликаций:
,
т.е. предел функции в точке равен ее значению в точке . ■
Теорема 4.3. Функция непрерывна в точке . Если значение , то найдется окрестность точки , в каждой точке которой знак совпадает со знаком .
Доказательство от противного, т.е. пусть в каждой окрестности точки функция принимает не только положительные (отрицательные) значения. Тогда в каждой окрестности можно взять точку , в которой значение . Из следствия к теореме 2.15 следует, что.
Из определения непрерывности функции получаем, что .
Так как , то из теоремы 2.10 имеем ), поэтому . Противоречие. ■
Теорема 4.4 (первая теорема Больцано-Коши). Функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда найдется точка , в которой
Доказательство. Пусть, для определенности , тогда . Обозначим символом все точки отрезка , в которых . Так как множество , то оно имеет точную верхнюю грань , и , потому что является верхней гранью множества . Докажем, что .
Если , то . Из теоремы 4.4 следует, что найдется интервал , в котором . В этом интервале найдется точка , для которой . Следовательно, и , что невозможно так как . Противоречие. Значит, .
Если же , то . Из теоремы 4.4 следует, что найдется интервал, в котором , т.е. в этом интервале нет ни одной точки из множества , что противоречит свойству точной верхней грани.
Остается единственная возможность: . ■
Теорема 4.8. Если функции , ,…,, , , непрерывны в точке , а функция определена на множестве и непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность точек
. Функция будет непрерывной в точке , если доказать, что
.
Используя определение сходимости последовательности точек в пространстве и определение непрерывности функции, имеем следующую цепочку импликаций:
, ,…,
. ■
Следствие. Если функция непрерывна в точке , то функция также непрерывна в этой точке.
Доказательство. Функция является суперпозицией непрерывных функций и . ■
Теорема 4.9. Функция непрерывна на множестве . Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Множество решений неравенства является замкнутым.
2. Множество решений неравенства является открытым.
3. Множество решений уравнения является замкнутым.
Доказательство
1. Пусть точка — произвольная предельная точка множества . Из теоремы 2.17 следует, что имеется последовательность точек из множества , которая сходится к точке . Из условия и непрерывности функции вытекает, что . Так как , то . Теперь из теоремы 2.10 получаем неравенство . Отсюда следует, что . Итак, множество содержит все свои предельные точки, поэтому оно замкнуто.
2. Каждая точка пространства принадлежит либо множеству , либо множеству . Следовательно, . Так как является замкнутым множеством, то из теоремы 1.14 следует, что множество — открытое множество.
3. Множество . Так как и — замкнутые множества, то из теоремы 1.13 следует замкнутость множества . ■
Следствие. Множество решений уравнения является замкнутым и ограниченным множеством в пространстве .
Доказательство. Из третьего утверждения теоремы следует, что множество является замкнутым. Так как , то , т.е. множество -х координат точек множества ограничено при любом . Из определения ограниченного множества следует, что — ограниченное множество. ■
Теорема 4.10 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она ограничена, т.е. найдется такое число , что
, .
Доказательство от противного, т.е. предположим, что функция неограниченна на множестве . Отсюда следует, что для каждого натурального найдется такая точка , что
. (4.1)
Так как и — ограниченное множество, то последовательность также ограничена. Значит, эта последовательность содержит подпоследовательность (теорема Больцано-Вейерштрасса). Так как множество замкнуто и его предельная точка (теорема 2.17), то .
Используя непрерывность функции и модуля, имеем цепочку:
.
Отсюда следует, что последовательность сходится и поэтому ограничена (теорема 2.16). Из условия (4.1) следует, что и, значит,
последовательность неограниченна. Противоречие. ■
Следствие. Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то множество значений функции имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. ■
Теорема 4.11 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то в этом множестве найдутся такие точки и , что
, .
Доказательство. Из свойства точной верхней грани следует, что для любого натурального найдется такая точка , что
. (4.2)
Ограниченная последовательность содержит подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Из непрерывности функции следует, что .
Докажем, что . Из условия (4.2) вытекает
. (4.3) Переходя к пределу в неравенстве (4.3), получим. Так как не может быть больше , то .
Аналогично доказывается существование точки . ■
Для доказательства теоремы Кантора потребуется лемма, относящаяся к пределам последовательностей точек в пространстве .
Лемма. Если последовательность точек , и , то
отсюда следует, что .
Доказательство. Возьмем произвольное , и докажем, что верно равенство . Используя теорему 2.15, имеем цепочку импликаций: неравенство справедливо при всех . Из условия следует, что неравенство справедливо при всех . Если , то
.
Отсюда следует, что , поэтому (теорема 2.15). ■
Теорема 4.12 (Кантора). Функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве . Тогда для любого можно найти такое, что из условия , , следует справедливость неравенства .
Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть найдется такое число , что для каждого найдется пара точек , для которых , а неравенство не справедливо, т.е. верно неравенство .
Отсюда следует, в частности, что для каждого найдутся такие точки , для которых , но .
Последовательность ограничена, так как принадлежит ограниченному множеству . Значит, она содержит подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке (теорема Больцано-Вейерштрасса), которая принадлежит замкнутому множеству (следствие из теоремы 2.17). Из условия и леммы следует, что .
Так как функция непрерывна на множестве , а , то функция непрерывна в точке . Следовательно,
, (4.4)
Перейдем к пределу в неравенстве , используя равенства (4.4) и непрерывность функций и модуля:
.
Противоречие, так как . ■