Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32. Продолжительность портфеля
Т.к. портф. облиг. выплачивает последовательность платежей, продолж-ть портф.облигаций нах-ся:,(1)где wk – доля тек. ст-ти k-го платежа портф. в тек.ст-ти портф., -- срок выплаты k-го платежа портф., n – кол-во платежей портф.
Докажем, что для продолж-ти портф. облигаций справедл. ф-ла:, (2)где wi – доля тек. ст-ти облигаций i-го вида в тек. ст-ти портф., -- продолж-ть облигации i-го вида, m – кол-во видов облигаций в портф.
Введ. обозначения:-- кол-во облигаций i-го вида в портф., -- тек. ст-ть k-го платежа облигации i-го вида, -- тек. ст-ть облигации i-го вида, -- тек.ст-ть k-го платежа портф., -- тек. ст-ть портф., -- доля тек. ст.ти k-го платежа облигации i-го вида в тек. ст-ти облигации i-го вида. ,, , (3), ,, .(4)
→,
33. Чувствит-ть тек. ст-ти портф. облигаций к изм-нию дох-ти
Пусть ставка дисконтир. зав. только от вида облигации. Тогда для облигаций, вход-х в портф. справедл. ф-ла: . Т. обр., , . (7)
→→, .(8) →→.(9)Подставим (8) в (9):
. (10)
Пусть не зав. от вида облигации . Тогда из (10) →. .(12)
→→Если не зав. от вида облигации , для тек. ст-ти портф. облигаций имеет место ф-ла (12).
Замечание. Если в качестве ставок дисконтирования , , выступ. дох-ти самих облигаций, то тек. ст-ти облигаций , , равны ценам облигаций, а тек. ст-ть портф. облигаций равна рын. ст-ти портф.облигаций.
Если не зав. от вида облигации , для тек. ст-ти портф. облигаций ф-ла:.(13)
Формула (13) дает более точную оценку для относительного изменения текущей стоимости портфеля облигаций, чем формула (12) (поскольку формула (13) учитывает выпуклость портфеля облигаций).
34. Чувств-ть собств. капит. Фин. орг-ции к изм-нию дох-ти облигаций
Баланс фирмы сост. из активов(А) и пассивов(П). П дел-ся на обяз-ва и собств. капитал. Обозн.активы, обязательства и собственный капитал через, и, соотв-но.
Т.к. А=П, то . →.(14)
Основн.методы оц. активов и обязательств:1.метод, осн. на историч. ст-ти т.е. ст-ти, по кот. А и L б. приобретены; 2.метод, основ. на рын. ст-ти, т.е. рын. ст-ти A и L в тек. момент времени.
Мы б. исп-ть второй метод. →→→ - рын. ст-ть активов, -- рын. ст-ть обяз-в, -- рын.ст-ть собств. капитала.
Пусть А и L фин. орг-ции сост. из облигаций. (облигации -- любые фин. инстр-ты с фиксиров. платежами.) →A и L представл. собой портф. облигаций.
Пусть не зав. от вида облигаций, вход-х в А и L. →→,(15); ,(16)
где -- продолж-ть A, -- продолж-ть облигаций.
Из (15), (16) →→(17);18)
Из (14) →→.(19) →→→(20)Пусть .(21)
Коэф-нт -- это фин. рычаг.
С учетом (21) формула (20) примет вид:(22)Из формулы (22) след., что фин.орг-ция б. защищ. от % риска, если . Т.к. этого невозможно достичь, для защиты от % риска исп-ют фин. производные (опционы и фьючерсы). Если мы учтем выпуклостьА и L, с пом.ф-лы (13) получим:(23)
35. Иммунизация буд-х платежей от % риска
Фин. орг-ция д. выплатить S д.е. ч-з 2 года.
На финансовом рынке имеются трехлетние 20%-ые облигация номин. ст-стью 100 д.е. Куп. период облигаций -- 1 год, год. эффект. дох-сть к погаш. -- 11,4% Требуется опред., ск-ко облигаций надо купить в тек. момент времени, чтобы получить S д.е. через 2 года.
Решение. Обозначим через требуемый платеж, а через -- срок требуемого платежа.
Временная диаграмма платежей облигации -- следующая:
-- количество облигаций в портфеле. Одна облигация через год выплачивает 20 д.е. Следовательно, через год портфель выплачивает денежных единиц. Эту сумму финансовая организация вкладывает в покупку облигаций.
Если дох-сть к погаш. облигаций за год не изменится, то цена одной облигации в нач.второго года сост. д.е. След., фин. орг-ция купит облигаций. Т. обр., в нач. второго года портф. б.сост.из облигаций. В конце второго года портф.выплатит д.е. куп. платежей. B конце второго года фин. орг-ция продаст портф. Если дох-сть к погаш. облигаций к конце второго года не изм-ся, цена одной облигации сост. д.е. Поск-ку в портф. облигаций, доход, кот.фин. орг-ция получит в рез-те продажи портфеля облигаций, сост. д.е. Т. обр., суммарный доход, кот. фирма получит в конце второго года, составит д.е.
Поскольку, доход, кот. финн. орг-ция получит в конце второго года, д. равняться требуемому платежу, равному 150000 д.е, имеет место равенство:
. Отсюда получим .
В условиях примера 4 доход, который получит финансовая организация через два года, можно найти по формуле: . Действительно, .
Имеет место более общий результат: если купонные платежи облигаций, выплачиваемые до момента времени , реинвестируются в покупку облигаций, а в момент времени выплачиваются, во-первых, купонные платежи (если они есть) и, во-вторых, все облигации портфеля продаются, то суммарный доход составит:(24)
Формула (24) имеет место, если, во-первых, доходности к погашению всех видов облигаций входящих в портфель, одинаковы, и во-вторых, доходности к погашению остаются постоянными до момента времени включительно.
Предположим, что в условиях примера 4 количество . В этом случае, как следует из решения примера, если в течение двух лет, доходность к погашению остается постоянной (равной 11,4%), суммарный доход, получаемый через два года, равен 150 000 д.е. (и, следовательно, он полностью обеспечивает требуемый платеж д.е.).
Теперь, предположим, что доходность к погашению меняется в течение первого года на (и не меняется в течение второго года). Тогда
.
В случае, когда .
В случае, когда .
Следовательно, при в случае, когда , д.е., а в случае, когда , д.е. →→% риск связан с повыш. дох-сти к погаш. облигаций.
Попытаемся найти условия, при выполнении которых отсутствует процентный риск, связанный как с повышением, так и с понижением доходности облигаций. Для этого исследуем, как будет меняться при изменении доходности облигаций. (Будем считать, что доходности к погашению всех видов облигаций, входящих в портфель, одинаковы, и они могут меняться только до выплаты первого купонного платежа.)
Заметим, что . Продифференцируем формулу (24) по :
Итак, мы доказали, что Подставим эту формулу в формулу . Получим: . Отсюда имеем:(25) →% риск, связ.как с повышением, так и с понижением дох-сти облигаций, отсутствует, если выполн. усл-е , т.е. продолж-ть портф. облигаций равна сроку выплаты треб. платежа. (Если , то %риск связан с повыш. дох-сти облигаций, если , то %риск связан с понижением дох-сти облигаций.)
36. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
Линейная модель вероятности для оценки кредитного риска имеет вид,, (1)где - вид показателя, , -- номер наблюдения, ,
- значение k-го финансового показателя для i-го наблюдения, , , -- коэффициенты регрессии, -- случайное отклонение.Показатели находятся с помощью финн. отчетности заемщика, напр.: , .
В модели предполаг., что для потенц. заемщика им. место равенство, аналогичное равенствам (1), т.е, (2)где - (известное) значение k-го показателя потенциального заемщика.
Заметим, что . (3) С др. стороны, как следует из равенства (2):. (4)Из равенств (3) и (4) вытекает, что (5)С пом. значений и методом наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов (т.е. решается задача: ).Для потенц. заемщика строится прогнозное значение вероятности дефолта по формуле:, (6)Осн. недостатком данной модели является то, что прогнозное значение вероятности дефолта может не принадлежать отрезку . Модели логит и пробит позволяют избежать эту проблему. (Как будет показано в следующем параграфе, в моделях логит и пробит где -- функция, область значений которой – интервал , и для потенциального заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным .)
37.Использование моделей логит и пробит для оценки кредитного риска
В моделях логит и пробит предполагается, что для некоторого (ненаблюдаемого) показателя дефолта выполнены равенства, , (7)для известных наблюдений, и равенство (8)для потенциального заемщика.Причем без огранич. общности можно считать, что станд. отклонения случ. ошибок и равны 1. Обозн. через функцию распределения случайных ошибок и . В модели логит в качестве выступает функция логистического распределения:, (9)а в модели пробит – функция стандартного норм. распределения:. (10)В моделях логит и пробит, считается, что (наблюдаемые) показатели дефолта и связаны с (ненаблюдаемыми) показателями и след. обр.: (11) (12)Из (8) и (12) следует, что (13)Таким образом, (14)Заметим, что из (14) следует, что (15)Отметим, что для (известных) наблюдений имеют место равенства, аналогичные (14) и (15), т.е. (16) (17)Оценки коэффициентов определяются методом максим. правдоподобия.
В силу равенств (16) и (17) функция правдоподобия для моделей логит и пробит имеет вид:. (18)Легко показать, что формулу (18) м. записать в след. виде:. (19)Оценки получаются в результате максимизации функции максимального правдоподобия по параметрам .Отметим, что максимиз. функции правдоподобия эквивалентна максимизации логарифмич. функции правдоподобия Найдем логарифмич. функцию правдоподобия для моделей логит и пробит. (20) М. показать, что для моделей логит и пробит логарифмич. функция правдоподобия является вогнутой.Для потенц. заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным , где - (известное) значение k-го показателя потенциального заемщика.
38 Регресионная дискриминантная модель оценки кред. риска
Наблюдения делятся на две группы: с дефолтом и без дефолта. Показателю i-го наблюдения () присваивается некот. значение для наблюдений с дефолтом (одно и то же значение для всех наблюдений с дефолтом) и некоторое другое значение для наблюдений без дефолта (одно и то же значение для всех наблюдений без дефолта). Замеч. 1. Выбор значений и не играет роли. Предполагается, что имеет место уравнение регрессии ,, (21)где - вид показателя, - значение k-го показателя i-го наблюдения, , , -- коэффициенты регрессии, -- случайное отклонение. С помощью значений и методом наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов (т.е. решается задача: ).Затем для каждого наблюдения находятся прогнозн. значения по формуле:. (22)Обозначим через -- количество наблюдений с дефолтом, через -- множество индексов для наблюдений с дефолтом, через -- количество наблюдений без дефолта, через -- множество индексов для наблюдений без дефолта.В каждой из двух групп находятся средние значения и прогнозных значений :, . (23)Для потенц. заемщика находится прогнозное значение показателя по формуле:, (24)где - (известное) значение k-го показателя потенциального заемщика Потенци. заемщика относят к той группе (с дефолтом или без дефолта), для кот. значение показателя потенц. заемщика «ближе» к среднему значению группы. Для опред «близости» к м. использоваться след. мера:. (25)Здесь -- выборочное станд. отклон. показателя для группы , т.е, . (26)Т. обр., потенц.го заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если , а ко второй группе (с малым кредитным риском), если .Для определения, к какому значению ближе , удобно использовать так называемое граничное значение показателя . Это значение «равноудалено» от и , т.е. оно находится из следующего уравнения:. (27)Если, для опред. близости исп. формула (25), граничное значение нах. по формуле:. (28)В случае, когда , тогда и только тогда, когда , а тогда и только тогда, когда , След., в этом случае потенц.заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если , а ко второй группе (с малым кредитным риском), если .В случае, когда , тогда и только тогда, когда , а тогда и только тогда, когда , Следовательно, в этом случае потенциального заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если , а ко второй группе (с малым кредитным риском), если .
Частным случаем описанной выше дискриминантной модели является модель Альтмана. В этой модели прогнозное значение для потенциального заемщика находится по формуле:. (29)Здесь след .фин.е показатели потенциального заемщика. - отношение оборотного капитала к активам (оборотный капитал – это разница между краткосрочными активами и краткосрочными обязательствами); - отношение нераспределенной прибыли к активам (нераспределенная прибыль – это прибыль до выплаты дивидендов); - отношение прибыли до выплаты налогов и процентов к активам; - отношение рыночной стоимости собственного капитала учетной стоимости долгосрочных обязательств; - отношение выручки к активам.Граничное значение в модели Альтмана равно 1,81. Если прогнозное значение для потенциального заемщика меньше 1,81, то потенциального заемщика относят к группе с высоким кредитным риском.
39. Множественный дискриминантный анализ
На основании данных о выполнении заемщиками взятых на себя обязательств по выплате займов наблюдения делят на несколько групп. Обозначим через число групп наблюдений, через и -- соответственно, количество наблюдений и множество индексов в группе .Для каждой группы находятся средние значения показателей , :. (30) Вектор называется центроидом группы .Потенц. заемщика с финн. показат. относят к той группе, к центороиду которой «ближе» всего вектор финансовых показателей потенциального заемщика.
Для опред. «близости» вектора к центроиду может, , использоваться следующая мера:. (31)Здесь -- выборочное стандартное отклонение параметра в группе , т.е..(32)Итак, потенц. заемщика относят к той группе, для которой минимально.
39. Множественный дискриминантный анализ
На основании данных о выполнении заемщиками взятых на себя обязательств по выплате займов наблюдения делят на несколько групп. Обозначим через число групп наблюдений, через и -- соответственно, количество наблюдений и множество индексов в группе .Для каждой группы находятся средние значения показателей , :. (30)Вектор называется центроидом группы .Потенц. заемщика с финн. показат. относят к той группе, к центороиду которой «ближе» всего вектор финансовых показателей потенциального заемщика.
Для опред. «близости» вектора к центроиду может, , использоваться следующая мера:. (31)Здесь -- выборочное стандартное отклонение параметра в группе , т.е..(32)Итак, потенц. заемщика относят к той группе, для которой минимально.