Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
1) Электрический заряд. Закон сохзранения заряда. Закон Кулона.Частицы, участвующие в электромагнитном взаимодействии, обладают специальным свойством - электрическим зарядом. Электрон имеет электрический заряд равный Кл., который называется элементарным. Величина любого заряда q, кратна элементарному, т.е. q=ne (где n – целое число). Закон, которому подчиняются силы взаимодействия так называемых точечных зарядов, был установлен в 1775 году Кулоном, согласно которому сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов прямопропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между нимигде - электрическая постоянная, - относительная диэлектрическая проницаемость.В изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной. Это утверждение носит название закона сохранения заряда.Закон сохранения электрического заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется. В интегральной форме Вспомним, что плотность потока электрического заряда есть просто плотность тока. Тот факт, что изменение заряда в объёме равно полному току через поверхность, можно записать в математической форме:Здесь — некоторая произвольная область в трёхмерном пространстве, — граница этой области, — плотность заряда, — плотность тока (плотность потока электрического заряда) через границу.Закон сохранения заряда в дифференциальной форме Переходя к бесконечно малому объёму и используя по мере необходимости теорему Стокса можно переписать закон сохранения заряда в локальной дифференциальной форме (уравнение непрерывности) |
2) Электрическое поле. Напряжённость поля. Принцип суперпозиции полей. Силовые линии поля. Поле Диполя.Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Внесем в электрическое поле, созданное зарядом q, точечный положительный заряд, называемый пробным . На этот заряд, по закону Кулона, будет действовать силаЕсли в одну и туже точку помещать разные пробные заряды , и т.д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Эта величина является силовой характеристикой электрического поля и называется напряженностью (E). Итак,т.е. напряженность данной точки электрического поля это сила действующая на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.За единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы.Электрическое поле наглядно изображается с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором напряженности поля. Силовые линии проводятся с такой густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку 1м2, перпендикулярную полю, равнялось величине напряженности поля в данном месте. Тогда по изображению электрического поля можно судить не только о направлении, но и о величине напряженности поля. Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность Е одинакова. В противном случае поле называется неоднородным.При положительном заряде, образующем поле, вектор напряженности направлен вдоль радиуса от заряда, при отрицательном - вдоль радиуса по направлению к заряду. Исходя из положительного заряда (или входя в отрицательный заряд) силовые линии теоретически простираются до бесконечности.Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряженность системы зарядов в данной точке, поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности. Согласно принципу суперпозиции электрических полей можно найти напряженность в любой точке А поля двух точечных зарядов и (рис. 13.1). Сложение векторов и производится по правилу параллелограмма. Направление результирующего вектора находится построением, а его абсолютная величина может быть подсчитана по формуле совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов q, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до рассматриваемой точки поля называется электрическим диполем.Произведение называется моментом диполя. Прямая линия, соединяющая заряды называется осью диполя. Обычно момент диполя считается направленным по оси диполя в сторону положительного заряда. |
3) Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Примеры.Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности NE. Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4). Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5). где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равенТак как , тогде - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре (рис. 13.6). Напряженность поля по всей сфере одинакова и равнаСиловые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы , следовательнот.к. Тогда поток напряженности будет равен. Используя формулу напряжённости, находимОкружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью S’. Каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно формула (13.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если произвольной поверхностью окружаем n зарядов, то очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов, т.е.илиТаким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.1)Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равенПо теореме ГауссаСледовательноСравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.2)Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написатьПроведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S 3)радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е. Следовательно, по теореме Гаусса, и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю. Зависимость напряженности поля заряженной сферы от расстояния r приведена на рис. 13.8. 2. Электростатическое поле шара.Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью . В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шараа на его поверхности (r=R) В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равенс другой стороны, в соответствии с теоремой ГауссаИз сопоставления последних выражений следуетгде- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра). Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью . Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхностьПо теореме ГауссаИз последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью: 4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10). Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме ГауссаСледовательноно тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равнаВ это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов и , равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.Таким образом,Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0. |
4)Работа сил электрического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряжённости. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути , по определению равнагде - угол между вектором силы F и направлением движения . Если работа совершается внешними силами, то dA0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда из точки “а” в точку “b” будет равнагде - кулоновская сила, действующая на пробный заряд в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работаПусть заряд перемещается в поле заряда q из точки “а”, удалённой от q на расстоянии в точку “b”, удаленную от q на расстоянии Как видно из рисунка тогда получимКак было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательноЦиркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути LТак как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю. |
||
|
5)Потенциал электрического поля. Потенциал поля точечного заряда, системы зарядов.Внося в данную точку поля различные пробные заряды мы будем, соответственно, изменять потенциальную энергию, т.е. получим различные . Но отношение потенциальной энергии к заряду остается величиной постоянной. Следовательно для характеристики поля можем использовать это отношение. Обычно оно обозначается буквой и называется потенциалом поля в данной точкеПотенциал является энергетической характеристикой поля. Он численно равен работе, которую надо затратить против сил электрического поля при перенесении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку поля. Единица измерения потенциала - вольт. С учетом (1.16) Когда поле образовано несколькими произвольно расположенными зарядами , потенциал его в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым зарядом в отдельности, т.е. Если из точки “а” в точку “b” электрического поля перемещается заряд q’, то при этом совершается работа против электрических сил, равнаягде и - потенциалы поля в точках “а” и ” b”.Потенциал φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:В СИ за единицу разности потенциалов принимают Вольт (В), Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному Вольту, если для перемещения между ними заряда в один Кулон нужно совершить работу в один Джоуль |
6)Связь между напряжённостью и потенциаломИз выше сказанного следует, что электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения С другой стороны . Из этих уравнений получаемЗнак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала. |
7) Энергия системы зарядов, заряженного проводника, конденсатора. Энергия электрического поля, объёмная плотность энергии.Потенциальная энергия Wp неподвижной системы зарядов представляет собой работу, необходимую для создания этой системы из отдельных частей, т.е. энергию, запасенную в созданной системе. Это - скалярная величина, являющаяся свойством системы в целомСоберем систему из трех зарядов, последовательно перенося их из бесконечности в данные точки пространства, как показано на рис. 6.1. При переносе первого заряда в пространстве, где отсутствует электрическое поле, сила на заряд не действует, и работа не совершается. При переносе второго заряда работа составит (см. 1.9) Поскольку r изменяется от бесконечности до r12, то dr в (6.1) отрицательно. Очевидно, что работа, произведенная над системой, будет положительной для одноименных зарядов, так как они отталкиваются.Перенос третьего заряда будет осуществляться в поле двух зарядов. На основании принципа суперпозиции это поле есть сумма полей, создаваемых каждым из зарядов. Тогда работа, производимая внешними силами над третьим зарядом будет равна сумме двух работ, одна из которых необходима для переноса заряда q3, если имеется только один заряд q1, а другая требуется для переноса заряда q3 при наличии только одного заряда q2Следовательно, потенциальная энергия системы из трех зарядов, равная полной работе, затраченной на образование указанного на рис.6.1 расположения зарядов, составитНетрудно видеть, что полученный результат не зависит от порядка переноса зарядов. Как всегда в определении потенциальной энергии существует некоторый произвол. В данном случае нулевое значение потенциальной энергии соответствует ситуации, когда все три заряда находятся на беконечно больших расстояниях друг от друга.Очевидно, что если система состоит из N зарядов, то в выражении (6.3) будет N слагаемых того же вида. Один из способов написания такой суммы по парам зарядов следующийЗнак двойной суммы в (6.4) обозначает: возьмите i=1 и суммируйте по k=2,3,4,...,N; затем возьмите i=2 и суммируйте по k=1,3,4,...N; и т.д. до i=N. Ясно, что при этом каждая пара войдет в сумму дважды, поэтому перед знаком суммы стоит множитель 1/2.На основании (1.15) потенциальную энергию (6.4) системы зарядов можно представить следующим образомгде φi - потенциал, создаваемый всеми зарядами кроме qi , в той точке, где помещается заряд qi .Обобщение полученного выражения (6.5) на случай непрерывного распределения заряда с объемной плотностью ρ производится аналогично переходу от (1.15) к (1.16): Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная . Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю . ТогдаПри переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е. Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q: Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W: Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют видЭто физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеемС учетом, что и или |
8) Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации. Электрическое поле диэлектриков.Диэлектрики, молекулы которых имеют симметричное строение, а центры “тяжести“ (+Q) и (-Q) зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают, имеют дипольный момент молекулы =0. Молекулы таких диэлектриков называют неполярными.Ко 2-ой группе диэлектриков относятся вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, центры тяжести зарядов разных знаков сдвинуты относительно друг друга и эти молекулы в отсутствии внешнего эл. поля обладают дипольным моментом. Но в отсутствии внешнего электрического поля вследствие теплового движения дипольные моменты полярных молекул хаотично ориентированы в пространстве и их результирующий момент равен 0.Диэлектриком является любая среда (газ, жидкость или твердое тело), в которой длительное время может существовать электрическое поле. В отличие от проводников в диэлектриках отсутствуют свободные электрические заряды. Т.е. диэлектриками называют тела в которых заряды не могут перемещаться из одной части в другую.Атомы и молекулы диэлектрика содержат равные количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов и в целом электрически нейтральны. В зависимости от строения все диэлектрические вещества можно разделить на три большие группы.1.К первой группе принадлежат диэлектрики, состоящие из молекул, у которых “центры тяжести” положительных и отрицательных зарядов совпадают (например, бензол и др). Молекулы таких диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля не обладают дипольным моментом (рис.14.1.а). Во внешнем электрическом поле “центы тяжести” положительных и отрицательных (электронных оболочек) зарядов молекулы смещаются в противоположные стороны на некоторое расстояние L, малое по сравнению с размерами молекулы (рис.14.1 б). Каждая молекула при этом становится полярной (дипольной), подобной электрическому диполю и приобретает дипольный электрический момент Такого рода поляризация называется электронной. При помещений диэлектрика в электрическое поле все неполярные молекулы превращаются в дипольные, расположенные цепочками вдоль силовых линий поля (рис.14.2). В результате торцы диэлектрика приобретают разноименные заряды - диэлектрик поляризуется. Степень электронной поляризации зависит от его свойств и от величины напряженности поля .2.Вторую группу диэлектриков составляют такие вещества, как вода, нитробензол и др. В таких веществах молекулы всегда (ив отсутствие внешнего поля) несимметричны, т.е. являются дипольными. Благодаря тепловому движению дипольные молекулы расположены в диэлектрике беспорядочно (рис.14.3 а). Поэтому диэлектрик в целом оказывается не поляризованным. Под влиянием электрического поля все дипольные молекулы диэлектрика повернутся так, что их оси расположатся приблизительно вдоль силовых линий поля (рис.14.3 б). Такого рода поляризация называется ориентационной или дипольной поляризацией. Полной ориентации препятствует тепловое движение.3.К третьей группе относятся кристаллические диэлектрики, имеющие ионное строение (хлористый натрий, хлористый калий и др). У кристаллических диэлектриков с ионной решеткой каждая пара соседних разноименных ионов подобна диполю (рис. 14.4.а) В электрическом поле эти диполи деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю, и укорачиваются, если оси направлены против поля. В результате диэлектрик поляризуется. Введем величину, характеризующую степень поляризации диэлектрика. Если просуммировать все дипольные моменты диэлектрика в единице объема, то получим вектор поляризации |
||
|
9)Теорема Остроградского-Гаусса при наличии диэлектриковТеорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:т.е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. Для вакуума Dn=0Еn (=1), тогда поток вектора напряженности Е сквозь произвольную замкнутую поверхность равенПоэтомугде— соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью. |
10) Постоянный электрический ток ,сила тока, плотность тока, законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, законы Кирхгоффа для разветвлённой цепи.Всякое упорядоченное движение заряженных частиц называется электрическим током. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Электрический ток, проходящий через данную поверхность, характеризуется силой тока I.Сила тока есть скалярная величина, численно равная заряду dq, который переноситься через площадку S в единицу времени, т.е. Если за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые количества электричества и направление движения зарядов не изменяется, то такой ток называется постоянным и тогда I=q/t. В системе СИ единица тока является основной и носит название - Ампер.Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он течет, неравномерно. Для характеристики направления электрического тока в различных точках рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности вводится вектор плотности тока Он совпадает по направлению с движением положительно заряженных частиц -носителей заряда и численно равен отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, нормальной к направлению движения заряженных частиц, к площади dS этого элементаЕсли ток постоянный, то выражение (17.2) можно переписать в виде:т.е. плотность тока есть векторная величина, направленная вдоль вектора скорости упорядоченного движения положительных зарядов и численно равная количеству электричества, протекающего за единицу времени через единицу площади, ориентированной перпендикулярно току.Закон Ома для участка цепи в интегральной и дифференциальной форме.Немецкий физик Ом экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику, прямо пропорциональна приложенному напряжению U и обратно пропорциональна сопротивлению R:I=U/R, Единица измерения: 1А=1В/1ОмСопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:R=l/S,где — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением. Единица удельного электрического сопротивления — Ом•м. Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. I=US/ρlI= jS Из этих двух формул:US/ρl= jS => j=E/ρ=Eγ, где величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью вещества проводника (ее единица— См/м).Выражение j=Eγ — закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.Закон Джоуля — Ленца в интегральной и дифференциальной форме.Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt, при этом полем совершается работа. dA=Udq=IUdt =(U2/r)dt=I2Rdt. Мощность тока – работа, совершаемая в единицу времени.P=dA/dt=UI=U2/R =I2R. Единица измерения 1 Дж/с=1Вт 1 кВт•ч 1000Вт•3600с = 3,6•106 Вт•с = 3,6•106 Дж=3,6 МДж.Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,dQ=dA. - это выражение представляет собой закон Джоуля — Ленца.Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV=dSdl (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого R= (dl/dS). По закону Джоуля — Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплотаКоличество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна dQ/dtdV=w=j2Используя дифференциальную форму закона Ома (j =E/=E) получимw =jE =E2.Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла,— отрицательным.Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Это следует из закона сохранения заряда, т.е. заряд в узле не накапливается. I1-I2+I3-I4-I5=0.Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвленных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков. Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. От «-» к «+» ξ>0От «+» к «-» ξ<0Применяя к участкам закон Ома, можно записать:Складывая почленно эти уравнения, получимI1R1-I2R2+I3R3= ξ 1- ξ 2+ ξ 3Это уравнение выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii, на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. ξ k, встречающихся в этом контуре:Алгоритм решения задач на правило Кирхгофа:1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи: если искомый ток получится отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; IR >0, если ток совпадает с направлением обхода, и наоборот, ξ >0, если действуют по выбранному направлению обхода от «-» к «+».3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин. |
11)Магнитное взаимодействие токов ,магнитное поле ,закон Ампера ,Лоренца, магнитная индукция, силовые линии магнитного поля.Взаимодействие проводников с током обусловлено возникновением вокруг них магнитного поля. Магнитное поле возникает вокруг проводника с током всегда, даже если нет другого проводника и отследить действие поля таким способом нельзя. Количественной характеристикой магнитного поля служит специальная физическая величина - напряженность магнитного поля H. С напряженностью связана также еще одна характеристика магнитного поля - индукция В. Между ними существует соотношение:B=0H, - магнитная проницаемость вещества.Индукция и напряженность являются векторами.Направление этих векторов подчиняется правилу правого буравчика: направление магнитного поля совпадает с направлением движения конца рукоядуи буравчика с правой нарезкой, движущегося поступательно в направлении тока.Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна силе тока в проводнике I, магнитной индукции B, длине проводника L и синусу угла между направлением тока в проводнике и направлением вектора магнитной индукции (Закон Ампера):F=BLIsin.Направление силы Ампера определяется следующим правилом: если направить пальцы левой руки вдоль тока таким образом, чтобы вектор магнитного тока входил в ладонь, то отставленный в сторону большой палец укажет направление силы Ампера.Замкнутый контур с током обладает магнитным моментом pm. Это векторная величина, численно равная произведению силы тока в контуре на площадь, охватываемую данным контуром. Направление магнитного момента определяется по правилу буравчика.Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца.Поскольку на проводник с током в магнитном поле действует сила, а ток есть направленное движение заряженных частиц, можно сделать вывод, что на каждый электрон действует некоторая сила (Сила Лоренца):F=evBsin,где е - заряд электрона, v - его скорость, В - магнитная индукция, - угол между векторами v и В.Правило определения направления силы Лоренца такое же, как и для сила Ампера. Нужно иметь в виду, что направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.Аналогично силовым линиям в электростатике можно построить линии магнитной индукции, в каждой точке которых вектор направлен по касательной. Пример линий магнитной индукции полей постоянного магнита и катушки с током приведен на рис. 4.16.1.
Обратите внимание на аналогию магнитных полей постоянного магнита и катушки с током. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они нигде не обрываются. Это означает, что магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов. Силовые поля, обладающие этим свойством, называются вихревыми. Картину магнитной индукции можно наблюдать с помощью мелких железных опилок, которые в магнитном поле намагничиваются и, подобно маленьким магнитным стрелкам, ориентируются вдоль линий индукции. Для того, чтобы количественно описать магнитное поле, нужно указать способ определения не только направления вектора но и его модуля. |
12) Закон Юищ-Савара, Лопласса. Магнитное поле прямолинейного и кругового токов. Магнитный момен кругового токаЗакон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в видегде dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.Модуль вектора dB определяется выражениемгде — угол между векторами dl и r.Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности: Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера. 1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равнаТак как угол для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то, согласно (110.3) и (110.4), Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока 2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),ТогдаСледовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
|
||
|
13) Циркуляция вектора магнитной индукции ,магнитное поле соленоида.Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q0, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равнаРабота при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна dA=Еdl, тогда Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность. |
14) Механическая работа в магнитном поле, магнитный поток, теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля в вакууме(?) Рассчитаем поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность. Выбираем точечный заряд q, находящийся в ее центре,По теореме Гаусса это справедливо для замкнутой поверхности любой формы. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора Е равен q/0, Следовательно, Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0. Если заряды «размазаны» с некоторой объемной плотностью =dQ/dV, то суммарный заряд и |
15) Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него. Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем 29 августа 1831 года. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током. Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я является основным законом электродинамики, касающимся принципов работы трансформаторов,дросселей, многих видов электродвигателей и генераторов. Закон гласит: Для любого замкнутого контура индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через этот контур. или другими словами: Генерируемая ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея (в СИ): Где — электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура, — магнитный поток через поверхность, натянутую на этот контур. Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца, названное так по имени русского физика Э. Х. Ленца: Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре, имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток. Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать следующим образом: где — электродвижущая сила, — число витков, — магнитный поток через один виток, — потокосцепление катушки. Векторная формаВ дифференциальной форме закон Фарадея можно записать в следующем виде: (в системе СИ) В интегральной форме (эквивалентной):(CИ) Здесь — напряжённость электрического поля, — магнитная индукция, — произвольная поверхность, — её граница. Контур интегрирования подразумевается фиксированным (неподвижным). Потенциальная формаПри выражении магнитного поля через векторный потенциал закон Фарадея принимает вид: (в случае отсутствия безвихревого поля, то есть тогда, когда электрическое поле порождается полностью только изменением магнитного, то есть электромагнитной индукцией). В общем случае, при учёте и безвихревого (например, электростатического) поля имеем: . ЛЕНЦА ПРАВИЛО(Ленца закон) - установлено Э. X. Ленцем в 1834 в уточнение закона эл.-магн. индукции, открытого М. Фарадеем (М. Faraday) в 1831. Л. п. определяет направление индукц. тока в замкнутом контуре при его движении во внеш. магн. поле, а также при деформации контура и (или) изменении магн. поля во времени (последние обобщения не принадлежат Ленцу и введены позже). Направление индукц. тока всегда таково, что испытываемые им со стороны магн. поля силы противодействуют движению и деформации контура, а создаваемый этим током магн. поток Ф i стремится компенсировать изменения внеш. магн. потока Ф е. Л. п. позволило Ф. Нейману (F. Neumann) в 1846 дать матем. формулировку закона эл.-магн. индукции: где Ф=Ф е+Ф i - магн. поток через поверхность S, опирающуюся на проводящий контур Л. п. определяет знак правой части. |
16) Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре при изменении тока, протекающего по контуру. При изменении тока в контуре пропорционально меняется и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром]. Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС. Это явление и называется самоиндукцией. (Понятие родственно понятию взаимоиндукции, являясь как бы его частным случаем). Направление ЭДС самоиндукции всегда оказывается таким, что при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует этому возрастанию (направлена против тока), а при убывании тока — убыванию (сонаправлена с током). Этим свойством ЭДС самоиндукции сходна с силой инерции. Величина ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока : . Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки). Взаимоиндукция (взаимная индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС индукции) в одном проводнике вследствие изменениясилы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции. При изменении тока в одном из проводников или при изменении взаимного расположения проводников происходит изменение магнитного потока через (воображаемую) поверхность, "натянутую" на контур второго, созданного магнитным полем, порожденным током в первом проводнике, что по закону электромагнитной индукции вызывает возникновение ЭДС во втором проводнике. Если второй проводник замкнут, то под действием ЭДС взаимоиндукции в нём образуется индуцированный ток. И наоборот, изменение тока во второй цепи вызовет появление ЭДС в первой. Направление тока, возникшего при взаимоиндукции, определяется по правилу Ленца. Правило указывает на то, что изменение тока в одной цепи (катушке) встречает противодействие со стороны другой цепи (катушки). Чем большая часть магнитного поля первой цепи пронизывает вторую цепь, тем сильнее взаимоиндукция между цепями. С количественной стороны явление взаимоиндукции характеризуется взаимной индуктивностью (коэффициентом взаимоиндукции, коэффициентом связи). Для изменения величины индуктивной связи между цепями, катушки делают подвижными. Приборы, служащие для изменения взаимоиндукции между цепями, называются вариометрами связи. Явление взаимоиндукции широко используется для передачи энергии из одной электрической цепи в другую, для преобразования напряжения с помощью трансформатора. Солено́ид — разновидность электромагнитов. Соленоид — это односложная катушка цилиндрической формы, витки которой намотаны вплотную, а длина значительно больше диаметра. Характеризуется значительным соотношением длины намотки к диаметру оправки, что позволяет создать внутри катушки относительно равномерное магнитное поле. Соленоид почти всегда снабжается внешним магнитопроводом. Внутренний магнитопровод может быть подвижным или отсутствовать вовсе. Индуктивность соленоида выражается следующим образом: (СИ), где — объём соленоида, — длина проводника, намотаннного на соленоид, — длина соленоида, — диаметр витка. Без использования магнитного материала плотность магнитного потока в пределах катушки является фактически постоянной и равна где − магнитная проницаемость вакуума, − число витков, − ток и − длина катушки. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим, что потокосцепление через катушку равно плотности потока , умноженному на площадь поперечного сечения и число витков : Отсюда следует формула для индуктивности соленоида эквивалентная предыдущим двум формулам. |
||
|
17)Энергия магнитного поля. Плотность энергии.Проводник, c протекающим по нему электрическим ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле исчезает и появляется вместе с исчезновением и появлением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Логично предположить, что энергия магнитного поля совпадает с работой, затрачиваемой током на создание этого поля. |
18) Описание магнитного поля в веществе. Для количественного описания намагничения вводят векторную величину – намагниченость, определяемую магнитным моментом на единицу объёма. J=pm/V Намагниченость прямо пропорциональна напряжённости поля вызывающего намагничение J=cH, c - магнитная восприимчивость вещества. Спин электрона. Электрон обладает собственным механическим моментом импульса (спином) Спин является неотъёмлемым свойством электрона подобно заряду и массе. Спину электрона соответствует собственный магнитный момент . Элементарная теория диамагнетизма. вещества намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками. ( Наведенные состовляющие магнитных полей атомов складываются и образуют собственное магнитное поле вещества ослабляющее внешнее магнитное поле. В отсутствие внешнего поля диамагнетик немагнитен. Элементарная теория парамагнетизма. Парамагнетики – вещества намагничивающиеся по направлению поля. Они всегда обладают магнитным моментом. Парамагнетик намагничевается создавая собственное магнитное поле совпадающее с внешним и усиливающем его. Ферриты – ферромагнитические полупроводники, обладают малой проводимостью. Там, где пунктир – насыщение. Вектор намагничивания — магнитный момент элементарного объёма, используемый для описания магнитного состояния вещества. По отношению к направлению вектора магнитного поля различают продольную намагниченность и поперечную намагниченность. Поперечная намагниченность достигает значительных величин в анизотропных магнетиках, и близка к нулю в изотропных магнетиках. Поэтому, в последних возможно выразить вектор намагничивания через напряжённость магнитного поля и коэффициент названный магнитной восприимчивостью: Намагниченное вещество создает магнитное поле , которое накладывается на внешнее поле (поле в вакууме). Оба поля в сумме дают результирующее магнитное поле с индукцией,причем под здесь и далее подразумевается макроскопическое (усредненное по физически бесконечно малому объему вещества) поле.В силу замкнутости силовых линий полей и , поток результирующего поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю:.Таким бразом, теорема Гаусса в применении к магнетикам имеет такой же вид, как и в вакууме. Обратимся теперь к циркуляции вектора по замкнутому контуру. Согласнотеореме о циркуляции магнитного поля: или ,где под следует понимать теперь сумму как макроскопических, так имолекулярных токов, то есть.Сумма всех молекулярных токов, охваченных контуром интегрирования, есть:.Следовательно, можем написать: Величину, стоящую в круглых скобках под знаком интеграла, обозначают буквойи называют напряженностью магнитного поля:.Теперь мы можем записать теорему о циркуляции магнитного поля как:,где под понимается введенная выше величина, характеризующая напряженность магнитного поля в веществе.Согласно написанному равенству, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому замкнутому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охваченных этим контуром.Из сказанного следует, что векторявляется аналогом вектора электрической индукции . Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам «магнитные заряды», и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве. Тогда же были введены названия «электрическая индукция» для и «магнитная индукция» для . Позже, однако, выяснилось, что в природе «магнитных зарядов» нет и в действительности магнитная индукция является аналогом не , а напряженности электрического поля ; соответственно напряженность магнитного поля – аналогом индукции электрического поляИтак, индукция магнитного поля есть:.Вектор намагничивания принято связывать не с магнитной индукцией , а с напряженностью магнитного поля , и как показывает опыт, вектор связан с вектором соотношением:,где χ – характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью.Посколькуимеет ту же размерность, что и [A/м], то χ – безразмерная величина. На основании двух последних формул имеем:,где черезобозначена величина, называемая магнитной проницаемостью. |
19) Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется в классической электродинамике. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.Введение тока смещения позволило устранить противоречие в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, (Здесь — вектор магнитной индукции, — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме[4]: ) которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики. Строго говоря, ток смещения н е является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический токУравне́ния Ма́ксвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики.Уравнения Максвелла могут быть записаны как в дифференциальной, так и в эквивалентной интегральной форме, где величины определяются на линиях, поверхностях и объемах. Здесь рассматривается только интегральная форма записи уравнений Максвелла.Электромагнитное поле имеет две силовые характеристики в виде напряженности электрического поля и магнитной индукции , а также две вспомогательные величины – электрическое смещение и напряженность магнитного поля . Силовые характеристики определяют силу с которой электромагнитное поле действует на точечный электрический заряд , движущийся со скоростью .Уравнения Максвелла связывают величины и с источниками электромагнитного поля в виде пространственных распределений электрического заряда и тока проводимости. Если эти распределения заряда и тока проводимости заданы, уравнения Максвелла позволяют найти величины , , и в каждой точке пространства и в любой момент времени. Кроме того, полная система уравнений Максвелла включает в себя так называемые материальные уравнения, устанавливающие соотношения между парами векторных величин и , а также и . Эти материальные уравнения определяются физической природой той среды, в которой описываются электромагнитные явления. На поверхности раздела двух сред, где электрические и магнитные характеристики меняются скачком, выполняются граничные условия, устанавливающие связь между определенными компонентами векторов , , и вблизи этой поверхности раздела. согласно общефизическому принципу относительности все электромагнитные явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета. В соответствии с этим уравнения Максвелла должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца и иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Связь между источниками и созданным ими электромагнитным полем в интегральной форме выражается с помощью теорем Гаусса и теорем о циркуляции для векторного поля. Согласно теореме Гаусса для электрического смещения , где - проекция вектора на направление единичного вектора внешней нормали к замкнутой поверхности . В правой части равенства стоит алгебраическая сумма свободных электрических зарядов i=1,2,…k, находящихся в области, ограниченной поверхностью .Поскольку до настоящего времени не обнаружены магнитные заряды, теорема Гаусса для вектора магнитной индукции записывается в виде . Обобщенная с учетом закона электромагнитной индукции теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля имеет вид , где - проекция вектора на направление единичного вектора касательной к контуру , причем при наблюдении с конца единичного вектора нормали к поверхности , натянутой на контур , обход контура совершается против хода часовой стрелки. |
20) Общие сведения о колебаниях, гармонические колебания, энергия гармонических колебанийПериодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса: Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол . Если начальный угол отличен от нуля и равен φ0, тогда угол поворота будет равен Проекция на ось ХО1 равна . По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точка будет совершать колебания относительно точки - вверх, вниз и т.д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота; - фаза колебаний; – начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан: или Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:В случае упругих колебаний возвращающая сила F = -kx. Если нет других сил, кроме упругой силы, то колебания называют свободными. Согласно второму закону Ньютона,или.Разделим оба слагаемых на m: Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических свободных колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид,в чем легко убедиться подстановкой х в исходное дифференциальное уравнение. |
||
|
21)Затухающие механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Логарифмический декремент затухания. Добротность.Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления. где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ илиПерепишем это уравнение в следующем виде:и обозначим:где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. ТогдаБудем искать решение уравнения (7.19) в виде |
22) Вынужденный механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Резонанс.В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы .Пусть эта сила изменяется со временем по закону , где амплитуда вынуждающей силы . Возвращающая сила и сила сопротивления Тогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде:илиПредположим, что возникающее под действием силы установившиеся вынужденные колебания системы также являются гармоническими: (7.22) причем их циклическая частота равна циклической частоте ω вынуждающей силы.Дифференцируя два раза (7.22) и подставляя в (7.21), получимОбозначим:Тогда последнее равенство можно записать в следующем виде: |
23)Колебательный контур. Гармонические и электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Электрическое поле сосредоточенное между обкладками конденсатора:Замыкаем ключ k.В цепи начинает течь ток q –убывает, - убывает.Эта убыль восстанавливается за счет магнитного поля, который образуется в катушке за счет переменного тока.Потом i – убывает, маг.поток – убывает, эл.поток – возрастает.i=0, конденсатор перезарядился.Таким образом в колебательном контуре колеблющиеся величины: заряд(q), напряжение на обкладках конденсатора(С) и сила тока(i).Пусть R=0, тогда возникновение тока говорит о том, что в цепи появилось ЭДС индукции: (1) (2) – напряжение на обкладках конденсатора. (3) (4)диф уравнение (5) (6)диф уравнениеОно имеет сходный вид с механическими колебаниями: Если R≠0, тогда, iR – падение напряжения на сопротивление контура.Решение: Пусть, имеется Если разорвать цепь и включить переменный или переменный U, то в контуре возникает вынужденное колебание. (1) От сюда следует: (2)Амплитуда зависит от вынужденной силы и от ее частотыПод действие внешних сил может привести к тому, что достигнет max – резонанс.Для того чтобы найти резонансную частоту необходимо найти max (2) min подкоренного выражения и прировнять его к 0. |
24) Распространение волн в упругой среде. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение плоской волны, распространение в произвольном направлении.Волны – распределение колебаний в среде, причем колеблющие частицы не переносятся волной, они лишь совершают колебания око своего положения равновесия.Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x,y,z) и времени t. Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.Уравнение плоской волныНайдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е. (1) – это уравнение плоской волны.Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.Уравнение (1) может принять семеричный вид относительно времени t и смещения x.Для этого вводится понятие , модуль волнового вектора показывает, сколько λ волн укладывается в длину 2, сам вектор направлен нормально к волновой поверхности, тогда: (1)Если волна распространяется произвольно, ее направление фиксируется углами , по отношению к Oxyz, то уравнение волны можно записать так: Где Уравнение сферической волныВ случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.Предположим, что фаза колебаний источника равна wt. Тогда точки, лежащие на волновой поверхностирадиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны: или Где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.Уравнения неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной. |
||
|
25) Волновое уравнение для механических колебаний. Вектор Пойтинга(?)Продифференцируем дважды по каждой переменной уравнение (8.6): Сложим последние три уравнения и получимИз (8.7) следуетТогдаЭто уравнение носит название волнового уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну. |
26) Интерференция волн, условия максимума и минимумаИнтерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчи-вая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитудрезультирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.Условие максимума и минимума интерференции Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О До точки Р первая волна проходит в среде с показателем расстояние , а вторая в среде с показателем преломления расстояние . Если в точке О фаза колебаний ( ), то первая волна возбждает в точке Р колебание, а вторая , где , – фазовые скорости первой и второй волны. Следовательно, разность фаз возбуждаемых волнами колебаний в точке Р равна: Учитывая, что , получим выражение для разности фаз двух когерентных волн: где – оптическая разность хода, L – оптическая длина пути, s – геометрическая длина пути. Если разность хода равна целому числу длин волн в вакууме то , и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, (8.1.3) является условием интерференционного максимума. Если оптическая разность ходато , и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (8.1.4) является условием интерференционного минимума. |
27) Стоячие волны.Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волныи уравнения отраженной волны |
28) Дифракция волн. Зоны Фриэйлера. Дифракция Фриэйлера от простейших преград.Дифракция – огибание волнами препятствий, размеры кот-х сравнимы с длиной волны. Это любое отклон-е в распростр-ии волны по з-нам геометрической оптики.Дифракцию света можно объяснить с пом-ю принц-а Гюйгенса – Френеля. Согл-о этому принц-у, каждая (.)а волн-го фронта явл-ся источ-м вторич-х, когерентных, сферических волн. Огибающая этих вторич-х волн (см. рис.) дает полож-е волн-го фронта в след. момент времени. Предпол-м, свет падает перпендик-о к поверхн-и непрозр-го экрана, в кот-м сделано отверстие. Пусть в какой-то момент времени волн-ой фронт совпадает с поверхностью отверстия АВ. Принцип Гюйгенса – Френеля позволяет произвести расчет дифференц-ой картины, т.е. найти, в каких направл-х наблюд-ся дифференц-ые max и min. Для облегчения расчета дифференц-ой картины испол-ся метод зон Френеля.Расчет дифракц-ой картины упрощается при использовании метода зон Френеля. Рассм-м построение зон Френеля на примере. Пусть свет распростр-ся из (.)и S в (.)у А. В некот-й момент времени волн-ой фронт предст-ет собой поверхн-ь (сферическая поверх-ть). Отрезок SA пересекает волн-ую поверх-ь в (.)е О. На поверх-и строим концентр-ие кольцевые зоны т.о., чтобы разность фаз от сосед-х зон составляла . Построенные т.о. зоны наз-ся зонами Френеля. Излучение от соседних зон Френеля ослаб-т дей-ие др. др. Напротив, излуч-е от зон, след-х ч/з одну зону, - взаимно усиливает др. др. Объясним с пом-ю метода зон Френеля прямолинейность распростр-я света. Пусть на месте волн-го фронта нах-ся непрозр-ый экран, в кот-м сделано отверстие по размеру первой зоны Френеля. Т.к. длина световой волны < микрона, то размер первой зоны Френеля тоже очень мал. Обозначим интенсивность света в (.)е А при отверстии размером с первую зону Френеля ч/з . Увел-м размер отверстия до второй зоны Френеля, т.к. излуч-е от первой и второй зон ослабл-т др. др., то интенсивность света в (.)е А () будет много < . Если снова увел-ть размер отверстия до третьей зоны Френеля, то интенс-ть света снова возрастет, но остан-ся <, чем . Т.о., мы установили, что свет из (.)и S в (.)у A распростр-ся практически прямол-но. Далее Рассм-м дифракцию на первом отверстии или на многих щелях. Различ-т 2 вида дифракции: дифракция Френеля (дифракция сферических волн) и дифракция Фраунгофера (плоских волн в паралл-х лучах). Рассм-м дифракцию Фраунгофера на одной щели. |
||
|
29. Дифракция на одной щели. Дифракционная решетка.Пусть свет падает перпендик-о к поверхн-и экрана, в кот-м сделана щель шириной a. Пройдя ч/з отверстие, свет откл-ется от первоначал-го направл-я на угол . Оптич-ая разность хода м/у лучами 1 и 2 от краев щели:Если выполн-ся усл-е , где m=1,2,..., то это означает, что на ширине щели AB укладыв-ся четное число зон Френеля, поэтому под таким углом будет наблюд-ся дифракционный min, т.к. излуч-я от сосед-х зон Френеля гасят др. др. Напротив, если выполняется усл-е: Здесь излуч-е от одной зоны оказыв-ся некомпенсированным другими зонами, поэтому будет наблюдаться дифракционный max, причем m – номер maxа. Интенсивность дифракционных maxов растет с у<нием числа m.Дифракционная решетка предст-ет собой сис-у паралл-х щелей одинак-й ширины a, раздел-х одинаковыми непрозрачными промежутками b. Величину d=a+b наз-т периодом дифракционной решетки. Величина, обратная периоду: n=1/d - число щелей на единицу длины. Полное число щелей дифракц-ой решетки – N. Пусть свет падает перпендик-о поверхн-и дифракц-ой решетки. Вследствие дифракции свет, пройдя ч/з дифракц-ую решетку, может отклон-ся от первоначал-го направл-я на угол . Оптическая разность хода м/у лучами 1 и 2: Если выполн-ся усл-е , то это означает, что излуч-е от соседних щелей усил-т др. др., поэтому в направл-и будет наблюдаться главный max порядка m. Чем > число щелей N, тем более интенсивными и резкими становятся главные дифракционные maxы. М/у главными дифракц-ми max располаг-ся побочные дифракц-ые max и min, интенсивность кот-х значит-о <, а число их зависит от числа N. Полож-е дифракц-ых max зависит от длины свет-ой волны, поэтому, если на дифракц-ую решетку направить белый свет, то полож-е дифракц-х max будет различно для различ-х цветов. Это св-во использ-ся в спектральных приборах для опред-я спектра излучения и измерения длин волн спектральных линий. |
30. Поляризация света. Свет – поперечная эл.магн. волна. Она поперечная, т.к. вектора напряжен-ей электр-го и магн-го полей перпендик-ы к направл-ю распростр-я волны. Световая волна, в кот-й колеб-е светового вектора (вектора напряж-ти) каким-либо образом упорядочено, называется поляризованной. Н-р, если колебания вектора напряжен-и происходят в некоторой плоскости, то свет наз-т плоско поляризованным (линейно поляризованным), а плоскость, в кот-й колеблется вектор напряжен-и - плоскостью поляризации. Если конец вектора напряжен-и принадл-т плоскости, перпендик-ой направл-ю света, движется по окружности, то световую волну наз-т поляризованной по кругу. Естественный, неполяризованный свет предст-т собой совок-ть световых волн со всевозможными ориентациями плоскости поляризации. Пройдя ч/з поляризатор, естественный свет поляриз-ся. Поляризаторы изготавливают из анизотропных матер-ов, кристаллов, мол-ы кот-х ориентированы определ-м образом. Пусть свет, пройдя ч/з поляризатор, направл-ся на др. пластину поляризатора, оптическая ось в кот-й повернута отн-о оси выше изображ-го поляризатора на угол . Разложим вектор напряжен-и на 2 составляющие: Свет, падающий на второй поляризатор – совокупн-ь двух световых волн, поляризов-х во взаимно перпендик-х направл-х. Световая волна , поляриз-ая перпендик-о оптич-ой оси, ч/з поляризатор не проходит, а поглощ-ся им. Напротив, световая волна , поляризованная вдоль оптической оси, проходит ч/з него без заметного ослабления. Поэтому амплитуда вектора напряжен-ти электр-го поля в световой волне, прошедшей ч/з поляризатор, равна: ,где - амплитуда вектора E в волне, падающей на поляризатор;- амплитуда вектора E в волне, прошедшей ч/з поляризатор; Т.к. интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды напряженности вектора магн-ого поля, то интенсивность света, прошедшего ч/з второй поляризатор: - закон Малюса |