Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Приборостроительный факультет
Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Методические указания к лабораторной работе № 5
по дисциплине «Общая физика»
раздел «Механика. Молекулярная физика»
Минск 2013 г.
Указание по мерам безопасности
при выполнении лабораторной работы
Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.
Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.
К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.
Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:
Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.
При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:
замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.
Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру
По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.
Лабораторная работа № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Цель работы:
ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов;
изучить условия образования и особенности стоячей волны.
Задачи работы
определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны;
определить для воздуха отношение изобарической теплоемкости к изохорической.
Понятие о волнах.
Тело, совершающее механические колебания, передает в окружающую среду за счет сил трения или сопротивления теплоту, что усиливает беспорядочное движение частиц среды. Однако во многих случаях за счет энергии колебательной системы возникает упорядоченное движение соседних частиц окружающей среды – они начинают совершать вынужденные колебания относительно своего исходного положения под действием упругих сил, связывающих частицы друг с другом. Объем пространства, в котором происходят эти колебания, возрастает с течением времени. Такой процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто в о л н о й.
В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике в о л н а м и называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.
В твердых телах под возмущением понимают периодически изменяющуюся деформацию, порожденную действием периодической силы и вызывающую отклонение частиц среды от положения равновесия – их вынужденные колебания. При рассмотрении процессов распространения волн в телах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают тела как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Вследствие действия упругих сил деформация будет распространяться в среде с определенной скоростью, называемой скоростью волны.
Важно отметить, что частицы среды не увлекаются движущейся волной. Скорость их колебательного движения отличается от скорости волны. Траектория частиц представляет собой замкнутую кривую, а их суммарное отклонение за период равно нулю. Поэтому распространение волн не вызывает переноса вещества, хотя при этом переносится энергия от источника колебаний в окружающее пространство.
В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о волнах продольной или поперечной поляризации.
Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).
Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются только в средах, в которых возможна деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны распространяются на свободной поверхности жидкости (например, волны на поверхности воды) или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (например, на границе пресной и соленой воды).
В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности. Они возникают в результате вынужденных колебаний частиц газа, происходящих с различной фазой в различных точках. Под действием изменяющегося давления барабанная перепонка уха совершает вынужденные колебания, которые через уникальную сложную систему слухового аппарата вызывают биотоки, протекающие к мозгу.
Уравнение плоской волны. Фазовая скорость
Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых в данный момент времени доходят колебания. Фронт волны разделяет области пространства, уже вовлеченную в волновой процесс и еще не вовлеченную. Волновых поверхностей существует бесконечное множество и они неподвижны, а фронт волны один и он перемещается с течением времени.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0 , начинают в момент t=0 совершать колебания по гармоническому закону относительно исходного положения равновесия. Это значит, что смещение частиц от их исходного положения f изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:
, (1)
где f - смещение данных частиц от их исходного положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.
Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x>0 ). Пусть волна распространяется в направлении возрастания координаты х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости, волне требуется время
(2)
где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).
Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ и будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ, а именно:
(3)
Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t=0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х=0, но в более ранний момент времени
t1= (4)
С учетом (4), выражение (3) преобразуется:
(5)
Уравнение (5) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Уравнение (5) соответствует случаю, когда частицам в начальный момент была сообщена начальная скорость. Если же в начальный момент частицам сообщено отклонение от положения равновесия без сообщения скорости, в (5) вместо синуса нужно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (5) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х=0, на величину, равную .
Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (5) преобразуется к виду:
(6)
Учитывая, что
(7)
запишем (6) в виде:
(8)
где Т - период колебания, ν - частота.
Расстояние λ, на которое волна распространяется за период Т, называется длиной волны.
(9)
Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.1).
Как отмечено выше, упругие волны в газах представляют собой чередующиеся области с более высоким и более низким давлением и плотностью. Это иллюстрируется рис 1, на котором представлены для некоторого момента времени смещение частиц (а), их скорости (б), давление или плотность (в) в различных точках пространства. Частицы среды движутся со скоростью (не путать с фазовой скоростью v). Слева и справа от точек A1, A3, A5 и др. скорости частиц направлены к этим точкам. Поэтому в данных точках образуются максимумы плотности (давления). Справа и слева от точек A2, A4, A6 и др. скорости частиц направлены от данных точек и в них образуются минимумы плотности (давления).
Смещение частиц среды при распространении в ней бегущей волны в различные моменты времени представлены на рис. 2. Как видно, имеется аналогия с волнами на поверхности жидкости. Максимумы и минимумы отклонений от положения равновесия перемещаются в пространстве с течением времени с фазовой скоростью v. С такой же скоростью перемещаются максимумы и минимумы плотности (давления).
Фазовая скорость волны зависит от упругих свойств и плотности среды. Предположим, что имеется длинный упругий стержень (рис. 3) с площадью поперечного сечения, равной S , в котором распространяется продольное возмущение вдоль оси х с плоским волновым фронтом Пусть за промежуток времени от t0 до t0+Δt фронт переместится от точки А до точки В на расстояние АВ = v Δt, где v – фазовая скорость упругой волны. Длительность промежутка Δt возьмем настолько малой, что скорость движения частиц во всем объеме (т.е. между сечениями, проходящими перпендикулярно оси х через точки А и В) будет одинаковой и равной u. Частицы из точки А за указанный промежуток времени переместятся на расстояние u Δt. Частицы же, расположенные в точке В, в момент t0+Δt только начнут движение и их перемещение к данному моменту времени будет равно нулю. Пусть первоначальная длина участка АВ равна l. К моменту t0+Δt она изменится на величину u Δt, которая и будет величиной деформации Δl. Масса участка стержня между точками А и В равна Δm = ρSvΔt. Изменение импульса этой массы за промежуток времени от t0 до t0+Δt равно
Δр = ρSvuΔt (10).
Рис. 1
Силу, действующую на массу Δm, можно определить из закона Гука:
По второму закону Ньютона , или . Приравни
вая правые части последнего выражения и выражения (10), получим:
Рис. 2
откуда следует:
. (11)
Скорость распространения поперечной волны
(12)
где G - модуль сдвига.
Рис. 3
Звуковые волны в воздухе являются продольными. Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга в формулу (1) входит отношение отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема
(13)
Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагая изменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать
(14)
При распространении волн в газах давление и плотность периодически повышаются и понижаются (соответственно, при сжатии и разрежении), в результате чего происходит изменение температуры различных участков среды. Сжатие и разрежение происходят так быстро, что смежные участки не успевают обменяться энергией. Процессы, происходящие в системе без теплообмена с окружающей средой, называются адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона
(15)
Параметр γ называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении Cp и постоянном объеме Cv :
.
Взяв дифференциал от обеих частей равенства (15), получаем
,
откуда следует:
. (16)
Подставив (6) в (4), получим для модуля упругости газа
. (17)
Подставив (7) в (1), найдем скорость упругих волн в газах:
(18)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить плотность газа
, (19)
где - молярная масса.
Подставляя (9) в (8), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:
, (20)
где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.
Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.
Преобразуя формулу (10), получим:
(21)
Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.
В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны можно представить в виде:
(22)
где - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.
Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:
(23)
Особую роль играют гармонические волны (см., например, уравнения (5, 6, 22, 23)). Это связано с тем, что любое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.
Стоячие волны.
Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна.
Пусть падающая волна описывается уравнением (22), а отраженная – уравнением (23). По принципу суперпозиции суммарное смещение равно сумме смещений, создаваемых обеими волнами. Сложение выражений (22) и (23) дает
(24)
Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:
, (25)
где множитель
(26)
является амплитудой стоячей волны. Как видно из выражения (26), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).
Множитель cosωt показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой, что и колебания встречных волн. Так как функция может принимать значения от 0 до 1, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения от Аs = 0 до Аs = 2А.
Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определить из равенства =1 или . Тогда для координат пучностей имеем
, (27)
где m = 0, 1, 2,... Координаты узлов определяются из равенства =0, откуда следует, что или они удовлетворяют условию:
(28)
Из (27) и (28) следует, что расстояние между соседними узлами, как и расстояние между соседними пучностями равно , а расстояние между соседними узлом и пучностью равно .
Из уравнения (25) следует, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. В частности, они достигают максимального отклонения в один и тот же момент времени. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между стоячими и бегущими волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180о.
Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне приведено на рис. 4. За начальный момент времени принят момент, когда частицы среды максимально отклонены от исходного положения равновесия (кривая 1).
Рис. 4
Кривая 2 соответствует моменту. В момент отклонения всех частиц равны нулю (кривая 3). Далее при происходит отклонение в противоположном направлении. Так, для частиц, находящихся между узлами А1 и А3, смещение становится отрицательным, а для частиц, расположенных между узлами А3 и А5 –положительным. Кривая 4 соответствует моменту, а кривая 5 –моменту.
В данный момент времени достигается максимальное отклонение в противоположном направлении. Далее отклонения в моменты времени , , и , представленные кривыми 6, 7, 8 и 9, совпадают с отклонениями в соответствующие моменты первого полупериода (т. е. кривая 6 совпадает с кривой 4 и т.д.). Как видно, с момента смещение частиц снова изменяет знак.
При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину, где . – плотность среды, - скорость упругих волн в среде. Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел (рис. 5). В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.
Рис.5.
В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.
В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.
Аналогичный вывод можно сделать, приняв во внимание, что бегущие в противоположных направлениях волны переносят энергию в противоположных направлениях.
Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).
Пусть плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра, при этом один из краев цилиндра открыт, а другой закрыт поршнем. В столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем всегда будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.
В этом случае в цилиндре буду устойчивыми лишь такие колебания, для которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн , т.е. выполняется условие:
(29)
где n - любое целое число, большее нуля.
Из этого условия можно выразить длину волны
, (30)
или частоту колебаний
υ. (31)
Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (31), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой υ0 называют основным тоном, а остальные, с частотами 3, 5, 7, … - обертонами.
Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь, таким образом, выполнения условия (29). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно . На эту величину отличаются и соответствующие длины столбов воздуха в трубе.
Методика определения скорости звука в воздухе.
Возникновение собственных колебаний в столбе воздуха можно использовать для нахождения скорости распространения звука в воздухе. Эту скорость можно определить, зная длину волны λ распространяющейся от источника колебаний с известной частотой , по формуле:
. (32)
Для измерения длины волны используется экспериментальная установка, состоящая из стеклянной цилиндрической трубы, внутри которой может перемещаться подвижной металлический поршень Р, перекрывающий сечение трубы. На противоположном конце трубы укреплен микрофон М (рис. 6). Он превращает акустические колебания в электрические, которые усиливаются осциллографом, на экране которого можно наблюдать зависимость электрического сигнала от времени.
Рис. 6
На поверхности трубы имеется узкое отверстие, через которое из динамика D в замкнутый объем (резонатор) поступает звуковая волна. В результате дифракции и отражения от стенок трубы в резонаторе образуется несколько типов колебаний. При определенных положениях поршня возникает стоячая волна, аналогичная той, которая возникала бы при падении на поршень плоской волны, распространяющейся вдоль оси трубы (назовем ее осью х) и отражении от него. Перемещая поршень, можно добиться максимального сигнала в микрофоне. В этом случае положение пучности совпадает с положением мембраны микрофона, а на границе воздух-поршень образуется узел. Если частота фиксирована, то устойчивые колебания устанавливаются только при определенных расстояниях L между поршнем и мембраной, которые, как казалось бы, можно определить из формулы (31).
Однако она справедлива только для идеального случая. Имеется несколько причин, по которым эта формула на практике оказывается весьма неточной.
Во-первых, данная формула соответствуют так называемым идеальным границам: акустическое сопротивление второй среды стремится к бесконечности (закрытая граница) или оно стремится к нулю (открытая граница). Так как акустическое сопротивление второй среды всегда имеет конечное значение, то узлы и пучности смещаются от закрытого и открытого концов трубы. Особенно сильным оказывается смещение пучности от открытого конца трубы. Пучность точно совпадала бы с открытым концом трубы, если бы акустическое сопротивление граничащей среды было равно нулю. Это соответствовало бы границе воздух – вакуум, что совершенно нереализуемо. Более того, в нашем случае на второй границе (в микрофоне) происходит частичное поглощение звука.
Второй причиной, по которой формула (31) оказывается неточной, являются так называемые волноводные эффекты, усиливающиеся по мере роста диаметра трубы.
Наконец, поглощение энергии звуковой волны воздухом также вносит коррективы в указанную формулу.
По указанным причинам формула (30) соответствует только идеальным условиям и на практике точно не выполняется. Однако можно воспользоваться следующим обстоятельством.
Пусть при некотором минимальном значении расстояния между поршнем и микрофоном L=Lmin в нашем резонаторе возникают устойчивые колебания, о чем будет свидетельствовать максимальное значение сигнала в микрофоне (положение пучности совпадает с координатой мембраны xmic). Координату соответствующей границы поршень-воздух (или координату узла) обозначим х1 (рис 6.). По указанным выше причинам, зависимость амплитуды стоячей волны от пространственной координаты х вдоль оси трубы в интервале между х1 и xmic не будет точно описываться формулой (26) и расстояние между данными точками не равно λ/4. Как показывает опыт, в нашем случае, как и в ранее рассмотренном идеализированном, при увеличении длины столба воздуха на величину, равную точно λ/2, снова возникают устойчивые колебания и в микрофоне снова достигается максимум интенсивности. Увеличение длины столба воздуха достигается перемещением отражающей границы (поршня) в направлении от микрофона в новое положение х2. При этом модуль разности х1‒х2 (равный разности длин столбов воздуха), уже с высокой степенью точности равен λ/2.
В пространстве между х1 и х2 образуется обычная стоячая волна, для которой зависимость амплитуды вдоль оси трубы уже хорошо описывается формулой (26). Распределение же амплитуды вдоль оси трубы в промежутке между х1 и xmic будет таким же, как и в первом случае. При достаточно длинной трубе возможно несколько положений поршня левее точки х2, при которых достигается максимум сигнала в микрофоне, и расстояние между любыми такими соседними положениями поршня с высокой степенью точности будет составлять λ/2(например, положение х3 на рис. 6).
1. Включить осциллограф. На звуковом генераторе установить значение первой из указанных частот и включить генератор.
2. Перемещая поршень в направлении от микрофона, определить два соседних положения поршня, х0 и х1, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе, с которым соединен микрофон. За положение поршня принимается координата плоскости поршня, от которой отражается волна (т.е. плоскости, обращенной к микрофону).
3. Определить скорость звука в воздухе, используя формулу
, (33)
где - частота колебаний звукового генератора, - измеренное расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе (т.е. расстояние между соседними узлами).
4. Повторить пункты 2-3 для двух других частот.
5. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности скорости звука.
6. Рассчитать показатель адиабаты для воздуха по формуле (11).
Таблица 1
Номеризмерения |
υ= Гц |
υ= Гц |
υ= Гц |
|||||||||
|
Х1,м |
Х2,м |
l,м |
Δl,м |
Х1,м |
Х2,м |
l, м |
Δl,м |
Х1,м |
Х2,м |
l, м |
Δl, м |
|
|
1 2 3 |
||||||||||||
|
Среднее значение |
Таблица 2
|
μ, |
R, |
Т,К |
Таблица 3
|
υ, Гц |
ευ |
Δυ, Гц |
, м |
, м |
v, м/c |
εV |
Δv, м/c |
γ |
εγ |
Δγ |
Контрольные вопросы
Литература
PAGE 9