Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОДНОМЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ
Рассеяние – это изменение состояния частицы при взаимодействии с препятствием в виде потенциального барьера.
Частица с энергией движется вдоль оси x в состоянии плоской волны с единичной амплитудой и попадает в поле барьера с потенциальной энергией . В результате взаимодействия возникают отраженная и проходящая волны. При одномерном рассеянии отраженная волна движется против оси x, проходящая – вдоль оси x. Рассеянные волны отличаются амплитудами и фазами.
Рассеянные волны и их токи вероятности. Используем стационарное уравнение Шредингера (3.2) на больших расстояниях от барьера
,
где
– волновые числа при . Частные решения уравнения:
при падающая волна
(3.62)
и отраженная волна
; (3.63)
при проходящая волна
. (3.64)
Амплитуды отраженной и проходящей волн r и t – комплексные, поскольку рассеянные волны получают фазовые сдвиги.
Из (2.72)
находим проекции плотности тока вероятности падающей, отраженной и проходящей волн
,
,
. (3.65)
Токи регистрируются детекторами в физическом эксперименте.
Коэффициент отражения (reflection) определяем в виде
, (3.66)
где учтены (3.65), (3.62) и (3.63)
, ,
, .
Тогда
. (3.67)
Коэффициент прохождения (transmission) определяем в виде
, (3.68)
тогда
, (3.69)
где .
Условие унитарности. Из уравнения непрерывности тока вероятности
, (2.73)
с учетом того, что на барьере частицы не рождаются и не накапливаются, получаем
,
тогда
.
Следовательно, сумма модулей подходящих к барьеру токов равна сумме модулей уходящих токов
– аналог первого правила Кирхгофа. Для проекций токов
. (3.70)
Используя (3.67) и (3.69)
, ,
получаем условие унитарности, от лат. unítas – «одно целое»:
(3.72)
– сумма вероятностей всех возможных процессов в системе, т. е. отражения и прохождения, равна единице.
Туннельный эффект
Если полная энергия частицы меньше потенциальной энергии барьера, то классическая частица не проходит через барьер, за барьером ее импульс становится мнимым, а кинетическая энергия – отрицательной. В квантовой механике частица имеет вероятность пройти барьер. Явление называется туннельным эффектом. Его описал Георгий Антонович Гамов в 1928 г. и объяснил парадокс, связанный с α-распадом ядра урана
.
Два протона и два нейтрона ядра урана объединяются в кластер и образуют α-частицу с энергией 4,18 МэВ. Задерживающий потенциал ядра урана составляет 8,57 МэВ. Тем не менее, α-частица имеет вероятность выхода из ядра благодаря туннельному эффекту и ядро распадается за время полураспада . Причина распада в том, что волновая функция не равна нулю в области не доступной для классической частицы. Термин туннельный эффект ввел Вальтер Шоттки в 1931 г.
Туннельный эффект лежит в основе множества явлений квантовой механики. На его основе разработан туннельный микроскоп и туннельный транзистор. Рассмотрим эффект, используя метод ВКБ.
Движение частицы через барьер. Частица с энергией в виде бегущей волны
движется вдоль оси x и встречает барьер , превышающий ее полную энергию:
, ,
где и – точки остановки классической частицы.
Возникает отраженная волна
.
Внутри барьера используем приближение ВКБ (3.60) в виде затухающей волны
.
За барьером возникает бегущая волна
.
Коэффициент прохождения барьера получаем из (3.68)
.
При находим
,
где в случае малости отраженной волны учтены условия сшивания (3.11)
, .
Используем
,
,
из
находим
,
.
С точностью до слабо меняющегося и близкого к единице предэкспоненциального множителя из получаем формулу Гамова
. (3.73)
Для прямоугольного барьера шириной и высотой из (3.73) находим
, (3.73а)
где – работа выхода; – коэффициент затухания волны. Проницаемость барьера существенна при , тогда , и это ограничивает ширину барьера
. (3.74)
Чем меньше масса частицы, тем более широкий и высокий барьер она преодолевает. Массы электрона и протона отличаются в 1840 раз, тогда коэффициенты прохождения с одинаковой энергией через один и тот же барьер согласно (3.73а) различаются в раза. Для макроскопического тела туннельный эффект не проявляется.
Объяснение туннельного эффекта. Используем соотношение неопределенностей между импульсом и координатой
.
Если частица обнаруживается внутри барьера шириной l, то , и частица получает случайное возмущение импульса
.
Это изменяет ее кинетическую энергию на величину
.
Если энергия добавляется
,
то преодолевается барьер шириной (3.74).
Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ) измеряет микрорельеф поверхности проводящего предмета с помощью туннельного эффекта. Работа СТМ основана на сильной зависимости туннельного тока от ширины барьера. Игла из платины, вольфрама или иридия с атомарным острием подводится к поверхности сначала двигателем грубого перемещения, затем пьезосканером на расстояние ≤ 1 нм, которое контролируется с высокой точностью по величине туннельного тока. На иглу подается потенциал (0,01–10) В по отношению к поверхности. Туннельный ток I через вакуумный промежуток размером l пропорционален коэффициенту прохождения (3.73а)
и экспоненциально зависит от l. При ток . Перемещение иглы на меняет ток в 10 раз. Игла периодически передвигается вдоль поверхности. Ток поддерживается на одном уровне за счет перемещения иглы перпендикулярно поверхности. Регистрируемые перемещения иглы дают рельеф поверхности. При использовании высокого вакуума и низких температур достигается разрешение по нормали к поверхности ~0,005 нм, в плоскости ~0,2 нм. Изменение расстояния на 0,1 нм изменяет туннельный ток на порядок. Возможно наблюдение отдельных атомов. Атом водорода в основном состоянии имеет размер ~0,1 нм. Фактически СТМ отображает рельеф плотности электронных состояний на поверхности объекта. Малая величина используемого потенциала не разрушает объект. СТМ может работать при нормальной температуре на воздухе, что снижает разрешение до ~1 нм, но требует изоляции от вибраций. СТМ разработали в 1981 г. Герд Биннинг (на фото слева) и Генрих Рорер (справа). На фото перед ними находится СТМ. Нобелевская премия 1986 г.
1– пьезо-сканер; 2 – игла; 3 – исследуемый образец;
4 – изображение на дисплее; 5 – электронное управление.
Поверхность Si(111)
(размытость изображения вызвана тепловыми флуктуациями)
Поверхность Cu(111)
Игла СТМ позволяет измерить потенциал точки поверхности проводника со сложной структурой и протекающим током.
При помощи СТМ измеряется распределение тока, протекающего между двумя контактами в плоскости двумерного проводника. Отрицательный потенциал иглы, касающейся проводника в точке , рассеивает упорядоченно движущиеся электроны, и проводимость проводника уменьшается тем сильнее, чем больше плотность тока в изучаемой точке. Распределение изменений проводимости , где – проводимость без касания иглы, дает распределение тока по проводнику. Метод предложен M.A. Topinca et al. Science 289, 2323 (2000).
СТМ измеряет также энергетическую плотность состояний поверхности проводника путем вариации приложенного к игле напряжения. Теория метода будет далее рассмотрена.
Повышение туннельного напряжения до ~10 В позволяет достичь в области острия с атомарными размерами электрического поля напряженностью до ~108 В/см и плотности тока до ~108 А/см2. Такое поле может оторвать атом и перенести его на поверхность, или с поверхности. Это позволяет манипулировать атомами и молекулами с целью преобразования поверхности.
ПРИМЕРЫ
Автоэлектронная эмиссия
Рассмотрим прохождение электрона с энергией Е из металла в вакуум под действием внешнего электрического поля напряженностью E.
При образовании кристаллической решетки простого металла (элементы таблицы Менделеева с электронами на s- и p-оболочках) слабосвязанные валентные электроны отрываются от атомов, становятся свободными и при низкой температуре имеют полную энергию , где – энергия Ферми типичного металла. При низкой температуре длина свободного пробега электрона ~ межатомных расстояний, или около 1 см. На границе металл–вакуум на электрон действуют возвращающие силы со стороны нескомпенсированных положительных ионов решетки и электронного облака, окружающего металл. Объем металла для электрона является потенциальной ямой с работой выхода . Тепловая энергия активизирует электроны лишь вблизи уровня Ферми и основная масса электронов не может покинуть металл. Если металл поместить в электрическое поле, то график потенциальной энергии наклоняется. Ширина потенциального барьера становится конечной и происходит туннельный эффект, называемый холодная или автоэлектронная эмиссия. Явление обнаружил Роберт Вуд в 1897 г., исследовали Ральф Фаулер и Лотар Нордгейм в 1928 г.
Однородное поле создает при распределения потенциала
.
Потенциальной энергии электрона
.
Протяженность барьера на уровне Ферми получаем из условия
,
тогда
.
Вводим работу выхода
,
находим
.
Из (3.73)
получаем
,
где
.
Заменяем и находим
,
коэффициент прохождения
, (П.4.1)
где эффективное задерживающее поле
.
Для получения тока автоэлектронной эмиссии используем распределение Максвелла для плотности потока электронов, подходящих из объема к поверхности металла при температуре :
,
где концентрация электронов серебра . Тогда плотность электрического тока автоэлектронная эмиссия серебра
.
Приведенный на рисунке сплошной линией график потенциальной энергии не учитывает наличия выходящего электрона около поверхности металла, от которой он находится на расстоянии x. Электрическое изображение электрона имеет заряд , располагается на расстоянии x за поверхностью металла и действует на электрон с кулоновской силой притяжения
.
Сила направлена влево, ее потенциальная энергия
увеличивается слева на право. Результирующая потенциальная энергия
показана на рисунке пунктирной кривой. В результате работа выхода А уменьшается.
Автоэлектронная эмиссия используется в электронных микроскопах, рентгеновских трубках, приемниках инфракрасного излучения.
Рассеяние на ступенчатом барьере
Найдем коэффициент прохождения барьера частицей с энергией . Рассмотрим рассеяние в прямом и обратном направлениях.
На графике выделяем область 1 при и область 2 при . Для каждой области стационарное уравнение Шредингера
,
где
,
имеет общее решение
.
При падении частицы на барьер с левой стороны используем частные решения в виде падающей, отраженной и проходящей волн
,
, ,
, .
Граничные условия (3.11) и (3.12) при
,
,
где , дают
,
.
Подставляем решения и получаем
,
.
Из системы уравнений находим амплитуды отражения и прохождения
, . (П.4.2)
Коэффициент отражения
.
Коэффициент прохождения получаем из условия унитарности (3.72)
.
Частные случаи:
При
, – полное отражение.
При
.
При разлагаем решение в ряд по аргументу и получаем
.
Обращение движения соответствует замене
,
тогда
.
Из (П.4.2)
,
получаем
,
. (П.4.3)
Функции R(E) и T(E) не меняются. При обращении движения частицы через барьер коэффициенты отражения и прохождения не изменяются. Это следует из инвариантности уравнения Шредингера при обращении времени, означающей равенство вероятностей взаимообратимых процессов.
Независимость коэффициента отражения от направления движения парадоксальна с точки зрения классической физики. Действующая на частицу сила при направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии – влево на первом рисунке и вправо на втором, а частица в обоих случаях отражается влево. Классическая физика в данном случае не применима, поскольку квазиклассическое приближение не дает правильного результата при малой ширине скачка потенциала по сравнению с длиной волны де Бройля.
Рассеяние на двух локальных барьерах
Частица с волновым числом k проходит через барьеры 1 и 2, сосредоточенные при и . Амплитуду прохождения системы барьеров t выразим через амплитуды прохождения , и отражения , каждого из барьеров по отдельности.
Используем амплитуды бегущих волн около барьера . Фиксируем величину падающих волн и , тогда для локальных барьеров
, ,
, .
Для системы барьеров
,
где учтен набег фазы при перемещении волны между входом и выходом.
Падающая волна в промежутке между барьерами складывается из волны и волны , отразившейся от барьера 1, тогда
,
где учены изменения фаз волн на пути между барьерами и амплитуда отражения волны от барьера 1. Из последнего уравнения находим
и получаем
,
где амплитуда прохождения системы барьеров
. (П.4.4)
Для комплексного числа выполняется соотношение
.
Полагаем
, , ,
находим коэффициент прохождения системы барьеров
, (П.4.4а)
где
; ;
;
; .
Для симметричной системы барьеров
,
,
из (П.4.4а) получаем
. (П.4.4б)
Если энергия частицы удовлетворяет условию резонанса
, , (П.4.4в)
то , , и система барьеров не отражает частицу при любом . Волны, отраженные от двух барьеров, при сложении интерферируют и гасят друг друга.
Вдали от резонанса при из (П.4.4а) получаем
.
При малой проницаемости барьеров , находим
.
Рассеяние на прямоугольном барьере
Для частицы с энергией найдем коэффициент прохождения барьера Получим условие отсутствия отражения. Рассмотрим туннельный эффект при , и перевернутый барьер. Система реализуется на практике при контакте двух металлов, разделенных диэлектриком или полупроводником.
Стандартное решение. Выделяем области 1, 2 и 3. Из уравнения Шредингера
,
получаем
, ,
, ,
с неизвестными r, t, a, b. Используем условия сшивания
, ,
, .
Получаем систему алгебраических уравнений
,
,
,
Решив их и вычислив t, найдем
.
Вычисления громоздкие. Рассмотрим другой путь.
Решение на основе системы барьеров. Барьер рассматриваем как состоящий из двух ступенчатых барьеров со своими амплитудами прохождения и отражения.
Для левого барьера используем (П.4.2)
, ,
для правого барьера – (П.4.3)
, .
Для системы барьеров – (П.4.4)
.
Подстановка дает амплитуду прохождения системы барьеров
. (П.4.5)
Для вычисления коэффициента прохождения используем
с вещественными
, , , .
Находим коэффициент прохождения системы барьеров
, (П.4.6)
где параметры ε и ν в единицах описывают энергию частицы и высоту барьера, выраженные в электрон-вольтах:
;
.
При энергия частицы равна высоте барьера, и из (П.4.6) получаем
. (П.4.6а)
На рисунке показана зависимость коэффициента прохождения от энергии частицы для барьера шириной 5 нм, высотой 1,51 эВ.
Частные случаи:
При , имеем – туннельный эффект.
При , , , ... функция синуса равна нулю, получаем – резонансное прохождение без отражения.
Резонансное прохождение. Частица с энергией не отражается
.
Из (П.4.6)
получаем
,
тогда
, ,
,
длина волны де Бройля удовлетворяет условию
(П.4.6б)
– в пределах барьера укладывается целое число полуволн и возникает квазисвязанное состояние с энергией
.
Падающая волна проходит барьер и набирает ход , часть волны в результате отражений проходит путь три раза и набирает ход . Волны интерферируют с разностью хода . Если длина волны де Бройля электрона удовлетворяет условию максимума интерференции , где , то выполняется (П.4.6б), и выходящие из барьера волны усиливаются. Внутри барьера образуется квазисвязанное состояние и частица там задерживается. Она делает неограниченное число попыток пройти барьер и достигается . В оптике прохождение барьера без ослабления света называется просветлением оптики.
Туннельный эффект происходит при .
Уравнение Шредингера для областей 1, 2, 3 дает
, ,
,
;
, ,
.
Для коэффициента прохождения используем (П.4.6)
.
Сравниваем
, ,
получаем
.
Учитываем
,
где использовано
, .
Находим
, (П.4.7)
где
;
.
Для сильного барьера с учетом
из (П.4.7) получаем
. (П.4.8)
Выражение (П.4.8) согласуется с квазиклассическим результатом (3.73а)
с точностью до множителя перед экспонентой.
Рассеяние на прямоугольной яме.
Используем (П.4.6) с заменой . Получаем
.
Электрон в периодической структуре
Имеются N одинаковых потенциальных ям, в которых на некотором уровне может находиться электрон. Ямы образуют периодическую структуру. При сближении ям электрон туннелирует между ямами. Это приводит к расщеплению уровня одиночной ямы на N подуровней. Множество подуровней называется зоной – областью с характерными свойствами, например, зона проводимости, валентная зона. Основы зонной теории кристалла заложили Феликс Блох и Леон Бриллюэн в 1928 г. и Рудольф Пайерлс в 1930 г. Задачу о движении электрона в периодическом поле потенциальных ям или барьеров, моделирующих кристаллическую решетку, рассмотрели Ральф Крониг и Вильям Пенни в 1931 г.
Электрон в кристалле описывается как квазичастица. В отличие от электрона, на который действуют силы со стороны узлов решетки, для квазичастицы решетки не существует. Квазичастица движется с групповой скоростью, квазиволновым числом и квазиимпульсом и имеет эффективную массу, отличающуюся от массы свободного электрона. На квазичастицу действует только внешнее поле по отношению к решетке. Влияние кристалла учитывается эффективной массой и наличием энергетических зон у квазичастицы.
Расщепление уровня при сближении ям. Рассмотрим две δ-образные ямы в точках с энергиями
,
где – борновский параметр, d – параметр с размерностью длины. Для частицы в одиночной яме существует одно связанное состояние (П.3.15)
,
где – расстояние, на котором существенно убывает волновая функция. Энергия частицы (П.3.16)
не зависит от положения ямы.
Две ямы образуют симметричную систему , поэтому существуют линейно независимые четное и нечетное состояния. При большом расстоянии между ямами
пренебрегаем влиянием соседней ямы на волновую функцию. Для системы ям получаем четную и нечетную суперпозиции
.
Ищем энергии состояний
.
Интегрирование по участкам , и с разными подынтегральными функциями дает
.
Экспоненциальный множитель описывает туннельный переход частицы между ямами. Уровень одиночной ямы расщепляется на уровень четного состояния и уровень нечетного состояния , причем
.
Четный уровень находится ниже нечетного и является основным состоянием. Степень расщепления уровней
возрастает при сближении ям. Благодаря туннельному эффекту частица с течением времени периодически переходит между ямами с периодом
.
Полученные результаты верны и для большого числа ям.
Одномерная решетка имеет периодически расположенные узлы, являющиеся потенциальными ямами или барьерами для электрона. Рассмотрим неограниченную δ-образную решетку барьеров
,
где d – постоянная решетки; – масса свободного электрона; β – безразмерный параметр, определяющий силу барьера; – параметр с размерностью энергии.
Состояние электрона в решетке получаем из уравнения Шредингера (3.1)
,
где – волновое число. Вне точечных барьеров при уравнение имеет вид
.
На участках 1 и 2 получаем общие решения в виде бегущих в противоположные стороны волн
,
. (3.75)
Учтем периодичность потенциальной энергии.
Волна Блоха. Решетка периодическая, поэтому состояние электрона является собственной функцией оператора трансляции, сдвигающего состояние на период решетки
. (3.75а)
Используя явный вид оператора (2.45) , самостоятельно доказать, что собственное значение оператора , где Q – вещественное число. Собственной функцией оператора является функция Блоха
, (3.75б)
где – периодическая функция. Электрон в решетке описывается бегущей волной , распространяющейся с квазиволновым числом Q, в пределах каждого периода волна модулирована функцией . Выполняется и электрон обнаруживается в пределах каждого периода решетки с одинаковым распределением плотности вероятности. Функцию ввел Феликс Блох в 1928 г.
Из (3.75а) получаем
, ,
или
.
С учетом (3.75) находим
,
.
Дисперсионное соотношение. Сшиваем и при . Условие (3.11) непрерывности функций
дает
. (3.76)
Условие сшивания (3.13) с δ-потенциалом
, ,
с учетом
получает вид
.
Подстановка функций дает уравнение
. (3.77)
Систему уравнений (3.76) и (3.77) для неизвестных Q, и записываем в канонической форме
,
. (3.78)
Найдем Q из условия совместности системы уравнений. Определитель коэффициентов приравниваем к нулю и получаем дисперсионное соотношение
. (3.79)
Оно связывает квазиволновое число Q, волновое число
,
и энергию электрона Е. Проанализируем (3.79) и найдем допустимые значения волнового числа и энергии электрона в решетке.
Разрешенные и запрещенные зоны. Правая сторона (3.79) в виде функции с аргументом kd показана на рисунке сплошной кривой. Левая сторона ограничена интервалом между пунктирными линиями, тогда
. (3.80)
Области значений kd, удовлетворяющие (3.80), называются разрешенными зонами , и обозначены на горизонтальной оси отрезками толстых линий. Между ними находятся запрещенные зоны. В результате спектр k и Е дискретный, спектр Q непрерывный.
Верхняя граница разрешенной зоны. С увеличением k разрешенная зона заканчивается в точке при выполнении
, , ,
тогда
, (3.81)
При этом согласно (3.79)
волновое число совпадает с квазиволновым числом
. (3.82)
Выражаем (3.81) через длину волны де Бройля , получаем
.
Результат совпадает с условием максимума отраженной волны Вульфа–Брегга (П.1.2)
для угла скольжения , т. е. при нормальном падении на кристалл. У верхней границы разрешенной зоны электрон испытывает брэгговское отражение и не распространяется по кристаллу. Интенсивности падающей и отраженной волн сравниваются. Их интерференция создает стоячую волну.
Если при отражении фаза волны не меняется, то стоячая волна четная
,
.
При , где N – целое, плотность вероятности , и электроны скапливаются вблизи ионов. Электрическое взаимодействие электрона с ионом
дает вклад в энергию кристалла. При сближении электрона с ионом уменьшается r, энергия кристалла понижается на по сравнению с равномерным распределением электронов.
Если при отражении фаза волны увеличивается на , то стоячая волна нечетная
,
,
электроны скапливаются между ионами, r увеличивается, энергия кристалла повышается на . Это состояние принадлежит следующей разрешенной зоне. Между ними находится запрещенная зона шириной .
Электрон как квазичастица. Свободный электрон характеризуется:
массой ,
волновым числом k,
импульсом ,
скоростью v.
В кристалле электрон описывается волной Блоха (3.75б) . На достаточно больших участках кристалла усредняется, бегущая волна рассматривается как свободная квазичастица с параметрами
квазиволновым числом Q,
эффективной массой m*,
квазиимпульсом ,
групповой скоростью V.
Если кристалл находится во внешнем поле, то импульс электрона изменяется под действием поля кристалла и внешнего поля. Квазиимпульс изменяется только внешним полем и описание квазичастицы упрощается.
Зависимость энергии от квазиволнового числа для частных значений степени непроницаемости барьера β.
получает вид
,
.
Ограничение для k и Q отсутствует, спектр непрерывный (рис. 1)
.
Электрон обнаруживается в любой точке решетки с одинаковой вероятностью.
имеет смысл при
, ,
тогда
,
Решетка распадается на ямы шириной d с непроницаемыми стенками, спектр дискретный (рис. 2)
.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
, ,
,
.
Из (3.79)
получаем
,
.
Учитывая , находим
,
где использовано разложение при . Подстановка результата в дает зависимость энергии частицы в зоне n от квазиволнового числа
, (3.83)
где
.
Энергетические зоны. Для верхней границы разрешенной зоны выполняется (3.82) . Предыдущая зона заканчивается при . Тогда Qd в разрешенной зоне n меняется в пределах
.
Для границ разрешенной зоны получаем энергию из (3.83) с учетом
– верхняя граница зоны,
– нижняя граница зоны,
– ширина зоны. (3.84)
Чем больше сила барьера β, тем меньше ширина разрешенной зоны. При ширина зоны равна нулю и получается рассмотренный ранее случай 2.
График для первых двух зон показан на рисунке толстыми сплошными линиями. Верхняя граница зоны касается параболы (ранее рассмотренный случай 1), показанной пунктиром, где выполняется .
Ширина запрещенной зоны, или энергетической щели:
.
Появление щели объясняется тем, что при возникают два типа стоячих волн – четная ψ+ и нечетная ψ–. Уровень, соответствующий исходной бегущей волне, распадается на два уровня, принадлежащих соседним разрешенным зонам.
Первая зона Бриллюэна. С учетом периодичности замена
, ,
не меняет функцию (3.83)
.
Передвигаем левую и правую ветви зоны 2 на ±2π, соответственно. Результат показан толстой пунктирной кривой. Первая и вторая зоны, и аналогично другие зоны, попадают в интервал , называемый первой зоной Бриллюэна. Квазиволновое число и квазиимпульс достаточно рассматривать в пределах этой зоны. На краю зоны
, .
При d 310–8 см энергия края зоны
близка к энергии Ферми электронного газа металла.
Кристалл конечной протяженности. Кристалл длиной L мысленно заменяем множеством идентичных соприкасающихся кристаллов. Тогда волновая функция электрона удовлетворяет периодическому условию Борна–Кармана (3.8)
.
На волну Блоха (3.75б)
накладываем условие периодичности и получаем
.
В результате
, N – целое.
Квазиволновое число квантуется для кристалла конечной протяженности L. При макроскопической протяженности шаг спектра мал
.
Разрешенная зона имеет квазинепрерывный спектр. При расстояние между уровнями .
Скорость квазичастицы является групповой скоростью волны и равна производная энергии по квазиимпульсу
.
Для свободного электрона , групповая скорость совпадает со скоростью частицы. Для квазичастицы используем (3.83)
,
получаем
. (3.85)
На краю зоны
, , ,
бегущая волна полностью отражается от кристаллической плоскости согласно формуле Вульфа–Брэгга, образуется стоячая волна, и энергия не перемещается по кристаллу.
В середине разрешенной зоны при скорость максимальна.
Эффективная масса. Согласно второму закону Ньютона
,
инертная масса равна производной импульса по скорости
.
Для квазичастицы в зоне n эффективная масса
,
где учтено . Около минимума функции эффективная масса положительная, около максимума – отрицательная. Рост функции соответствует положительной массе, убывание – отрицательной. Используем (3.85)
,
находим
. (3.86)
Для первой зоны
.
В середине первой зоны
,
где сила барьера β выражена через ширину разрешенной зоны на основании (3.84) . Эффективная масса в середине первой зоны обратно пропорциональна ширине зоны. У края зоны масса отрицательная
.
Если под действием внешней силы квазиимпульс электрона увеличивается, приближаясь к границе зоны, то резко усиливается отраженная волна. Импульс, приходящий к электрону от решетки, направлен против силы и имеет большую величину, поэтому ускорение направлено против силы и масса квазичастицы отрицательная.
Около нижней границы второй зоны |Qd| = π из (3.86) получаем
.
Если внешняя сила увеличивает квазиимпульс и электрон удаляется от нижней границы второй зоны, то отраженная от решетки и идущая навстречу волна ослабевает, и электрон получает дополнительное ускорение в сторону силы. Поэтому масса квазичастицы положительная и меньшая . Для слабого барьера барьера эффективная масса гораздо меньше массы свободного электрона.
В полупроводниках , например , или , эффективная масса электрона на дне второй зоны существенно больше, чем на дне первой зоны. Подвижность электронов, обратно пропорциональная массе, оказывается меньшей во второй зоне, чем в первой. В результате переход электрона под действием внешнего возмущения в виде сильного электрического поля из первой зоны во вторую приводит к уменьшению силы тока. Это явление отрицательного дифференциального сопротивления лежит в основе эффекта Ганна (1963 г.), состоящего в генерации высокочастотного тока кристаллом при подаче на него постоянного напряжения.
Метод эффективной массы рассматривает электрон в кристалле и во внешнем поле как квазичастицу с эффективной массой m* в поле . Решетка кристалла учитывается через эффективную массу квазичастицы. Используем определения
,
.
При малом , т. е. около середины первой зоны, функцию энергии разлагаем в ряд Маклорена и оставляем первые три слагаемые. Получаем дисперсионное соотношение
.
Учитываем , выбираем начало отсчета энергии и получаем соотношение между энергией и импульсом
,
совпадающее с выражением для свободной частицы. Следовательно, для квазичастицы нет поля кристалла. В середине зоны Бриллюэна квазичастица описывается постоянной эффективной массой m*, импульсом и гамильтонианом
.
Стационарное уравнение Шредингера во внешнем поле имеет вид
. (3.87)
Рассмотрим отклонение от идеального кристалла, вызванное примесным атомом внедрения.
Локализация Андерсона
Примесный атом. В периодическом поле кристалла электрон с энергией в разрешенной зоне, описывается волной Блоха и рассматривается как свободная квазичастица, обнаруживаемая в любом месте кристалла. Примесный атом нарушает периодичность кристалла, происходит захват электрона атомом. Энергия электрона оказывается в запрещенной зоне. Явление описал Филипп Уорен Андерсон в 1958 г.
Спектральное уравнение. Примесный атом внедрения в точке x0 кристалла дает вклад в потенциальную энергию электрона . Уравнение Шредингера получает вид
, (3.88)
где – гамильтониан электрона в невозмущенной решетке конечного размера. Решение разлагаем по базису N невозмущенных функций дискретного спектра разрешенной зоны
. (3.89)
Невозмущенные функции являются ортами базиса и удовлетворяют
.
Подставляем (3.89) в (3.88) и получаем одно уравнение с N + 1 неизвестными
.
Найдем значения энергии E, проектируя уравнение на орт m. Для этого умножаем уравнение на , интегрируем по объему кристалла и используем:
1) Ортонормированность ортов базиса
;
2) Фильтрующее свойство дельта-функции
;
3) Фильтрующее свойство символа Кронекера.
Получаем
. (3.90)
В (3.90) сумма равна согласно (3.89). Находим коэффициент разложения
. (3.91)
Подстановка и в (3.90) дает
.
Составляющие, показанные одинаковым цветом, сокращаются. В результате
.
Приводим сумму к общему знаменателю и получаем алгебраическое уравнение для энергии электрона Е
. (3.92)
Анализ уравнения. Неизвестное Е имеет степень N, поэтому уравнение имеет N решений для энергий возмущенных уровней.
В левой стороне находится полином по Е степени N, в правой – степени (N – 1).
При правая сторона (3.92) равна нулю. В левой стороне энергия принимает одно из невозмущенных значений . При слабом возмущении спектр не изменяется.
При сильном возмущении в виде отталкивания , или притяжения энергия растет. В левой стороне (3.92) главный вклад дает наибольшая степень , тогда для одного из решений получаем . Остальные решений конечные. Если левая сторона (3.92) конечная, а справа V неограниченно растет, то его сомножитель должен стремиться к нулю. Получаем уравнение степени
.
В результате решений для близки корням невозмущенного уравнения. Следовательно, при локальном возмущении кристаллической решетки один уровень разрешенной зоны отщепляется и при поднимается вверх, при опускается вниз. В запрещенной зоне появляется состояние л. Остальные уровни практически не меняют своего положения.
Состояние в запрещенной зоне согласно (3.89) разлагается в ряд по базису невозмущенных функций дискретного спектра разрешенной зоны
.
Коэффициенты находим из (3.91)
,
где учтено и при . Подставляем коэффициенты в разложение
,
где использована полнота базиса в виде
.
Следовательно, при сильном возмущении электрон в запрещенной зоне локализован в области возмущения . Чем слабее возмущение, тем ближе энергия электрона к разрешенной зоне и больше область локализации. При локализованное состояние переходит в нелокализованное состояние разрешенной зоны, обнаруживаемое в любом месте кристалла.
Уровни Тамма
Поверхностные состояния. Нарушение трансляционной инвариантности по одному из направлений кристалла приводит к появлению уровней Тамма, локализованных вблизи поверхности и имеющих энергию в запрещенной зоне. Если кристаллическая решетка имеет свободную границу, то в ее поверхностном слое, в энергетической запрещенной зоне бесконечной решетки находятся связанные состояния электрона с энергией, меньшей работы выхода электрона из кристалла. Вблизи поверхности поликристаллического полупроводника или диэлектрика существует зона проводимости. При малых размерах кристаллов их поверхностная проводимость может превзойти объемную проводимость. Поверхностные уровни Тамма существенно влияют на электрические, оптические и химические свойства поликристаллов.
Кристалл со свободной границей в виде барьера при описывается потенциальной энергией
,
где Н(x) – функция Хевисайда; V – потенциальный барьер на поверхности кристалла. Уравнение Шредингера (3.1) получает вид
. (3.93)
Для электрона в кристалле .
Вне кристалла при из (3.93) получаем уравнение
, . (3.94)
Решение
убывает при удалении от кристалла. Внутри кристалла при уравнение (3.93) не отличается от (3.75) и решение является волной Блоха (3.75б)
.
В общем случае квазиволновое число комплексное
,
где Q1 и Q2 – вещественные.
Для вещественного квазиимпульса решение совпадает с волной Блоха неограниченной решетки, и энергия имеет зонную структуру.
Для комплексного квазиимпульса решение
и энергия Е зависят от Q2. У кристалла со свободной поверхностью появляются состояния в запрещенной зоне, локализованные в поверхностном слое толщиной
.
Возможность существования состояний электрона вблизи поверхности кристалла обосновал Игорь Евгеньевич Тамм в 1932 г.
Поверхностные уровни:
1) изменяют концентрацию свободных электронов и дырок в поверхностном слое,
2) изгибают границы энергетических зон.
На рисунке показан полупроводник n-типа (число электронов существенно больше числа дырок) с поверхностными состояниями акцепторного типа, обогащающими поверхностный слой неосновными носителями – дырками. В результате изменяется работа выхода, размывается энергетический спектр, происходит рассеяние носителей тока, уменьшается длина свободного пробега и длина когерентности волны де Бройля. В микроэлектронике используются гетероструктуры с близкими кристаллографическими характеристиками, где одна кристаллическая решетка переходит в другую без образования открытой поверхности.
Полупроводник n-типа с дырками около поверхности
PAGE 115