Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
56) Теорема 2. Тригонометрическая система функций ортогональна на любом отрезке длины 2π.
Учитывая утверждение теоремы 1, доказательство проведем для симметричного отрезка .
Сначала докажем ортогональность функции φ1(х)=1 ко всем остальным:
,так как при любом натуральном k функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен.
.
Теперь докажем ортогональность всех синусов всем косинусам:
при любых k и m N (даже при любом k = m), т.к. подынтегральная функция нечетная.
Далее докажем ортогональность косинусов с разными аргументами, т.е. при k ≠ m:
,
т.к. при любом р.
Теперь проверим ортогональность синусов с различными аргументами, т.е. при k≠m:
(см. предыдущий интеграл).
Осталось вычислить интегралы от квадратов функций системы:
Теорема доказана.