Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
РОЗДІЛ |
ПРИКЛАДНІ МАТЕМАТИЧНІ |
4.1. Організація рекламної кампанії
Нехай деяка фірма (підприємство, установа) починає рекламувати новий товар чи послугу. Ясно, що прибуток від майбутнього продажу повинен перекривати витрати на цю кампанію. Ясно також, що спочатку витрати можуть перевищувати прибуток, бо лише невелика частка потенційних покупців буде інформована щодо новинки. Згодом, у міру збільшення обсягів продажу, можна вже розраховувати на помітний прибуток, і, врешті, настане момент, коли ринок насититься, і надалі рекламувати товар не буде сенсу.
Модель рекламної кампанії ґрунтується на таких основних гіпотезах. Розглядається величина dN/dt — швидкість зміни в часі кількості споживачів, котрі дізналися про товар і мають намір і кошти купити його (t — час, що минув з початку рекламної кампанії), N(t) — кількість уже поінформованих клієнтів. Вважається, що dN/dt пропорційна кількості покупців, які ще не знають про цей товар (послуги), тобто величині
1(t) (N0 – N(t)),
де N0 — загальна кількість потенційних платоспроможних покупців, 1(t) 0 характеризує інтенсивність рекламної кампанії (що фактично визначається витратами на рекламу в даний момент часу).
Припускається також, що ті, хто дізнався про товар, так чи інакше поширюють отриману інформацію серед необізнаних, виступаючи в ролі додаткових рекламних «агентів» фірми. Їхній внесок дорівнює величині
2(t)(N(t)(N0 – N(t))).
Він буде тим більшим, чим більша кількість агентів. Величина 2(t) 0 характеризує ступінь спілкування покупців між собою (вона може бути встановлена опитуванням).
У результаті отримаємо рівняння
(4.1)
Якщо 1(t) 2(t) N(t), то з (4.1) отримаємо модель типу моделі Мальтуса (див. розд. 2, п. 16), якщо ж 1(t) 2(t) N(t), — рівняння логістичної кривої (див. розд. 2, п. 18).
Аналогія є цілком зрозумілою, бо в побудові даної моделі та моделі зростання чисельності популяції використовувалася та сама ідея «насичення»: швидкість зростання в часі деякої величини пропорційна добутку поточного значення цієї величини N(t) на різницю ((N0 – N(t)) між її рівноважним (популяція) чи граничним (покупці) й поточним значеннями.
Аналогія між обома процесами закінчується, якщо в деякий момент часу величина стає нульовою чи навіть від’ємною (для цього необхідно, щоб один чи обидва коефіцієнти 1(t), 2 стали від’ємними). Подібний негативний ефект досить часто зустрічається в рекламних кампаніях і повинен націлювати їх організаторів на те, щоб чи змінити характер реклами, чи зовсім відмовитися від неї. Заходи з метою збільшення популярності товару можуть залежно від значень величин спрямовуватися на поліпшення результатів як прямої, так і опосередкованої реклами.
Модель (4.1) не має розв’язків, що дорівнюють нулеві в кінцевий момент часу. Якщо розглянути модель (4.1) в околі точки N(t = 0) = N(0) = 0 (t = 0 — момент початку рекламної кампанії), вважаючи, що N N0, 2(t)N 1(t), то рівняння (4.1) набере вигляду:
а його розв’язок —
(4.2)
що задовольняє, природно, початкову умову, якщо t = 0.
З (4.2) відносно легко вивести співвідношення між рекламними витратами та прибутком з початку рекламної кампанії.
Позначимо через р величину прибутку від одиничного продажу, якою б вона була без витрат на рекламу. Припустимо для спрощення, що кожен покупець купує лише одну одиницю товару. Коефіцієнт 1(t) за своїм змістом означає кількість рівнозначних рекламних дій в одиницю часу (наприклад, розміщення однакових афіш). Через s позначимо вартість (ціну) елементарного акту реклами. Тоді сумарний прибуток дорівнюватиме:
(4.3)
а витрати —
Прибуток перевищує витрати на рекламу за умови pN0 > s, і коли реклама є дієвою й недорогою, а ринок досить місткий, то виграш досягається з перших же кроків кампанії (в дійсності між оплатою реклами, рекламною дією й наступною купівлею має місце лаг — затримка в часі, котра може бути врахована лише в більш деталізованих моделях). У випадку не дуже ефективної чи дорогої реклами фірма із самого початку несе збитки. Але це не привід, щоб відмовитися від реклами. Справді, вираз (4.3) та отримана на його підставі умова pN0 > s справедливі лише за малих значень N(t), коли функції P та S зростають у часі за однаковими законами. Зі збільшенням N(t) відкинуті в (4.1) складові стають помітними, зокрема, посилюється дія опосередкованої реклами. Тому функція N(t) може стати «швидшою» функцією часу, ніж у формулі (4.3). Цей нелінійний ефект у зміні величини N(t) за незмінного темпу зростання витрат дає можливість від-
шкодувати фінансову невдачу початкової стадії рекламної кампанії.
Пояснимо це твердження на частковому випадку рівняння (4.1) з постійними коефіцієнтами 1, 2.
Виконаємо заміну змінних:
Тоді (4.1) зводиться до логістичного рівняння
(4.4)
яке має розв’язок
(4.5)
Тут, отже, N(0) = 0, і початкова умова виконується.
З (4.4) видно, що похідна функції і, отже, функція N(t) за умови t > 0 може бути більшою, ніж її початкове значення (за умови, що чи ). Максимум похідної по досягається, коли :
У цей період поточного, тобто отримуваного в одиницю часу прибутку, маємо:
Віднімаючи від початковий поточний прибуток
,
отримаємо:
тобто різниця між початковим і максимальним поточним прибутками може бути досить значною. Сумарний (інтегральний) економічний ефект від кампанії (його необхідною умовою є, очевидно, виконання нерівності ), визначається всім її перебігом, характеристики котрого обчислюються з (4.4), (4.5) за допомогою квадратури (інтегрування).
Як випливає з (4.4), починаючи з деякого моменту рекламування стає невигідним. Дійсно, коли наближається до , рівняння (4.4) можна записати у вигляді:
(4.6)
Його розв’язок прямує до граничного значення за умови t 0 (а функція N(t)N0) згідно з повільним експоненційним законом. В одиницю часу з’являється надто мала кількість нових покупців, і одержуваний прибуток за будь-яких умов не може перекрити додаткових витрат.
Аналогічні характеристики обчислюються для рівняння (4.1) та різних його узагальнень, що широко використовуються також для опису впровадження технологічних та інших новацій. Наведений вище аналіз стосується низки актуальних задач мікроекономічного рівня.
4.2. Взаємозалік боргів підприємств
Будь-яка досить значна за своїми масштабами економічна система містить у собі десятки тисяч підприємств (фірм, корпорацій тощо), які обмінюються між собою товарами та послугами. Навіть дрібна фірма, що має відносно невелику кількість партнерів, опосередковано поєднана (через зв’язки прямих та опосередкованих партнерів) з величезною кількістю підприємств, що утворюють систему, і її процвітання безпосередньо залежить від їхнього стану.
Взаємозалежність усіх ланок економічної системи добре проявляється через проведення розрахунків між підприємствами за поставлену продукцію. Отримавши від своїх клієнтів виручку за товар, підприємство витрачає її на закупівлю сировини та обладнання в інших фірм, на заробітну плату (тобто на купівлю робочої сили), на рекламу тощо, що є необхідним для його нормального функціонування. Отже, в економічний обіг залучається велика кількість партнерів даного підприємства.
Насправді ж між постачанням товару та оплатою за нього завжди існує затримка в часі. Її мінімальне значення визначається суто технічними причинами, бо потрібен певний час на транспортування та розфасування товару, здійснення банківських операцій тощо.
Однак можливі ситуації, коли з якихось економічних, фінансових, соціальних, психологічних, політичних та інших причин час затримки сплати (постачання) стає порівнянним з часом обігу фінансів, а абсолютне значення (обсяг) невиконаних сплат чи поставок — порівнянним з обсягом вільних обігових коштів підприємства. У цьому разі виникає так звана криза несплат, котра може спричинити кризу всієї економічної системи.
Підприємство, що не отримало гроші за поставлену продукцію (чи заплатило за товар, але не отримало його), не в змозі розрахуватися зі своїми постачальниками (оскільки обсяг його боргів рівний чи перевищує обсяги його вільних коштів). У свою чергу постачальники не розраховуються зі своїми клієнтами, ті — зі своїми і так далі. Виникають довгі ланцюжки несплат, що пронизують усю систему. Вони, очевидно, можуть складатися з N ланок, а загальна кількість їх досягає числа близько N! (N — кількість підприємств).
Пояснимо сутність проблеми на простому числовому прикладі для системи, що складається з трьох підприємств, кожне з яких має вільні кошти, що дорівнюють одній фінансовій умовній одиниці, а основні фонди дорівнюють 10 одиницям. Нехай перше підприємство винне другому 100 одиниць, друге винне третьому 100 одиниць, а третє — першому також 100 одиниць. Сумарний абсолютний борг підприємств дорівнює 300 одиницям і порівняно з їхніми фондами (30 одиниць) є величезним. У той же час фінансовий стан цієї системи є непоганим, оскільки сумарний «борг» кожного підприємства, окремо взятого, дорівнює нулеві. Очевидно, процедура взаємозаліку полягає в одномоментному анулюванні (погашенні) усіх боргів: оголошується, що ніхто нікому не винен, і партнери продовжують функціонувати, будучи вільними від боргового тягаря.
Подібну операцію, виконану «вручну», неможливо, звичайно ж, реалізувати для великої кількості підприємств. Необхідні більш глибокі підходи, для розгляду котрих треба формалізувати задачу.
Нехай економічна система складається з N підприємств, які можуть мати взаємні борги. Позначимо борги n-го підприємства m-му підприємству через xnm, де 1 n, m N (xnп 0, якщо перше підприємство (n) винне другому (m), i xnm > 0 — у протилежному випадку). Ясно, що
xnm = – xnm, xnп = 0,
тобто сукупність боргів описується кососиметричною матрицею розмірності N N з нульовою діагоналлю (xnп = 0, бо підприємство не може бути винне само собі). Сума всіх взаємних боргів обчислюється за формулою:
(4.7)
Величина Х (4.7) є однією з інтегральних кількісних характеристик фінансового стану системи, якщо вона має порядок, однаковий із сумою всіх вільних коштів підприємства (Х0), тобто:
(4.8)
Ситуація, що описується нерівністю (4.8), власне, означає кризу несплат (тут xn 0 — індивідуальні власні засоби підприємств).
Ще однією важливою характеристикою є баланс кредитів і боргів (сальдо) кожного підприємства:
(4.9)
Зазначимо, що, як видно з (4.9), можливими є варіанти Sn > 0; Sn < 0; Sn = 0. Якщо Sn > 0, то підприємство в певному розумінні є кредитором підприємств-боржників, тобто тих, у кого Sn < 0 (якщо Sn = 0, то таке підприємство вважається «нейтральним» щодо боргів). Якщо, то індивідуальний фінансовий стан підприємства є, по суті, нормальним, оскільки його реальні сумарні борги (чи кредити) менші, ніж його вільні засоби (кошти). Аналогічно сумарне абсолютне сальдо системи
(4.10)
є макропоказником її можливого фінансового «здоров’я». Якщо S < X0, то вільних коштів у системі більше, ніж дійсних боргів, і потенційно вона може успішно функціонувати. Між величинами X та S завжди існує певне співвідношення. Для будь-якої довільної матриці боргів виконується нерівність:
X S, (4.11)
тобто сумарний борг не може бути меншим за сумарне сальдо.
Завдання щодо погашення взаємних боргів полягає в тому, щоб, знаючи матрицю Х, відшукати матрицю «нових» боргів Х', для котрої б виконувалася умова X' < X. Очевидно, що ідеальним її розв’язком був би такий, щоб X' = S, тобто щоб нерівність (4.10) стала рівнянням. Зазначимо, що тоді для такої, що є безпечною по суті, системи з S X0 виконувалось би співвідношення X' = S X0, і після взаємозаліку вона могла б нормально функціонувати (хоча зменшення обсягів Х у будь-якому випадку є сприятливим).
Будуючи математичну модель процедури взаємозаліків, використовуватимемо низку операцій. Перша — це відмова, на певному етапі, від детального розгляду множини індивідуальних боргів і відповідних зв’язків між підприємствами. Перехід з мікрорівня на макрорівень.
Зазначимо, що процедура моніторингу ланцюжків для N підприємств має принциповий недолік. Розгляньмо спочатку ланцюжок, у якому кожне підприємство з першого до М-го (M N) винне іншому однакову суму, і таку ж суму винне М-те підприємство першому (рис. 4.1).
Ланцюжок є замкненим, і розв’язок є очевидним — усі борги в ланцюжку погашаються. Нехай тепер М-те підприємство не винне нічого 1-му (рис. 4.2).
Рис. 4.1 Рис. 4.2
Ланцюжок розімкнений, і цей метод є непридатним. У той же час просте рішення полягає в тім, що борги підприємств з другого до (М – 1)-го не анулюються, а борг першого переадресовується М-му (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Економічний сенс переадресації відповідає суті вексельного обігу, коли боргове зобов’язання змінює своїх хазяїв, і в результаті у боржника (перше підприємство) з’являється новий кредитор (М-не підприємство).
На відміну від ситуації з боргами в ланцюжках повна система боргів по всіх ланцюжках є замкненою, бо розглядаються взаємні борги. Справді, з властивості xnm = – xmn маємо, що
для будь-якої сукупності несплат. Враховуючи, що ,
з останнього рівняння дістаємо
(4.12)
або сума додатних сальдо підприємств дорівнює за абсолютною величиною сумі від’ємних сальдо, тобто
(4.13)
Отже, якщо розглядати на макроекономічному рівні систему взаємних боргів, то вона має властивість «симетричної консервативності».
Рівняння (4.13) пояснює структуру для побудови математичної моделі ідеального взаємозаліку, який відбувається за таких умов:
1) усі борги xnm відомі й визнаються підприємствами;
2) після проведення взаємозаліку сальдо підприємств Sn залишаються незмінними: , тобто індивідуальний фінансовий стан кожного з них не змінюється;
3) частина боргів xnm списується, а частина переадресовується, тобто у підприємств можуть як з’явитися нові боржники та кредитори, так і частково зникнути старі.
Зміст макропроцедури взаємозаліку полягає в тому, що замість величин xnm розглядаються величини Sn. Підприємства з Sn < 0 оголошуються боржниками (в обсязі свого сальдо), а підприємства з Sn > 0 — кредиторами (в тих самих обсягах). Після цього борги підприємств з Sn < 0 певним чином розподіляються між кредиторами, тобто будується нова система боргів xnm. У цьому разі виконується друга умова і досягається рівність X' = S, тому розв’язок задачі якоюсь мірою є раціональним. Таких розв’язків, взагалі кажучи, може бути багато, бо розподіляти борги між кредиторами можна різними способами. Наведемо два найпростіших.
Перший можна подати за допомогою формули, згідно з якою нові борги обчислюються через старі:
(4.14)
Згідно з (4.14) борг будь-якого підприємства (обсяг якого Sn, якщо Sn < 0) між підприємствами-кредиторами розподіляється у частках, пропорційних обсягам їхнього сальдо (що дорівнюють Sm, якщо Sm > 0). Підприємству, що має більше за обсягом позитивне сальдо, нараховується від кожного з боржників більша частка його боргів, у сумі вони дають величину Sm. Для підприємств із нульовим сальдо взаємозалік зводиться до погашення всіх їхніх боргів і всіх боргів їм. Зазначимо, що в (4.14) для нових боргів маємо , коли Sn < 0, Sm < 0 чи коли Sn > 0, Sm > 0 (після взаємозаліку боржники не винні боржникам, а кредитори — кредиторам). Це означає, що кількість отриманих фінансових зв’язків між підприємствами значно менша за максимально можливу, коли кожне підприємство є одночасно і боржником, і кредитором будь-якого іншого, а матриця боргів не має нульових елементів (окрім, звичайно, діагональних).
Другий спосіб ґрунтується на тому, що кількість зв’язків може бути значно зменшена, якщо провести попереднє впорядкування підприємств згідно з абсолютними значеннями їхніх сальдо та встановити безпосередні зв’язки між боржниками й кредиторами одного масштабу (великі з великими, малі з малими). Ця процедура допускає просту геометричну інтерпретацію. На рис. 4.4 на верхній прямій лінії описано розподіл сальдо кредиторів (у спадній послідовності). Довжина відрізків цієї прямої дорівнює обсягові сальдо кожного підприємства Sp > 0, 1 < p < N, а її загальна довжина, очевидно — S/2.
Рис. 4.4
На нижній прямій описано розподіл сальдо боржників Sq < 0, 1 < q < N, p + q N (сальдо взяті з оберненим знаком) також у спадній послідовності. Її довжина згідно з (4.13) також дорівнює S/2. Штрихові лінії, що проведені з вузлів нижньої прямої, поділяють «пряму кредиторів» на q відрізків, що дорівнюють обсягам боргу кожного підприємства. Цей борг або дістається одному кредиторові, або ділиться між кількома відповідно до розташування вузлів верхньої прямої відносно даного відрізка.
Описаний алгоритм є раціональним за критерієм X' = S і, очевидно, оптимальним за кількістю зв’язків, що залишилися після взаємозаліку.
Приклад взаємозаліку в системі з N = 10 і початковою матрицею боргів з 90 ненульовими недіагональними елементами наведено в таблиці 4.1. Кінцева матриця містить лише 14 ненульових елементів. У спеціальних випадках в одного боржника залишається один кредитор, і навпаки.
Таблиця 4.1
Приклад взаємозаліку в системі з N = 10
і початковою матрицею боргів з 90 ненульовими
недіагональними елементами
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Початкова матриця (Х = 3729) |
|||||||||
|
2 |
25 |
||||||||
|
3 |
–1 |
–20 |
|||||||
|
4 |
4 |
25 |
–2 |
||||||
|
5 |
25 |
–450 |
25 |
30 |
|||||
|
6 |
–15 |
150 |
–30 |
20 |
–928 |
||||
|
7 |
3 |
–40 |
3 |
3 |
5 |
25 |
|||
|
8 |
1 |
–22 |
–2 |
–2 |
4 |
–15 |
5 |
||
|
9 |
10 |
322 |
–15 |
–25 |
498 |
–800 |
–10 |
20 |
|
|
10 |
1 |
–25 |
–2 |
1 |
–20 |
15 |
–1 |
–3 |
30 |
|
Кінцева матриця (X' = S = 62) |
|||||||||
|
2 |
2 |
||||||||
|
3 |
0 |
0 |
|||||||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–28 |
||||
|
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
8 |
0 |
–7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
9 |
0 |
–18 |
0 |
0 |
–2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
Зазначимо, що наведені та інші процедури взаємозаліку мають сенс лише за виконання умов 1—3, тобто коли є відповідна угода між підприємствами. Причини, що не дозволяють дотримуватися даної угоди, можуть бути досить різноманітними — від небажання сплачувати борги, тому що це вигідно боржникові, до наслідків санкцій міжнародних чи інших організацій, коли фінансові кошти підприємств «заморожуються».
4.3.1. Загальні аспекти
Проблема оцінювання майна підприємств набула особливої актуальності у зв’язку з їх приватизацією, передачею в оренду, створенням спільних підприємств тощо. Важливо оцінити майно під час підрахунку національного багатства, перебудови податкової системи. У країнах з розвинутою ринковою економікою стягуються податки на капітал (майно) у різноманітних формах. Крім того, у зв’язку з динамікою майна його потрібно весь час переоцінювати. Тому переоцінювання є не разовою, а постійною процедурою.
Приймаючи рішення про купівлю об’єкта (підприємства) та його пристосування для ведення тієї чи іншої діяльності, підприємець (покупець, інвестор) оцінює майбутні доходи від функціонування об’єкта, загальний (інтегральний) дисконтований дохід і порівнює його зі своїми інтегральними дисконтованими капітальними вкладеннями.
Важливим етапом у таких розрахунках є визначення норми дисконту R, за допомогою якої порівнюються різночасові витрати та доходи. Під нормою дисконту мають на увазі очікувану норму віддачі на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з урахуванням ризику. Часто знаходять величину R додаванням норми безризикової віддачі (наприклад, норми річного доходу за державними цінними паперами) і так званої премії за ризик.
Фінансисти постійно розв’язують завдання визначення теперішньої вартості грошових засобів (Present Value — PV) та їхньої майбутньої вартості (Future Value — FV), тобто вартості грошей з урахуванням доданих відсоткових виплат. Зміст фінансових розрахунків зводиться до того, щоб за відомою теперішньою вартістю грошових ресурсів визначити майбутні розміри виплат, і навпаки — за відомими майбутніми доходами обчислити теперішню вартість ресурсів.
У першому випадку на теперішню вартість нараховується відсоткова ставка, у другому — з майбутньої вартості відраховується (віднімається) дисконтна (облікова) ставка.
Для підрахунку майбутньої вартості існує проста формула:
FV =K(1 + R)n, (4.15)
де K — початкова сума; R — річна ставка відсотка; n — кількість років.
У свою чергу, теперішню вартість грошей визначають за формулою
(4.16)
де F — майбутній дохід, що надійде через п років; R — річна ставка дисконту; n — кількість років.
Обчислити PV та FV нескладно.
Рекомендуємо визначити, наприклад, ту суму грошей, яку фір ма має покласти до банку, коли ставка складного відсотка є 12 % річних, щоб через 15 років зняти з рахунка 100 тис грн, потрібних, скажімо, для купівлі нового обладнання.
Відповідь: 18 270 грн.
Проте набагато частіше фінансовому менеджерові доводиться вирішувати складніші проблеми. Є випадки, коли він змушений визначити теперішню вартість ануїтету (Annuit) — послідовності виплат за певні регулярні проміжки часу. Ануїтетом можуть бути виплати (або інвестиції) щорічні, щопіврічні, щоквартальні, щомісячні. Кожну окрему виплату, що входить до складу ануїтету, називають його членом. Теперішню вартість річного ануїтету можна обчислити за формулою
(4.17)
де n — кількість років; Fi — суми, що виплачуються за і-й проміжок часу; R — ставка дисконту.
З’ясуємо, наприклад, що вигідніше: одержати 50 тис. грн відразу чи протягом п’яти років, щороку по 12 тис. грн за умови, що річна ставка становить 10 %?
Насамперед потрібно визначити теперішню вартість ануїтету за формулою (4.17):
Виконавши обчислення, побачимо, що оскільки 50 000 > 45 492, то вигідніше одержати відразу 50 тис. грн готівкою, аніж протягом п’яти років щороку — по 12 тис. грн.
Для полегшення фінансових розрахунків широко використовують таблиці, де містяться значення відсоткового чинника теперішньої вартості ануїтету (PVIFA). Для того щоб підрахувати теперішню вартість ануїтету, достатньо лише перемножити вели чину виплат (якщо Fi однакові для всіх i = 1, …, n) на значення обраного відсоткового чинника:
PFA = a PVIFA,
де а — величина відсоткового чинника ануїтету. Так, у щойно розглянутому прикладі замість процедури підсумовування теперішньої вартості всіх п’яти членів ануїтету досить виконати таку операцію:
12 000 3,791 = 45 492,
де 3,791 — відсотковий чинник теперішньої вартості ануїтету.
У розрахунках лімітних цін на майно підприємств важливу роль відіграє встановлення науково обґрунтованої норми (ставки) дисконту R, під якою розуміють норму доходу на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з приблизно таким самим рівнем ризику. Це норма віддачі на вкладений капітал, яка може стимулювати інвесторів до відповідних внесків.
Існує просте правило: високий ризик означає високу ставку дисконту (капіталізації), малий ризик — низьку відповідну ставку.
Загалом для оцінювання дисконтних ставок використовують такі принципи:
1) з двох майбутніх надходжень вищу дисконтну ставку має те, що надійде пізніше;
2) чим нижчий сподіваний рівень ризику, тим нижчою має бути ставка дисконту;
3) якщо загальні відсоткові ставки на ринку зростають, зростатимуть і дисконтні ставки.
Інвестори нерідко визначають ставку дисконту R, додаючи до ставки (норми) безризикової віддачі Rj (наприклад, норми річного доходу за державними цінними паперами) так звану премію за ризик.
4.3.2. Спрощені моделі врахування
ризику у величині норми дисконту
У літературі характеризують ризик як діяльність щодо прий-
няття рішень, пов’язану з подоланням невизначеності в ситуації неминучого вибору, в ході якої можна кількісно оцінити, зокрема, ймовірність досягнення очікуваного результату, невдачі та відхилення від мети.
Якщо спостерігається мінливість доходів, то чим більше коливаються (відхиляються) доходи, тим вищий ризик. Цю мінливість часто вимірюють за допомогою стандартного відхилення. Зв’язок між величиною очікуваного доходу R і ступенем ризику обчислюється, зокрема, за формулою
, (4.18)
де Rj — безпечна ставка доходу; p — стандартне відхилення заданої комбінації цінних паперів з ризиковими та безризиковими активами.
Щоб виконувати математичні розрахунки рівня ризику, потріб но знати теорію ймовірностей, математичне моделювання та розуміти, як ризик портфеля цінних паперів і доходи поєднуються у своїй взаємозалежності. Розроблено також модель оцінювання капітальних активів (МОКА), тобто модель, що пов’язує прогнозований ризик зі сподіваними доходами від проекту.
МОКА поділяє ризик на дві складові: диверсифікований та недиверсифікований. Ідеться про тісний зв’язок між доходами окремих власників цінних паперів і загальними доходами ринку цінних паперів. Ці доходи, узяті окремо для акцій або для всього ринку, складаються з доходів від капітальних вкладень та дивідендів.
Науковці довели, що фондова біржа — високоефективний механізм, бо вона швидко поєднує всю наявну інформацію. Якщо це так, то мінливість ринку має загальний визначник для оцінювання рівня ризику (або мінливості) індивідуальних активів і цінних паперів. Цей рівень ризику визначається чутливістю доходів від акцій до ситуації на ринку. Рівняння, що спрощено відбиває залежність між дохідністю R та дохідністю ринку, має вигляд
R = Rm + a + e, (4.19)
де — коефіцієнт, що визначає міру чутливості або ризикованість акцій порівняно із загальною дохідністю ринку; Rm — дохідність ринку; a — деяка константа; e — значення помилки.
У більш спрощеній моделі МОКА величини а та е прирівнюються до нуля.
Зрозуміло, що МОКА дає змогу легко порівнювати ризикованість окремих акцій. Проте важливою передумовою є те, що дисперсія навколо лінії (4.19) не повинна бути великою. Якщо дисперсія велика, слід ураховувати додаткові елементи ризику, скористатися нелінійними моделями.
Модель лінії надійності ринку (ЛНР) показує, що необхідна величина дохідності активів складається з безпечної ставки та премії за ризик. Якщо оцінювати ризик за допомогою коефіцієнта β, то формулу для визначення необхідної дохідності акцій (ставки доходу) можна подати так:
де Rj — безпечна ставка; Rm — середня дохідність ринку; — бета, або недиверсифiковуваний ризик.
Безумовною перевагою МОКА та ЛНР є простота. Це корисний інструмент для оцінювання цінних паперів, який дає змогу визначити необхідну ставку доходу (дисконтну ставку), а останню можна використати для знаходження теперішньої вартості цінних паперів.
Замість того щоб теперішню вартість сподіваних доходів знаходити за формулою
(4.20)
доцільніше скористатися спрощеною залежністю
(4.21)
де FVn — майбутня вартість сподіваних доходів; п — кількість років.
Зрештою, який би метод не застосовувався для врахування ризику — стандартне відхилення чи показник β, — обидва створюють підґрунтя для оцінювання активів.
МОКА та ЛНР не такі вже й бездоганні, можливі й інші суттєві чинники, що впливають на визначення ставки дисконту. Те саме стосується й використання статистичних рядів за певний період часу, тобто це не найкращий спосіб визначення сподіваних доходів.
4.3.3. Імовірнісна модель
впливу чинників ризику1
Постановка задачі. Процес одержання доходу від функціонування об’єкта характеризується інтенсивністю (швидкістю) x(t). Тоді дохiд, одержуваний за досить малий інтервал часу (t, t + dt), буде x(t)dt. Вважатимемо відомою інтенсивність одержання доходу х(0) = Х на початку функціонування об’єкта (у момент часу t = 0). На подальшу динаміку цього показника впливають дві групи чинників.
x(t) = X – bt . (4.22)
Відомо, що об’єкт доцільно експлуатувати доти, поки дохід від нього не від’ємний. Тому в кінці терміну експлуатації (у рік Т) має бути x (Т) = 0. Звідси
або (4.23)
(4.24)
Вважатимемо відомими (виокремимо) три типи випадкових чинників, що впливають на дохідність об’єкта: випадкові «збої» у виробництві; різкі зміни економічного середовища («катастрофи»); випадкові коливання цін, податків та обсягів попиту.
Щоб адекватно відобразити ці чинники в нормі дисконту R, потрібно виконати два варіанти розрахунку дохідності від роз-
глядуваного об’єкта.
У першому, що використовує норму дисконту R, згадані випадкові чинники взагалі не беруться до уваги, а інтегральний дис контований дохід оцінюється згідно з (4.24).
У другому, що спирається на «безризикову» норму Rj, ці чинники включаються безпосередньо у відповідну модель випадкового процесу зміни інтенсивності доходу.
Тоді значення норми дисконту R, яке враховує чинники ризику, доцільно зробити такими, щоб обидва варіанти розрахунків однаково оцінювали ефективність функціонування об’єкта.
Розгляньмо докладніше моделювання доходу з урахуванням перелічених чинників ризику.
Випадкові «збої» у виробництві. Нехай у момент t об’єкт харак теризувався деякою інтенсивністю одержання доходу x(t). Тоді протягом наступного малого інтервалу часу dt або відбудеться «збій» у виробництві з імовірністю dt, або об’єкт функціонуватиме «нормально» з імовірністю 1 – dt. Якщо «збій» відбувся, то на його усунення потрібен деякий час (вважатимемо цю величину малою, але не нескінченно малою), а також знадобляться додаткові витрати , взагалі кажучи, випадкові.
Вважатимемо, що після цього виробництво повертається до свого попереднього стану, тобто «збій» не зменшує часу функціо-
нування об’єкта.
«Катастрофи». Поряд з даним покупцем (власником об’єкта) той самий вид діяльності здійснюють інші підприємці. Може статися так, що хтось із них розробить новий ефективний спосіб (технологію) виробництва відповідної продукції, у зв’язку з чим ціна на продукцію різко впаде. Тоді подальше функціонування першого об’єкта вже не забезпечуватиме доходу, що для підприємця стане економічною катастрофою. Аналогічна ситуація можлива й тоді, коли істотно зміниться чинне податкове законодавство або політична ситуація в регіоні.
Нехай імовірність такої «катастрофи» в інтервалі (t, t + dt) дорівнює kdt, де k — інтенсивність «катастроф», що не залежать від t. Оцінювати ймовірність таких ситуацій можливо лише експертно, з урахуванням результатів аналізу науково-технічного прогресу у відповідній виробничій галузі (підгалузі) і прогнозу економічної та політичної ситуації.
Оскільки величини k і — малі, «катастрофи» у період існування наслідків «збою» вважатимемо неможливими.
Коливання цін податків та обсягів попиту. Протягом періоду функціонування об’єкта ціни на продукцію, яка виготовляється, сировину, матеріали, комплектувальні вироби, а також обсяги попиту та ставки податку можуть змінюватися. Під впливом цих чинників інтенсивність одержуваного доходу також випадково коливатиметься. Якщо припустимо, що в момент оцінювання об’єкта були правильно визначені розміри доходу, то коливання інтенсивності x(t), зумовлені групою розглянутих щойно чинників, матимуть нульове математичне сподівання, але характеризуватимуться певним розкидом (дисперсією). Природно сподіватися, що в малому інтервалі часу випадкові коливання x(t) мають малу дисперсію, а інтенсивність x(t) не залежить від розмірів таких коливань у попередні відрізки часу.
З огляду на це можна припустити, що ці коливання описуються моделлю вінерівського випадкового процесу, тобто що інтенсивність доходу в близькі моменти часу t i t + dt задовольняє співвідношення
x(t + dt) = x(t) +d(t), (4.25)
де — середньоквадратичне відхилення випадкових коливань інтенсивності доходу x(t) за одиницю часу (середній квадрат таких коливань за час dt дорівнюватиме за цих умов 2dt; (t) — звичайний вінерівський випадковий процес.
Розгляньмо малий інтервал часу (0, dt). Тут можливі три ситуації.
За припущення, що час ліквідації «збою» випадковий і підлягає експоненціальному закону розподілу із середнім значенням , математичне сподівання М дисконтуючого коефіцієнта можна подати у вигляді
(4.26)
Вважаючи, що додаткові витрати в процесі усунення наслідків збою відбуваються рівномірно, а їх величина за одиницю часу становить z, знайдемо математичне сподівання дисконтованих витрат, пов’язаних з одним «збоєм»:
(4.27)
Ураховуючи ймовірність кожної з розглянутих ситуацій і той стан, у якому перебуває об’єкт після них, можна записати вираз для математичного сподівання інтегрального дисконтованого доходу від функціонування об’єкта:
З урахуванням (4.25), (4.27) це рівняння з точністю до малих величин порядку, вищого за перший, можна замінити таким:
(4.28)
Припустимо, що функція V досить гладка, і за умови x > 0 її друга похідна V''(x) існує і є неперервною. Тоді, розклавши останній співмножник у ряд Тейлора і врахувавши, що величина d(t) має нульове значення математичного сподівання та дисперсію , знайдемо:
Звідси маємо рівняння
(4.29)
= Rj + k + (1 – q). (4.30)
V0(x) = (x – C)/( – b/2) (4.31)
є одним із розв’язків цього рівняння. Загальний розв’язок (4.29) записують як суму V0(x) і розв’язок відповідного однорідного
рівняння
(4.32)
Очевидно, що (4.32) має два лінійно незалежних розв’язки — ех і ех. Тут
. (4.33)
Величини — це корені відповідного характеристичного рівняння.
Отже, загальний розв’язок (4.29) має вигляд:
V(x) = V0(x) + Cex + C0ex.
З (4.33) бачимо, що 0 . Отже, коли C0 0, то функція V(x), якщо х , експоненціально зростатиме до або експоненціально спадатиме до –. Порівнюючи з детермінованим випадком, бачимо, що функція V(x) має зростати не швидше за x(t). Це можливо лише тоді, коли C0 = 0.
Згідно з умовою V(0) = 0 маємо C = –V0(x). Далі запишемо
V(x) = x/ – (C/ + b/2) [1 – ex]. (4.34)
Зокрема, математичне сподівання інтегрально дисконтованого доходу від функціонування об’єкта з моменту, коли почалася на ньому відповідальна діяльність, після того як придбав його у власність даний підприємець, можна обчислити за формулою (4.34) за умови, що х = Х, тобто
.
Агрегування впливу випадкових чинників у один показник. Зауважимо, що коли = k = = 0 i Rj = R, то формула (4.34) перетворюється у формулу (4.24). Очевидно, що реальна динаміка доходу підприємства не завжди збігається з лінійною моделлю (4.22).
Тоді зручніше обмежитися прогнозуванням динаміки середнього значення доходу, агрегувавши в один показник усю наявну інформацію про вплив випадкових чинників.
У розвинутих країнах вплив чинників ризику і невизначеності враховується, по суті, встановленням відповідної норми дисконту (про що вже йшлося раніше).
Для того щоб обчислення за формулами (4.24) і (4.34) з нормами дисконту R i Rj давали однакові результати, має задовольнятися рівняння
(4.35)
Уведемо такі позначення:
С/X = 2 n, T = , RT = . (4.36)
Співвідношення (4.35) можна подати у вигляді:
(4.37)
Отже, щоб визначити невідому норму дисконту, потрібно спочатку згідно з вихідною інформацією знайти ρ (розв’язок рівняння (4.37)) і, нарешті, обчислити R:
(4.38)
Це означає, що норма дисконту R з урахуванням ризику відріз няється від δ коригуючим коефіцієнтом . Значення цього коефіцієнта, як бачимо, залежить лише від , та n.
Можна поглиблено проаналізувати вплив кожного з уведених чинників ризику.
Сформулюймо такий важливий висновок з побудованої моделі: норму дисконту R, знайдену розглянутим способом, не можна подати ні у вигляді сум безризикової складової Rj та деякої надбавки, яка враховує ризик (премія за ризик) і є незалежною від Rj, ні у вигляді добутку цієї складової і якогось більшого від одиниці коефіцієнта, який не залежить від Rj і враховує ризик.
Умовний приклад розрахунків норми дисконту з урахуванням чинників ризику. За одиницю вимірювання часу візьмемо один рік. Вважатимемо, що «збої» у виробництві виникають у середньому один раз на рік: , а час на ліквідацію наслідків збою підлягає експоненційному закону розподілу із середнім значенням = 0,04 (приблизно двом тижням). Припустимо, що витрати, пов’язані з ліквідацією наслідків «збою», пропорційні витратам в одиницю часу, причому кожен день «збою» не лише призводить до відсутності відповідного доходу, а й потребує додаткових витрат, що становлять 50 % початкового доходу Х. За даних передумов із (4.26) та (4.27) знайдемо:
Поява нових технологій, упровадження яких зробить розглядуване виробництво збитковим, можна вважати малоймовірним. Якщо припустити, що такі «революції» в технології відбуваються в середньому три рази за сторіччя, то можна брати k = 0,03.
Запишемо співвідношення для параметрів, які входять до рівняння (4.37):
У цьому разі R залежатиме лише від Rf і T та співвідношення .
Порівнювання значень R та Rj підтверджує висновок про неадитивність і немультиплікативність впливу чинників ризику на норму дисконту.
Ризик, яким обтяжена економічна діяльність, — це економічна категорія, що відображає характерні особ ливості сприйняття заінтересованими суб’єктами економічних відносин об’єктивно існуючих невизначеності та конфліктності, іманентних процесам ціле-
покладання, управління, прийняття рішень, оцінювання.
Наголосимо, що ризик має діалектичну об’єктивно-суб’єктив ну структуру. Оцінка ризику є багатовимірною величиною, що характеризує можливі відхилення від цілей, від бажаного (очікуваного) результату, можливу невдачу (збитки) з урахуванням впливу контрольованих (керованих) і неконтрольованих (некерованих) чинників, прямих і зворотних зв’язків.
Це означення ризику, який є характерним феноменом ринкової економіки, ґрунтується на системному підході до цієї економічної категорії, вказує на необхідність ретельного аналізу впливу на об’єкти (процеси) оцінювання та керування багатьох внутрішніх та зовнішніх чинників, вплив надсистеми, а також урахування ставлення до ризику суб’єктів господарювання (суб’єктів ризику).
4.5. Прогнозування обсягів податкових
надходжень з урахуванням ризику
Спинімося на деяких питаннях прогнозування обсягів надходжень податків, які ґрунтуються на даних, що характеризують тенденції зміни загальноекономічних показників розвитку країни, галузей народного господарства, конкретного регіону, та методичних підходах щодо прогнозування, які публікуються в спеціальній економічній літературі.
Проаналізуймо деякі результати прогнозування податкових надходжень, ухвалених на їх підставі планів надходжень, а також ступені їх виконання. Окрім того, розглянемо динаміку реальних податкових надходжень, тобто надходжень, приведених до реальних величин з урахуванням індексу цін.
Проаналізуймо затверджені в установленому порядку планові показники за основними видами податків: ПДВ (податок на додану вартість), ППГ (прибутковий податок з громадян), ППП (прибутковий податок з підприємств), а також надходження до зведеного бюджету (НЗБ) (табл. 4.2)
Таблиця 4.2
Виконання планових надходжень за основними податками
та зведеного бюджету України, млрд грн*
|
Показник |
1997 р. |
1998 р. |
1999 р. |
||||||
|
План |
Факт. |
Виконання, % |
План |
Факт. |
Виконання, % |
План |
Факт. |
Виконання, % |
|
|
ПДВ |
8,455 |
7,602 |
89,9 |
8,756 |
7,238 |
82,7 |
8,640 |
10,561 |
122,2 |
|
ППП |
3,815 |
5,689 |
149,2 |
2,327 |
5,620 |
241,4 |
4,700 |
6,125 |
130,3 |
|
ППГ |
3,460 |
3,293 |
95,2 |
3,528 |
3,560 |
100,9 |
3,940 |
4,436 |
112,6 |
|
НЗБ |
30,430 |
27,150 |
89,2 |
29,761 |
28,441 |
95,6 |
34,252 |
32,512 |
94,4 |
*Діяльність податкової служби України за 1999 рік. — К., 1999.
Зазначимо, що податкові надходження становили у зведеному бюджеті у 1997 році 68 %, у 1998 — 75, у 1999 — 76,5 %. Неважко помітити, що обсяги фактичних надходжень до зведеного бюджету істотно відрізняються від планових. Та недовиконання дохідних статей зведеного бюджету не завжди відбувається лише за рахунок недовиконання обсягів податків. Податок на додану вартість у 1997/1998 роках збирався відповідно лише на 89,9 і 82,7 % запланованих обсягів.
Якщо використовувати дані Держкомстату щодо динаміки номінального ВВП і дані про реальний ВВП за даними незалежної організації UEPLAG, то можна розрахувати обсяг державного навантаження на економіку як відношення НЗБ до ВВП (табл. 4.3).
Таблиця 4.3
Динаміка номінального і реального ВВП
та державного навантаження на економіку України*
|
Показник |
1996 р. |
1997 р. |
1998 р. |
1999 р. |
|
ВВП, млрд грн: |
78,1 |
86,952 |
94,823 |
118,318 |
|
реальний, % |
78,1 |
78,9 |
71,4 |
74,24 |
|
відносний, %* |
100 |
99,6 |
96,3 |
95,6 |
|
Державне навантаження на економіку, % |
— |
31,2 |
30,0 |
27,5 |
* Тенденції української економіки. Березень 2000 / TACIS. Українсько-європейський консультаційний центр з питань законодавства [UEPLAG], 2000.
На перший погляд, обсяг державного навантаження на економіку України в останні роки є відносно невеликим (у 1999 році — 27,5 %). Однак реальну оцінку впливу оподаткування на економіку країни можна одержати, якщо нормувати обсяг державного навантаження на обсяг відносного ВВП, що визначається як відношення ВВП даної країни до середньосвітового. Виникає також питання щодо адекватності оцінок обсягу ВВП до реально існуючого, оскільки офіційна ставка не враховує внеску «тіньового» сектору економіки. В урядовій програмі «Україна 2010 року» припускається, що з урахуванням «тіньового» сектору економіки ВВП у розрахунку на душу населення становив 2000 дол. США на кінець 1999 року, і ця цифра береться як початкова база зростання економіки України на найближче десятиліття. Однак кількісні оцінки «тіньового» сектору економіки України, обчислені за допомогою економетричної моделі рівноваги попиту і пропозиції на грошову масу, не підтвердили цю гіпотезу. З’ясувалося, що обсяг реального ВВП на душу населення в Україні перебуває в проміжку 800—1200 дол. США.
Як наслідок нераціонального податкового навантаження маємо, що обсяг надходжень характеризується їхнім суттєвим зниженням у реальних цінах за досліджуваний проміжок часу (табл. 4.4).
Номінальні і реальні податкові надходження,
приведені до рівня цін 1997 р.*
|
Надходження |
1997 р. |
1998 р. |
1999 р. |
||||||
|
Номінальні |
Індекс цін |
Реальні |
Номінальні |
Індекс цін |
Реальні |
Номінальні |
Індекс цін |
Реальні |
|
|
по Києву |
3,577 |
1 |
3,577 |
4,248 |
1,078 |
3,941 |
4,031 |
1,369 |
2,943 |
|
по Україні |
23,523 |
23,523 |
23,568 |
21,86 |
23,209 |
16,953 |
* Бюлетень НБУ України. — 2000. — № 1.
Як відомо, прогнози поділяють: на оперативні — до одного місяця; короткострокові — до одного року; середньострокові — до п’яти років і довгострокові — понад п’ять років. Здійснення та використання прогнозів з різними часовими горизонтами визначається природою прогнозованих процесів. В умовах нестійкого характеру економічних процесів на практиці, по суті, можуть бути реалізовані лише два види прогнозів — оперативний і короткотерміновий.
У прогнозуванні податкових надходжень, на нашу думку2, необхідно брати до уваги, зокрема, фактичні динамічні ряди надходжень податків за попередні періоди. Треба також мати на увазі, що показники за минулі періоди потрібно в багатьох випадках коригувати, що потребує вивчення конкретних економічних особ ливостей даного періоду з урахуванням величини ставок оподаткування, зміни податкової бази тощо.
Відомо, що прогнозування будь-якого економічного показника пов’язане з похибкою прогнозу, величина якої визначає ступінь ризику планів (рішень), які ґрунтуються на прогнозованих економічних показниках.
Розгляньмо категорію податкового ризику як одну зі складових багатофакторної оцінки надійності прийняття рішень щодо обсягів планових податкових надходжень на базі їхніх прогнозованих обсягів.
Кількісна оцінка міри економічного ризику (зокрема ризику податкових надходжень) є багатовимірною величиною — вектором G = (q1, …, qn), компоненти якого формуються залежно від мети дослідження, узятої системи гіпотез, суб’єктивного чинника, котрий характеризує ставлення суб’єкта ризику до невизначеності, конфліктності тощо. Одна група компонент цього вектора характеризує ризик як об’єктивну економічну категорію, решту — які враховують ставлення до ризику суб’єкта прийняття рішень — доречно розглядати як суб’єктивні складові міри ризику.
У статистичному моделюванні та прогнозуванні вводяться та аналізуються такі поняття, як середній та емпіричний ризики. За показник ступеня середнього ризику зазвичай обирається математичне сподівання квадрата різниці між розрахунковими і фа-
ктичними значеннями прогнозованого економічного показника. Мінімізація ступеня середнього ризику дозволяє найбільш обґрунтовано виявити закономірності й реально існуючі суттєві взаємозв’язки. У порівнянні альтернативних математичних моделей прогнозування кращою вважають ту з них, котрій відповідає мінімальне значення середнього ризику. Це стосується і моделей прогнозування податкових надходжень.
На підставі прогнозованих обсягів податкових надходжень визначають планові обсяги, котрі, взагалі кажучи, припускаються дещо меншими, ніж середнє значення прогнозованого обсягу. Отже, крім об’єктивної складової, треба також увести суб’єк тивну складову міри ризику, за яку доречно, на наш погляд, обрати ймовірність недовиконання запланованого обсягу податкових надходжень, обчисленого на базі їхнього прогнозованого обсягу. Очевидно, що ступінь ризику (імовірності) недовиконання планового обсягу податкових надходжень повинен бути якомога меншим. Відсоток недовиконання планових податкових надходжень у свою чергу може розглядатися як ще один із показників суб’єктивної оцінки міри ризику. Він задається нормативно залежно від ставлення суб’єкта прийняття рішень до ризику та до обсягів прогнозованих величин, котрі задаються певним інтервалом значень (інтервальний прогноз).
Доречно також увести до розгляду як одну з компонент векторної оцінки міри ризику показник ризику невикористаних можливостей, котрий характеризує міру відхилення запланованого обсягу податкових надходжень від максимально можливого прогнозованого обсягу надходжень, здійсненого на підставі використання адекватних математичних моделей.
Наголосимо, що всі ці складові міри податкового ризику необхідно використовувати комплексно, системно.
Порядок моделі ARIMA задається трьома параметрами: порядок авторегресії р; порядок оператора різниці d для приведення процесу до стаціонарного вигляду; порядок моделі ковзного середнього q.
Модель ARIMA (якщо d = 0) запишеться у вигляді:
де yt — величина досліджуваного процесу на час t (t = 1, 2, ... T); 1, 2, …, q — коефіцієнти моделі ковзного середнього; Ф1, Ф2, Фp — авторегресійні коефіцієнти; — параметр, що визначає середнє значення; Т — кількість періодів спостережень; — «білий шум».
Іншими словами, модель ARIMA ґрунтується на прогнозуванні значення відповідного економічного показника на час t на підставі значень, які спостерігалися у попередні періоди. Кількість необхідних попередніх спостережень визначається порядком авторегресії. Крім того, використовують похибки, одержані в процесі прогнозування попередніх значень. Кількість цих похибок визначається порядком моделі ковзного середнього. Авторегресійна складова і модель ковзного середнього утворюють модель ARMA, яку можна використати для прогнозування стаціонарного випадкового процесу, тобто процесу, де математичне сподівання, дисперсія та моменти вищих порядків не залежать від часу. На жаль, у більшості часових рядів економічних показників випадки існування стаціонарних випадкових процесів трапляються рідко. Для приведення процесу до стаціонарного вигляду, як правило, використовується оператор різниці, і, відповідно, модель ARMA перетворюється в модель ARIMA.
Ще одна особливість, яка проявилася у результаті аналізу статистичних характеристик рядів податкових надходжень, — це відсутність значущого зв’язку між надходженнями в сусідні місяці. Якщо побудувати авторегресійну функцію надходжень за окремими типами податків, то виявиться, що зв’язок між суміжними у часі значеннями відносно незначний (дискретність рядів дорівнює одному місяцю). Здебільшого автокореляційна функція має екстремум, якщо значення величини лага — 12 місяців. З року в рік у певні місяці надходження перевищують середній рівень, а в інших — навпаки. Це вказує на існування циклічності, період якої дорівнює 1 року (12 місяцям). Наприклад, найкращим чином обсяг надходження на січень наступного року можна визначити, якщо відомі надходження за січень попередніх років. Цю особливість процесу добре описує модель ARIMAS m, n, l, де параметри m, n, l мають зміст, аналогічний параметрам p, d, q моделі ARIMA зі зрушеннями на 12 кроків.
Перший етап побудови моделі ARIMA*ARIMAS полягає в тому, що за видом авторегресійної функції, яка включає в себе дані про характер тренду, наявність циклічності, порядок авторегресійного і ковзного середнього, здійснюється вибір параметрів моделі.
Вибір моделі може здійснюватися на підставі зниження показника ризику згідно з обраною моделлю на базисному інтервалі.
За використання моделі ARIMA розраховуються такі похибки:
1. MSE — середній квадрат похибки:
де х(і) — фактичні значення показника в і-му періоді; i = 1, …, T, — прогнозовані значення цього показника в і-му періоді;
2. MAE — середня абсолютна похибка:
3. MPD — середня відсоткова похибка:
4. MAPE — середня абсолютна відсоткова похибка:
Окрім того, під час побудови моделі враховуються похибки оцінок коефіцієнтів моделі Ф і , тобто модель вважається адекватною, якщо всі її параметри будуть значущими на 95 % рівня довіри (чи 5 % ступеня ризику).
На основі даної методики були проаналізовані ряди податкових надходжень по окремих районах м. Києва на підставі щомісячних даних з 1996 до 1999 року (за винятком грудня 1999 року), тобто Т = 47. Були також отримані прогнозовані щомісячні значення на 2000 рік по Києву.
Надходження по м. Києву загалом з метою зниження похибки прогнозу визначались як сума прогнозів податкових надходжень по окремих районах. Для районів, де критерій мінімуму похибки конфліктував з критерієм значущості відповідних коефіцієнтів, було знайдено два варіанти прогнозів — песимістичний та оптимістичний, що дозволило по м. Києву загалом одержати два прогнозних значення — 5,17 млрд грн (песимістичний прогноз) і 5,4 млрд грн (оптимістичний прогноз). Отримані також обсяги фак тичних податкових надходжень за перших три місяці 2000 року, котрі становлять 1,264 млрд грн. Прогнозований обсяг згідно з оптимістичним варіантом дорівнює 1,285 млрд грн. А згідно з песимістичним — 1,245 млрд грн. Іншими словами, оптимістичний варіант прогнозу перевищує фактичну величину на 1,7 %, а песимістичний виявився меншим за фактичний на 1,5 %, що свідчить про достовірність прогнозу. Що стосується достовірності прогнозу на друге півріччя 2000 року, то на основі існування взаємозв’язку щодо темпів зростання грошової маси, темпів інфляції можна зробити припущення, що оптимістичний варіант прогнозу в номінальних цінах буде також дещо перевищений, хоча тенден ція зменшення реальних надходжень скоріше всього збережеться.
Розгляньмо постановку задачі розрахунку похибки прогнозу. Доцільно обчислити ступінь ризику, що пов’язаний з моделлю прогнозування податкових надходжень по Києву, як один зі скла дових векторної оцінки міри податкового ризику за умови, що прогнозована величина розраховується як сума прогнозованих обсягів надходжень по окремих районах.
Нехай прогнозована величина обсягів податкових надходжень по Києву загалом дорівнює сумі прогнозних значень надходжень:
тобто
де l — горизонт прогнозу, — обсяг податкових надходжень по і-му району м. Києва, (n – 1) — кількість міських районів i = 1, …, n – 1, (n – 1) = 14; — надходження від загальноміських комунальних служб; n — індекс, яким познача ються загальноміські комунальні служби (n = 15). Кожна з прогнозованих величин містить у собі похибку прогнозу, яка визначається похибкою на базовому інтервалі.
Дисперсія загальної суми прогнозованих надходжень по м. Києву дорівнює:
(4.74)
Оскільки похибки прогнозування на базі моделі ARIMA являють собою «білий шум» (мають нормальний закон розподілу), то коефіцієнти кореляції цих похибок дорівнюють нулю () супроти коефіцієнтів кореляції похибок статистичних даних, у яких існував прямий взаємозв’язок між надходженнями у кожному з районів, що значною мірою визначалося впливом макроекономічних показників, загальних для всіх районів.
У нашому випадку коваріаційна матриця набуває діагонального вигляду, а дисперсія та середньоквадратичне відхилення (похибка) прогнозу дорівнює:
(4.75)
Як величину дисперсії прогнозу можна використати величину MSE, помножену на коефіцієнт С:
У нашому випадку маємо такі дані: T = 47, p + q + m + l = 8, звідси
Визначимо як одну з компонент вектора податкового ризику ймовірність можливого недовиконання планових податкових надходжень.
Ризик 10 %-го недовиконання планового показника за прогнозування на один крок дорівнюватиме:
де V — аналог коефіцієнта варіації:
(4.76)
— похибка прогнозу, отримана на базовому інтервалі; xp — прогнозоване значення податкових надходжень; Ф(х) — функція Лапласа.
Розрахуємо величину ризику щомісячних сумарних надходжень для однокрокового прогнозу.
Прогнозована величина щомісячних надходжень для м. Києва загалом на 2000 рік xp = 430 млн грн. Обчислимо величини та V відповідно до виразів (4.75) та (4.76) ( = 12,3 млн грн; V =
= 12,3/430 = 0,029). Величина ступеня ризику як імовірність недоотримання податкових надходжень по м. Києву становить:
Для одного з районів Києва середня прогнозована величина щомісячних надходжень на 2000 рік дорівнює 63,2 млн грн, а величина похибки прогнозу становить відповідно 3,9 млн грн. V = 3,9/63,2 = 0,0625. Відповідно значення однієї із суб’єктивних компонент вектора міри податкового ризику (ймовірне недовиконання надходжень) дорівнює:
Наведені розрахунки свідчать, зокрема, про те, що коли б прогноз здійснювався за сумарним масивом надходжень у попередні роки, то похибка на базовому інтервалі була б такою: 2 =
= 1,5 109, або = 38,7 млн грн. Відповідно: V = 38,7/430 = 0,09. Ступінь ризику дорівнював би:
Цей ефект пояснюється тим, що випадкові (не систематичні) похибки прогнозів по окремих районах взаємно компенсуються, чого не відбувається у використанні для прогнозування показників по місту загалом (за інтервалами).
Звідси можна зробити висновок про доцільність поділу прогнозування загальної суми податкових надходжень на порайонні складові. Обчислимо ступінь ризику на 1 %-му рівні можливого невиконання середнього прогнозованого обсягу податкових надходжень по м. Києву загалом:
Як бачимо, ступінь податкового ризику недовиконання прогнозованих податкових надходжень на 1 %-му рівні залишився значним. Тому, на нашу думку, є сенс установити планове значення надходжень дещо меншим від прогнозованого: xпл = kxp, де xпл — плановий обсяг податкових надходжень, k — коригуючий коефіцієнт (відношення обсягів планових надходжень до прогнозованих).
Розгляньмо ризик недовиконання планових податкових надходжень на 10 %-му рівні (k = 0,9):
Ризик на рівні 1 %-го недовиконання планових надходжень у цьому випадку також значно зменшився:
Практичну користь також має обернена задача: на якому рівні (меншому від середньопрогнозованого) потрібно встановити планові надходження, щоб зменшити ризик 10 %-го недоотримання запланованих обсягів податкових надходжень, наприклад, до ступеня p = 0,0001.
Припустимо, що:
Звідси отримаємо:
Оскільки величина планових надходжень xпл = kxp, то з виразу
отримаємо:
Отже, щоб зменшити ризик 10 %-го невиконання планових надходжень до 0,0001, потрібно встановити плановий обсяг надходжень на 1 %-му рівні нижчим за їхній середній прогнозований обсяг.
Запропонований підхід дозволяє за відомою (заданою) величиною компоненти векторної оцінки міри ризику (імовірності недовиконання надходжень) розрахувати величину планових надходжень як частку від їхнього прогнозованого обсягу.
Усі наведені міркування стосуються компоненти векторної оцінки міри ризику прогнозу на один крок. Відомо, що за збільшення прогнозного інтервалу похибка прогнозу також збільшується. Знайдемо похибку в прогнозуванні податкових надходжень на один рік (12 кроків).
Дисперсія похибки прогнозування на l кроків визначається як:
,
де — похибка прогнозу на базовому інтервалі; — коефіцієнти подання моделі ARIMA як процесу ковзного се-
реднього.
Оскільки коефіцієнти l невідомі, то похибка на річному інтервалі розраховується за їх максимально можливих значень, які за умовою стаціонарності процесу не перевищують 1, тобто:
Відповідне значення величини за прогнозного значення надходжень по Києву на 2000 рік млн грн дорівнює
Розрахуємо величину податкового ризику недовиконання пла нових надходжень у прогнозуванні на один рік та його зниження введенням коригуючого коефіцієнта (табл. 4.5).
Ступінь ризику (ймовірність) недовиконання
планових надходжень
|
Відсоток |
k = 1,000 |
k = 0,995 |
k = 0,990 |
k = 0,985 |
k = 0,980 |
|
0 |
0,50000 |
0,41000 |
0,34500 |
0,25000 |
0,18400 |
|
1 |
0,32400 |
0,25000 |
0,18400 |
0,13000 |
0,08900 |
|
2 |
0,18100 |
0,13000 |
0,08700 |
0,05800 |
0,03600 |
|
3 |
0,08700 |
0,05800 |
0,03500 |
0,02100 |
0,01300 |
|
4 |
0,03500 |
0,02100 |
0,01200 |
0,00640 |
0,00360 |
|
5 |
0,01200 |
0,00640 |
0,00340 |
0,00160 |
0,00090 |
|
6 |
0,00340 |
0,00160 |
0,00090 |
0,00035 |
0,00017 |
|
7 |
0,00074 |
0,00035 |
0,00016 |
0,00006 |
0,00003 |
|
8 |
0,00015 |
0,00006 |
0,00010 |
0,00000 |
0,00000 |
|
9 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
|
10 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
Нехай
де х' — величина недовиконання планових показників у відсотках.
У формулі для розрахунків імовірності недовиконання обсягу планових податкових надходжень використовуються таблиці розподілу Лапласа:
Як випливає з розрахунків (див. табл. 4.5), 10 %-ве недовиконання прогнозу, отриманого за допомогою моделі ARIMA по м. Києву, трапляється рідко. Наголосимо, що навіть 1 %-ве недовиконання (як ступінь ризику) становить значну величину (50 млн грн). Звідси як нормативний, на наш погляд, краще ввести ступінь ризику 1 %-го недовиконання планових надходжень. Відповідно отримаємо такі значення ймовірності недовиконання залежно від коефіцієнта k:
P(1,00) = 0,326; P(0,995) = 0,252; P(0,99) = 0,184;
P(0,985) = 0,13; P(0,98) = 0,089.
Як бачимо з наведених розрахунків, використання коригуючого коефіцієнта k дозволяє зменшити ризик як імовірність 1 %-го недовиконання планових надходжень установленням планового обсягу податкових надходжень як частки від їхнього середнього прогнозованого обсягу.
Треба пам’ятати, що запропонована методика вказує лише на необхідність зниження планових обсягів надходжень щодо прогнозованих. Але за цих умов виникає ризик невикористаних можливостей, оскільки у такому підході і обсяг надходжень, і видаткова частина бюджету будь-якого рівня ієрархії управління буде (під час планування) скорочена. Тому пропонується також більш загальний підхід до визначення планових обсягів податкових надходжень.
Якщо розглядати, як про це вже йшлося вище, ще одну компоненту векторної оцінки міри ризику, а саме — показник ступеня ризику невикористаних можливостей, то, на наш погляд, доречно ввести до розгляду інтегрований (комплексний) показник ступеня ризику як міру відхилення від цілей для знаходження планового обсягу податкових надходжень на підставі їхнього прогнозованого обсягу. За визначеного на етапі прогнозування, середнього прогнозованого обсягу надходжень xp та отриманої оптимістичної (максимальної) оцінки обсягу надходжень інтегрований показник ступеня ризику будується, зокрема, так:
де R(k, ) — інтегрований показник ступеня ризику; — показник ступеня ризику невикористаних можливостей; R2(kxp) — показник ступеня ризику як імовірність недовиконання планових надходжень. Зазначимо, що коефіцієнт k > 0 не обов’язково повинен бути меншим за одиницю.
Величина (0 1) визначається залежно від пріоритетів, які вказують на те, що важливіше з погляду людей, котрі прий мають відповідні рішення, не допустити недовиконання планових надходжень чи не запланувати надмірно низький бюджет.
4.6. Політичний ризик, валовий
внутрішній продукт та зовнішній борг
Світ — цілісний (цілісна система), тому важливо враховувати те, що такі царини суспільного буття, як економіка, політика, культура, взаємодіють і взаємопроникають. Важливо розрізняти їх, але розрізняти означає не ізолювати, а передусім долати плутанину та враховувати їх взаємозалежність (взаємозв’язок). Роз-
гляньмо взаємозв’язок (оцінку) ступеня політичного ризику та деяких ключових макроекономічних показників.
Питання політичного ризику сьогодні стає особливо важливим для аналізу економічного потенціалу країни, її економічної безпеки. Сфера впливу політичного ризику на даний момент є досить широкою, виявляючись у втраті патентних і авторських прав, обмеженні прав особи на землю та інші ресурси, обмеженні доступу до певних ринків тощо. Це пояснюється тим, що політичне середовище досить тісно пов’язане з економікою. Дедалі частіше політична боротьба точиться за прийняття тих чи інших економічних рішень або методів (способів) їх здійснення. Однак слід пам’ятати, що політичний ризик породжується невизначеністю, нестабільністю урядового курсу стосовно до бізнесу, інвестиційної, інноваційної політики, зволіканням з раціональним вирішенням нагальних питань на рівні законодавства або непослідовністю рішень, конфліктністю між основними гілками влади тощо.
Існує низка методик кількісної оцінки політичного ризику.
В основному це — експертні оцінки. До них належать: індекси, що їх обчислює Інститут Ханера (політичний ризик тут градуюється за шкалою від 0 до 25 умовних одиниць), експертна шкала на базі моделі Ханера (від 0 до 100 умовних одиниць), «Принц-модель» (від –125 до +125), індекси BERI (від 0 до 100) тощо. Розгляньмо одну з найпоширеніших методик оцінки політичного ризику — методику німецької фірми BERI (Інститут інформації ризику в бізнесі). Згідно з даною методикою рівень політичної стабільності (чи нестабільності, тобто політичний ризик) визначається за допомогою індексу BERI. Його кількісним вимірюванням займаються близько 100 експертів, які чотири рази впродовж року за допомогою експертних оцінок аналізують основні аспекти політичної та економічної ситуації в країні. Анкета, яку заповнюють (анонімно) фахівці з різних країн, містить 15 оцінних деталізованих кількісних критеріїв. Кожне питання оцінюється за бально-відсотковою шкалою та має п’ять варіантів відповіді: 0 — дуже добре, 1 — добре, 2 — задовільно, 3 — погано, 4 — неприйнятно. Чим більша кількість зібраних балів, тим вища ймовірність політичного ризику. Форма анкети подана в таблиці 4.63.
Таблиця 4.6
Анкета для визначення індексу BERI
|
№ з/п |
Питання |
Питома вага питання |
Країна (бали щодо відповідного показника) |
|||
|
1 |
Політична стабільність у країні |
12 |
||||
|
2 |
Ставлення до іноземних інвестицій |
6 |
||||
|
3 |
Ступінь та варіанти націоналізації |
6 |
||||
|
4 |
Імовірність та ступінь девальвації |
6 |
||||
|
5 |
Стан платіжного балансу |
6 |
||||
|
6 |
Бюрократизм |
4 |
||||
|
7 |
Темп зростання ВВП (ВНП) |
10 |
||||
|
7а |
Темп зростання ВНП (нижче 3 % у рік) |
2,5 |
||||
|
7б |
Темп зростання ВНП (від 3 % до 6 %) |
5 |
||||
|
7в |
Темп зростання ВНП (від 6 % до 10 %) |
7,5 |
||||
|
7г |
Темп зростання ВНП (вище 10 %) |
10 |
||||
|
8 |
Конвертованість валюти |
10 |
||||
|
9 |
Аналіз виконання договірних зобов’я зань |
6 |
||||
|
10 |
Витрати на заробітну плату з урахуванням рівня продуктивності праці |
8 |
||||
|
11 |
Можливість використання експертних |
2 |
||||
|
12 |
Організація зв’язку та транспорту |
4 |
||||
|
13 |
Стосунки з державними органами |
4 |
||||
|
14 |
Умови отримання короткострокового кредиту |
8 |
||||
|
15 |
Умови отримання і використання довго строкового кредиту та власний капітал |
8 |
||||
Усього |
100 |
Відомим є також розподіл міри політичного ризику на 9 ступенів. Політичний ризик пов’язується з обсягом зовнішнього боргу і можливостями країни своєчасно його виплатити. Оскільки обидва показники (зовнішній борг та політичний ризик) є одними з основних критеріїв оцінки рейтингу країни на світовому ринку, було б доцільно оцінювати їх комплексно, з урахуванням їх взаємозв’язку. Пропонуємо такий варіант оцінювання взаємодії політичного ризику з допустимим рівнем зовнішнього боргу.
Використовуючи кількісну оцінку (рейтинг) політичного ризику, можна знайти його кореляційно-регресійний зв’язок із зовнішнім боргом країни. Так, на основі статистичних даних щодо економічного і політичного стану України можна побудувати економетричну модель залежності ступеня політичного ризику від обсягу зовнішнього боргу. Для опису цієї залежності доречно використовувати криві зростання. На підставі аналізу відповідних даних неважко дійти висновку, що цю залежність досить адекватно опише модель, яка має такий вигляд:
. (4.77)
де Rp — ступінь політичного ризику; В — рівень зовнішньої заборгованості, α і β — коефіцієнти регресії; u — випадкова величина.
Аналізуючи наявні дані, можна скласти відповідну таблицю (табл. 4.7). Останній стовпчик містить показник політичного ризику, який оцінено за допомогою моделі (4.77). Як легко пересвід читися, відхилення теоретичних даних, отриманих за її допомогою, від даних, отриманих методом BERI, здебільшого не є значним. Після визначення коефіцієнта детермінації, який для нашого випадку становить R2 = 0,903549, та після виконання F-тесту можна твердити, що модель (4.77) є адекватною. Окрім цього коефіцієнт розбіжності, запропонований Г. Тейлом, також є незначним, що підтверджує адекватність даної моделі:
.
Зазначимо, що у випадку ідеального прогнозування v = 0.
Отже, запропоновану модель (4.77) можна застосовувати для подальшого аналізу.
Таблиця 4.7
Зовнішня заборгованість
та політичний ризик України за 1993—2000 рр.
|
Рік |
Зовнішній борг, |
Політичний |
Політичний ризик |
|
1993 |
0.396 |
52 |
52.01289 |
|
1994 |
3.624 |
55 |
56.3249 |
|
1995 |
4.828 |
59 |
57.31828 |
|
1996 |
8.217 |
59.58277 |
|
|
1997 |
8.839 |
59.94317 |
|
|
1998 |
9.555 |
60.34267 |
|
|
1999 |
11.472 |
61 |
61.34393 |
|
2000 |
12.438 |
61.81668 |
* Статистичні дані взяті зі звітів Міністерства фінансів.
** Дані взяті з розрахунку політичного ризику для країн за методом BERI.
З огляду на прийнятність даної моделі ( 49.88; 3.38) побудуємо криву (рис. 4.5) залежності величини політичного ризику від зовнішнього боргу (яка має сенс у певних інтервалах значень обсягу зовнішнього боргу та кількісної оцінки ступеня по літичного ризику).
Рис. 4.5. Залежність ступеня політичного ризику
від обсягу зовнішнього боргу
Розгляньмо дев’ять ступенів прояву політичного ризику: Пр-1, …, Пр-9. Припустимо, що за Пр-1 борг становить В1;
Пр-2 — В2; Пр-9 — В9. Причому В1 < B2 <…< B9 та Пр-1 <
< Пр-2 <…< Пр-9.
Значний інтерес становить оцінка обсягу зовнішнього боргу залежно від оцінки ступеня політичного ризику.
Подана на рис. 4.6 площина обсягу зовнішнього боргу щодо ступеня політичного ризику є критично допустимим рівнем обсягу зовнішнього боргу держави за заданого (бажаного) ступеня політичного ризику. Точка, що розташована вище неї, є попередженням про високий політичний ризик і, як наслідок, політичну та економічну кризу (відсутність необхідного обсягу інвестицій, несприятливу асиметрію торговельних відносин з іншими країнами тощо). Дане твердження є слушним за умови справедливості гіпотези, за якою решта важливих макроекономічних показників є сталою. Для оцінювання політичного ризику з цього погляду бажано брати неокласичні показники ступеня ризику: семіваріацію та семіквадратичне відхилення.
Визначити залежність зовнішнього боргу від політичного ризику можливо, використавши модель4:
за умови, що
, (4.78)
де B — зовнішній борг; Im — імпорт; Ex — експорт; Т — прибутки держави; G — видатки держави; е — випадкова величина (відхилення); Y — валовий внутрішній продукт; С — невиробниче (особисте) споживання; І — валові інвестиції; M[Y(Rp)] та M[Im(Rp)] — математичне сподівання залежності валового внутрішнього продукту та імпорту (відповідно) від політичного ризику Rp; М [·] — оператор математичного сподівання.
За допомогою моделі (4.78) та з урахуванням умови платоспроможності, яку запропонували М. Бурда та Ч. Виплош5, можна також визначити критично допустимий рівень зовнішньої заборгованості з урахуванням ступеня політичного ризику.
Рис. 4.6. Площина обсягу зовнішнього боргу
стосовно до ступеня політичного ризику
Умова платоспроможності має такий вигляд:
, (4.79)
де В — зовнішній борг; F — приватні зарубіжні активи; Ex та Im — експорт та імпорт; і*— відсоткова ставка (як правило, LIBOR).
Використовуючи модель (4.78), з нерівності (4.79) отримаємо:
. (4.80)
Доречно також установити залежність ступеня політичного ризику від зміни ВВП (Y). Можна твердити, що чим більший обсяг приросту ВВП (Y), тим меншим повинен бути політичний ризик (звичайно, за решти рівних умов).
Виходячи зі статистичних даних щодо стану української економіки, кореляційну залежність ступеня політичного ризику від зміни ВВП можна подати як:
, (4.81)
де Rp — ступінь політичного ризику; Y — зміна обсягу ВВП; u — випадкова величина.
Відповідні дані фактичного ступеня політичного ризику (обчисленого згідно з індексом BERI) та ступеня політичного ризику, оціненого за запропонованою вище кореляційною залежністю (4.81), наводяться в таблиці 4.8.
Таблиця 4.8
Зміна ВВП та політичний ризик за 1993—2000 рр.
|
Рік |
Зміна ВВП, %* |
Політичний ризик** |
Політичний ризик (оцінений) |
|
|
–14.2 |
52 |
52.00815 |
|
|
–22.9 |
55 |
–0.89507 |
|
|
–12.2 |
59 |
59.00599 |
|
|
–10 |
64.474 |
|
|
|
–3.2 |
66.60757 |
|
|
|
–1.7 |
64.07402 |
|
|
|
–0.4 |
61 |
60.99995 |
|
|
6 |
33.9748 |
* Статистичні дані взяті зі звітів Business Central Europe, September, 2001.
** Дані взяті з розрахунку політичного ризику для країн методом BERI.
Як бачимо, в 1994 році сталося різке падіння ВВП, що погіршує результати наших розрахунків. Тому для виведення залежності політичного ризику від зміни ВВП абстрагуймося від інформації за цей рік, згладжуючи дані.
Після проведеного вище аналізу можна визначити оцінку залежності (взаємозв’язку) ступеня політичного ризику від двох чинників (зміни ВВП та зовнішньої заборгованості), яка матиме вигляд:
. (4.82)
У нашому випадку коефіцієнт детермінації становить R2 =
= 0,937932, а оцінний коефіцієнт детермінації =0,917243. Виконаний F-тест та коефіцієнт розбіжності за Г. Тейлом v (v = 0,30 для даної залежності) підтверджують, що модель є адекватною.
Знаючи оцінку залежності зміни обсягу валового внутрішнього продукту від ступеня політичного ризику та умову платоспроможності (фіксуючи решту інших показників), можна побудувати графік залежності ступеня політичного ризику від зміни ВВП і зовнішнього боргу (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Оцінка залежності ступеня політичного ризику
від зміни обсягу ВВП та зовнішнього боргу
Оцінка залежності ступеня політичного ризику від зміни обсягів ВВП та зовнішнього боргу подана поверхнею (заштрихована частина). З рис. 4.7 видно, що під час зростання зовнішнього боргу B відбувається зростання ступеня політичного ризику Rp. Водночас
зі зростанням ВВП (Y) ступінь політичного ризику знижується.
Визначивши цю залежність, можна прогнозувати гранично допустиму величину зовнішнього боргу за бажаного (прогнозованого) рівня ВВП і заданого ступеня політичного ризику. Для цього оцінювання та аналізу доречно використовувати як один із варіантів модель (4.82) та відповідну, зображену на рис. 4.7, поверхню, котра є оцінкою обсягу зовнішнього боргу за певного, визначеного (прогнозованого) значення оцінки ступеня політичного ризику та прогнозованого обсягу зміни ВВП. Рівень зовнішньої заборгованості, що його держава матиме за бажаного ступеня політичного ризику та прогнозованої зміни ВВП, знаходиться на заштрихованій поверхні (рис. 4.7). Зазначимо, що для підвищення рейтингу на міжнародній арені держава прагне знизити ступінь свого політичного ризику. З рисунка випливає, що за великих значень Y (що означає економічне зростання) країна може допустити і великий зовнішній борг за відносно малого ступеня політичного ризику (у світовій практиці це справджується для США). За від’ємного Y та низького рівня зовнішньої заборгованості ступінь політичного ризику є досить високим (згідно з нашою моделлю — від 50 і вище).
Зі зростанням зовнішніх кредитів (позичок) (для Y < 0) політичний ризик різко підвищується.
З урахуванням (4.82) можна побудувати ізокванти ризику за Rp = const = C), перетворивши відповідним чином (4.82):
. (4.83)
Або після певних перетворень
. (4.84)
Припустимо, що С набуває значень 50, 55, 60, 65 тощо. Тоді карта ізоквант (4.84) має вигляд:
Слід зауважити, що необхідно брати:
З урахуванням вищенаведених міркувань можна побудувати карту ізоквант ризику (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Карта ізоквант ризику
Карта ізоквант ризику дозволяє прогнозувати зміну зовнішнього боргу з урахуванням бажаного ступеня політичного ризику та прогнозованої зміни ВВП.
Таким чином, запропонована модель дає можливість визначити інтервал зміни рівня зовнішньої заборгованості, який не веде державу до боргової кризи.
Отже, прогнозуючи рівень соціального становища, стабільності політичного курсу, ступінь конфліктності між гілками влади, індекс інфляції тощо, тобто ступінь політичного ризику, а також прогнозуючи обсяг приросту ВВП, можна прогнозувати і раціональний рівень зовнішньої заборгованості, який відповідає значенням прогнозованих чинників і який може собі дозволити уряд. Більший обсяг зовнішніх боргів призведе до зростання ступеня політичного ризику (щодо прогнозованого, бажаного), зниження рейтингу держави на міжнародній арені та до пов’язаної з цим низки негативних явищ (наприклад зниження інвестиційної привабливості).
1 Смоляк С. А. Учет риска при установлении нормы дисконта // Экономика и математические методы. — 1992. — Т. 28. — Вып. 5—6. — С. 794.
2 Вітлінський В. В., Скрипник А. В., Терещенко Л. О. Концепція ризику в прогнозуванні податкових надходжень // Вчені записки КНЕУ. — Вип. 3. — 2001. — С. 289—298.
3 Основы экономической безопасности (Государство, регион, предприятие, личность) / Под ред. Е. А. Олейникова. — М.: ЗАО «Бизнес-школа “Интел-Синтез”», 1997. — С. 78.
4 Маханець Л. Л. Зовнішній борг і політичний ризик // Фінанси України. — 2000. —№ 2. — С. 64—69.
5 Бурда М., Виплош Ч. Макроекономіка: Європейський контекст / Пер. з англ. — К.: Основи, 1998. — С. 614.
161
PAGE 161