Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Є.З. Могульський, Г.П. Бородай
ЛЕКЦІЇ З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Теорія ймовірностей вивчає математичну модель реального випробування , наслідок якого неможливо заздалегідь передбачити. При цьому припускається, що таке випробування може бути повторено необмежену кількість разів при незмінних основних умовах. Комплекс другорядних умов, які неможливо проконтролювати, змінюється від випробування до випробування. Саме ці умови приводять до того, що результати однотипних випробувань можуть бути різними.
Позначимо через W множину всіх можливих взаємно виключних наслідків випробування ( припускаємо, що ця множина є відомою до здійснення випробування ). Множина W та її різні підмножини використовуються при побудові імовірнісної моделі цього випробування. Множину W називають простором елементарних подій. При цьому, кожному наслідку випробування ставиться у відповідність одна і тільки одна точка простору W – елементарна подія .
Означення 1. Випадкова подія (далі просто подія) – будь-який факт, який може наставати чи не наставати в результаті проведення випробування, причому заздалегідь невідомо, чи з’явиться він чи ні ( тобто, подія є непередбаченим результатом випробування). Для кожної випадкової події A і кожної елементарної події можна сказати, сприяє чи ні елементарна подія появі події A.
Означення 2. Подію A можна розглядати як підмножину W, яка складається з тих точок , що сприяють появі події A.
Рисунок 1.1 відповідає тому випадку, коли елементарна подія 1 сприяє події A, а елементарна подія 2
|
не сприяє. Множина W може бути як дискретною (рис.1.2,а), так і неперервною (рис.1.2,б,в). У першому випадку вона складається із скінчен- |
Рис.1.2 |
ної або зчисленної (такої, яку можна перерахувати) кількості точок, а у другому – із незчисленної кількості точок.
Приклад 1. Підкидається гральний кубик (кубик, зроблений з однорідного матеріалу, грані якого позначені числами 1,2,3,4,5,6). Результатом випробування (спостереження) є число, що випало на верхній грані кубика.
Простір W складається з шести точок wi, де через wi позначено елементарні події, що відповідають випаданню грані, на якій написано число i (i=1,2,3,4,5,6): W{w1,w2,w3,w4,w5,w6}. Події A (випадання парного числа) сприяють елементарні події w2, w4, w6 – A{w2,w4,w6}.
Приклад 2. Монета підкидається тричі..Елементарні події мають вигляд , де– Г або Ц. Простір W{ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ}, Подія В в8падання не менщ двох гербів В{ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}.
Означення 3-4. Подія, що наступає при будь-якому наслідку випробування, називається вірогідною. Вона співпадає з множиною W і позначається надалі також літерою W. Подія, яка не наступає ні при жодному з наслідків випробування називається неможливою. Вона співпадає з пустою множиною і надалі позначається символом . В умовах прикладу 1 випадання не більше шести очок – вірогідна подія, а випадання семи очок – неможлива.
Відзначимо, що коли дискретний простір W якогось випробування складається з n точок, то кількість всіх подій, пов’язаних з цим випробуванням дорівнює 2n. Інакше кажучи, множина усіх підмножин множини, яка містить n елементів, складається з елементів
Означення 5. Подія , яка полягає в тому, що подія А не наступає, називається протилежною події А або запереченням А ( доповнює множину А до W: =W\А). Зрозуміло, що = А, = .В умовах прикладу 1 подія {w1,w3,w5}.
Множина, на якій означені операції суми та добутку подій, в математиці називається алгеброю.У просторі W означимо поняття суми та добутку подій. Алгебра подій дає математичний опис можливих наслідків випробування.
Означення 1.Подія, яка полягає в тому, що наступає принаймні одна з подій А або B, називається обєднанням або сумою цих подій(рис.1.3,а, б,в). Таку подію будемо позначати АB або A+B .
|
а б в Рис. 1.3. г |
Означення 2.Подія, яка полягає в тому, що наступають обидві події А та B, називається перерізом або добутком цих подій (рис.1.3, а,б,г). Таку подію будемо позначати А B або A·B.
Із означення операцій та випливають такі співвідношення:
А + А=А, А А=А, А + W=W, А W=А, А (B + С)=(А B) +(А С).
Операції + та пов‘язані одна з одною двома важливими формулами:
а) , б) . (1)
Означення 3. Події А та B називаються несумісними, якщо їх переріз є неможливою подією:
AB= . (2)
Зрозуміло, якщо події А та B є несумісними, то будуть несумісними також події А·C і B·C.
Означення 4.Попарно несумісні події Аi (i=1,2,...,n) утворюють повну систему подій (розбиття W), якщо їх сума є вірогідною подією:
А1+А2+...+Аn= , Аi·Аk = (ik).
Події А та утворюють повну систему подій :
А + = , А = .
Приклад 3. Проводяться два постріли по мішені. Позначимо через Аi (i=1,2) подію, що полягає у попаданні по мішені при i-тому пострілі. Потрібно виразити через Аi події А та B, які відповідно означають, що в мішені буде: а) точно одна А пробоїна; б) хоча б одна пробоїна.
Розв’язання. а) А = (доданки суми є несумісними подіями); б) В =А1+А2 (доданки суми є сумісними подіями) або В = (доданки суми є несумісними подіями, але не утворюють повної системи подій).
Ймовірність події A – це число, яке характеризує об‘єктивну можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні. Тобто, ймовірність є кількісною мірою здійснення події.
Частотний ( стохастичний ) підхід до визначення ймовірності полягає в наступному. Нехай А – подія, пов’язана з деяким випробуванням. Якщо при n-кратному повторенні випробування подія А наступає nA разів, то частотою появи події А у даній серії випробувань називається відношення nA/n. Зрозуміло, що частоті притаманні таки властивості:
1) nA/n ; 2) nΩ /n =1 ; 3) якщо AB=, то nA+B /n =nA/n +nB /n .
Частота випадковим чином змінюється від однієї серії випробувань до іншої. Однак, якщо довжини серій достатньо великі, то частоти в різних серіях мало відрізняються між собою емпірична властивість стійкості частоти – і будуть незначно коливатися навколо деякого числа Р(А), яке і називається ймовірністю події А. Таким чином, поняття ймовірності тісно пов’язане з властивістю стійкості частоти. При зростанні n відхилення частоти nA/n від ймовірності Р(А) зменшується для переважної більшості серій. Тому частота може бути використана для обчислення ймовірності.
Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:
Аксіома 3 допускає узагальнення на випадок суми скінченної (або зліченної) кількості попарно несумісних подій:
3. P(A1+ A2+ A3+...+An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An). (2)
Із аксіом 1,2,3 випливають такі властивості ймовірності:
Дійсно: А += Ω , А=Ø P(A+) =P(A)+P()=1. Зокрема, P(Ø)=P(=1–P(Ω)=0.
Звернемо увагу на те, що з рівності P(A)=0, взагалі кажучи, не випливає, що А є неможливою подією (випливає лише те, що частота цієї події при зростанні кількісті випробувань стає як завгодно малою ) ;
Дійсно:
3) Теорема додавання ймовірностей. Для будь-яких подій A та B справедливе співвідношення
|
. |
(3) |
|
Доведення. Подамо події A+B та B у вигляді суми попарно несумісних подій (рис.1.4) , . Тоді на підставі аксіоми 3 одержимо P(AÈB)=P(A) . Підставляючи вираз |
Рис. 1.4 |
P() із другого співвідношення в перше, приходимо до рівності (2).
Між іншим, з (3) випливає, якщо Р(А) +Р(В)> 1, то Р(АВ) >0 і, отже,події А та В є сумісними .
Застосування результатів теорії ймовірності грунтується на “принципі практичної вірогідності”. А саме, якщо ймовірність настання події A достатньо близька до 1, то при одноразовому проведенні випробування слід знехтувати можливістю настання малоймовірної подіїA. У цих умовах A таA називають відповідно практично вірогідною та практично неможливою подіями.
Визначення тієї межі, починаючи з якої подію слід вважати практично неможливою, знаходиться за рамками теорії ймовірностей. Ясно, що чим більші збитки може принести нехтування можливості настання події, тим меншою повинна бути межа. Одна і таж ймовірність може бути малою в однієї ситуації і неприпустимо великою в іншій. Наприклад, межа 0.01 достатня для того, щоб вважати практично неможливим перегорання нової електричної лампочки, але абсолютно недопустима для того, щоб вважати практично неможливою аварію скафандра космонавта або парашута .
Нехай А та B є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)0.
Означення 1. Умовною ймовірністю P(АB) події А за умови здійснення події B називається відношення
|
(1) |
Умовна ймовірність задовольняє аксіомам імовірності 1-3 пункту1.2.2 :
,
якщо .
Із співвідношення (1) негайно випливає теорема множення ймовірностей
|
. |
(2) |
Якщо поміняти А і В місцями, то теорема множення може бути записана у вигляді
|
. |
() |
Теорема множення дозволяє знайти ймовірність добутку подій, якщо із змісту задачі зрозумілі (або обчислюються) значення умовних ймовірностей. Вона узагальнюється на випадок скінченного числа множників. Наприклад,
Приклад 1. Ймовірність аварії при запуску ракети дорівнює 0,15. Ймовірність аварії на старті є 0,12. Яка ймовірність аварії при умові успішного старту.
Розв’язання. Нехай подія A полягає у тому, що запуск ракети успішний, а подія B - це успішний старт ракети. Із умов задачі випливає, що A·B=A. Отже,
Таким чином, P(/B)=1–P(A/B)=0.034.
Означення 2. Подія А називається незалежною від події B, якщо
P(АB)=P(А) (P(B)0).
Нехай подія А незалежна від події B і P(A)0. Тоді з формул (2) та (2) випливає, що подія B незалежна від події А. Таким чином, поняття незалежності подій є взаємним.
Події А та B незалежні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
|
. |
(3) |
Якщо події А та B незалежні, то будуть незалежними такі пари подій: А та B, А таB,А таB (наприклад, незалежність подій А таB можна довести таким чином
Якщо події A i B (P(A)>0,P(B)>0) несумісні, то вони є залежними :
Відзначимо, що коли Р(А)=0 ,то події А і В є незалежними :
У тому випадку, коли кількість подій перевищує два, вводиться поняття незалежних у сукупності (взаємно незалежних) подій. Останнє означає, що ймовірність якої-небудь події не залежить від здійснення інших. Наприклад, для трьох подій А1, А2, А3, незалежних у сукупності, повинні виконуватись співвідношення P(A1/A2)=P(A1), P(A1/A3)=P(A1), P(A1/A2·A3)=P(A1), P(A2/A3)=P(A2), P(A2/A1·A3)=P(A2), P(A3/A1·A2)=P(A3). Для подій А1, А2,..., Аn, незалежних у сукупності, справедливе співвідношення
|
(3) |
Приклад 2. Проводиться два постріли по мішені. Ймовірності влучення при першому та другому пострілі дорівнюють відповідно 0.3 і 0.6. Яка ймовірність, що у мішені буде: а) точно одна пробоїна; б) хоча б одна пробоїна?
Розв’язання. Позначимо через Ai (i=1,2) подію, яка полягає у тому, що при i–му пострілі буде попадання у мішень. Події A1 та A2 незалежні, але сумісні.
а) Нехай A – подія , яка полягає у тому, що у мішені буде точно одна пробоїна. Тоді . Оскільки події і несумісні, то на підставі аксіоми 3 і теореми множення ймовірностей одержимо
===0.30.4+0.70.6=
=0.54.
б) Нехай B – подія , яка полягає у тому, що в мішені буде хоча б одна пробоїна. Тоді B=A1+A2 і на підставі теорем додавання та множення ймовірностей матимемо
===+=
.
Інший спосіб розв’язку:
1.3.2. Формула повної ймовірності
|
Нехай є n припущень (гіпотез) Hk (k=1,...,n) щодо умов проведення випробування, з яким пов’язана подія А. При цьому із тих чи інших міркувань відомі ймовірності P(Hk), P(A/Hk). Як можна прогнозувати спроможність появи події А? Теорема. Нехай події Hk (k=1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність (4) |
Рис. 1.5 |
Доведення. Оскільки W=H1ÈH2È...ÈHn, то подію A можна представити у вигляді суми попарно несумісних подій
A = A·H1A·H2...A·Hn
рис.1.5). Послідовно застосовуючи теореми додавання та множення ймовірностей (формулу 3 з аксіом ймовірності розділу 1.2 та формулу (2) розділу 1.3), одержимо:
.
Якщо P(А Hi)=0, то відповідна складова у сумі повинна бути пропущена.
Приклад 1.Футбольна команда грає за схемою 1-4-2-4. Ймовірність забити пенальті для нападника 0.8, півзахисника 0.7, захисника 0.6, захисника 0.5. Знайти ймовірність того, шо навмання обраний ігрок забиває пенальті.
Розв’язання. Нехай подія А –навмання обраний ігрок забиває пенальті. Призначимо гіпотези:
– вибір нападника;
– вибір півзахисника,
– вибір захисника;
– вибір вратаря . . За формулою повної ймовірності, маємо
(40.8+20.7+40.6+10.5)=(3.2+1.4+2.4+0.5)= =0.68.
Ця теорема є наслідком формули повної ймовірності..
Теорема. Нехай події Hk (k=1,...,n) утворюють повну систему подій (P(Hk)>0). Тоді для будь-якої події A (P(A)>0), що настала у наслідку проведення випробувань, виконується співвідношення
|
(5) |
Доведення. Оскільки , то на підставі формули (5) одержимо
.
Події Hk прийнято називати гіпотезами, P(Hk) - апріорними (відомими до проведення випробування), а P(Hk/A) - апостеріорними (обчисленими після випробування) ймовірностями цих гіпотез. Формула (7) показує, як треба переоцінити ймовірності здійснення кожної гіпотези, якщо подія А настала.
Розв’язання. За формулою (5) . Так само одержимо
, ,
Приклад 3. Надійність приладів (ймовірність безвідмовної роботи протягом заданого проміжку часу) в залежності від якості одного з елементів дорівнює відповідно 0.95, 0.9, 0.8. Відомо, що 20% приладів випускають у першому варіанті, 30% – у другому і 50% – у третьому. Довільно вибраний прилад безвідмовно працював протягом заданого проміжку часу. Яка ймовірність, що він був виконаний в кожному з варіантів?
Розв’язання. Позначимо через A подію, яка полягає у безвідмовній роботі приладу. Нехай гіпотеза Hk (k=1,2,3) означає, що прилад виконано у k-му варіанті. Тоді апріорні ймовірності гіпотез та умовні ймовірності A дорівнюють:
P(H1)=0.2, P(H2)=0.3, P(H3)=0.5,
P(A/H1)=0.95, P(A/H2)=0.9, P(A/H3)=0.8.
За формулами Бейєса знаходимо апостеріорні ймовірності гіпотез
Приклад 4. Двоє стрільців роблять по одному пострілу. Ймовірність попадання по мішені для першого стрільця – 0.7, а для другого – 0.8. У мішені знайдено одну пробоїну. Яка ймовірність того, що у мішень попав перший стрілець?
Розв’язання. Подія A означає наявність однієї пробоїни в мішені. Введемо гіпотези H1 – обидва стрільці не попадають, H2 – перший стрілець попадає, другий ні, H3 – другий стрілець попадає, перший ні, H4 – обидва стрільці попадають. Знайдемо апріорні ймовірності гіпотез:
P(H1)=0.3·0.2=0.06, P(H2)=0.7·0.2=0.14,
P(H3)=0.3·0.8=0.24, P(H4)=0.7·0.8=0.56.
Умовні ймовірності події A дорівнюють:
P(A/H1)=0, P(A/H2)=P(A/H2)=1, P(A/H4)=0.
Таким чином, апостеріорна ймовірність гіпотези H2 така
.
1.4.випробування із скінченною кількістю наслідків
Розглянемо випробування, простір елементарних подій якого складається з N точок . Якщо е.п. рівноймовірні, то із виразу W=w1+w2+...+wN виходить рівність 1=P(w1)+P(w2)+...+ +P(wN) = N·P(wi), на підставі якої одержимо
.
Теорема. Якщо у випробуванні з N рівно можливими елементарними подіями події A сприяють M елементарних подій, то
|
. |
(1) |
Доведення. Оскільки події A сприяють M елементарних подій, то
.
Для того, щоб знайти ймовірність події за формулою , потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках кількості наслідків грають комбінаторні методи, основою яких є наступні два правила.
Правило додавання. Нехай деякий об ‘єкт α можна обрати m1 способами, а інший об’єкт β – m2 способами. Тоді вибір одного з цих об’ єктів (або α, або β ) можна виконати m1+m2 способами. Правило множення. Нехай об‘єкт α можна обрати m1 способами, а після кожного такого вибору об‘єкт β можна обрати m2 способами. Тоді обидва вибори можуть бути виконані m1·m2 способами (рис.1.13).
Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченної кількості дій.
Приклад 1. Для складання номера об’єкту використовуються цифри 1, 2, 3, 4. Скільки об’єктів можна пронумерувати, якщо один номер повинен складатися не більше, ніж з трьох цифр?
Розв’язання. а) Цифри у номері не повторюються. Для складання тризначного номера потрібно виконати послідовно одну за іншою три дії – вибір першої, другої та третьої цифр. Ці вибори можна здійснити відповідно 4, 3 та 2 способами. Отже, на підставі правила множення, тризначних номерів буде N3=4·3·2=24. Аналогічним чином знаходимо кількість двозначних N2=4·3=12 та однозначних номерів N1=4. Тепер за правилом додавання знаходимо загальну кількість об’єктів, які можна занумерувати N=N1+N2+N3=40.
б) Цифри у номері можуть повторюватись. Вибір будь-якої цифри можна здійснити 4 способами. Тому N=N1+N2+N3=4· 4· 4+4· 4+4=84.
Нехай задана множина із n різних елементів.
Сукупність k (k n) із цих елементів, розташованих у певному порядку (упорядкована підмножина), називається розміщенням із n елементів по k. Різні розміщення відрізняються одне від іншого порядком чи складом елементів. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів розміщеннями по два елементи є упорядковані підмножини (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b). Кількість таких розміщень позначають . Застосовуючи правило множення, одержимо
|
= n·(n–1)·(n–2)·...·(n– k+1). |
Розміщення із n елементів по n називаються перестановками. Різні перестановки відрізняються одна від іншої лише порядком елементів. Наприклад, перестановками у множини {a,b,c} із трьох елементів будуть упорядковані підмножини (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Кількість перестановок дорівнює
Добуток цілих чисел від 1 до n прийнято позначати n! (n–факторіал). Тоді
|
=n!, =n!/(n– k)!. |
За означенням 0!=1 |
Набір k (k n) із заданих n елементів називається сполученням (комбінацією) із n елементів по k. Різні комбінації відрізняються одна від іншої хоча б одним елементом. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів сполученнями по два елементи є підмножини {a,b}, {a,c}, {b,c}. Кількість таких комбінацій позначають . Оскільки =·k!, то
Справедливі такі співвідношення:
.
Приклад 2. З n деталей, серед яких m мають дефект, беремо k деталей. Знайти ймовірність того, що серед них буде l дефектних деталей (рис.1.14).
Розв’язання. Нехай подія A означає, що взято l дефектних деталей. Оскільки порядок вибору деталей не має значення, то число способів N взяти k деталей із n дорівнює . Кількість способів M, якими можна взяти заданий набір деталей, дорівнює на підставі правила множення добутку кількості способів взяти l деталей із m () на кількість способів взяти k-l стандартних деталей із n-m ():
|
.Таким чином, на .підставі формули (1) одержуємо (2) |
Рис.1.6 |
Приклад 3 У групі 18 студентів, серед яких 6 відмінників. Навмання обирають 4 студентів. Яка ймовірність того, що серед них 2 відмінника?
Розв’язання. Тут =18, =6, =4, =2. Нехай подія - вибір 2 відмінників з 4. За формулою (2) ,Оскільки
=6 17215 1.4.3. Схема Я.Бернуллі.
Багато прикладних задач (наприклад, котроль якості партії виробів) зводяться до наступної схеми.. Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких
подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай Aj (j=1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2n елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює Aj або .
Теорема. Ймовірність pn(k) того, що у серії з n випробовувань подія A настає k раз, задається рівністю
|
. |
(1) |
Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події Aj спостерігаються k раз, а події Аj– (n – k) раз ( наприклад, , і т.п.). В силу незалежності подій Aj ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює pk(1– p)n-k. Оскільки подібних елементарних подій буде , то з урахуванням їх несумісності і теореми додавання ймовірностей остаточно одержимо
.
Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу.
Розв’язання. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.
а) k=2 і на підставі формули (1) маємо
·0.122·0.883= 0.0981;
б) k=0 або k=1 і тому ймовірність дорівнює
P5(0)+ P5(1)= 0.885+ 5·0.12·0.884=0.5377+ 0.3598= 0.8875.
1.4.4. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі
Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймовірностей ,або їх сум..
1) Формули Муавра-Лапласа. Локальна формула :
|
. |
(2) |
має місце при p і 1-p істотно відмінних від 0 і великих значеннях n і k . Відносна похибка цієї формули зменшується при зростанні n і зменшенні |k-np|. Вона застосовується звичайно при n >100, np(1– p)20 і |k- np |< <3.
Приклад. Знайти ймовірність того, що подія А настане k=85 раз при n=400 випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює p=0.2.
Розв’язання. n=400, p=0.2. np=4000.2=80, np(1– p)=800.8=64, =8,
k-np=85-80=5, =0.1255=0.625
Інтегральна формула :
|
. |
(3) |
де так звана функція Лапласа (або інтеграл помилок). Значення цієї непарної функції наведені в таблиці 1 додатка, а її графік на рис. 1.17. Формула (4) є твердженням теореми Муавра-Лапласа з пункту 3.2.4. Вона використовується тоді, коли і формула (3 )
.
|
Приклад 2. Гральний кубик підкидається 1200 раз. Знайти ймовірність того, що кількість випадань одиниці знаходиться в діапазоні між 195 та 210 включно. Розв’язання.Оскільки n=1200, p=1/6, то маємо ==. Подальше обчислення пов’язане з великими труднощами. Тому скористаємося формулою (3). Оскільки np=200, , d– np =10, c– np = – 5, шукана ймовірність приблизно дорівнюватиме |
Рис.1.7 |
Розділ 2. Випадкові величини
Означення 1. Випадковою величиною називається змінна величина, набуваємі значення якої залежать від наслідку експерименту (заздалегідь, до проведення експерименту, визначити, яке значення прийме величина неможливо ). Інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена на просторі елементарних подій W.
Для позначення випадкової величини найчастіше використовуються великі літери X, Y, Z латинського алфавіту, а для їх можливих значень – відповідні малі літери x, y, z.
Наведемо кілька прикладів випадкових величин: 1) кількість влучень у ціль при п‘яти пострілах; 2) кількість відмов приладу протягом заданого проміжку часу; 3) тривалість проміжку часу очікування трамвая або автобуса на зупинці; 4) результат вимірювання фізичної величини; 5) відстань від точки влучення в мішень до її центра .
Випадкова величина дає змогу разом з простором W розглянути інший більш простий простір W1, у якому елементарні події є значеннями випадкової величини.
Означення 2. Функцією розподілу випадкової величини X називається задана на всій осі Ox функція , яка визначається співвідношенням
|
. |
(1) |
|
Рис. 2.1 |
Відзначимо таки властивості функції розподілу:
1) ( ймовірність довільної події належить відрізку [0;1] );
2)=, а подія {X<} є неможливою ) ;
3) а подія { X<+ }є вірогідною );
4) FX (x) є неспадною функцією змінної х (якщо с<d , то подія {X<d} є сумою несумісних подій {X<c} і {X<d} (рис. 2.1)
5) функція FX (х ) в довільній точці є неперервною зліва.
Знаючи функцію розподілу, можна знайти ймовірність того, що випадкова величина попадає у проміжок [c; d) (рис.2.1.)
|
P{X[c; d)} = P{X < d}–P{X < c} =FX (d) – FX (c).. |
(2) |
.
2
A
B
y=Ф(x)
0.4772
0.3413
0.5
-0.5
-2
-1
3
0.17
x
x
EMBED Equation.DSMT4 m1
3 m1
Ω
в
1
H3
0
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.DSMT4
c
d
x
EMBED Equation.3
AB
EMBED Equation.3
AB
EMBED Equation.2
B
AB
EMBED Equation.3
A
Hn
А
A·H2
A·H1
A·Hn
A
Рис.1.1.
Ω
б
A·H3
AB
1
2
-3
H2
• • • • • Ω
а
H1
k-l
n-m
l
m
k
2 m1
m1 m2
1 2 3 m2
1 2 3 m2
1 2 3 m2
1 2 3 m2
1 m1