ТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ У РІЗНИХ РЕЖИМАХ ЇХ РОБОТИ Б

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Інститут телекомунікаційних систем

 

Теорія електричних ланцюгів

Методичні вказівки до роботи

«РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ У РІЗНИХ РЕЖИМАХ ЇХ РОБОТИ»

Б.М.Шелковніков

Розглянені і ухвалені

на засіданні інститута

телекомунікаційних мереж і систем

Протокол №_______________________

      від   ________________________

Київ - 2008

УДК  621.395.001

Теорія електричних ланцюгів

Методичні вказівки до роботи

«РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ

У РІЗНИХ РЕЖИМАХ ЇХ РОБОТИ»

Б.М.Шелковніков

-НТУУ «КПІ», 2008р.

Методичні вказівки вміщують три розділи:

    Математичні моделі різних режимів роботи електронних схем і

    методи та алгоритми розрахунку різних режимів роботи електронних схем.

    Методи и алгоритми аналіза чутливості електронних схем.

    Методи и алгоритми оптимізації електронних схем.

Методичні вказівки до курсової роботи призначені для виконання курсової роботи студентами інститута телекомунікаційних систем  НТУУ «КПІ», з вищезгаданої дисципліни, а також для самостійної роботи при вивченні курса.

Бібліографія назв.

Рецензенти:  

     

ВСТУП

Використання персональних електронних обчислювальних машин (ПЕОМ) у всіх областях людської діяльності - характерна риса науково-технічної революції. ПЕОМ, особливо  високопродуктивні, сприяють прискоренню прогресу у радіоелектронній промисловості. Використання ПЕОМ передбачає розробку відповідного спеціалізованого математичного (методи, алгоритми) і програмного забезпечення.

Мета курсу викладеного в методичних вказівках – допомогти у вивченні електронних схем як об'єктів дослідження і проектування, отримання навичок у  формулюванні задач дослідження і проектування, оволодіння методами і алгоритмами рішення задач дослідження у проектуванні електронних схем, навичками реалізації задач у вигляді програмного забезпечення  на ПЕОМ.  Виклад  курсу базується  на  знаннях студентами курсів з математики, фізики, теоретичних основ електротехніки, напівпровідникових приладів, електронних ланцюгів безперервної та імпульсної дії.

У методичні вказівки входить вивчення структур, режимів роботи, якісних показників,  характеристик  електронних схем, процеса проектування електронних схем, математичних моделей компонентів електронних схем, математичних моделей електронних схем, методів і алгоритмів аналізу математичних моделей електронних схем, ознайомлення із задачами автоматизації конструювання і виготовлення електронних схем, з принципами побудови програм моделювання електронних схем і системами автоматизації проектування.

ЗАДАЧІ АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРОННИХ  СХЕМ

Транзисторний підсилювач (ТРП), представлений електричною принциповою схемою (на мал. 1), в залежності від характера вхідного сигналу може працювати у різних режимах. За відсутності вхідного сигналу (або постійному сигналі) підсилювач знаходиться у статичному стані (режим постійного струму). При малому вхідному сигналі, що швидко змінюється, припустимо вважати, що транзистор має тільки лінійні динамічні властивості, і підсилювач працює в режимі лінійного підсилення. При великому вхідному сигналі, що швидко змінюється, транзистор виявдяє нелінійні динамічні властивості, підсилювач функціонує в динамічному нелінійному режимі. У залежності від форми вхідного сигналу (гармонічний, імпульсний) функціонування підсилювача може розглядатися у тимчасовій або частотній областях.

Мал 1

Кожний режим роботи підсилювача можна представити відповідним еквівалентним ланцюгом (схемою) і математичною моделлю і оцінити багатьма якісними показниками (характеристиками, схемними функціями) і параметрами. Якісні показники визначаються на основі математичної моделі і перевіряються експериментально. Весь перелік якісних показників характеризує властивості і функціональні можливості підсилювача загалом.  До основних якісних показників і параметрів підсилювача відносяться коефіцієнт передачі (коефіцієнт підсилення) Кр, вхідний і вихідний опори Zвх, Zвих,  динамічний діапазон, коефіцієнт нелінійних викрівлень, коефіцієнт шуму. Щоб знайти ці якісні показники необхідно проаналізувати підсилювач у статичному режимі, у динамічному режимі у часовій і частотній областях при великому і малому вхідних сигналах.

Еквівалентна схема ТРП для кожного режиму має свою множність елементів (компонентів) і свою структуру (тобто специфічне для режиму з’єднання елементів). Так, наприклад, режим малого вхідного сигналу представляється лінійною еквівалентною схемою – з’єднанням лінійних елементів, статичний режим - нелінійною еквівалентною схемою на постійному струмі і т.д.

Слід зазначити, що згадані режими характеризують роботу більшості електронних схем приймально-підсилювальних пристроїв і тому розв’язання задач розрахунку схем в цих режимах має загальне значення.               

Множина якісних показників, що визначаються у відповідному режимі  і представляють задачі аналізу, залежить від множності елементів і їх параметрів - рэ, від структури їх з'єднання - Sp, типу вхідного сигналу (постійний, частотний, часовий):

Кр=F(Sp, рэ, Up)                       (1)

де p - відповідний режим.

Динамічні якісні показники завжди залежать від вихідного статичного режиму, що можна відобразити залежністю:

рэ=( Кст)

Тільки в пасивних схемах статичний режим може характеризуватися нульовими значеннями змінних. Співвідношення (1) являють собою основні задачі розрахунку, аналізу якісних показників ТРП та електронних схем.

Велике значення при проектуванні електронних схем має розв’язання задач розрахунку чутливості якісних показників по параметрах елементів- Sр, що дозволяє визначити допуски на параметри, і задач оптимізації, тобто пошуку множини оптимальних параметрів ропт, що забезпечують необхідне відхилення множини якісних показників від заданих у технічному завданні.

 Серед згаданих режимів найбільш загальним є динамічний режим при дії великого сигналу, що змінювався у часі. Інші режими – часткові випадки від цього режиму.

Динамічний нелінійний режим (часова і частотна область) – при великому вхідному сигналі.

 Статичний режим спостерігається, коли зовнішній вплив постійний у часі.

 Динамічний лінійний режим (часова і частотна область) - при малому вхідному сигналі.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ В ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ.

ЧАСОВА ОБЛАСТЬ

При великому вхідному сигналі, що швидко змінюється, в ТРП транзистор виявляє нелінійні і динамічні властивості (мал. 2), які можуть бути представлені еквівалентною схемою (на мал. 2 виділена штрихами) і математичною моделлю Еберса-Молла [1,2].

Мал. 2

У моделі Еберса-Молла властивості елементів виражаються наступними співвідношеннями:

Iк=Iко•(e(К1•Uкб)-1)=К(Uкб),  К1=1/(mк•Т),                         (2)

Iэ=Iэо•(e(К2•Uбэ)-1)=Э(Uбэ),  К2=1/(mэ•Т)

Jдк=N•Iэ,

Jдэ=I•Iк,

URб=iRб•Rб

Iск=Ск(Uкб)•dUкб/dt,

Ск(Uкб)=Cкб+Скд=Сокб/(1-Uкб/К)0.5+Сокд•Iк

Сокд=К1/(2••Fi)

Iсэ=Сэ(Uбэ)•dUбэ/dt,

Сэ(Uбэ)=Cэб+Сэд=Сокб/(1-Uбэ/К)0.5+Сокд•Iэ

Соэд=К2/(2••Fn)

де Uкб, Uбэ - напруга колектор-база, база-еміттер відповідно;

К1, К2 - температурний потенціал;

т - контактна різниця потенціалів;

Iко, Iэо – струми насичення колекторного та еміттерного переходів;

mк, mэ – коефіцієнти, що відображують технологію виготовлення транзисторів;

N, I - коефіцієнти підсилення за струмом при нормальному та інверсному режимах;

iRб – струм через резистор бази;

Rб- опір бази;

Сокб, Соэб - бар'єрні ємності при нульовому зміщенні;

Fn Fi - гранична частота транзистора при нормальному та інверсному включеннях.

Властивості інших елементів еквівалентної схеми ТРП (мал. 2) для динамічного режиму виражаються співвідношеннями:

UR1=iR1•R1, UR2=iR2•R2, URб=iRб•Rб, UR3=iR3•R3, UR4=iR4•R4, UR5=iR5•R5,

UR6=iR6•R6,  UR7=iR7•R7

У загальному вигляді можна для елементів схеми можна записати:

Резистори:       URi=iRi•Ri ,                           i - номер резистора                         (3)

Ємності:           iCj=Cj• dUcj/dt ,                  j - номер ємності                  

Джерела постійного струму:  J==const

Вхідний струм:    J~=(t)=Jм•sin(•t+J)- функція часу.

Елементи схеми (або гілки) з’єднуючись у вузлах утворюють контура. До струмів у вузлах (перерізах) схеми і напруг у контурах можна застосувати, відповідно, перший і другий закони Кирхгофа:

1.  Алгебраїчна сума струмів i у будь-якому вузлі (у замкненому перерізі) електричної схеми дорівнює нулю (витікаючий з вузла струм береться зі знаком "+", втікаючий у вузол  струм береться зі знаком "-" ).
2.  Алгебраїчна сума напруг u гілок у будь-якому контурі електричної схеми дорівнює нулю.

Рівняння з’єднань, складені за законами Кірхгофа, визначаються тільки схемами з’єднань гілок, тобто геометричною структурою ланцюга, і не залежать від виду і характеристик елементів, тобто фізичного змісту гілок. Тому при складанні рівнянь з’єднань зручно відволікатись від виду і характеристик гілок ланцюга і замінювати їх лініями, що з'єднують вузли, із збереженням числа гілок і вузлів. У результаті отримують так званий лінійний граф (топологічний граф), який являє собою сукупність або систему вузлів (вершин), що зображаються точками, і гілок (ребер), що зображаються відрізками ліній, які з’єднують будь-яку пару вузлів. Таким чином, елементами графа є вузол і гілка  (мал. 3).

Мал. 3

Об’єднані множини рівнянь гілок (компонентних рівняннь (2), (3) і топологічних рівнянь (4)) складають математичну модель схеми (ММС) для динамічного режиму при великому сигналі. Якщо схема має l гілок, то кількість рівнянь і кількість змінних ММС дорівнює l•2  при виборі незалежних перерізів і контурів. Для нашої схеми при вказаних стрілками напрямах струмів рівняння (4) має вигляд:

Вузол  1 iR1 + iС1 - J~ =0

Вузол 2 -iС1 +iR3 +iR2 +iRб =0

Вузол  3 -iRб +iСк +iСэ - iК - iЭ - iДК - iДЭ =0                                   (5)

Вузол  4 -iR5 - iС2 - iСэ + iЭ + iДЭ =0

Вузол  5 iR4  + iС3 - iСк + iК + iДК =0

Вузол  6 -iR4  - iR2 - iR7 + J= =0

Вузол  7 -iC3  + iC4 - iR6 =0

Крім струмів і напруг гілок, введемо у розгляд нові змінні - потенціали вузлів i відносно базисного вузла (0=0). Як базисний, зручно взяти вузол, спільний для входу і виходу схеми. Тоді згідно з другим законом Кирхгофа, напруги всіх гілок u і вузлові потенціали  i зв’язуються співвідношеннями:

uR1=1-0, uC1=1-2, uR2=2-6, uR3=2-0, uС3=5-7 uRб=2-3, uR4=5-6, uR6=7-0, uR5=0-4, uC4=7-0 uС2=0-4, uCк=3-5, uCэ=3-4, uIк=5-3, uIэ=4-3 uJдк=5-3, uJдэ=4-3                                                        (6)

Множини рівнянь (5) і (6) можна записати у матричній формі в загальному вигляді

                           | A | • | i |=0                              (7)

| u |=| At | • |  |                                      (8)

де | i |=|iR1 , iС1, iR2 ……, J~, J= |t- вектор струмів усіх гілок схеми;

   | u |=|uR1 , uС1, uR2 ……, uJдк , uJдэ |t -вектор напруг усіх гілок;

   |  |=|1,2,3,4,….q |t - вектор вузлових потенціалів;

q – кількість вузлів,  t- знак транспонування.

Матриця |A|, що має назву матриця інциденцій вузол-гілка, для схеми представлена на мал. 3 і характеризує її структурні властивості. Матриці |A| і співвідношенням (7)-(8) відповідає топологічний (направлений) граф схеми, побудований на множині змінних схеми i, u та i. Граф є геометричним представленням структури схеми. На графі виділені вузли 1,2,3,4,5,6,7. Вибір напряму струмів у гілках графа визначає систему незалежних струмів і напруг в ММС. Виразимо рівняння (5) використовуючи рівняння (2),(3) і (6). У результаті отримаємо систему рівнянь (9): 

Узел   1 (1-0)/R1 +С1•d(1-0)/dt - J~ =0

Узел  2 -С1•d(1-0)/dt +(2-0)/R3  +(2-6)/R2 +(2-3)/Rб =0

Узел  3 -(2-3)/Rб +Ск(3-5)•d(3-5)/dt +Сэ(3-4)•d(3-

- 4)/dt- К(5-3)-Э(4-3) -N•Iэ(4-3) -I•IК(5-3)=0

Узел  4 -(0-4)/R5-С2•d(0-4)/dt-Сэ(3-4)•d(3-4)/dt+

+Э(4-3)+ +I•IК(5-3)=0                    (9)

Узел  5 (5-6)/R4 +С3•d(5-7)/dt +Ск(3-5)•d(3-

-5)/dt+К(5-3)+N•Iэ(4-3)=0

Узел  6 -(5-6)/R4 -(2-6)/R2-(6-0)/R7+ J= =0

Узел  7 -С3•d(5-7)/dt +С4•d(7-0)/dt -(7-0)/R6 =0

Ці рівняння, що звуться вузловими, складені методом, подібним методу вузлових потенціалів для лінійних ланцюгів. Система (9) - це система алгебро-диференціальних нелінійних рівнянь відносно змінних 1,2,3,4,5,6,7,J=,J~. Вона складається з трьох груп рівнянь: лінійних алгебраїчних (7), лінійних диференціальних (1,2,6), нелінійних диференціальних (інші рівняння). Відповідно, змінні діляться на лінійні Xл=J= та J~, лінійні диференціальні Xлд=|1,2,6,7|t, нелінійні диференціальні Xнд=|3,4,5|t.

З урахуванням викладеного система (9) може бути записана у скороченому вигляді:

л=( Xл, Xлд, Xнд)=0;   лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0

нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0              (10)

де -л - лінійний оператор;  н - нелінійний оператор.

X'нд,  X'лд – похідні змінних за часом.

 

Множину гілок у схемі (2)-(3) відповідно властивостям їх рівнянь, можна розділити на характерні підмножини гілок:                                      (11)

- джерел струму J=, J~;

- лінійних резисторів R і проводимоcтей G:  UR=iR•R  або  iR=UR•G , де G=1/R

- нелінійних резисторів      Iн=(UR);         

- залежних джерел струму     Iд=•Iн ;

- лінійних ємностей      iСЛ= Сл•d(Ucл)/dt ;

- нелінійних ємностей      iСН= Сн( Ucн)•d(Ucн)/dt .

 

Цьому розподілу відповідає розподіл топологічної матриці |A| на субматриці і запис топологічних рівнянь (7)-(8) у формі:

	Гілки
Вузли	J=	J~	R1	R2	R3	RБ	R4	R5	R6	R7	Iк	Iэ	Iдк	Iдэ	С1	С2	С3	С4	Ск	Сэ
1	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
2	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	1	1
4	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	1	0	1	0	-1	0	0	0	-1
5	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	-1	0
6	1	0	0	-1	0	0	-1	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0
	АЕ	АR	AH	AД	АСЛ	АСН
							JЕ
АЕ	АR	AH	AД	АСЛ	АСН	•	JR
							IН	= 0	(12)
							IД
							iСЛ

uЕ		АtЕ		1
uR		АtR		2
uН	=	AtH	•	3	(13)
uД		AtД		•
uСЛ		АtСЛ		•
uСН		АtСН		q

Підставимо рівняння (13) у співвідношення (11) і результат у (12). Після перетворень отримаємо матричне рівняння:           

                                                                                                                                 (14)

|АЕ|•|iЕ |+|АR|•|G|•|АtR|•||+|АH|•(|АtH|•||)+|АД|••Н(|АtД|•||)+

+|АСЛ|•|СЛ|•d(|АtCЛ|•||)/dt+|АСН|•|СН(|АtCН|•||)|•d(|АtCН|•||)/dt = 0

 Рівняння (14) - це записане у більш загальній формі (з урахуванням топологічних субматриць) рівняння (9). Підстановка субматриць і рівнянь гілок на основі (11), (2), (3) і подальше перетворення дадуть у кінцевому результаті (9). Рівняння (14) як і (9) можна представити у формі (10).

Отже, рівняння (9), (6), (2), (3) складають математичну модель ТРП у динамічному режимі, а співвідношення (14), (13), (11) - математичну модель для динамічного режиму класу електронних схем, що представлений на основі множини компонентів (гілок) виду (11). Назвемо цю модель ММС-ДР1 (Математична модель схеми - динамічний режим 1).

Розглянемо ще один вид математичної моделі схеми ТРП (мал. 4):

Мал. 4

Вибір дерева на топологічному графі схеми визначає не тільки системи лінійно-незалежних рівнянь, складених по законах Кирхгофа, але й, у кінцевому результаті, вид і властивості математичної моделі схеми.

Найбільш загальні топологічні властивості електронних схем представляються законами Кирхгофа у формі:

|Пi| =0,                                                                 (15)

|Рu|=0,                                                            (16)

де |Пi|, |Рu| - матриці перерізів і контурів.

Насправді,  під |П| та |Р|  надалі маються на увазі матриці головних перерізів і контурів. Якщо узагальнені вузли, що утворюються перерізами графа, співпадають з вершинами (вузлами) графа, то матриця |П| співпадає з |А|.  Це випадок побудови канонічних перетину і дерева. Побудова дерева (мається на увазі фундаментальне дерево) розбиває гілки графа на гілки дерева (ребра) і гілки, що не увійшли в дерево, звані хордами (зв'язками). Рівняння Кирхгофа при цьому набувають вигляду:

				iT
Пi	=	1  | 	•		=0	или	iT=-•iX                  (17)
				iX

 

				uT
Рu	=	  | 1	•		=0	или	uХ=•uТ                   (18)
				uX

У випадку збігу фундаментального дерева з деревом графа виконується співвідношення: =-t, =-t             (19) 

З урахуванням цього співвідношення (17)-(18) запишуться:

iT= -•iX,       uХ=t•uТ                                         (20)  (21)                                                                              

На основі рівнянь (20)-(21) може бути складена ММС у формі нормальних звичайних диференціальних рівнянь (у вигляді рівнянь змінних стану [1,2,4,5].

Виберемо дерево графа схеми так, щоб у гілки дерева увійшли джерела напруги, ємності і потрібна кількість резисторів, а в хорди – джерела струму, індуктивності (якщо є) і резистори, що залишилися.  Це завжди можна зробити, якщо гілки схеми не утворюють топологічних вироджень (наприклад, контурів з ємносних гілок і джерел ЕРС або перерізів, утворених індуктивними гілками і джерелами струму). Інакше необхідно усунення виродження [5]. На мал. 5 зображено дерево і перерізи на графі схеми ТРП:

Мал. 5

Відповідна матриця перерізів П для схеми:

Перерізи	гілки
	E	Uвх	С1	С2	С3	С4	Сэ	Ск	R3	R1	R2	RБ	R4	R5	R6	R7	Iд	Iк	Iдэ	Iдк
	7	1										1		1
	1		1								-1
	2			1							-1
	5				1								1	-1	1		-1
|П|=	8					1											-1
	9						1									1	1
	4							1					-1	1			1	-1		1
	6								1					1			1		1		-1
	3									1	1	-1	-1

Ємнісний контур (С2СэСкС3С4) розірваний включенням невеликого R7. Матриця |П|  розбивається на ряд характерних субматриць

1	ERX	EI
	CRX	CI
		CHIH	CHIД
	RBRX	RBI

RX=	ERX	RX=	EI
	CRX		CI
	RBRX		RBI

Підставимо компонентні рівняння (11) у (20)-(21), у результаті отримаємо:

С•d(Uc)/dt=CRX•GХ•uRX+CIH+IH(uH)+CIД••IH                         (22)

iEB=EBRX•GХ•uRX+EBI•IX    

           (23)

iRB=RBRX•GХ•uRX+RBI•IX 

uRX		tRX		EB	EB=|E, uBX|t                       uRB=uR3                          (24)                       IX=|IH, IД|t
	=		•	uC
uIX		tIX		uRB

    uRB=RB•iRB

У цих рівняннях:

	C1						1/R1
		C2						1/R2
C=			Cэ(uЭБ)			, GX=1/RX=			1/RБ
				Cэ(uКБ)						…
					СН						1/R7

RB=R3,	IH=	IЭ(uЭБ) IК(uКБ)	IД=•IH=	N I	•	IЭ IК

Підстановка рівняння (24) в (22) призводить останнє до вигляду (25):

		-1		EB		EB
С•d(Uc)/dt=	С	•	(CRX•GХ•tRX•	uC	+CIH•IH•(tIX•	uC	)+CIД••IH )
				uRB		uRB

Співвідношення (25), (23) і (24) - ММС у формі рівнянь змінних стану, назвемо її ММС-ДР2. (Математична модель схеми - динамічний режим 2).

У скороченому вигляді ці співвідношення запишуться:

Xд=д( Xд, Xл, ЕВ),      Xд=| Xлд, Xнд|t,    Xл=л( Xд, Xл, ЕВ)              (26)

Друге рівняння можна подати і у формі:                 |А|•X=д( Xд, ЕВ)

Якщо підставити у (23)-(25) значення топологічних субматриць IJ і параметрів гілок C1,C2,...,R1,R2,..,  і т.п., то отримаємо математичну модель ТРП для динамічного режиму при дії великого сигналу.

Порівняння ММС-ДР1 і ММС-ДР2 показує, що передусім вони відрізняються видом математичних рівнянь (у першому випадку - неявна форма алгебро-диференціальних нелінійних рівнянь, у другому випадку похідні змінних диференціальних рівнянь виражені явно) і кількістю незалежних змінних (у першому випадку - це , у другому - |uС, uRX, uIX |t. У разі виникнення необхідності отримання напруг і струмів усіх гілок у ММС-ДР1 виникає потреба працювати з (2•l+q) рівняннями (14), (13) і (11), у ММС-ДР2 з n 2•l рівняннями.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У СТАТИЧНОМУ РЕЖИМІ

Схема знаходиться у  статичному режимі, якщо на неї впливають постійні у часі сигнали, тобто при t=to (або рівному нулю)

uвх(to)=Е=const.

При цьому струми в ємностях (напруги на індуктивностях) рівні нулю, що відповідає duC /dt =0 та  diL /dt=0 або відсутності змін струмів і напруг у схемі. Підставляючи ці умови у співвідношення (9), (14), (25) отримаємо відповідні математичні моделі для статичного режиму – ММС ТРП: ММС-Cтl, ММС-Ст2.

Математична модель ТРП для статичного режиму буде мати вигляд (9) без членів з похідними і при uвх=Е.

Рівняння (6) залишається без змін і дозволяє визначити напруги на всіх гілках (включаючи ємнісні) у статиці після знаходження з (27)  і підстановки у (6). Необхідні струми гілок, як і в динаміці, можна знайти з рівнянь (2), (3).

Модель ММС-Ст1 на основі ММС-ДР1 (див. співвідношення (14), (13), (11)) запишеться як

|АЕ|•|iЕ|+|АR|•|G|•|АtR|•||+|АH|•(|АtH|•||)+|АД|••Н(|АtД|•||) = 0    (27)

|u|=|А|t•||,  |u|=|uЕ , uR, uH, uД, uСЛ, uСН |t         (28)

 

		R1
iRi= G•u Ri	G=1/R		…
	R=			RБ
					…
						R7

Iн=Н(uН),   Iн=| Iк , Iэ |t,

Iэ=•Iн,   Iд=| Iдк , Iдэ |t,  =|n i|         (29)

      

Скорочено рівняння (27) представляються у формі (див. (10))

л( Xл, Xн)=0              (30)

н( Xл, Xн)=0

де л -  лінійний оператор; н - нелінійний оператор.

Xл,  Xн - незалежні змінні, відповідно, лінійних і нелінійних алгебраїчних рівнянь.

Із співвідношень (25), (23), (24) з урахуванням iС=0 и uвх(to)=Е отримаємо математичну модель електронних схем ММС-Ст2

	EB		EB
CRX•GХ•tRX•	uC	+CIH•IH•(tIX•	uC	)+CIД••IH =0
	uRB		uRB

iЕВ= ЕВRX•GХ•uRX + ЕВI•IХ  IХ=| Iн , Iд |t,                   (31)

iRВ= ЕВRX•GХ•uRX + RВI•IХ  uRX=RВ•iRВ,

uRX		tRX		EB
	=		•	uC
uIX		tIX		uRB

Скорочено ММС-Ст2 має вигляд (30).

Якщо лінійні рівняння розглядати як частковий випадок нелінійних рівнянь, то усі ММС-Ст і рівняння (30) можна подати як одне операторне рівняння:

( X)=0                            (32)

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ  РОЗРАХУНКУ СТАТИЧНОГО РЕЖИМУ РОБОТИ

Взагалі існує два основних підходи до розв’язання задачі розрахунку статичного режиму.

Перший заснований на представленні статичного режиму, до якого прямують при t перехідні процеси у схемі при підключенні до неї джерел живлення і вхідного джерела (його постійної складової). При цьому використовуються динамічна математична модель схеми і методи чисельного інтегрування для її розв’язання. Другий підхід заснований на розв’язанні алгебро-трансцендентних нелінійних рівнянь із застосуванням ітераційних, проекційних методів, методів спуску і продовження рішення за параметром, комбінованих методів [1,2,4,5]. 

Найбільше поширення при машинному проектуванні електронних схем знайшов метод Ньютона і його модифікації. Нехай задана система нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь вигляду (32) і відомо, що в деякій області G змінних  (X1, Х2,..., Хn) існує єдиний розв’язок (X*1, Х*2,..., Х*n). Метод Ньютона полягає у тому, що за початковим наближенням змінних (X01,Х02,...,Х0n) знаходиться наступне наближення за формулами:

Xi1=Хi0 -|W(Хi0)|-1•( Хi0)  i=1,…n

або

W(Хi0)•Хi0= -(Хi0),  Хi1= Хi0+Хi0,

де (Хi0) - значення лівої частини системи (32) при Хi0 називається вектором нев’язок,  

W(Хi0)=d(Хi0)/dХi0 – матриця Якобі (якобіан) системи (32),

 Хi0- вектор поправок.

Використовуючи знайдені величини розраховуємо

W(Хi1)•Х11= -(Хi1),  i=1,…,n

 Хi2= Хi1+Хi1,     і т.д.

Якщо знайдене k-е наближення, то (k+1)-e наближення обчислюється за формулою

W(Хik)•Х1k= -(Хik),     (33)

 Хik+1= Хik+Хik

Якщо Lim(Хik)k для i=1,…,n тобто Хik (похибка), то кажуть, що метод Ньютона збігається до розв’язку.

Як видно з (33) на кожній ітерації процесу наближення до розв’язку потрібно обчислювати значення вектора нев’язок (Хik), Якобіана W=d(Хik)/dХik , розв’язувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вектора поправок Хik і знаходтити наступне наближення Хik+1 через Хik   і  Хik  за формулою додавання векторів.

Наближений розв’язок Хik+1= Хi* бажано отримати з наперед заданою точністю. На практиці досягнуту у процесі ітерацій точність оцінюють за нормою вектора поправок Хik  або за нормою вектора нев’язок[(Хik)]. Зрозуміло, що при Хik+1Хi* маємо [Хik]0 и [(Хik)]0. Звідси випливає, що обчислення потрібно припиняти, якщо [Хik ] <  або [(Хik)] < . Під нормою вектора Хik  або (Хik) може розумітися або Евклідова норма е - норма 

n               

                                         [Хik] =(  (Хik)2)0.5

       i=1             

або S - норма

       n               

                                         [Хik] =    |Хik|

      i=1             

або рівномірна норма ( m - норма)

                            

                                         [Хik] = max |Хik|

       1  i   n             

Швидкість збіжності методу Ньютона квадратична

Хik+1  k•( Хik)2  

Якщо помилка Хik мала, наприклад, Хi << 1, то подальша помилка буде зменшуватись до збільшеного у k - раз квадрата попередньої помилки. Після  кожної ітерації спостерігається подвоєння кількості правильних десяткових знаків у результаті. Для збіжності процесу Ньютона до розв’язку Х* необхідно, щоб:

а) початкове наближення Х0 було близько задане до коренів Х*;

б) вектор-функція (Х) має бути визначена і безперервна разом зі своїми частковими похідними першого і другого порядку у деякій області;

в) матриця Якобі W(Х) повинна мати обернену обмежену матрицю;

г) матриця других часткових похідних функції (Х) також має бути обмежена. Ці умови математично складні для апріорного визначення факту збіжності і швидкості збіжності, тому не наводиться їх суворе математичне формулювання, але дається пояснення на конкретних прикладах як вони впливають на процес збіжності і результат розв’язку.     

  

ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ДЛЯ СТАТИЧНОГО РЕЖИМУ РОБОТИ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ

Розглянемо найпростішу математичну модель ланцюга (мал. 6) з діодом для статичного режиму

        Мал. 6

-E+Uд+R•Iо•(eUд / т-1)=(Uд)=0       (34)

де      Iо,  Т - параметри моделі діода для статичного режиму;

E, R  - параметри ланцюга.

 Якобіан рівняння (34) буде дорівнювати:

W(Uд)=d(Uд)/dUд =1+(1/Т) •R•Iо•eUд / т         (35)

Ітераційна формула Ньютона (див. (33)) з урахуванням (34) і (35) набуде вигляду

                              Uкд/Т                                              Uкд/Т

      [ 1+(1/Т) •R•Iо•e              ] •Ukд = E-Uкд -R•Iо•(e          -1)               (36)

Uк+1д = Uкд+Uкд

На мал. 7 зображена геометрична інтерпретація процесу розв’язання за ітераційною формулою (36).

Мал. 7

Процес розв’язання розпочинається з початкового наближення U0Д   і закінчується у близькому околі кореня U*Д. Видно, що вибір початкового наближення U0Д праворуч від кореня призводить до закінчення ітераційного процесу у пошуку розв’язку за 3-4 ітерації. Нахил дотичної в точці, наприклад, [U0Д, (U0Д)] визначаєтся W(U0Д), а приріст між ітераціями U0Д – значенням Якобіана і функції у попередній точці, тобто

U0Д = W-1(U0Д) • (U0Д)

У проміжку між ітераціями функція (U0Д) замінюється прямою лінією, дотичною у початковій точці. Тому метод Ньютона називають ще методом дотичної або методом лінеаризації. Якщо початкове наближення вибрати зліва від кореня, то неважко бачити, що через велике значення оберненої похідної W-1(U0Д) вже перший приріст U0Д великий і може призвести до великого значення функції (U1Д)  і навіть переповнення розрядної сітки ЕОМ (мал. 8). На мал.9 показані для довільної функції (Х) випадки зациклювання ітерацій і розбіжності методу Ньютона. Проте з геометричних інтерпретацій видно, що якщо початкове наближення вибране близько до точного рішення, то метод сходиться завжди.

Мал.8

Мал. 9

Для усунення невиправданого зростання (U1Д) і переповнення розрядної сітки ЕОМ у разі експонентних нелінійностей існує декілька способів [l, 2]:

а) введення обмежень на зміну напруги і струму діодів:

Iд  Iд макс , Uд  Uд макс 

б) лінеаризація діодних характеристик після Uд макс,  тобтозастосування співвідношень:

           Iо•(eUд/т -1)                            при Uд  Uд макс = Uдм             

 Iд= 

           Iо•(eUдм/т -1)•(1+(Uд-Uдм)/ Т)        при  Uд > Uдм

в) використання допоміжних співвідношень - визначення поправки, наприклад, при  U >0 за формулою:

UкД =  Т •Ln(1+UкД / Т)

де UкД - поправка, обчислена за звичайною ітераційною схемою Ньютона. Ці ідеї можуть бути перенесені на інші класи нелінійних функцій.

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ ДЛЯ АНАЛІЗУ СХЕМ

 

Під час розрахунку статичного режиму методом Ньютона (див. (33)) виникає необхідність розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь на кожній ітерації. Чисельні методи розв’язання систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи:

1) точні (прямі) методи;

2) ітераційні.

Точні методи дають розв’язок системи за кінцеве число арифметичних операцій. Якщо усі операції виконуються точно (без помилок округлення), то розв’язок заданої системи також виходить точним.

Ітераційні методи застосовуються, як правило, для ітераційного поліпшення розв’язків, що отримуються прямими методами. Ітераційні методи є наближеними. Вони дають розв’язок системи як межу послідовних наближень, що обчислюються деяким одноманітним процесом (наприклад, розглянутий метод Ньютона, метод простої ітерації, метод Некрасова, метод Зейделя та інш. [4,5]).

Найпростіший серед точних методів - метод Гауса [4,5]. Він заснований на ідеї виключення невідомих, внаслідок якого задана система рівнянь

W•Х=       або      А•Х=В

тобто

а11•х1+а12•х2+а13•х3+……а1n•хn=b1

а21•х1+а22•х2+а23•х3+……а2n•хn=b2                    (37)

  ………………………………………

аn1•х1+ аn2•х2+ аn3•х3+……аnn•хn=bn

перетворюється у еквівалентну їй систему з верхньою трикутною матрицею, розв’язання якої вже не викликає складностей. Метод Гауса може бути реалізований таким чином. Нехай а110, розділимо перше рівняння системи (37) на коефіцієнт а11, який має назву ведучого для першого кроку. Потім помножимо послідовно отримане рівняння на аi1 та (i=2,3,..., n)  і віднімемо його з відповідних рівнянь (i=2,3,..., n)  системи (37). У результаті невідоме x1  буде виключено з усіх рівнянь заданої системи окрім першого, і ми отримаємо систему, еквівалентну (37) вигляду

х1+а12(1)•х2+а13(1)•х3+……а1n(1)•хn=b1(1)

0+а22(1)•х2+а23(1)•х3+……а2n(1)•хn=b2(1)                            (38)

  ………………………………………………

0+аn2(1)•х2+аn3(1)•х3+……аnn(1)•хn=bn(1)

З цією системою обходимось аналогічно, але без урахування першого рівняння. Таким чином, на другому кроці фактично перетворюваною є система     ( n-1 )-го порядку з матрицею

| а22(1)  а23(1)   …… а2n(1)   |

| а32(1)  а33(1)   …… а3n(1)   |

| ………………………..  |

| аn2(1)   аn3(1)   …… аnn(1) |

і правою частиною b2(1)   b3(1)   …… bn(1) |t

Після другого кроку отримуємо систему, в якій х2 буде виключено з усіх рівнянь, окрім першого і другого. Продовжуючи описаний процес, після n -го кроку прийдемо до системи, еквівалентної (37), але з трикутною матрицею

х1+а12(1)•х2+а13(1)•х3+……а1n(1)•хn=b1(1)

0   +     х2  +………………а2n(2)•хn=b2(2)                                (39)

  ………………………………………

…………………………………хn=bn(n)

Перетворення системи (37) у систему (39) називається прямим ходом, а розв’язання трикутної системи (39) – зворотнім ходом. Обчислювальні формули цього варіанту методу Гауса, який має назву алгоритма єдиного поділу, мають наступний вигляд:

Прямий хід,   s -й крок (s = 1, 2,……n)

аiк(s)= аiк(s-1)/аss(s-1), bi(s)= bi(s-1)/аss(s-1), i=s,    к=s,s+1,……,n                                 (40)       

аiк(s)=аiк(s-1)-[аsк(s-1)/аss(s-1)]•аis(s-1),  

bi(s)=bi(s-1)-[аis(s-1)/аss(s-1)]•bi(s-1),                  i=s+1, s+1, ………., n    к=s, s+1, ……, n    

                                    

Зворотній хід здійснюється за формулою:

             n               

xi=bi(i)-аiк(i)•xк,           i=n, n-1, ………,1                                            (41)

             к=i+1            

Схема єдиного поділу проста і економна за кількістю арифметичних операцій (вимагає множень - (n3+3•n2+n)/3, додавань - (2•n3+3•n2+5•n)/6, ділень - n ), однак для її застосувнння необхідно, щоб усі ведучі елементи    аss(s-1) (s=1,2,….,n) були відмінні від нуля. Близькість ведучих елементів до нуля може призвести до великої втрати точності обчисленого розв’язку. У зв'язку з цим вводяться різні варіанти методу Гауса, наприклад, алгоритм з вибором головних елементів по усій матриці. Порядок виключення невідомих у заданій системі відбувається таким чином. На кожному кроці s (s=1,2,….,n-1) з коефіцієнтів перетворюваної матриці вибирається найбільший за модулем, він  має назву головного елементу s -го кроку. Невідоме при ньому виключається за описаним вище правилом. Дня зручності обчислень перед виключенням цього невідомого роблять перестановку рівнянь і невідомих так, щоб головний елемент зайняв лівий верхній кут перетворюваної матриці. Якщо на s-му кроці найбільший елемент вибирається серед коефіцієнтів s-го стовпчика (рядка), то такий алгоритм називається алгоритмом з вибором головного елемента по стовпчику (рядку). Потрібно відмітити, що процедура обернення матриць шляхом застосуання виключень Гауса вимагає приблизно n3 множень у порівнянні з n3/3 при розв’язанні системи лінійних рівнянь. Тому не пропонується розв’язувати рівняння W•Х= шляхом обернення W.  

      При розв’язанні систем лінійних рівнянь, у тому числі під час аналізу лінійних схем, широке застосування крім методу Гауса отримали також LU - розкладання, метод Краута, методи відображень і обертання [5, Д2]. Під час розрахунку великих електронних схем матриця W має значну кількість нульових елементів (до 80-90%) тобто сильно розряджена. Врахування цього факту у спеціальних модифікаціях вищезгаданих методів [5, Д2]  дозволяє різко збільшити ефективність розв’язку (зменшити витрати пам'яті і збільшити швидкість розв’язку).

Під час розрахунку статичного режиму ТРП (див. (9)) за умов статики (33) та із застосуванням методу Ньютона знадобиться розв’язувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду

-1/R1							•	к1	=	1(к1)
	1/RБ+ +1/R2	1/R3  - -1/RБ						к2		2(к2,к3)
	1/RБ	W33	N•'э- -'э	-I•'к- -'к				к3		3(к2,к3, к4,к5)
		N•'э++'э	W44					к4		4(к3,к4)
		'к+ +N•'э	-N•'э	-'к+ +1/R4				к5		5(к3,к4, к5)
					1/R6			к6		6(к6)
	1/R2			1/R7		-1		iкЕ		7(к2,к5, iкЕ)

де    'к=dккi/dкi ,       'э=dэкi/dкi    

i - індекс відповідного потенціала,

W33= -1/RБ+'э+N•'э+'к+I•'к

W44= 1/R5+'э - N•'э

Якщо немає необхідності обчислення iЕ, то можна розв’язувати систему 6-го порядку після попереднього видалення останнього рядоку і сьомого стовпецю в матриці W. Потенциали на кожній ітерації визначаються з

к+!i =кi - кi,   к=0,1,2,……..

Якщо [ik ] <   и [(i k)] < ,  то  ik+1 = *i      тобто шуканаму розв’язку.

Для моделей ММС-Ст1 і ММС-Ст2 може бути побудована ітераційна схема (33) подібно до того, як це було зроблено для моделі ТРП. Наприклад, матриця Якобі від (27) має вигляд

W(iЕ ,)=|АЕ|+|АR|•|G|•|АtR|+|АH|•'(|АtH|•||)•|АtH|+

+|АД|••'Н(|АtД|•||)•|АtД|          (42)

Щоб розрахувати методом Ньютона статичний режим заданої схеми з класу електронних схем, представленого множиною гілок (2)-(3), необхідно за допомогою заданої топологічної інформації (матрацям |А| або |П|) сформувати не тільки моделі (27-29) або (31), але й матрицю Якобі. У ЕОМ це здійснюється автоматично за допомогою спеціальних алгоритмів формування моделі і Якобіана. Якщо під час розв’язання лінійної системи застосовується метод розріджених матриць, то Якобіан подається не у формі матриці [n x n], а у вигляді зв’язаних векторів (множин) [5].

Окрім методу Ньютона під час розрахунку статичного режиму, тобто при розв’язанні ММС-Ст1 і ММС-Ст2, можна застосувати інші методи:

- метод Ньютона-Канторовича, що вимагає обчислення Якобіана тільки один раз;

- метод найшвидшого спуску, який менш критичний, ніж метод Ньютона, до вибору початкового наближення, але з меншою швидкістю збіжності;

- метод Матвеєва – комбінацію зі згаданих вище;

- методи високої швидкості збіжності [2,4,5].

На основі ММС-Ст розраховується ряд якісних показників, наприклад, споживана потужність на постійному струмі- Ро, як сума потужностей, споживаних у кожній гілці, передавальна характеристика Uвых=(Uвх)  при лінійному законі зміни Uвх та інші. По закінченню розрахунку статичного режиму знаходять також параметри малосигнальних моделей приладів  Наприклад, для транзистора визначається

                                        gK= I'К•(U*КБ)  IК/U*КБ |

                    | UКБ=U*КБ

rK=1/gK,    CK=CK(UКБ)

gЭ= I'Э•(U*БЭ)  IЭ/U*БЭ    |

                    | UБЭ=U*БЭ

rЭ=1/gЭ,   CЭ=CЭ(UБЭ)

U*КБ, U*БЭ - значення напруг у статичному режимі.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ МАЛОМУ СИГНАЛІ.

ЧАСОВА ОБЛАСТЬ

При малому вхідному сигналі нелінійні функції, що описують властивості приладів, в околі статичного режиму можна вважати лінійними і представляти параметрами, розрахованими (або виміряними) у статичному режимі. Тоді на еквівалентній схемі транзистора (мал. 2) діоди будуть замінені резисторами rK и rЭ ,  нелінійні ємності - постійними значеннями. Математична модель ТРП (9) набуває вигляду лінійних алгебро-диференціальних рівнянь, а її узагальнений матричний аналог (14) -ММС-ДР1

|АЕ|•|iЕ|+|АR|•|G|•|АtR|•||+|АH|•gН•|АtH|•||+|АД|•• gД•|АtД|•||+

+|АСЛ|•|СЛ|•d(|АtCЛ|•||)/dt+|АСН|•|СН•d(|АtCН|,||)/dt = 0  (43) 

gН=|1/rк  1/rэ|,    СН=|Ск  Сэ|

або після перестановок:

	d(Асл, )/dt)
|Асл Cл|Асн Cн |АЕ|•	d(Асн, )/dt)	=	[AR•GR•AtR+AH•gH•AtH+ AД••gД•AtД] •+ + AR1•G1•UВХ                                                 (44)
	iЕ

и, нарешті, у скороченому вигляді без рівняння для iЕ

A•d(AtC, )/dt=AG•+ AU•u(t)        (45)

Відповідно ММС-ДР2 (див.(23)) для малого сигналу після алгебраїчних перетворень з урахуванням розбиття матриць tRХ і tIХ на субматриці запишеться як:

С•duc/dt=|C|-1•[(CRX•GХ•tCRX+CIH•gH•tCIX+CIД••gH•tCIX)•uc+ +(CRX•GХ•tRBRX+CIH•gH•tRBIX+CIД••gH•tRBIX)•uRB+

+(CRX•GХ•tERX+CIH•gH•tEIX+CIД••gH•tEIX)•EB]                (46)

або більш скорочено

 dX/dt=A1•X +A2•X+B1•u(t),    X=uC, Xл=uRB, u(t)=EB             (47)

де A1, A2, B1  - матриці у квадратних дужках, помножені на |C|-1.

Використовуючи подібні перетворення з (23) і (24), маємо

XЛ=Д1•X +Д2•u(t)           (48)

Підставляючи (48) у (47) остаточно отримаємо

dX/dt=(A1+A2•Д2)•X+(B1+A2•Д2)•u(t),    

або

dX/dt=A•X+B•u(t)=( X, t )                      (49)

Це рівняння подане явно відносно похідних dX/dt,  а рівняння (45) представлене у неявній формі відносно похідних, порядок і вигляд систем рівнянь також різний. Алгоритм формування рівнянь (45) більш простий, бо не вимагає вибору дерева на графі і такої кількості операцій з матрицями, як при отриманні (48).

Задача розрахунку динамічного режиму математично формулюється як задача Коши, яка полягає у тому, що шукається розв’язок X(t) (або (t))  рівняння (49) (або (45)), який би задовольняв задану початкову умову

X(tО)=XО=X*((tО)=*) 

на інтервалі tО  t  tК,   tК - кінець інтервала.

Умови існування і єдиності розв’язку поставленої задачі Коши будемо вважати виконаними.

Під час розв’язку чисельними (кінцево-різностними) методами шукана функція шукається в окремих точках інтервалу  [tО, tК],  t0,t1,…,tn, …,tN, які мають назву вузлів, у вигляді таблиці значень X0,X1,…,Xn,…,XN, що наближено дорівнюють значенням X(t1),X(t2),…,X(tn),…,X(tN) точного розв’язку X(t).  Відстань між вузлами h=t=tn+1-tn має назву крока    інтегрування і може бути задана або перед початком обчислень (інтегрування з постійним кроком), або визначатися у процесі обчислень (інтегрування з автоматичним вибором кроку).

Більшість чисельних методів розв’язання задачі Коши, що розглядається, можна подати у вигляді [l, 2,4.5, Д4]

Xn+1=F(Xn-q, Xn-q+1,…,Xn,Xn+1,…, Xn+s)           (50)

де F - деяка відома функція вказаних аргументів, що визначається способом побудови методу і залежить від інтегрованого рівняння і вибраної сітки

tО < t1 <….. <tN=T

При q=0,    0  s  1   такі обчислювальні алгоритми називають однокроковими, а q  1 або s  1 – багатокроковими. Як однокрокові, так і багатокрокові методи вигляду (50) називають явними у випадку s=0  і неявними при s=1. У випадку, коли s=1, багатокрокові алгоритми називають методами із забіганням вперед. Багатокрокові методи вимагають застосуання спеціальних обчислювальних алгоритмів для знаходження перших q- значень X1,X2,..,Xq

наближеного розв’язку і останніх його s-1   значень XN-S+2,X N-S+3,…,XN.

У зв'язку з наближеним характером розв’язку на кожному кроці чисельного інтегрування виникає так звана локальна помилка:

к =|| XК, X(tК)||

між точним і отриманим розв’язком. Локальна помилка складається завжди з двох компонент:

1) помилки методу (-або відкидання) -мк 

2) помилки округлення rк

Перша залежить від виду чисельного алгоритму, що використовується при    обчисленні XК , а друга зумовлена кінцевою довжиною машинного слова при реалізації алгоритму на ЕОМ. Як помилка методу, так і помилка округлення нагромаджуються із збільшенням числа кроків. Деякі методи (чисельно нестійкі) сприяють посиленню локальної помилки методу і помилки округлення на кожному кроці так, що через деякий час помилка, що зросла, може переважати над самим розв’язком. Стійкість же методу гарантує, що локальні помилки не посилюються, а залишаються обмеженими для досить малої величини кроку h при h. Методи мають різну область стійкості і, відповідно, різну величину максимально-можливого кроку інтегрування. На результат розв’язку впливає також точність завдання початкових умов. На практиці для розрахунків доцільно застосовувати методи, що сходяться.  Метод вважається таким, що сходиться в тому випадку, коли для розв’язання задачі Коши, яка має єдиний розв’язок X(t), обчислений розв’язок X(tК) при дії вказаних чинників однозначно збігається до X(t) на інтервалі tО  t  T при  t і h=T/n.

Найпростішими з методів чисельного інтегрування є явний і неявний методи Ейлера. Вони є першими у ряду як однокрокових, так і багатокрокових методів. Згідно з явним методом Ейлера розв’язок визначається за формулою:

 

Xn+1= Xn + h•(Xn, tn ) + rn+1          (51)

де    Xn+1=X(tn+h),    tn= to+n•h,

rn+1- помилка методу (або помилка відкидання),

rn+1=(h2/2)•''(tn+•h, Xn)  0 <  < 1           (52)

або виражена через кінцеві різниці значення Xi

rn+1=(h2/2)•(2•Xn)/h2= (Xn+1-2•Xn+Xn-1)/2          (53)

Показник при h (у нашому випадку два) характеризує порядок точності методу.

Геометрично метод Ейлера означає заміну інтегральної кривої, що являє собою точний розв’язок X(t) кусково-ламаною лінією, ділянки якої паралельні дотичній до X(t) у вузлах tn. Тому метод Ейлера називають інакше методом ламаних або дотичних.

Якщо помилка задана, тобто rn+1= , то крок інтегрування  може бути вибраний виходячи з похибки методу

h  [2•/(•''(tn,Xn))]0.5                              (54)

Значно більші обмеження на крок інтегрування явного методу Ейлера накладаються з умов стійкої поведінки у процесі обчислень [2,6]. Так при інтегруванні стійкої системи лінійних диференціальних рівнянь (50), що має, наприклад, р різних дійсних від’ємних власних чисел матриці А=|1,2,…,p|t, розв’язок прямує до нуля, тобто LimnXn=0 тільки за умови виконання 

|1+h•i|t <1,        i=1,2,……,p

Враховуючи  i  отримуємо верхню межу для величини кроку інтегрування

h < 2/МАКС           (55)

де   МАКС = МAX[|1|,|2|,|3|,….,|p1|,]

Відомо, що постійні часу лінійної схеми, що описується системою (50), пов'язані з власними значеннями |А| наступним чином:

=-1/i.

Тому h < 2•МИН, де МИН =МIN[|1|,|2|,|3|,….,|p1|,]. Якщо у системі рівнянь є великий розкид власних значень i (кажуть, жорстка система) або у схемі великий розкид постійних часу, то потрібно інтегрувати з малим кроком навіть на ділянці, де розв’язок змінюється повільно (велике ). Будь-яка спроба збільшення кроку негайно призводить до різкого зростання похибки ( "вибуху" похибки).

Неявний метод Ейлера       Xn+1= Xn + h•(Xn+1, tn+1 )                       (56) 

має похиьку метода                       rn+1= -0.5•h2•''(Xn, tn),                            (57)

але на відміну від явного методу Ейлера його властивості стійкості не накладають яких-небудь обмежень на крок.   Дійсно, з умови стійкості

1/|1-h•i|   <  1

і оскільки  i<0, то наближений розв’язок стійкий для всіх h>0. Крок інтегрування може бути вибраний виходячи тільки з міркувань точності, тобто по формулі (57). Застосування неявного методу Ейлера для розв’язку жорстких систем рівнянь (з великим розкидом постійних часу) дозволяє отримати виграш у кількості кроків h  і тим більший, чим більше розкид постійних часу. Однак використання (56) пов'язане з розв’язанням на кожному кроці інтегрування системи нелінійних рівнянь для знаходження вектора Xn+1, якщо  (Xn) - нелінійна.

Застосування (56) для інтегрування (49) призводить до розв’язку на кожному кроці системи

|1/h - A |•Xn+1=(1/h)•Xn+1 + B•u(t n+1)                (58)

а для розв’язку  (45) - системи лінійних рівнянь

|A/h - AG |• n+1= (A/h)• n + Au•u(t n+1)         (59)

При явному методі Ейлера отримуємо, відповідно,системи

 Xn+1=|1+h•A |•Xn + h•B•u(t n1)          (60)

(A/h)• n+1=|A/h + AG |• n + Au•u(t n)          (61)

Розв’язання лінійних систем може бути зроблене методом Гауса або іншим методом розв’язку систем алгебраїчних рівнянь. Треба зазначити, що при інтегруванні жорстких систем, в лінійних рівняннях можуть виникати погано зумовлені матриці, що висуває додаткові вимоги до методів розв’язку лінійних систем і обмежує крок h.

Методи Ейлера, як правило, при аналізі динамічного режиму складних електронних схем не завжди забезпечують необхідну точність і ефективність розв’язання. Тому застосовують методи більш складні, більшого порядку точності і у разі розв’язання жорстких систем, а такими у більшості випадків є математичні моделі електронних схем, - жорстко-стійкі:

•  метод Шихмана,
•  метод Гира,
•  ФДН,
•  неявні методи Рунге-Кутта [1,2,5].

У випадку коливального характеру розв’язку перевага надається методу трапецій і неявним методам Рунге-Кутта.

Маючи розв’язки  (58)-(61) і рівняння (13), (23)-(24) або (49) можна визначити майже усі струми і напруги у схемі, що аналізується, і необхідні якісні показники: коефіцієнти передачі, вхідні і вихідні опори та інше.

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ РОЗРАХУНКУ ДИНАМІЧНОГО   РЕЖИМУ ПРИ ВЕЛИКОМУ    СИГНАЛІ.

ЧАСОВА ОБЛАСТЬ.

Математичні моделі для динамічного нелінійного режиму, детально розглянуті у розділі "Математична модель електронної схеми у динамічному режимі при великому сигналі. Часова область", (9), (13), (14), (23)-(25), можна подати як  (10) і (26) у двох характерних узагальнених формах

Fд (X, X, t)=0,   X(to)=X*           (62)

 і

X= д (x, t),               (63)

де Fд, д - нелінійні оператори,

X* - результат розрахунку статичного режима,  X|=|XД,XН,XЛ|t,

тобто у вигляді нелінійних алгебро-диференціальних рівнянь і у нормальній формі звичайних диференціальних рівнянь. Розв’язок цих рівнянь може бути знайдений при використанні явних і неявних методів чисельного інтегрування. Застосовуючи явний метод Ейлера до (63) знайдемо розв’язок у вузлах t0, t1, t2,….., tn, інтервала [t0,….. tК]  по співвідношенню

 Xn+1= Xn+ h•д(Xn, tn )          n=0,1,……N               (64)

З рівняння (56) для похідної Х отримаємо

Xn+1=(Xn+1, tn+1 )=(Xn+1 - Xn)/h             (65)

Введення з (65) у (62) і (63) дозволяє останні звести до кінцевих нелінійних алгебраїчних рівнянь у вузлах різносної сітки

Fд (Xn+1, (Xn+1 - Xn)/h, tn+1)=0          (66)

(Xn+1 - Xn)/h=д(Xn+1, tn+1 )                     (67)

Для розв’язку (66) і (67) застосуємо метод Ньютона. У результаті отримаємо алгоритми розрахунку динамічного режиму у вигляді

|Fд(Xкn+1)/Xкn+1|•Xкn+1= - Fд(Xкn+1, (Xn+1 - Xn)/h, tn+1)      (68)

Xк+1n+1=Xкn+1 + Xкn+1,     к=0,1,2,….,

і

 |д(Xкn+1)/Xкn+1-1/h|•Xкn+1=д(Xкn+1, tn+1) - Xкn+1/h + Xn,         (69)

Xк+1n+1=Xкn+1 + Xкn+1

Таким чином, розрахунок динамічного режиму зводиться до розв’язання к-раз на кожному кроці чисельного інтегрування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, наприклад, розглянутим раніше методом Гауса. Умови збіжності методу Ньютона вимагають досить доброго початкового наближення, точність якого і визначає число ітерацій у (68) і (69). Для його отримання рекомендують [2,5] – один з явних методів (наприклад, метод Ейлера). При цьому керуються тим, що характеристики стійкості явного методу не мають істотного значення при його одноразовому застосуванні. Треба зазначити, що з умов збіжності методу Ньютона витікають додаткові обмеження на межі зміни кроку чисельного інтегрування h. При побудові чисельних алгоритмів треба також враховувати особливості інтегруючих систем рівнянь (наприклад, жорсткість), які можуть призвести до поганої обумовленості матриці Якобі і труднощів під час розв’язання систем лінійних рівнянь. При сильно розрідженій матриці Якобі застосовують методи розв’язання систем з розрідженими матрицями  [4,5].

Компоненти вектора Fд   і матриці Якобі Fд/X для ММС  ТРП вигляду (9) при підстановці (69) будуть:

  

Fд 1=(С1/h-1/R1)•1(n+1)-(С2/h)•2(n+1)-uвх(tn+1)/R1+(С1/h)•1n+(С2/h)•2n

Fд 2=(С1/h)•1(n+1)-(С1/h+1/RБ+1/R2)•2(n+1)+(1/R3-1/RБ+1/R2)•3(n+1)-

-E2/R2+(С1/h)•1n+(С2/h)•2n

Fд 3=…………………………………………………………………………         (70)

Fд 4= -[ СЭ(-3(n+1)+4(n+1)) / h ]•3(n+1)+[ СЭ(-3(n+1)+4(n+1)) / h ]•4(n+1)-

-Iк(-3(n+1)+4(n+1)) +э(-3(n+1)+4(n+1)+5(n+1)/R5 --

-СЭ(-3(n+1)+4(n+1)) / h ]•3(n+1)+СЭ(-3(n+1)+4(n+1)) / h ]•4(n+1)

Fд 5=………………………………………………………………………………..

Fд 7=2(n+1)/R2 -- 5(n+1)/R4 - iE(n+1)-- (1/R2 +1/R4)•E                                                  (71)

		1	2	3	4	5	6	7
	1	С1/h-1/R1	-С1/h	……………………………..	..	……	.	….
	2	С1/h	-С1/h+1/RБ+1/R2	…………………………….	…	……	.	….
Fд(Xкn+1)/Xкn+1=	3	………..	…………….…	…………………………….	…	……	.	….
	4	………	………………	(С'Э/h)•3(n+1)+(С'Э/h)+I'к--'э	..	…	.	….
	5	………..	……………….	……………………………………	…	….	.	….
	6	……….		………………………………….		..	.	….
	7	………….	1/R2	…………………………………		-1/R4		-1

 Тут 'к, 'э, С'э - похідні від нелінійних функцій по відповідним змінним.

Узагальнені моделі (14) і (25) таким же шляхом, як було зроблено для (9), можна подати і вигляді (68) і, відповідно, (69).

На основі системи (14) вектор Fд  і матриця Якобі Fд/ запишуться у формі:

Fд= AСН•[CН(AtСН,n+1)/h]•AtСН• n+1 +

+ AСЛ•(CЛ/h)•AtСЛ•n+1 +

+ AН•н(AtН, n+1) +

+ AН••н(AtД,n+1)+

+ AR•GR•AtR•n+1 +            (72)

+AE•iК +

+AСН•[CН(A*СН, n)/h]•AtСН•n +

+ AСЛ•(CЛ/h)•AtСЛ•n

 Fд/n+1 = AСН•[C 'Н(AtСН, n+1)•AtСН /h]•AtСН• n+1 +

+ AСН•[CН(AtСН, n+1) /h]•AtСН +  

+ AСЛ•(CЛ/h)•AtСЛ +

+ AН• 'н(AtН, n+1)•AНt +             (73)

+ AН•• 'н(AtД, n+1)•AtД+

+ AR•GR•AtR+

+ AE    

У процесі реалізації на ЕОМ задачі розрахунку динамічного режиму для електронної схеми довільної структури вектор Fд  і Якобіан Fд/n+1     формуються по заданій топології схеми автоматично за допомогою спеціальних алгоритмів формування.

Алгоритм аналізу динамічного режиму, що застосовує ММС вигляду (63) або (25), і явні методи чисельного інтегрування не вимагають розв’язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь і, здавалося б, більш ефективні у витратах часу і пам'яті на ЕОМ, ніж (68) або (69). Але, насправді, через обмеження на крок, з умов стійкості явних методів, цей алгоритм, особливо при інтегруванні жорстких систем диференціальних рівнянь (з великим розкидом постійних часу), а такими майже завжди є рівняння електронних схем, виявляється менш ефективним.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ МАЛОМУ СИГНАЛІ.

ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ.

Математичні моделі для частотної області вотримують на основі моделей (43), (45), (49) для часової області за допомогою перетворення Лапласа (оператор d/dt замінюється на p або j , а змінні (t)(p), X(t)X(p), u(t)u(p) і урахуванні того, що опір джерела живлення на змінному струмі дорівнює нулю, тобто Е=0).

Тоді рівняння (45), наприклад, набуває вигляду

|A•p•AtC|•(p)=|AG|•(p)+|AU|•u(p)         (74)

або

|A•p•AtC  - AG|•(p)=|AU|•u(p)            (75)

а з (47)-(49) можна отримати

|p - A|•Х(p)=В•u(р)              (76)

Хл(р)=[Д1•|p-A|-1•B+Д2]•u(p)             (77)

Якісні показники або функції схеми (наприклад, коефіцієнти передачі) визначаються з (75)-(77) таким чином

  K(p)=[(p)/u(p)]•[ Au/|A•p•AtC  - AG |]                            (78)

  K1(p)=[X(p)/u(p)]•[В/(р-А)]                  (79)

  K2(p)=[Xл(p)/u(p)]•[ Д1•В/(р-А)+Д2]                  (80)

Математична модель може бути складена і безпосередньо по еквівалентній схемі змінного струму. Наприклад, для ТРП, який розгядається, еквівалентна схема, граф схеми і матриця інциденцій А подані нижче.

Мал.10

Еквівалентна схема ТРП для режиму малого сигналу в частотній області

Мал. 11

Граф схеми ТРП для режиму малого сигналу в частотній області

Матриця інциденцій |А|

			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		1	-1	1
		2		-1	-1	1
A	=	3				-1	-1		1
		4					1	-1
		5							1	-1	1
		6									-1	-1

Кожна k-та гілка схеми подається як узагальнена

iК =bК•(uк+Ек) -Jк

де bК - провідність гілки,   в загальному  bК=1/R+p•C+1/(p•L)  

Ек, Jк – джерела струму і напруги в гілці, iК – струм у гілці

uк- напруга на bК .

Вузлове рівняння вигляду (63) для даной схеми буде

|Y|•||=|I|        (81)

де    |Y|=|A|•|YB|•|A|t,   |I|=|A| • (|J|-|YB|•|E|)

|YB|- матриця провідностей гілок,

|E| и |J| - вектори джерел напруги і струму гілок,

||=|1, 2, …., 6,|t - вектор потенціалів вузлів.

Матриця провідностей вузлів |Y|

		1/R1+p•C1	-p•C1
		-p•C1	p•C1+1/R2+ +1/R3+1/RБ	-1/RБ
			-1/RБ	p•(CЭ+CК)+ +1/rЭ+1/RБ+ +1/rК	-1/rЭ+p•C3
Y	=			-1/rЭ+p•C3	p•(CЭ+C2)+ +1/rЭ+1/R5
						p•C4+1/rK+ +1/R4	-p•C3
						-p•C3	p•(C3+C4)+ +1/R6

Вектор еквівалентних вузлових джерел струму

|I|=|-uвх/R1, 0, •Iэ, 0, •Iэ, 0|t.

Напруга вузлів і гілок                    

|u|=|A|t•||,  ||=|1, 2, …., 6,|t,   |u|=|u1, u2, …., u10,|t .

Коефіцієнт передачі за напругою з вихода схеми на вхід визначиться як

Кu=6/uвх             (82) 

а коефіцієнт передачі за потужністю – з виразу

 Кu=[26•(Z11+R1)] / [ u2вх•Z66]          (83)

де Z11 і  Z66  - відповідні елементи Y-1

Пошук розв’язку систем рівнянь (75), (76), (81) і визначення якісних показників (див. (78)-(83)) пов'язані з розв’язком систем лінійних рівнянь (або зоберненням матриць) з комплексними коефіцієнтами. Описані раніше алгоритми для розв’язку систем лінійних рівнянь можуть бути застосовані і у цьому випадку з урахуванням того, що усі величини комплексні. Повна кількість операцій множення тут у 4 рази більше, ніж з дійсними коефіцієнтами. Це видно з виразу при множенні двох комплексних чисел Z1,  Z2

Z1•Z2=(x1+jy1)•(x2+jy2)= (x1•x2 - y1•y2) + j(x1•y2 + y1•x2)

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ.

ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ.

При впливі на схему великого гармонічного сигналу  для складання математичної моделі схеми в частотній області застосовують однократне перетворення Фур’є.

 Якщо на нелінійний елемент з характеристикою

(uн1,uн2,…,uнz)

впливає сигнал великої потужності, то розкладання в ряд Фур’є має вигляд:

                        N               

        н(t) =(1/2) •  Фn • ej(n•)•t       (84)

                     n=-N             

де

                  2

                   

Фn=(1/2)•( uн1,uн2,…, uнz) • е-j(n•1)•d1 ,        1=1•t,   (85)

                   

           0        

                        N               

uнq(t)=(1/4)•  Unнq • ej(n•1)•t  q=1,2,……,z 1=1•t,

                      n=-N

Фn и Unнq - комплексні амплітуди гармонік;

n- номер гармоніки 1=n•;

N- кількість гармонік, що використовуються;

Для спрощення запису введемо  позначення   wn= еj(n•1)    (86)

              N                                           N           w-n= е-j(n•1)

а  замість       будем использовать   

           n=-N                 n

врахуємо також 

N

  u(t)=(1/4)•  Unнq • ej(n•1)•t     (87)

n

      N

  iвх(t)=(1/4)•  Inвх • w-n     (88)

 n         N

при переході в частотну область   d/dt   j(r•1)

             r

Для нелінійного конденсатора   iсн(t)=С(uс)•duс/dt   (89)

Комплексні амплітуди визначаються з співвідношення

                     2

                                         n           

Icn=(j/42)•С(uсн)•wn[r •Urc•w-r]•d1      (90)

                                         r

              0         

напруга на нелінійному конденсаторі

                     N

uсн(t)=(1/4)  Ucn • w-n        (91)

                  n

струм через нелінійний конденсатор

                     N

iсн(t)=(1/4)  Icn • w-n         (92)

                  n

струм через нелінійний резистор

                    N

iн(t)=(1/4)  Inн • w-n         (93)

                 n

де

                   2

                              N           

Inн=(1/2)• iн(t)( •Unн•w-n)• wn d1       (94)

                              n

            0         

Для лінійних компонент запишемо

лінійна ємність

                     N

iсл(t)=(1/4)  Inсл • w-n        (95)

                  n

де              N

     Inсл =j(r•1) •C•Urc• w-r       (96)

                 r

лінійна провідність

                   N

 iG(t)=(1/4)G•UnG• w-n        (97)

                n

З урахуванням всіх вище зазначених висновків в матричній формі отримаємо систему в області комплексних амплітуд, використовуючи одномірне перетворення Фур’є

                N                           N                       N                        N

(|Асн|/4)•  Inсн +(|Ас|/4)• Inс+(|Ас|/4)• Inн+(|АR|/4)•G•|Ас|t•Un=

           n                            n                        n                        n

                                         N

                       = (1/4) •Inвх       (98)

                                         n

де

                        2

                                               N                       N

Incн=(j/42)•С• (|Асн|/4)•[Un•w-n]•wn•[r•|Асн|t•Ur•wr]•d1  (99)

                                               n                                      r

                0

           N                       

Incл=j(r•1)•С•|Асн|t•Ur•wr•d1               (100)

            r

        

                   2

                        N

Inн=(1/2)•iн•[•|Асн|t•Un•w-n]•wn •d1          (101)

                        n   

           0

  ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ  У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ОДНОМУ ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ В  ЧАСТОТНІЙ ОБЛАСТІ.

Електронна схема для математичної моделі динамічного режиму в частотній області при великому сигналі представлена на рисунці 12.

    Рис. 12

Нехай вхідний вплив на схему (Рис. 12) буде мати змінну і постійну складову:

uВХ(t) = u01+ u1м•sin(•t)     (102)

Тоді система рівнянь що описує дану схему буде мати вигляд:

uД(t) + uR(t) = uВХ(t)

iД(t)  + iС(t) -- iR(t) =0

iС(t)=C•duД(t)/dt        (103)

iR(t)=GR•uR(t)

iД(t)=Io•(eu(t) / т --1)

Перейдемо  від рівнянь (103) часової області до рівнянь в частотній області (U, I -комплексні величини).

Гармоніки вхідного впливу:

  u01  Uo    u1м•sin(1•t)  U1    (104)

де (|U1|=u1м/20.5)

Гармоніки струму через діод:

    

                                          0.5• т•UкД•еj•n•1      

iД(t)  IкД=1/(2)• Iо• е       к=1            --1 • е-jк1• d1               (105)

                                                                             

       -                

 де 1=1•t

Струм через ємність для к-ої  гармоніки:

 (лінійна ємність) iС(t)  IкС= j•к••C•UкД    (106)   

Струм через резистор для к-ої  гармоніки:

  iR(t)  IкR= GR•UкR         (107)

Система рівнянь (103)  відносно комплексних амплітуд при к=1,2,3,…. має вигляд

UкД +UкR--UкВХ=0  F1(I),    I=1,2,3,….

IкД +IкC -IкR=0   F2(I)    (108)

З урахуванням (104)-(107) рівняння (108) запишуться

UкД +UкR--UкВХ= F1(I)

 

                     (109)

                 0.5• т•UкД•еj•n•1   

1/(2)•Iо•е       к=1           -1• е-jк1•d1+j•к••C•UкД-GR•UкR=F2(I)

                                                 

|         -                           |

_________________________________________________________ 

                FI(UкД)

МАТЕМАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ДВОХ ВЕЛИКИХ СИГНАЛАХ.

ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ.

При впливі на схему великого гармонічного сигналу для складання математичної моделі схеми в частотній області застосовують однократне перетворення Фур’є.

 Якщо на нелінійний елемент з характеристикою

(uн1,uн2,…,uнz)

впливає сигнал великої потужності, то розкладання в ряд Фур’є має вигляд:

                        M       N

        н(t) =(1/4) •       Фmn • ej(m•1+n•2)•t     (110)

                      m=-M n=-N

де

                     2 2

                                (111)

Фmn=(1/2)•(uн1,uн2,…,uнz)•е-j(m•1 +n•2)•d1•d2 , 1=1•t, 2=2•t, 

                      

              0 0        

                       M     N  

uнq(t)=(1/4)•    Umnнq•ej(m•1+n•2)•t 

                    m=-M m=-N                          q=1,2,……,z    1=1•t, 2=2•t,

Фmn и Umnнq - комплексні амплітуди гармонік;

n- номер гармоніки (=m•1+ m•2);

M,N- кількість гармоник, що використовуються;

Для спрощення запису введемо  позначення  wmn= еj(m•1 +n•2)   (112)

               w-m-n= е-j(m•1 +n•2)

        

      M         N                                                  M  N

а  замість                будемо використовувати     

           m=-M n=-N                  m   n

врахуємо також 

   

                                                  M  N

  u(t)=(1/4)•  Umnнq • ej(m•1+n•2)•t                (113)

m n

       M  N

  iвх1(t)=(1/4)•  Imnвх1 • w-m-n   

 m n         

       M  N

  iвх2(t)=(1/4)•  Imnвх2 • w-m-n   

  m n         

                                  M N 

при переході в частотну область  d/dt   j(r•1+s•2)

           r  s

Для нелінійного конденсатора   iсн(t)=С(uс)•duс/dt   (114)

Комплексні амплітуди визначаються з співвідношення

                     22

                                           M N           

Icn=(j/42)•С(uсн)•wmn[(r +s•2/1) •Ursc•w-r-s]•d1•d2  90)

                                  r     s

              0  0         

напруга на нелінійному конденсаторі

                     M N

uсн(t)=(1/4)  Ucmn • w-m-n        (115)

                  m n

струм через нелінійний конденсатор

                     M N

iсн(t)=(1/4)  Icmn • w-m-n        (116)

                  m n

струм через нелінійний резистор

                    M N

iн(t)=(1/4)   Imnн • w-m-n        (117)

                 m n

де

                   22

                              M N           

Inн=(1/2)• iн(t)(  •Umnн•w-m-n)• wmn •d1•d2  (94)

                          m  n

           0 0         

Для лінійних компонент запишемо

лінійна ємність

                     M N

 iсл(t)=(1/4)  Imnсл • w-m-n        (118)

                 m n

де                 M N

     Imnсл =j (r•1+s•2) •C•Ursc• w-r-s     (119)

                   r s

лінійна провідність

                   M N

iG(t)=(1/4) G•UmnG• w-m-n       (120)

                m  n

З урахуванням всіх вище зазначених висновків в матричній формі отримаємо систему в області комплексних амплітуд, використовуючи одномірне перетворення Фур’є

               M N                             M N                          M N

(|Асн|/4)•  Imnсн +(|Ас|/4)• Imnс+(|Ас|/4)• Imnн+ 

           m n                              m n                          m n

              M N                                     M N                        M N 

+(|АR|/4)• G•|Ас|t•Umn= (1/4) •Imnвx1+(1/4) •Imnвx2         (121)

                 m n                                      m n      m n

де              

                             2 2

                                                    M N         

Imncн=(j1/42)•С• (|Асн|/4)•[Umn•w-m-n]•wmn• 

                                                    m  n

                     0  0

   MN

•[(r+s•2/1)•|Асн|t•Urs•wrs]•d1•d2

     r   s

           MN                       

Incл=j(r•1+s•2)•С•|Асн|t•Urs      (122)

            r   s

            22

                         M N

Inн=(1/2)• iн•[•|Асн|t•Umn•w--m-n]•wmn •d1•d2      (101)

                          m n

           0  0

  ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ  У ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ДВОХ ВЕЛИКИХ СИГНАЛАХ. ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ.

Електронна схема для математичної моделі динамічного режиму в частотній області для двох великих сигналів представлена на рисунці 13

Рис. 13

Нехай вхідний вплив на схему (рис. 13) буде мати постійну  і дві змінні складові, гармонічно не пов'язані:

uвх(t) = u01+u1м•sin(1•t)+u2м•sin(2•t)      (123)

Тоді система рівнянь що описує дану схему буде мати вигляд:

uД(t) + uR(t) = u1вх(t)+u2вх(t)

iД(t)  + iС(t) -- iR(t) =0

iС(t)=C•duД(t)/dt          (124)

iR(t)=GR•uR(t)

iД(t)=Io•(eu(t) / т --1)

Перейдемо  від рівнянь (124) часовоє області до рівнянь в частотній області (U, I -комплексні величини).

Гармоніки вхідного впливу:

       2 2

                                                   

uвх(t)  Umn=1/(42)•uвх(t)•е-j•(m•1+n•2)•d1•d2               (125)

                                            

             0 0    где    1=1•t,         2=2•t

Отримаємо U00 Uo, U01 U2, U12 0,U10 U1, U02  0, U21 0

U20  0             ……..        ………

Гармоніки струму через діод:

   2 2

                                           0.5• т•UкД•еj•(m•1+ n•2)  

iД(t)ImnД=1/(42)•Iо• е       m  n                  --1• е-j(m1+n2)•d1•d2          

                                                                                      

        0  0                где 1=1•t, 2=2•t   (126)

Струм через ємність для к-ої гармоніки:

  (лінійна ємність) iС(t)  ImnС= j•(m•1+n•1)•C•UmnД              (127)

Струм через резистор для к-ої гармоніки:

  iR(t)  ImnR= GR•UmnR            (128)

Система рівнянь (124)  відносно комплексних амплітуд при m=0,1,2,3,….  и     n=0,1,2,3,…. має вигляд:

UmnД +UmnR--UmnВХ=0  F1(I),    I=1,2,3,….

ImnД +ImnC -ImnR=0   F2(I)             (129)

З урахуванням (125)-(128) рівняння (129) запишуться

UmnД +UmnR--UmnВХ= F1(I)

       ImnД +j•(m•+n•)•C•UmnД-GR•UmnR=F2(I)                       (130)

             ______ 

        FIД {UmnД}                       або 

I00д(UmnД)		0•С•U00Д		U00R		F1
I01д(UmnД)		j•(0+2)•С•U01Д		U01R		F2
I02д(UmnД)		j•(0+22)•С•U02Д		U02R		F3
I10д(UmnД)		j•(1+0)•С•U10Д		U10R		F4
I11д(UmnД)	+	j•(1+2)•С•U11Д	- | GR|•	U11R	=	F5	(131)
…………..		…………………..		……		….
I21д(UmnД)		j•(21+12)•С•U21Д		U21R		F8
I22д(UmnД)		j•(21+22)•С•U22Д		U22R		F9
…………..		…………………..		……		….
…………..		…………………..		……		….

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ АНАЛІЗУ ЧУТЛИВОСТІ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ

Найбільше поширення при аналізі чутливості знайшли метод приростів, методи, заснованні на розв'язанні рівнянь чутливості - моделей чутливості, метод приєднаних схем [1,4,5].

У методах моделей чутливості вигляд рівняння чутливості визначається рівняннями схеми відносно множини якісних. показників або характеристик і методом аналізу чутливості (наприклад, в методах зв'язаних систем і варіаційному [1,5] формується спеціальна зв'язана система).

Наприклад, чутливість коефіцієнтів передачі по напрузі по параметрах    в частотній області для схеми ТРУ ((69)-(70)), визначиться із співвідношення

SK=(/K)•(K/)=[/(K•Uвх)]•( / )=

=[/(K•Uвх)]•|Y-1|•[(Y/)• + (I/)]           (132)

Як бачимо, обчислення вектора чутливості пов'язане з рішенням системи лінійних рівнянь з тією ж матрицею схеми |Y|  і новою правою частиною, в якій присутні похідні Y/ та I/. Розрахунок чутливості лінійних схем у часовій області (см. 49) зводиться до чисельного інтегрування додаткової системи рівнянь

Y=А•Y +(А/)•x +(B/)•U(t)            (133)

де      Y=x /,  Y=Y / t

і обчисленню

Sx =(/x )•Y

Так само можна отримати співвідношення для аналізу чутливості електронних схем в статичному і нелінійному динамічному режимах. Відносне відхилення якісних показників пов'язане з чутливістю таким чином

     N               

                                         K/K =    Sкi•(i/i)

      i=1             

для обчислення допусків елементів по заданому відхиленню якісного показника схеми застосовують метод найгіршого випадку, статистичний розрахунок, метод Монте-Карло. При розрахунку найгіршого випадку допуск елемента схеми di визначається по формулі

di=[(K/K)МАКС]/[N•|Sкi| ]

при цьому значення приватних відхилень |Sкi|•di вважаються однаковими для всіх елементів схеми.

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ ОПТИМІЗАЦІЇ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ

Задачі чисельної оптимізації полягають в переборі за певним планом можливих значень параметрів компонентів, розрахунку для кожного поєднання параметрів значень критерію оптимальності і пошуку оптимального поєднання параметрів, відповідаючого мінімуму критерію оптимальності. Таким чином, в інформаційному плані задача оптимізації полягає у визначенні будь-яким методом, алгоритмом множини оптимальних параметрів Эопт по заданій множині початкових параметрів Э при фіксованих функції мети і обмеженнях

  max (min) Ф[K(Э)],

Эопт=Ам    при    G(x)  0,       (134)

 X=| K, S,Э|t

де

Ам - алгоритм методу оптимізації,

Ф - функція мети,

   G - функція, що виражає обмеження.

    K, S, Э - (див.(1)).

Теорії оптимізації, методам і алгоритмам розв'язання оптимізаційних задач, додаткам теорії оптимізації і її методів в електроніці присвячена величезна кількість літератури [1,2,3,6, Д2, Д5-Д7]. Зараз  немає методів настільки універсальних, що їх застосування до будь-якої оптимізаційної задачі явно приведе до рішення з прийнятною точністю і прийнятними витратами машинного часу. Тому вибір методу рішення оптимізаційної задачі має на увазі попереднє дослідження характеру цільової функції і обмежень і, насамперед,  алгоритмів обчислення якісних показників і їх властивостей, що робить найбільш ефективним застосування методів оптимізації в спеціалізованих програмах..

Всі розглянуті в даній главі задачі розрахунку якісних показників можна поставити як оптимізаційні у вигляді задачі нелінійного програмування (102). Відрізнятися вони будуть специфічними для кожної задачі Э, S, К, G і Ф та вибраним методом оптимізації. Як приклад розглянемо постановку і рішення задачі оптимізації якісних показників лінійних схем в частотній області. Якісні показники як функції параметров схеми були представлені співвідношеннями (66)-(68),    (70)-(71). Допустивши, що обмежень на параметри немає, виразимо цільову функцію у вигляді

 М    N               

                                • Wij•|Kij-K*ij|q при   Dij >|Kij - K*ij|

                                i=1  j=1             

                 Ф=             (134)

                    

     0                при   Dij |Kij - K*ij|

де

M  - число частотних точок,

N   - число якісних показників, що оптимізуються,

K*ij    - задане значення j-го якісного показника в i-ій частотній точці,

Wij    - ваговий коефіцієнт   j-го якісного показника в   i-ій частотній

           точці,

Dij  - допуск на  j-ий якісний показник,

q    - показник ступеня.

При  q=2 функція Ф() в малій околиці мінімуму буде поводитися як квадратична. Це дозволяє для рішення задачі (103) використати один з найпростіших методів зв'язаних напрямів - метод Пауелла [Д3] . У цьому методі місцезнаходження мінімуму деякої квадратичної функції Ф() визначається шляхом проведення послідовних одномірних пошуків, починаючи з точки о, вздовж системи зв'язаних напрямів, що отримуються.  За результатами   n -одномірних пошуків (n - кількість змінних параметрів) будується новий напрям, який використовується для (n+1)-го одномірного пошуку. Якщо новий напрям перспективний, то він замінює один з старих напрямів. Перспективність оцінюється по критерію (визначник матриці напрямів), який відображає міру зв'язності напрямів. При мінімізації функцій, які відрізняються від квадратичних, заміни напрямів не завжди приводять до зростання абсолютного значення визначника, але ніколи не обертають визначника в нуль.

Алгоритм методу Пауелла складається з наступних етапів:

 початкові дані - початкова точка пошуку -о, точність пошуку - .

1. Початкові напрями S1,S2,…,Sn задаються в матриці напрямів S, паралельні координатним осям параметрів. Визначається Ф1=Ф(о).

2. Здійснюється перехід з точки V-1  в V з визначенням mv  за результатами одномірного пошуку

V =V-1 + mv•SV

Після n одномірних пошуків отримуємо точку n зі значенням функції Ф2=Ф(n).

3. З матриці напрямів S вибираємо напрям Sj (1 j  n), для якого зміна функції виявилася найбільшою

j=Ф(j-1) -Ф(j)

4. Будуємо новий нормований напрям

n-1=(n - O)/=                  (n - O)             .

               n          

                                          [ (n - O) ]2

                                            i=1  

і визначаємо для нього m(n+1),  и  n+1 =n + m(n+1)•Sn+1

Обчислюємо ФS=Ф(n+1).

5. Перевіряємо перспективність нового напряму

4•j(Ф2 - ФS)  (Ф1 - Ф2 -j)2

m(n+1) > 0

Якщо нерівності виконуються, то замінюємо напрям Sj на Sn+1 і беремо наступну послідовність n напрямів S1,S2,…,Sj-1,Sj,Sj+1,…,Sn,Sn+1. При порушенні нерівностей матрицю напрямів S залишаємо без змін.

6. Перевіряємо |ФS - Ф1|  . Якщо нерівність виконалася, то ОПТ =n+1 і процес оптимізації зупиняється. У іншому випадку вважаємо О=n+1 і продовжуємо процес з  пункту 1 до задоволення цієї нерівності.

Одномірні пояси здійснюються або за допомогою квадратичної апроксимації, або методом золотого перетину [Д6,Д7].

ДОДАТОК

до  методичних вказівок з курсової роботи

«РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ В РІЗНИХ РЕЖИМАХ ЇХ РОБОТИ»

Діод

Зхема заміщення напівпровідникового діода (рис. П1) складається з ідеального діода, зображеного у вигляді нелінійного залежного джерела струму I(V), ємності р-п-переходу С і об'ємного опору RS . Нелінійна модель напівпровідникового діода.

Вольт-амперні характеристики діода. 

Струм діода представляється у вигляді різниці струмів

I=Ifwd-Irev

Залежність 

Ifwd=In*Kinj+Irec*Kgen

апроксимує ВАХ діода при позитивній напрузі на переході V. 

Тут In =IS*(ехр[V/(NR*Vt)]-1)- нормальна складова струму;

Ir=ISR*(exp[V/(NR*Vt)]-1) - струм рекомбінації;

Kinj - коефіцієнт інжекції

           Рис. П1.

   [IKF/(IKF+ In)]0.5   при IKF > 0;

Kinj =  

 1     при IKF<0;

Kgen = [(1-V/VJ)2+0.005]M/2 - коефіцієнт генерації.

Струм діода при негативній напрузі на переході Irev характеризує явище пробою. Він має дві складові

Irev= Irev.high+Irev.low

где

Irev.high = IBV *exp [-(V+BV / (NBV*Vt)]

Irev.low= IBVL*exp [-(V+BV / (NBVL*Vt)]

Vt=kT/q - температурний потенціал переходу (0,026 В при номінальній температурі 27°С); k = 1,38*10-23 Дж/°С-постійна Больцмана; q = 1,6-10-19 Кл заряд електрона; Т- абсолютна темпера-

ратура р-n-переходу. Вид ВАХ діода

                         рис.П2                             показаний на рис. П2.

Ємність переходу С 

С=Сt+Сj,

де Сt - дифузійна ємність переходу; Ct=TT*G;

Cj - бар'єрна ємність переходу

  CJO*(1-V/VJ)-M      при V < FC*VJ;

Cj  =  

 CJO*(1-FC)-(1+M)*[1-FC*(1+M)+M*V/VJ]  при V > FC*VJ;

G=d(Kinj *I)/dV - диференціальна провідність переходу для поточних значень I и V.

Лінеаризована схема заміщення діода.

Схема приведена на рис.П3,а. Її можно доповнити джерелами шумових струмів, як показано на рис.П3,б. У діоді є наступні джерела шуму::

•  об'ємний опір RS, що характеризується тепловим струмом IшRS зі

    спектральною щільністю SRS=4*k*T/(RS-Area);

•  дрібовий і фліккер-шум діода, що характеризується струмом Iшd зі спектральною щільністю Sш=2*q*l+KF*IAF/f, де f - поточна частота.

Рис.П 3. Лінеаризована схема заміщення діода (а) з включенням джерел внутрішнього шуму (б)

Температурні залежності параметрів. 

У математичній моделі діода вони враховуються таким чином:

IS(T)=IS*exp{EG(T)/[N*Vt(T)]T/Tnom-1)}*(T/Tnom)XTI/N 

ISR(T)=ISR*exp{EG(T)/[N*Vt(T)]T/Tnom-1)}*(T/Tnom)XTI/N

IKF(T)=IKF*[1+TIKF*(T-Tnom)]

BV(T)=BV*[1+TBV1*(T-Tnom)+ TBV2*(T-Tnom)2]

RS(T)=RS*[1+TRS1*(T-Tnom)+ TRS2*(T-Tnom)2]

VJ(T)=VJ*T/Tnom-3*Vt(T)*ln(T/Tnom)-EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T)

CJO(T)=CJO*{1+M*[0.0004(T-Tnom)+1-VJ(T)/VJ]}

KF(T)=KF*VJ(T)/VJ

AF(T)=AF*VJ(T)/VJ

EG(T)=E*Go-a*T2/(b+T)

де EG(Tnom) - ширина забороненої зони при номінальній температурі (1,11 эВ для кремнію; 0,67 эВ для германію; 0,69 эВ для діодів з бар'єром Шотки при температурі 27°З). Значення параметрів IS, Vt, VJ, CJO, KF, AF, EG беруться для номінальної температури Тnom; для кремнію EGo=1,16 эВ,

а=7*10-4, b=1108; XTI=3 для діодів з р-n-переходом і ХТI=2 для діодів з бар'єром Шотки.

Значення номінальної температури Тnom встановлюється за допомогою опції TNOM (за умовчанням Тпот=27°З).

Приведені вище вирази описують діоди з р-n-переходом, включаючи і стабілітрони. Діоди з бар'єром Шотки також характеризуються цією залежністю, але вони володіють дуже малим часом переносу ТТ~0 і більш ніж на два порядки великими значеннями струму діода I. Прі цьому струм насичення визначається залежністю IS=K*Т*ехр(-b/V;),

де К - емпірична константа; b - висота бар'єра Шотки.

Скалярний множник Area.

Указується при включенні діода в схему, він дозволяє в програмі визначити еквівалентний діод, що характеризує паралельне включення декількох однакових приладів або прилад, що займає велику площу. З його допомогою змінюються значення параметрів IS, IRS, IBV, IBVL, RS и CJO:

IS=IS*Area, ISR=ISR*Area, IBV=IBV*Area, IBVL=IBVL*Aiva, RS=RS/Area, CJO=CJO*Area.

За умовчанням скалярний множник Агеа=1.

Як приклад приведемо опис параметрів моделі діода Д104А

.model D104A D(IS=5.81e-12     RS=8.1            N=1.15

+                          TT=8.28nS     CJO=41.2pF    VJ=0.71     M=0.33

+                          FC=0.5              EG=1.11         XTI=3)

Параметри математичної моделі діода приведені в табл.п.1.

Таблиця 1

Ім'я параметра	Параметр	Значення за умовчанням	Одиниця вимірювання
IS RS N ISR NR IKF ТТ CJO VJ М EG FC BV IBV NBV IBVL NBVL ХТ1 Т1КР TBV1 TBV2 TRS1 TRS2 KF AF T_MEASURD T_ABS T_REL_GLOBAL Т_REL_LOCL	Струм насичення при температурі 27°С Об'ємний опір Коефіцієнт інжекції Параметр струму рекомбінації Коефіцієнт емісії для струму ISR Граничний струм при високому рівні інжекції Час перенесення заряду Бар'єрна ємність при нульовому зміщенні Контактна різниця потенціалів Коефіцієнт  лавиного множення Ширина забороненої зони Коефіцієнт нелінійності бар'єрної ємності прямозміщеного переходу Зворотнє напруження пробою (позитивна величина) Початковий струм пробою, відповідний напруженню BV (позитивна величина) Коефіцієнт неідеальності на ділянці пробою Початковий струм пробою низького рівня Коефіцієнт неідеальності на ділянці пробою низького рівня Температурний коефіцієнт струму насичення Лінійний температурний коефіцієнт IKF Лінійний температурний коефіцієнт BV Квадратичний температурний коефіцієнт BV Лінійний температурний коефіцієнт RS Квадратичний температурний коефіцієнт RS Коефіцієнт фліккер-шуму Показник ступеня в формулі фліккер-шуму Температура вимірювань Абсолютна температура Відносна температура Різниця між температурою діода і моделі-прототипу	10-14 0 1 0 2  0 0 1 0,5 1,11 0,5  10-10 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1	А Ом А А с Ф В еВ В А А °С-1 °C-1 °C-2 °C-1 °C-2 °C °C °C °C

Біполярний транзистор

У програмі MICROCAP-5, Pspice і інших використовується схема заміщення біполярний транзистора у вигляді адаптованої моделі Гуммеля-Пуна, яка в порівнянні з початковою моделлю дозволяє врахувати ефекти, виникаючі при великих зміщеннях на переходах. Ця модель автоматично спрощується до більш простої моделі Эберса-Молла, якщо опустити деякі параметри. Еквівалентні схеми цих моделей для n-р-n-структури зображені на мал. П 4.

 Рис. П4. Схема заміщення біполярного п-р-п-транзистора:

а -модель Гуммеля-Пуна;б - передавальна модель Эберса-Молла

Статичний режим транзистора.

Режим описується наступними співвідношеннями (див. рис. П4, а):

Ib = Ibe1/BF + Ibe2+ Ibc1 Ibe1/BR + Ibc2

Ic = Ibe1/Qb- Ibc1/Qb- Ibc1/BR- Ibc2

Ibe1=IS*[exp(Vbe/(NF*Vt))-1]

Ibe2=ISE*[exp(Vbe/(NE*Vt))-1]

Ibc1=IS*[exp(Vbc/(NR*Vt))-1]

Ibc2=ISC*[exp(Vbc/(NC*Vt))-1]

Qb=Q1*[1+(1+4*Q2)NK]/2

Q1=1/(1-Vbc/VAF-Vbe/VAR)

Q2=Ibe1/IKF+ Ibc1/IKR

Is=ISS*[exp(Vjs/(NS*Vt))-1]

На рис. 4 прийняті позначення:

Ib  - струм бази;

Ic  - струм колектора;

Ibe1  - струм колектора в нормальному режимі;

Ibc1   -  струм колектора в інверсному режимі;

Ibe2 Ibc2  -  складові струму переходу база-емітер, викликані

неідеальністю переходу;

 IS   - струм підкладки;

Vbe, Vbc  - напруги на переході внутрішня база-емітер і

внутрішня база-колектор;

Vbs   - напруга внутрішня база-підкладка;

\/bn   - напруга внутрішня база-підкладка для режиму

квазинасичення;

Vbx   - напруга база-внутрішній колектор;

Vce   - напруга внутрішній колектор-внутрішній емітер;

Vjs   - напруга внутрішній колектор-підкладка для

NPN-транзистора, напруга внутрішня

підкладка-колектор для PNP-транзистора або напруга

внутрішня база - підкладка для LPNP-транзистора.

Об'ємний опір бази Rb характеризується двома складовими. Перша складова RB визначає опір виводу бази і опір зовнішньої області бази, які не залежать від струму бази Ib. Друга складова RBM характеризує опір активної області бази, що знаходиться безпосередньо під емітером; цей опір залежить від струму Ib. Об'ємний опір бази Rb визначається наступними виразами в залежності від значення параметра IRB:

  RBM+(RB-RBM)/Qb     при IRB = ;

Rb  =  

 RBM+3*(RB-RBM)*(tgX - X)/(X*tg2X)   при IRB > 0;

де

X=[(1+14,59025*Ib/IRB)0.5-1]/[2,4317*(Ib/IRB)0.5]

Зауваження. У програмі PSpice струми втоку в транзистор, вважаються позитивними. Тому в активному нормальному режимі в п-р-п-структурі (рис.П4) Ic>0, 1b>0, Ie<0. Для структури р-л-р всі напруги і струми мають протилежний знак.

Динамічні властивості переходів.

 Вони враховані включенням в модель ємностей колектора, емітера і підкладки, які мають дифузійні і бар'єрні складові. Ємність переходу база-емітер рівна сумі дифузійної (Сtbe) і бар'єрної (Сjbe) складових:

Cbe= Ctbe+Cjbe

де Ctbe+= tf*Gbe;

Gbe = dIbe/dVbe - диференціальна провідність переходу база-емітер в робочій точці по постійному струму;

tf = TF*[1 +XTF*(3*x-2*х)*ехр(Vbc/(1,44*VTF))];

x=Ibe1/( Ibe1+ITF);

  CJE*(1-Vbe/VJE)-MJE       при Vbe FC*VJE;

Cjbe =  

 CJE*(1-FC)-(1+MJE)*[1-FC*(1+MJE)+MJE*Vbe/VJE]  при Vbe > FC*VJE;

Ємність переходу база-колектор розщеплюється на дві складові:

ємність між внутрішньою базою і колектором

Сbс = Сtbc + XCJC*Cjbc,

где Сtbc = TR*Gbc,

Gbc=dIbc1/dVbc;

 CJC*(1-Vbc/VJC)-MJC       при Vbx FC*VJC;

Cjbc =  

CJC*(1-FC)-(1+MJC)*[1-FC*(1+MJC)+MJC*Vbx/VJC] при Vbx > FC*VJC;

і ємність між зовнішнім виведенням і колектором

(1-XCJC)*CJC*(1-Vbx/VJC)-MJC    при Vbx FC*VJC;

Cbx =  (1-XCJC)*CJC*(1-FC)-(1+MJC)*[1-FC*(1+MJC)+MJC*Vbx/VJC]

          при Vbx > FC*VJC;

 Ємність колектор-підкладка дорівнюється

 CJS*(1-Vbc/VJS)-MJS       при Vjs 0;

Cjbc =  

CJS*(1+MJS*Vjs/VJS]      при Vbx > 0;

Режим квазинасичення. 

Цей режим характеризується прямим зміщенням переходу внутрішня база-колектор, в той час як перехід зовнішня база-колектор залишається зміщеним в зворотному напрямі. У розширеній моделі Гуммеля-Пуна цей ефект моделюється за допомогою додаткового керованого джерела струму Iepi, і двох нелінійних ємностей, заряди яких на рис. 4,а  позначені Qo та Qw.

Iepi=A1/A2

Де   A1=VO*{Vt*[K(Vbc)-K(Vbn)-ln((1+K(Vbc))/(1+K(Vbn)))]+Vbc-Vbn}

A2=RCO*(|Vbc-Vbn|+VO)

Ці зміни вносяться в модель, якщо заданий параметр RCO :

де K(V) = (1 + GAMMA*exp(V /Vt))0.5

Температурна залежність. Ця залежність параметрів елементів еквівалентної схеми біполярний транзистора встановлюється за допомогою наступних виразів:

IS(T) = IS*exp[EG(T)/Vt(T)*(T/Tnom-1)]*(T/Tnom)XTI;

ISE(T) = (ISE/bf)*exp[EG(T)/(NE*Vt(T))*(T/Tnom -1)]*(T/Tnom)XTI/NE

ISC(T) = (ISC/bf)*exp[EG(T)/(NC-Vt(T))*(T/Tnom-1)]*(T/Tnom)XTI/NC

ISS(T) = (ISS/bf)*exp[EG(T)/(NS-Vt(T))*(T/Tnom-1)]*(T/Tnom)XTI/NS

BF(T) =BF*bf,

BR(T)=BR*bf,

bf=(T/Tnom)XTB;

RE(T) =RE*[1+TRE1*(T-Tnom)+TRE2*(T-Tnom)2]

RB(T)= RB*[1+TRB1*(T-Tnom)+TRB2*(T-Tnom)2]

RBM(T) = RBM*[1+TRM1*(T-Tnom)+TRM2*(T-Tnom)2]

RC(T) = RC*[1+TRC1*(T-Tnom)+TRC2*(T-Tnom)2]

VJE(T) = VJE*T/Tnom-3*Vt*ln(T/Tnom)-EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T);

VJC(J) = VJC*T/Tnom-3*Vt*ln(T/Tnom) -EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T);

VJS(J) = VJS*T/Tnom-3*Vt*ln(T/Tnom) -EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T);

CJE(J) = CJE*{1+MJE*[0,0004*(T-Tnom)+1-VJE(T)/VJE]};

CJC(T) = CJC*{1+MJC*[0,0004*(T-Tnom)+1-VJC(T)/VJC]}

CJS(7) = CJS*{1+MJS*[0,0004*(T-Tnom)+1-VJS(T)/VJS]}

KF(T) = KF*VJC(T)/VJC,

AF(T) =AF*VJC(7)/VJC.

EG(T)=E*Go-a*T2/(b+T)

Лінійна схема заміщення біполярний транзистора.

Схема приведена на рис.П5. У неї додатково включені джерела флюктуаційних струмів. Теплові шуми IшRB IшRС и IшRЕ, що створюються резисторами RB, RC і RE, мають спектральну щільність

SRB= 4*k*T/RB, SRC= 4*k*T/RC, SRE= 4*k*T/RE,

Джерела струму Iшb, Iшс, що характеризують дрібовий і фліккер-шуми в ланцюгах бази і колектора, мають відповідно спектральну щільність

Sb= 2*q*Ib+KF*IbAF*If, SC=2*q*Ic

 Рис.П5. Лінійна схема заміщення біполярний транзистора з включенням джерел шуму

Скалярний коефіцієнт Area. Він дозволяє врахувати паралельне з'єднання однотипних транзисторів, для чого в приведеній вище моделі змінюються наступні параметри:

IS=IS*Area, ISE=ISE*Area, ISC=ICS*Area, ISS=ISS*Area, IKF=IKF*Aiva, IKR=IKR*Area, IRB=IRB*Area, ITF=ITF*Area, CJC=CJC*Area, CJE=CJE*Area, CJS=CJS*Area, RBB=RBB/Area, RE=RE/Area, RC=RC/Area, QCO=QCO*Area.

Значення Агеа вказується в завданні на моделювання при включенні транзистора в схему, за умовчанням Area=1. Як приклад приведемо список параметрів моделі Гуммеля-Пуна біполярний транзистора КТ316Д

.model KT316D NPN(IS=2.75f  XTI=3 EG=1.11 VAF=96 BF=136.5 NE=2.496

+ ISE=12.8pA IKF=97.23m  XTB=1.5 VAR=55 BR=0.66 NC=2  ISC=15.5p

+ IKR=0.12 RB=70.6 RC=8.4 CJC=4.1pF VJC=0.65 MJC=0.33 FC=0.5 VJE=69

+ CJE=1.16pF MJE=0.33 TR=27.8n TF=79.0p ITF=0.151 VTF=25  TF=2)

Параметри повної математичної моделі біполярного транзистора приведені в табл. 2.

Таблиця 2.

Ім'я параметра	Параметр	Значення за умовчанням	Одиниця вимірю-вання
IS	Струм насичення при температурі 27°С	10-16	А
BF	Максимальний коефіцієнт посилення струму в нормальному режимі в схемі з СЕ (без урахування струмів витоку)	100
BR	Максимальний коефіцієнт посилення струму в інверсному режимі в схемі з ОЭ	1
NF	Коефіцієнт неідеальності в нормальному режимі	1
NR	Коефіцієнт неідеальності в інверсному режимі	1
ISE (C2)*	Струм насичення витоку переходу база-емітер	0	А
ISC (C4)*	Струм насичення витоку переходу база-колектор	0	А
IKF (IK)*	Струм початку спаду залежності SF від струму колектора в нормальному режимі		А
IKR*	Струм початку спаду залежності BR від струму емітера в інверсному режимі		А
NE*	Коефіцієнт неідеальності переходу база-емітер	1.5
NC*	Коефіцієнт неідеальності колекторного переходу	1,5
NK	Коефіцієнт, що визначає множник Qb	0.5
ISS	Зворотний струм р-п-переходу підкладки	0	А
NS	Коефіцієнт неідеальності переходу підкладки	1
VAF (VA)*	Напруга Ерлі в нормальному режимі		В
VAR (VB)*	Напруга Ерлі в інверсному режимі		В
RC	Об'ємний опір колектора	0	Ом
RE	Об'ємний опір емітера	0	Ом
RB	Об'ємний опір бази (максимальний) при нульовому зміщенні переходу база-емітер	0	Ом
RBM*	Мінімальний опір бази при великих струмах	RB	Ом
IRB*	Струм бази, при якому опір бази зменшується на 50% повного перепаду між RB і RBM		А
TF	Час переносу заряду через базу в нормальному режимі	0	c
TR	Час переносу заряду через базу в інверсному режимі	0	с
QCO	Множник, що визначає заряд в епітаксійній області	0	Кл
RCO	Опір епітаксійній області	0	Ом
VO	Напруга, що визначає перегин залежності струму епітаксійній області	10	B
GAMMA	Коефіцієнт легування епітаксійній області	10-11
XTF	Коефіцієнт, що визначає залежність TF від зміщення база- колектор	0
VTF	Напруга, що характеризує залежність TF від зміщення база- колектор	00	В
ITF	Струм, що характеризує залежність TF від струму колектора при великих струмах	0	А
PTF	Додатковий фазовий зсув на граничній частоті транзистора fгр=1/(2TF)	0	град.
CJE	Ємність емітерного переходу при нульовому зміщенні	0	пФ
VJE (PE)	Контактная разность потенциалов эмиттер	0,75	В
MJE (ME)	Коефіцієнт, що враховує плавність емітерного переходу	0,33
CJC	Ємність колекторного переходу при нульовому зміщенні	0	Ф
VJC (PC)	Контактна різниця потенціалів переходу база-колектор	0,75	B
MJC(MC)	Коефіцієнт, що враховує плавність колекторного переходу	0,33
CJS (CCS)	Ємність колектор-підкладка при нульовому зміщенні	0	Ф
VJS (PS)	Контактна різниця потенціалів переходу колектор-підкладка	0,75	B
MJS (MS)	Коефіцієнт, що враховує плавність переходу колектор-підкладка	0
XCJC	Коефіцієнт розщеплення ємності база-колектор	1
FC	Коефіцієнт нелінійності бар'єрних ємностей прямозміщених переходів	0.5
EG	Ширина забороненої зони	1,11	еВ
XTB	Температурний коефіцієнт BF і BR	0
XTI(PT)	Температурний коефіцієнт IS	3
TRE1	Лінійний температурний коефіцієнт RE	0	°C-1
TRE2	Квадратичний температурний коефіцієнт RE	0	°C-2
TRB1	Лінійний температурний коефіцієнт RB	0	°C-1
TRB2	Квадратичний температурний коефіцієнт RB	0	°C-2
TRM1	Лінійний температурний коефіцієнт RBM	0	°C-1
TRM2	Квадратичний температурний коефіцієнт RBM	0	°C-2
TRC1	Лінійний температурний коефіцієнт RC	0	°C-1
TRC2	Квадратичний температурний коефіцієнт RC	0	°C-2
KF	Коефіцієнт, що визначає спектральну щільність фліккер-шуму	0
AF	Показник міри, що визначає залежність спектральної щільності фліккер-шуму від струму через перехід	1
T_MEASURED	Температура вимірювань		°C
T_ABS	Абсолютна температура		°C
T_RELGLOBAL	Відносна температура		°C
T_RELLOCAL	Різниця між температурою транзистора і моделі-прототипу		°C
*  Для моделі  Гуммеля-Пуна

Польовий транзистор

Польові транзистори з керуючим р-n-переходом (Junction FET) описуються моделлю Шихмана-Ходжеса відповідно до еквівалентної схеми, представленої на рис. П6, а для транзистора з каналом n-типу.

 Рис.П6. Нелінійна (а) і лінійна (б) схеми заміщення польового транзистора з керуючим р-n-переходом і каналом n-типу

Статичні характеристики польового транзистора.

Вони описуються наступною залежністю.

Струм затвора дорівнює

Ig = Igs + Igd,

де

Igs = In+Iг*Кg     - струм витоку затвор-джерело;

Ins = IS*[exp(Vgs/(N*Vt)-1]   - нормальний струм;

Irg = ISR*[exp(Vgs/(NR*Vt) -1]  - струм рекомбінації;

Kgs= [(1-Vgs/PB)*2+0,005]M/2   - чинник генерації;

Igd = Ind+Ird*Kgd+Ij,    - струм витоку затвор-стік;

lnd= IS*[exp(Vgd/(N*Vt) -1]   - нормальний струм;

Ird = ISR*[exp(Vgd/(NR*Vt) -1]  - струм рекомбінації;

Kgd= [(1-Vgd/PB)*2+0,005]M/2   - чинник генерації;

Ij       - струм іонізації, який дорівнює

     Idrain*ALFA*Vdiff*exp(-VK/Vdiff) при 0<Vgs <Vds (режим насичення);

Ij = 

      0      в інших діапазонах;

         0                 при Vgs -VTO  0;

         BETA*(1+LAMBDA*Vds)*(Vgs-VTO)2            при 0<Vgs -VTOVds;

Idrain=                (режим насичення)

         BETA*(1+LAMBDA*Vds)*Vds*[2*(Vgs-VTO) *Vds]    при Vds<Vgs -VTO;

                           (лінійний режим);

Vdiff=Vds-(Vgs-VTO};

Vgs - напруга затвор-витік,

Vgd - напруга затвор-стік.

Помітимо, що польовий транзистор збідненого типу характеризується від'ємними значеннями VTO<0 (для каналів р- і n-типу), а транзистор збагаченого типу - додатними VTO 0.

Струми стоку і витіку відповідно дорівнюють

Id = Idrain - Igd,

Is = - Idrain -Igs

У нормальному режимі (Vds0) струм Idrain розраховується по формулах:

де

Vds - напруга стік-витік,

Vgd - напруга затвор-стік, область Vgs-VTO<0 відповідає режиму відсічки. У інверсному режимі (Vds<0)

         0                 при Vgd -VTO  0;

         -BETA*(1+LAMBDA*Vds)*(Vgd-VTO)2          при 0<Vgd -VTO-Vds;

Idrain=                (режим насичення)

         BETA*(1+LAMBDA*Vds)*Vdd*[2*(Vgd-VTO) *Vds]   при -Vds<Vgs -VTO;

                           (лінійний режим);

Ємності затвор-витік і затвор-стік.

Описуються виразами

       CGS*(1-Vgs/PB)-M             при Vgs FC*PB;

Сgs=  

        CGS*(1-FC)-(1+M)*[1-FC*(1+M)+M*Vgs/PB]  при Vgs> FC*PB;

       CGD*(1-Vgd/PB)-M       при Vgd FC*PB;

Сgd=  

        CGD*(1-FC)-(1+M)*[1-FC*(1+M)+M*Vgd/PB]  при Vgd> FC*PB;

Лінійна схема заміщення польового транзистора.

Схема приведена на рис. П6.б, де додатково включені джерела флуктуаційних струмів. Теплові шуми, що створюються резисторами RS і RD, мають спектральну щільність

SRS= 4*k*T/RS,    SRD= 4*k*T/RD.

Джерело струму Iшd, що характеризує дрібовий і фліккер-шум, має спектральну щільність

Sd=8*k*T*Gm/3+KF-IdAF/f,

де 

Gm=dIdrain/dVgs - диференціальна провідність в робочій точці по постійному струму.

Температурні ефекти характеризуються наступною залежністю:

VTO(T) = VTO+VTOTC*(T- Tnom);

ВЕТА(T) =BETA*1,01BETATCE(T-Tnom);

IS(T) =IS*exp[EG(Tnom)/(N*Vt)*(Т/Tnom -1)]*(Т/Tnom );

ISR(T) =ISR*exp[EG(Tnom)/(NR*Vt)*(T/Tnom-1)]*(T/Tnom)XTI/NP;

PB(T) = PB*T/Tnom-3*Vt*ln(T/Tnom)-EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T);

CGS(T) = CGS*{1+M*[0,0004(T-Tnom)+1-РВ(Т)/РВ]};

CGD(T) = CGD*{1+M*[0,0004(T-Tnom)+1-РВ(Т)/РВ]};

KF(T) = KF*PB(T)/PB,

AF(T) = AF*PB(T)/PB.

EG(T)=E*Go-a*T2/(b+T)

Скалярний коефіцієнт Area

Дозволяє врахувати паралельне з'єднання однотипних транзисторів, для чого в приведеній вище моделі змінюються наступні параметри:

IS=IS*Area, ВЕТА=ВЕTА*Area, RD=RD/Area, RS=RS/Area, CGS=CGS*Area, CGD=CGD*Area.

Значення Area вказується в завданні на моделювання при включенні транзистора в схему, за умовчанням Агеа=1.

Як приклад приведемо опис параметрів моделі транзистора КП303Е

.model KP303E NJF (VTO=-4.12 BETA=782.5u LAMBDA=9.13m RS=21

+RD=21 CGS=4.2pF  CGD=3.8pF     FC=0.5    PB=1     IS=10f)

Параметри моделі польового транзистора приведені в табл. 3.

Таблиця 3

Ім'я параметра	Параметр	Значення за умовчанням	Одиниця вимірю-вання
VTO	Порогова напруга	-2	В
BETA	Коефіцієнт пропорційності	10-4	А/В
LAMBDA	Параметр модуляції довжини каналу	0	1/В
IS	Струм насичення р-n-переходу затвор-канал	10-14	А
N	Коефіцієнт неідеальності р-n-переходу затвор-канал	1
ISR	Параметр струму рекомбінації р-п- переходу затвор-канал	0	А
NR	Коефіцієнт  емісії для струму ISR	2	В
ALPHA	Коефіцієнт  іонізації	0	В
VK	Напруга іонізації для переходу затвор-канал	0	В
RD	Об'ємний опір області витоку	0	Ом
RS	Объемное сопротивление области истока	0	Ом
CGO	Ємність переходу затвор-стік при нульовому зміщенні	0	Ф
CGS	Емкость перехода затвор-исток при нулевом смещении	0	Ф
M	Коефіцієнт лавинного множення збідненого р-п-переходу затвор-канал	0,5
FC	Коефіцієнт нелінійності ємностей переходів при прямому зміщенні	0,5
PB	Контактна різниця потенціалів р-п-переходу затвора	1	В
VTOTC	Температурний коефіцієнт VTO	0	В/°С
BETATCE	Температурний коефіцієнт BETA	0
ХTI	Температурний коефіцієнт струму IS	3
KF	Коефіцієнт, що визначає спектральну щільність фпіккер-шуму	0
AF	Показник ступеня, що визначає залежність спектральної щільності фліккер-шуму від струму через перехід	1
T_MEASURD	Температура вимірювання		°С
T_ABS	Абсолютна температура		°С
Т_ REL_GLOBAL	Відносна температура		°С
T_REL_LOCAL	Різниця між температурою транзистора і моделі-прототипу		°С

 Арсенид-галієвий польовий транзистор

 Арсенид-галієві польові транзистори (GaAsFET) мають еквівалентну схему, зображену на рис.П 7, а.

Рис.П7. Нелінійна (а) і лінійна (б) схеми заміщення арсенид галієвого польового транзистора

Існують чотири різновиди математичного опису цієї моделі, запропоновані Куртісом (Curtice), Рейтеоном (Raytheon), модель TriQuit [56] і модель Паркера-Скеллерна (Parker-Skeltem). Модель Куртіса дає задовільні результати лише при розрахунку статичного режиму, в той час як інші моделі відображають і динамічні характеристики арсенид-галієвого транзистора.

Статичний режим.

Він описується наступними співвідношеннями.

1) Струм затвора дорівнює

Ig = Igs + Igd

Для моделей LEVEL=1-3

Igs = IS*[exp(Vgs/(N*Vt)-1]  

Igd = IS*[exp(Vgd/(N*Vt)-1]  

Для моделей LEVEL=4

Igs=Igsf+ Igsr,

де

Igsf =IS*[exp(Vgs / (N*Vt)) -1] + Vgs*GMIN

Igsr =IBD*[1-exp(-Vgs /VBD)]

Igd=Igsf + Igdr,

Igdf = IS*[exp(Vgd / (N*Vt)) -1] + Vgd*GMIN

Igdr =IBD*[1-exp(-Vgd /VBD)]

2) Струм стоку і витоку

Id =Idrain - Igd 

Is = -Idrain -Igs.

Струм Idrain в моделі Куртіса (LEVEL=1) в нормальному режимі (Vds0) описується співвідношеннями:

         0     при Vgs -VTO< 0;

Idrain= BETA*(1+LAMBDA*Vds)*(Vgs-VTO)2*TANH(ALPHA*Vds)         

                            при   Vgs -VTO 0; (режим насичення і лінійний режим)

У моделі Рейтеона (LEVEL=2) в нормальному режимі:

         0     при Vgs -VTO< 0;

Idrain= BETA*(1+LAMBDA*Vds)*(Vgs-VTO)2*Kt/[1+B*(Vds-VTO)]         

                            при   Vgs -VTO 0; (режим насичення і лінійний режим)

де поліноміальна апроксимація гіперболічного тангенса має вигляд

      1-(1-Vds*ALFA/3)2     при 0< Vds <3;  (лінійний режим)

Kt=          

       1                  при   Vds  3/ALPHA; (режим насичення)

Для моделі TriQuit (LEVEL=3) в нормальному режимі

         0                                                       при Vgs -VTO< 0;

Idrain= Idso/(1+DELTA*Vds*Idso)                             при   Vgs -VTO 0;         

                                                      (режим насичення і лінійний режим)

Idso=BETA*(Vgs -Vto)Q*Kt

Vto= VTO-GAMMA*Vds

У інверсному режимі (Vds<0) струми стоку і джерела в приведених вище співвідношеннях міняються місцями..

Динамический режим. 

Ємність переходу джерело-стік дорівнює Cds=CDS (рис. 7, а).

У моделі LEVEL=1 ємності Cgs, Cgd визначаються виразами:

ємність затвор-джерело дорівнює

       CGS*(1-Vgs/VBI)-M     при Vgs FC*VBI;

Сgs=  

        CGS*(1-FC)-(1+M)*[1-FC*(1+M)+M*Vgs/VBI]  при Vgs> FC*VBI;

ємність затвор-стік дорівнює

       CGD*(1-Vgd/VBI)-M       при Vgd FC* VBI;

Сgd=  

        CGD*(1-FC)-(1+M)*[1-FC*(1+M)+M*Vgd/ VBI ]  при Vgd> FC* VBI;

У моделі LEVEL=2 і З ці ємності визначаються виразами:

Cgs= CGS*K2*K1/(1-Vn/VBI)0.5 + CGD*K3

Cgd= CGS*K3*K1/(1-Vn/VBI)0.5 + CGD*K2

де

K1=0,5*[1+(Ve-VTO)/((Ve-VTO)2+VDELTA2)0.5]

K2=0,5*[1+(Vgs- Vgd)/((Vgs- Vgd )2+(1/ALPHA2))0.5]

K3=0,5*[1+(Vgd- Vgs)/((Vgd- Vgs )2+(1/ALPHA2))0.5]

Ve=0,5*[Vgs+ Vgd+((Vgs- Vgd )2+(1/ALPHA2))0.5]

       0,5*[Ve+VTO+((Ve-VTO)2+VDELTA2)0.5]

Vn=                              при Ve+VTO+((Ve-VTO)2+VDELTA2)0.5] < VMAX 

         VMAX      в інших діапазонах

Лінійна схема заміщення транзистора.

Схема приведена на рис.П7,б, де додатково включені джерела флцуктуаційних струмів. Теплові шуми IшRS, IшRD, IшRG, що створюються резисторами RS, RD і RG, мають спектральну щільність

SRS= 4*k*T/RS,   SRD= 4*k*T/RD,       SRG= 4*k*T/RG.

Джерело струму Iшd, що характеризує дрібовий і фліккер-шум, має спектральну щільність

Sd=8*k*T*Gm/3+KF-IdAF/f,

 де 

Gm=dIdrain/dVgs - диференціальна провідність в робочій точці по постійному струму.

Температурні ефекти характеризуються наступною залежністю:

IS(T) =IS*exp[EG(Tnom)/(N*Vt)*(T/Tnom-1)]*(T/Tnom)XTI/NP;

VBI(T) = VBI*T/Tnom-3*Vt(T)*ln(T/Tnom)-EG(Tnom)*T/Tnom+EG(T);

CGS(T) = CGS*{1+M*[0,0004(T-Tnom)+1-VBI(Т)/VВI]};

CGD(T) =CGD*{1+M*[0,0004(T-Tnom)+1-VВI(Т)/VВI]};

VTO(T) = VTO+VTOTC*(T- Tnom);

ВЕТА(T) =BETA*1,01BETATCE(T-Tnom);

RG(T)=RG*(1+TRG1*(T- Tnom))

RD(T)=RD*(1+TRD1*(T- Tnom))

RS(T)=RS*(1+TRS1*(T- Tnom))

KF(T) = KF*VBI(T)/VBI,

AF(T) = AF*PB(T)/VBI.

EG(T)=E*Go-a*T2/(b+T)

Скалярний коефіцієнт Area дозволяє врахувати паралельне з'єднання однотипних транзисторів, для чого в приведеній вище моделі змінюються наступні параметри: IS =IS-Area,  BETA=BETA*Area,  RD=RD/Area, RS=RS/Area, RG=RG/Area, CGS = CGS*Area, CGD = CGD*Area,  CDS = CDS*Area. Значення Area вказується в завданні на моделювання при включенні транзистора в схему, за умовчанням Агеа=1.

Параметри чотирьох математичних моделей приведені в табл. 4.

Таблиця 4

Ім'я параметра	Параметр	Значення за умовчанням	Одиниця вимірю-вання
LEVEL	Тип моделі: 1 - модель Куртіса, 2 - модель Рейтеона, 3 - модель TriQuit, 4 - модель Паркера-Скеллерна	1
VTO	Бар'єрний потенціал переходу Шотки	-2,5
VBI	Контактна різниця потенціалів	1,0	В
ALPHA	Константа, определяющая ток Idrain (Level=1-3)	2,0	1/В
B	Параметр легування (Level=2)	0,3	1/B
BETA	Коефіцієнт пропорціональності у виразі для струму стоку	0,1	А/В2
LAMBDA	Параметр модуляції довжини каналу	0	1/B
GAMMA	Параметр статичного зворотного зв'язку (для Level=3)	0
DELTA	Параметр вихідного зворотного зв'язку (для Level=3, 4)	0	(А*В)-1
Q	Показник ступеня (для Level=3, 4)	2
RG	Об'ємний опір області затвора	0	Ом
RD	Об'ємний опір області стоку	0	Ом
DC	Об'ємний опір області витоку	0	Ом
CGD	Ємність затвор-стік при нульовому зміщенні	0	Ф
CGS	Ємність затвор-витік при нульовому зміщенні	0	Ф
CDS	Ємність стік-витік  при нульовому зміщенні	0	Ф
IS	Струм насичення р-n-переходу затвор-канал	10-14	А
TAU	Час переносу носіїв заряду (Level=1-3)	0	с
M	Коефіцієнт  лавиного множення переходу затвора (Level=1-3)	0,5
N	Коефіцієнт неідеальності	1
	Коефіцієнт нелінійності бар'єрної ємності прямозміщеного переходу затвора	0,5
VBI	Контактна різниця потенціалів р-n-переходу затвора	1
EG	Ширина забороненої зони	1,11	еB
ХTI	Температурний коефіцієнт струму IS	0
VDELTA	Напруга, що входить у вирази для ємностей переходів (для LEVEL=2 і  3)	0,2	B
VMAX	Максимальна напруга, що входить у вирази для ємностей переходів (для Level=2 і 3)	0,5	B
VTOTC	Температурний коефіцієнт VTO	0	B/oC
BETATCE	Температурний коефіцієнт BETA	0	%/ oC
TRG1	Лінійний температурний коефіцієнт RG	0	1/ oC
TRD1	Лінійний температурний коефіцієнт RD	0	1/ oC
TRS1	Лінійний температурний коефіцієнт RS	0	1/ oC
KF	Коефіцієнт, що визначає спектральну щільність фліккер-шуму	0
AF	Показник ступеня, що визначає залежність спектральної щільності фліккер-шуму від струму через перехід	1
T_MEASURED	Температура вимірювання		oC
T_ABS	Абсолютна температура		oC
T_REL_GLOBAL	Відносна температура		oC
T_REL_LOCAL	Різниця між температурою транзистора і моделі-прототипу		oC
ACGAM	Коефіцієнт модуляції ємності	0
HFETA	Параметр зворотного зв'язку VGS на високій частоті	0
СПЕЦИФІЧНІ ПАРАМЕТРИ МОДЕЛІ РІВНЯ LEVEL=4
HFE1	Коефіцієнт модуляції HFGAM напругою VGD	0	1/В
HFE2	Коефіцієнт модуляції HFGAM напругою VGS	0	1/В
HFGAM	Параметр зворотного зв'язку VGD на високій частоті	0	.
HFG1	Коефіцієнт модуляції HFGAM напругою VSG	0	1/В
HFG2	Коефіцієнт модуляції HFGAM напругою VDG	0	1/В
IBD	Струм пробою переходу затвора	0	А
LFGAM	Параметр зворотного зв'язку на низькій частоті	0
LFG1	Коефіцієнт модуляції LFGAM напругою VSG	0	1/В
LFG2	Коефіцієнт модуляції LFGAM напругою VDG	0	1/В
MXI	Параметр напруги насичення	0
MVST	Параметр підпорогової модуляції	0	1/В
P	Показник ступеня	2
TAUD	Час релаксації теплових процесів	0	с
TAUG	Час релаксації параметра зворотного зв'язку GAM	0	с
VBD	Потенціал пробою переходу затвора	1	В
VST	Підпороговий потенціал	0	В
XC	Чинник зменшення ємності розряду	0
XI	Параметр, що визначає точку зламу потенціалу насичення	1000
Z	Параметр точки зламу характеристики транзистора	0,5

ЛІТЕРАТУРА

Основна

1. Анисимов Б.В., Белов Б.И., Норенков И.П. Машинный расчет элементов ЭВМ. -М.: Высшая школа. 1976. - 336 с.

1.  Ильин В.Н. Машинное проектирование электронных схем. - М.:

    Энергия, 1972. - 260 с.

1.  Сигорский В.П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем   - К.:

    Техніка. 1970. - 396 с.

1.  Калабеков Б.А. Применение ЭВМ в инженерных расчетах в технике связи.

    - М.; Радио и связь, 1981. - 225 с.

5. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. Алгоритмы и вычислительные методы. - М.: Энергия. 1980. - 640 с.

1.  Конструирование функциональных узлов ЭВМ на интегральных схемах.

   / Б.Н. Ермолаев и др. - М.; Советское радио, 1978. - 200 с.

Додаткова

Д1. Малорацкий Л. Г. Микроминиатюризация элементов и устройств СВЧ.

     - М.: Советское радио, 1976. - 216 с.

Д2. Петренко А.И. Краткий конспект лекций по курсу "Методы моделирования

       электронных схем на ЭЦВМ. - К.; КПИ, 1977. - 174 с.

ДЗ. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.; Машиностроение,   

      1978. - 736 с.

Д4. Чахмахсязан Е.А., Бармаков Ю.Н., Гольденберг А.Э. Машинный анализ    

       интегральных схем. - М.; Советское радио, 1974. - 271с.

Д5. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных схем на ЭДЕМ. - К.:

      Технiка, 1974. - 360 с.

Д6. Горинштейн A.M. Численные решения задач  радиотехники и техники

      связи на ЭЦВМ. - М.: Связь, 1972. - 200 с.

Д7. Трохименко Я.К., Каширский Н.С., Ловкий В.К. Проектирование

      радиотехнических схем на инженерных ЭЦВМ. - К.: Технiка, 1976. - 272 с.

Д8. Проектирование приемно-усилительных устройств с применением

      ЭВМ /Л.И.Бурин, Д.Я.Мельников, В.З.Топуриа, Б.Н.Шелковников.

- М.: Радио и связь, 1981. - 176 с., ил.

ЗМІСТ

ВСТУП……..………………………………………..…………………………………………………..……1

ЗАДАЧІ АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРОННИХ  СХЕМ.…………………………………………………………..2

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ В ДИНАМІЧНОМУ  

РЕЖИМІ ПРИ ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ. ЧАСОВА ОБЛАСТЬ……….………............….….…….…4

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У СТАТИЧНОМУ РЕЖИМІ….……………………………………………………………………………………………...….14

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ  РОЗРАХУНКУ СТАТИЧНОГО РЕЖИМУ

РОБОТИ ……………………………………………………..…………………………………….……….16

ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ДЛЯ СТАТИЧНОГО РЕЖИМУ

РОБОТИ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ…………………….…………………………………………...…..18

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ

РІВНЯНЬ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ ДЛЯ АНАЛІЗУ СХЕМ………………….....…………..……21

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ

РЕЖИМІ ПРИ МАЛОМУ СИГНАЛІ. ЧАСОВА ОБЛАСТЬ…………………………….………..…25

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ РОЗРАХУНКУ ДИНАМІЧНОГО РЕЖИМУ

ПРИ ВЕЛИКОМУ    СИГНАЛІ. ЧАСОВА ОБЛАСТЬ ….….………………………………….……30

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ В ДИНАМІЧНОМУ

РЕЖИМІ ПРИ МАЛОМУ СИГНАЛІ. ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ………….………….…………...…33

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ У ДИНАМІЧНОМУ

РЕЖИМІ ПРИ ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ. ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ. ……………………………..…37

ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРОННОЇ  СХЕМИ  У

ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ОДНОМУ  ВЕЛИКОМУ СИГНАЛІ В

ЧАСТОТНОЇ ОБЛАСТІ ……………………………………………………….……………….………...39

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ В ДИНАМІЧНОМУ

РЕЖИМІ ПРИ ДВОХ ВЕЛИКИХ СИГНАЛАХ. ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ ……………….….....…41

ПРИКЛАД МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРОННОЇ СХЕМИ  У

ДИНАМІЧНОМУ РЕЖИМІ ПРИ ДВОХ ВЕЛИКИХ СИГНАЛАХ.

ЧАСТОТНА ОБЛАСТЬ……………………………………..…………………………….…………..…..44

МЕТОДИ І АЛГОРИТМИ АНАЛІЗУ ЧУТЛИВОСТІ

ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ………………………………………………………………….…..………..….46

ДОДАТОК…………………………………………………………………………………..……..………..50

  Діод.…………………………………………………………………………………..…..51

  Біполярний транзистор…………………………………………...………………...55

  Польовий транзистор………………………………………………………………..63

  Арсенід-галієвий польовий транзистор…………………………………………67

ЛІТЕРАТУРА…………………………………………………………………………………………..….74