Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:
; ; ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,
4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . ,
5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,
Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,
, ,
, , ,
, , ,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть: , а
. Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:
; Преобразуя, получим:
,
3. Доказать, что: 1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;
Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, , ,
Напомним, что
2)
, ,
3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ; ; ;
;
Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;
; 4) ; 6) ;
Решение. По определению, ,
1), , ,
, , ,
, , ,
4), , ,
5), , ,
6), , ,
Найти все значения следующих степеней:
1) ; 2) ; 3) ; 4);
Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .
Решив это уравнение, получим , т.е. и
, если , откуда , или , следовательно,
,
3) , если , откуда , или
.
Отсюда , следовательно,