Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2.1. Метод касательной (Ньютона)
Пусть на отрезке отделен корень с уравнения и -функция непрерывна на отрезке , а на интервале существуют отличные от нуля производные и .
Так как , то запишем уравнение в виде:
(1)
Решая его методом итераций можем записать:
(2)
Если на отрезке , то нулевое приближение выбираем . Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции . Пусть для определенности и . Проведем касательную к графику функции в точке . Ее уравнение будет иметь вид:
Полагая в уравнении и учитывая что , решаем его относительно . Получим:
Нашли абсциссу точки пересечения касательной с осью :
Проведем касательную к графику функции в точке . Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью :
Вообще:
(3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке метод уточнения корня c уравнения с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение или брать таким, чтобы вся последовательность приближения принадлежала интервалу . В случае существования производных , сохраняющих свои знаки в интервале, за берется тот конец отрезка , для которого выполняется условие . Для оценки приближения используется общая формула: , где на отрезке . На практике проще пользоваться другим правилом:
Если на отрезке выполняется условие и - заданная точность решения, то неравенство влечет выполнение неравенства .
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство: [1].
2.2. Умножение вектора на вектор
Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом. Например
Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например
Этот объект также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.
Размерностью вектора называется число его элементов.
Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.
В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0.
Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x1, x2,...,xN)t и y = (y1, y2,..., yN)t. Руководствуясь правилом перемножения "строка на столбец", мы можем составить из них два произведения: xty и xyt.
называется скалярным или внутренним. Его результат — это число. Для него также используется обозначение (x,y) = xty.
2.3. Метод итерации для системы линейных уравнений
Пусть дана линейная система
Предполагая, что , разрешим первое уравнение относительно , второе уравнение относительно и т.д., тогда получим эквивалентную систему:
где . Система называется системой, приведенной к нормальному виду. Введя и обозначая
система запишется в матричном - векторном виде:
Систему будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение можно взять столбец свободных членов, . Далее последовательно строятся матрицы - столбцы: - первое приближение, - второе приближение и т.д. Любое - е приближение вычисляется по формуле:
Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы. В самом деле, переходя к пределу, будем иметь: или Предельный вектор является решением системы. Метод последовательных приближений, определённый формулой, носит название метода итераций. Заметим, что иногда лучше приводить систему к виду так, чтобы коэффициенты не были равными нулю. Например, можно положить: где . Тогда исходная система эквивалентна приведённой системе: где . Существует множество способов приведения системы к нужному виду. Для того, чтобы последовательность приближений сходилась, необходимо выполнение условия, которое следует из принципа
сжатых отображений: .
Условие будет выполнено, если сделать следующие преобразования. Вычисляем . Если , то делим - е уравнение на , в противном случае делим - е уравнение на . То есть, мы делаем следующие преобразования: если , то , при . Если обозначить исходное приближение, а за следующее приближение, которое вычисляется по формулам: то вычисляем до тех пор, пока для всех , где - заданная точность вычислений. Если условие не выполнено по крайней мере для одного , то за исходное приближение на следующем шаге берём, т.е. полагаем и вычисляем очередное приближение по формуле приведенной выше [2]. .
8
7
Рис. 1
8
9
10
11
11
12
13