Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тела, ограничивающие свободу перемещения точек данной механической системы, называются связями.
В аналитической механике связи задаются математически с помощью уравнений или неравенств, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени. В частности, для одной точки уравнение связи может иметь вид: , где – заданная функция координат точки. Например, связь в виде идеального стержня длины (рис. 19.1), ограничивающего перемещение материальной точки , записывается уравнением .
Другой пример (рис. 19.2). При свободном движении системы двух материальных точек и , соединенных между собой идеальным стержнем длины , уравнение связи, из условия неизменности расстояния между точками, имеет вид: . Положение данной системы определяется пятью независимыми параметрами, в качестве которых могут быть выбраны три декартовы координаты точки и две декартовы координаты точки , или три декартовы координаты точки и два сферических угла, определяющих положение отрезка .
Связь называется голономной, если в уравнение связи входят только координаты точек механической системы или иные параметры, определяющие ее положение в пространстве. .
Выше были рассмотрены примеры голономных связей. Если уравнения связи, кроме координат и иных параметров, определяющих положение системы, содержат их дифференциалы или производные по времени и эти дифференциальные уравнения не могут быть проинтегрированы, то связь называется неголономной.
Примером неголономной связи служит горизонтальная плоскость для диска радиуса , катящегося по ней без скольжения и поворачивающегося при этом вокруг вертикального направления (рис. 19.3). В данном случае проекции скорости центра диска на оси координат определяются равенствами , , .
Последнее уравнение может быть проинтегрировано и дает . Первые два преобразуются к виду , . Эти дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы только в случае, когда . При этом связь становится голономной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только голономных связей.
Связь называют удерживающей, если она выражается математически равенством, и неудерживающей, если она выражается неравенством.
Связь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит. Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь − нестационарная.
Примером нестационарной связи, наложенной на материальную точку, является нить (рис. 19.4), длина которой изменяется согласно некоторому закону . Это голономная, неудерживающая, нестационарная связь.
Принцип виртуальных перемещений
Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю
.
Доказательство необходимости. Дано, что механическая система находится в равновесии и требуется доказать, что . Так как система находится в равновесии, то равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций связей , приложенных в -й точке системы, удовлетворяют условию равновесия статики:
,
Сообщим системе виртуальное перемещение и умножим обе части каждого равенства скалярно на соответствующее виртуальное перемещение . Далее, суммируя полученные равенства, находим:
.
Так как связи идеальные, то
.
Доказательство достаточности. Пусть , докажем, что механическая система находится в равновесии. Предположим, что при заданных условиях система не находится в равновесии, т. е. при действии на систему активных сил хотя бы одна точка получила действительное перемещение и .
Так как для стационарных связей действительное перемещение совпадает с одним из возможных (), то или по крайней мере для одной точки системы, вышедшей из равновесия. Суммируя по всем точкам системы, получаем .
Так как связи идеальные, то , что противоречит условию.
Следовательно, система находится в равновесии.
Принцип виртуальных перемещений может быть записан в иной форме, если поделить уравнение, выражающее этот принцип на временной интервал , в течение которого совершается это перемещение.
Отношение называется виртуальной скоростью. Необходимое и достаточное условие равновесия записывается в виде или .
То есть, для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей всех активных сил на виртуальных скоростях точек их приложения была равна нулю.
Принцип виртуальных перемещений можно применять для определения реакций связей в статически определимых конструкциях. Для этого надо освободить систему от одной из связей и реакцию этой связи считать активной силой. Система, лишенная одной связи, может получить виртуальное перемещение, что и позволяет найти неизвестную реакцию.