Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство информационных технологий и связи РФ
Федеральное агентство связи
ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
Визуализация численных методов.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Выполнил: студент гр. ТЕ-72
Важенин И.Ю.
Проверил: Минина Е.Е.
Екатеринбург
2009г.
Содержание
|
[1] 1. Постановка задачи и математическая модель.
[2] [3] 3. Блок-схемы программ и основных подпрограмм. [4] 4. Листинг программы на языке VisualBasic. [5] 5. Формы проекта
[6] |
Введение.
В настоящее время существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.
Дифференциальным называется уравнение, содержащее одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют огромную роль в практике инженерных расчетов.
Для решения таких уравнений удобно использовать языки программирования, так как они позволяют быстро и точно найти решения уравнения и построить график интегральной кривой.
Целью данной работы является решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка.
Чтобы достичь поставленной цели были выдвинуты следующие задачи:
1. Изучить численные методы решения дифференциальных уравнений;
2. Самостоятельно вычислить первую точку интегральной кривой заданными методами;
3. Написать программу для построения интегральной кривой на языке программирования VusuaiBasic;
4. Проверить решение в среде MathCad.
Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
|
X |
Y(1) |
Y(2) |
YT |
|
X0 |
Y0(1) |
Y0(2) |
Y(X0) |
|
X1 |
Y1(1) |
Y1(2) |
Y(X1) |
|
… |
… |
… |
… |
|
Xk |
Yk(1) |
Yk(2) |
Y(Xk) |
Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.
Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.
|
Дифференциальное уравнение |
X0 |
Xk |
h |
Y0 |
Общее решение |
|
(y^2-2*x*y)dx+x^2=0 |
1 |
2 |
0,1 |
0.2 |
y=x^2/(c+x) |
Метод Эйлера модифицированный
Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y’= f(x,y)
с начальным условием
y(x0)=y0
выберем шаг h и введем обозначения:
xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2…
xi узлы сетки,
yi значения интегральной функции в узлах
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Метод Эйлера модифицированный
Расчет первой точки методом Эйлера модифицированного.
y’(x0) = f(x0;y0)
α0 = arctg(f(x0;y0))
α0 = arctg((0.2/1)*( 2-0.2/1)) = arctg(0.36)
x1=1+1*0.1=1.1
xb = x0+h/2
xb = 1+0.05=1.05
yb = y0+h/2*f(x0;y0)
yb = 2+0.05*((0.2/1)*(2-0.2/1))
yb = 2.018
значит точка В имеет координаты (1.05;2.018);
αb = arctg(f(xb;yb))
αb= arctg((2.018/1.1)*(2-2.018/1.1)=arctg(0.304);
y1=yb+h/2*f (xb;yb)
y1= 2.018+0.05*0.304
y1=2.17
значит точка С имеет координаты (1.1; 2.17)
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y’= f(x,y)
c начальным условием
y(x0)=y0
выберем шаг h и введем обозначения:
xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2…
Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi искомой функции y определяется по формуле:
yi+1 = yi +∆ yi
где
∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…
а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:
k1= h * f ( x1, y1 )
k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )
k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )
k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )
Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.
Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Расчет первой точки методом Рунге-Кутта 4 порядка.
k1 = h*f(x0;y0)
k1 = 0.1*(0.2*(2-0.2)) = 0.036
k2 = h*f(x0+h/2; y0+k1/2)
k2 = 0.1*((0.218/1.05)*(2-0.218/1.05)) = 0.037
k3 = h*f(x0+h/2;y0+k2/2)
k3 = 0.1*((0.2185/1.05)(2-0.2185)) = 0.0373
k4 = h*f(x0+h/2;y0+k3)
k4 = 0.1*((0.2373/1.1)(2-0.2373/1.1))=0.038
∆y = k = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6
∆y = k = (0.036+2*0.037+2*0.0373+0.038)/6 = 0.036
y1=∆y +y0
y1 = 0.036 + 0.2 = 0.236
Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.
1.Подпрограмма метода Эйлера модифицированного
2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка
3. Подпрограмма общего решения функции
4. Алгоритм функции
5. Алгоритм программы
Dim x(), em(), rk(), o() As Single
Private i, n As Integer
Private x0, xk, y0, h, miny, maxy, minx, maxx As Single
Function f(a, b) As Single
f = -((b * b) - 2 * a * b) / (a * a)
End Function
Private Sub EilerM()
ReDim x(n)
ReDim em(n)
x(0) = x0
em(0) = y0
For i = 0 To n - 1
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
em(i + 1) = Round(em(i) + h * f(x(i) + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x(i), em(i))), 3)
Next i
End Sub
Private Sub RungeKutt()
ReDim x(n)
ReDim rk(n)
x(0) = x0
rk(0) = y0
For i = 0 To n - 1
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
k1 = h * f(x(i), rk(i))
k2 = h * f(x(i) + (h / 2), rk(i) + (k1 / 2))
k3 = h * f(x(i) + (h / 2), rk(i) + (k2 / 2))
k4 = h * f(x(i) + h, rk(i) + k3)
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
rk(i + 1) = Round(rk(i) + k, 3)
Next i
End Sub
Private Sub Obchee()
ReDim x(n)
ReDim o(n)
c = Round(((x0 * x0 / y0) - x0), 3)
For i = 0 To n
x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)
o(i) = Round((x(i) * x(i)) / (c + x(i)), 3)
Next i
End Sub
Private Sub Command1_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
y0 = Val(Text3.Text)
h = Val(Text4.Text)
n = Round((xk - x0) / h)
c = Round(((x0 * x0 / y0) - x0), 3)
MSFlexGrid1.Cols = 4
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Obchee"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "EilerM"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "RungeKutt"
EilerM
RungeKutt
Obchee
For i = 0 To n
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(em(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(rk(i))
Next i
miny = o(0)
maxy = o(n)
For i = 1 To n
If em(i) > maxy Then maxy = em(i)
If em(i) < miny Then miny = em(i)
If rk(i) > maxy Then maxy = rk(i)
If rk(i) < miny Then miny = rk(i)
If o(i) > maxy Then maxy = o(i)
If o(i) < miny Then miny = o(i)
Next i
Label9.Caption = Str(maxy)
Label10.Caption = Str(maxx)
Label11.Caption = Str(miny)
Label12.Caption = Str(minx)
Picture1.Cls
kx = (3600 - 240) / (xk - x0)
ky = (5640 - 360) / (maxy - miny)
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (em(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (em(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)
Next i
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (rk(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (rk(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)
Next i
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (o(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (o(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)
Next i
End Sub
Private Sub Command2_Click()
End
End Sub
Форма разработки проекта.
Форма с результатами работы проекта.
6. Решение задачи в Mathcad.
В курсовой работе были описаны методы Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта четвертого порядка. С помощью которых была решена задача Коши первого порядка. В ходе работы были построены блок-схемы программ, разработан код программы построения графика в VisualBasic.
С помощью данной работы были закреплены навыки работы в различных приложениях WINDOWS, а именно Microsoft Word, Mathcad и VisualBasic.
Курсовая работа на тему «Визуализация численных методов» показалась мне интересной и была выполнена по указаниям преподавателя.
End
i=0,..,n-1
End
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (o(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (o(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (rk(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (rk(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)
em(i)<miny
Miny=em(i)
Maxy = rk(i)
rk(i)>maxy
End
x(i) = (x0 + (i * h)
o(i) = ((x(i) * x(i)) / (c + x(i))
i = 1, …, n
(n), o(n)
Obchee
да
нет
да
x(i) = x0 + i * h
k1 = h * f(x, rk )
k2 = h * f(x + (h / 2), rk + (k1 / 2))
k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))
k4 = h * f(x + h, rk + k3)
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
rk (i + 1) = rk (i) + k
i = 1, …, n-1
h=(xk-x0)/n
RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)
End
x = x0 + i * h
em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))
i = 1, …, n-1
h=(xk-x0)/n
EilerM(x0,xk,y0,n,em)
rk(i)<miny
em(i)>maxy
miny=rk(i)
C=(x^2/y)-x
n=(xk-x0)/h
Start
EilerM
RungeKutt
Obchee
x=x0+i*h
i=0,..,n-1
x0,xk,y0,h
Maxy=em(i)
Label 1
Label 2
Label 3
Label 4
Label 5
Label 6
Text1
Text2
Text3
Text4
Command1
Command2
Picture1
Label7
нет
End
f=b/a*(2-b/a)
f (a,b)
MSFlexGride
o(i)>maxy
maxy=o(i)
o(i)<miny
miny=o(i)
z1 = Round(240 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5640 - (em(i) - miny) * ky)
z3 = Round(240 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5640 - (em(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)
i=0,..,n-1
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
y
x
y=y(x)
О
А
С
В
h/2
h
xi
xi+1
ε1
ε
α
α1