Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет №1
1) Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.
2) Общее уравнение прямой. Векторно-параметрическое, каноническое уравнение прямой.
Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.
Любой вектор параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки и то вектор в частности, будет направляющим вектором прямой .
Пусть прямая l задана точкой и направляющим вектором (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой. Обозначим и радиус-векторы точек и M соответственно. Вектор параллелен прямой, и, следовательно, вектору тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как то
Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.
уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .
2 билет
1) Непрерывность точки разрыва функции.
Критерий непрерывности функции в точке:
Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.
2) Условие параллельности и перпендикулярности прямой.
параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
(9)
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
3 билет
Число А наз пределом функции у=f(X) при x стремящимся к бесконечности,если для любого,сколь угодно малого числа e>0 найдется такое положительное число S ,что при всех |x|>S выполняется неравенство: |f(x)-A|<e
Имеют место два замечательных предела:
1)
2)
Критерий Коши:
Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что
|f(x' ) - f(x" )| < ε,
как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то
Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то
Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:
Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:
Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
4 билет
Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство
.
Обозначается предел .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и .
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.
На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.
6 билет
1) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Фс: Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.
Гс: Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
7 билет
Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям
Тогда
Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:
Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0
2) Функции нескольких переменных
Определение. Переменная называется функцией двух переменных и , если:
1) задано множество пар численных значений и ;
2) задан закон, по которому каждой паре чисел из этого множества соответствует единственное численное значение.
При этом переменные и называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной:
, , , и т.д.
При нахождении частного значения функции , которое она принимает при заданных значениях аргументов и , пишут или .
Определение. Множество всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции.
Например, областью определения функции является множество, для которого . Множество таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.
Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение .
Аналогично функция трех переменных.
8 билет
Пусть функция z(x,y) в некоторой окрестности точки (x,y) имеет частные производные
|
или в других обозначениях
|
Частные производные являются функциями x и y , которые, в свою очередь, могут иметь частные производные
|
Если это так, то последние называются частными производными 2–го порядка функции z(x,y) и обозначаются соответственно:
|
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.
Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть z''xy и z''yx .
Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные
9билет
1) Экстремум функции двух переменных
Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.
,
тогда при :
1) имеет максимум, если дискриминант и , где ;
2) имеет минимум, если дискриминант и ;
3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;
4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Случай 1. Уравнение вида y''= f (x)
Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка
Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение
и получаем общее решение исходного уравнения.
Случай 2. Уравнение вида y''= f (y)
Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Тогда можно записать:
и уравнение принимает вид:
Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x).
Случай 3. Уравнение вида y''= f (y' )
В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение
которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x).
Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y' )
Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка
Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка
и находим общее решение y(x).
Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y' )
Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению
В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка
Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка
и определяем общее решение y(x).
Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.
Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y''
Если левая часть дифференциального уравнения
удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение
то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки
После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле
где C2 − постоянная интегрирования.
Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной
Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству
то решение исходного уравнения представляется интегралом
Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка