Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
10
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
Оридорога Леонід Леонідович
УДК 517.948
Про повноту системи кореневих векторів
для деяких класів звичайних диференціальних операторів
01.01.01- математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк–
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент
Маламуд Марк Михайлович,
доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Шкаліков Андрій Андрійович,
професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського державного університету ім. М.В.Ломоносова.
доктор фізико-математичних наук, професор,
Агранович Михайло Семенович,
професор кафедри математичного аналізу Московського державного інстітуту електроніки і математики.
Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ,
відділ диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Захист відбудеться “ 2 ” жовтня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.
Автореферат розісланий “” 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ______________________________________О.А. Довгоший
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
У дисертаційній роботі вивчається повнота та базисність систем власних та приєднаних функцій диференціальних операторів.
Актуальність теми. Вивчення спектральних задач, що породжені звичайними диференційними рівняннями, є дуже важливим як з точки зору внутрішнього розвитку спектральної теорії, так і в зв’язку з розвитком інших природничих наук. До задач, що найбільш активно досліджуються, відноситься повнота систем власних та приєднаних функцій для різних класів крайових задач. Дослідження крайових задач почалося з робот Дж.Біркгофа та Я.Д.Тамаркіна, в яких було введено поняття регулярних та підсилено регулярних крайових задач. Для цих задач було досліджено асимптотичну поведінку власних чисел та доведено повноту систем власних та приєднаних функцій, а у випадку підсилено регулярних задач було доведено також теорему про розкладення гладких функцій в ряд за системою власних та приєднаних функцій задачи.
Пізніше, одночасно і незалежно В.П.Михайловим, Г.М.Кесельманом та Н.Данфордом і Дж.Шварцем, було доведено базисність Ріса для систем власних та приєднаних функцій підсилено регулярних крайових задач. В недавніх роботах С.Салафа та А.М.Мінкіна було доведено регулярність самоспряжених та дисипативних крайових задач.
Новий етап дослідження питань повноти систем власних та приєднаних функцій різних класів несамоспряжених операторів пов’язаний з роботами М.В.Келдиша. Результати М.В.Келдиша підсилювались та уточнювалися багатьма авторами, серед яких Б.В.Лідський, Дж.Е.Алахвердієв, А.С.Маркус, В.І.Мацаєв, В.Е.Кацнельсон, Ю.О.Палант, В.С.Агранович, А.Г.Костюченко, А.А.Шкаліков та ін. Ці автори застосовували отримані абстрактні результати про повноту систем власних та приєднаних функцій компактних операторів також до різних класів диференційних операторів, як звичайних, так і в часткових похідних.
Питання повноти систем власних та приєднаних функцій нерегулярних крайових задач для рівняння n-го порядку вивчались М.В.Келдишем, А.А.Шкаліковим, А.П.Хромовим, Г.В.Родзієвським, А.М.Гомілко, А.Г.Костюченко, Оразовим та ін. Так, повноту системи власних та приєднаних функцій для крайової задачи з крайовими умовами, що розпадаються, що була анонсована М.В.Келдишем ще в 1951 р., вперше було доведено А.А.Шкаліковим в 1976 р.
Повноту систем власних та приєднаних функцій для систем диференційних рівнянь досліджувались М.А.Наймарком, Л.М.Лужиною, І.М.Гінзбургом та ін. Але для систем ці питання вивчені значно менше, ніж для звичайних диференційних рівнянь. Так, навіть питання повноти систем власних та приєднаних функцій загальної крайової задачи для системи Дірака не були досліджені.
У зв’язку з цим є дуже важливим вивчення спектральних властивостей систем диференційних рівнянь, зокрема питань повноти систем власних та приєднаних функцій для систем типу Дірака.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г-02.40 “Теорія функцій та операторів” (згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету).
Мета і задачі дослідження. Перша задача дослідження —одержати достатні умови (в термінах крайових умов), за яких система власних та приєднаних функцій (СВПФ) крайової задачи вигляду
,
є повною в просторі . У випадку -системи типа Дірака отримати також достатні умови базисності та теорему про рівнозбіжність.
Друга мета дослідження —одержати умови, за яких СВПФ крайової задачи, породженої -системою типа Дірака із квадратичними крайовими умовами, що задані на відрізку , є повною у просторі .
Третя мета —дослідження асимптотичної поведінки розв’язків диференційних рівнянь дробового порядку та доведення повноти СВПФ крайової задачи із крайовими умовами, що розпадаються, для цього рівняння.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі нові результати:
Отримано достатні умови повноти СВПФ крайової задачи для -систем диференційних рівнянь першого порядку.
Отримано достатні умови базисності СВПФ крайової задачи для -систем диференційних рівнянь першого порядку з крайовими умовами, що розпадаються.
Отримано теорему про рівнозбіжність для -систем диференційних рівнянь першого порядку з крайовими умовами, що розпадаються.
Отримано асимптотику розв’язків диференційних рівнянь дробового порядку (аналог теореми Біркгофа).
Отримано достатні умови повноти СВПФ крайової задачи для диференційних рівнянь дробового порядку.
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування у загальній теорії крайових задач для звичайних диференційних рівнянь та рівнянь із частковими похідними.
Особистий внесок здобувача. Результати другого розділу опубліковані у роботі [3]. Результати третього розділу опубліковані у роботі [1]. Результати четвертого розділу опубліковані у роботах [2], [5]–[8]. Результати п’ятого розділу опубліковані у роботі [4]. Теореми 2.3.1, 2.4.1 другого та теорема 5.3.1 п’ятого розділу були отримані разом з науковим керівником М.М. Маламудом. Решта результатів другого, третього, четвертого та п’ятого розділів одержані здобувачем особисто. Науковому керівникові М.М. Маламуду належить також постановка задач та загальне керівництво роботою.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на десятій літній петербурзській конференції з математичного аналізу в 2001 р.; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах “Спектральні та еволюційні задачі”, 1997, 1998, 2000, 2002 рр.
В цілому результати дисертації доповідались на семінарі з нелінійного аналізу Інституту прикладної математики та механіки НАН України в 1999, 2000 рр.(кер. академік НАН України І.В.Скрипник), та в 2006 р. (кер. д.ф.-м.н. А.Є.Шишков, д.ф.-м.н. О.А.Ковалевський), а також неодноразово на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. доц. М.М.Маламуд).
Частково результати дисертації було оформлено у вигляді наукової роботи, яка отримала Премію Національної академії наук України на конкурсі за кращу наукову роботу серед молодих вчених, секція математики, 2001 (рішення Президії НАНУ від 28.02.2001).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 статтях [1]–[8], які увійшли до видань, включених у перелік ВАК України, та 3 тезах доповідей на конференціях [9]–[11].
Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 143 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 89 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовується актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення отриманих результатів, апробацію та зміст роботи.
У другому розділі досліджуються системи диференціальних рівнянь першого порядку.
(1).1)
,
тут , , ; де і , , , .
Системи вигляду (1) (у випадку , ) з’являються в теорії N-хвиль (див. монографію В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский “Теория солитонов: метод обратной задачи”та список літератури в ній). Зворотні задачи для таких систем останнім часом також активно вивчалось. В окремому випадку система (1) це система Дірака. У випадку , де до системи (1) (із ) локально зводитьсяя рівняння n-го степеню2
В підрозділі 2.2 для них доводиться наступний аналог теореми Біркгофа про ріст розв`язків.
Лема 1. Нехай —попарно різні комплексні числа.
Тоді комплексна площина може бути розбита на не більше ніж секторів , в кожному з яких числа можуть бути впорядковані таким чином, що для всіх виконуються
(2).1)
нерівності
.
Теорема 2.2.1 Нехай —невироджена діагональна матриця, в якій при , —блочна матриця-функція, з елементами в якій , .
Нехай, при цьому, числа —впорядковані в секторі як у нерівності (2).
Тоді, при досить великому , система (1) в області має систему линійно незалежних матричних розв’язків
, де
аналітичних по і таких, що
(3).1)
За допомогою оцінок (3) в другому розділі доводяться теореми про повноту СВПФ
(4).1)
крайової задачи для систем вигляду (1) із загальними крайовими умовами:
.
В підрозділі 2.3 розглядається несамоспряжений випадок.
Для того, щоб зформулювати основний результат нам буде потрібна наступна конструкція. Нехай — діагональна матриця з (не обов’язково різними) елементами , що не лежать на уявній осі, .
Для довільних матриць , побудуємо матрицю таким чином: -ий стовпчик в матриці співпадає з -им стовпчиком матриці , якщо ; і з -им стовпчиком матриці , якщо .
Зрозуміло, що .
Нагадаємо, що система векторів в нормованому просторі називається мінімальною, якщо жоден з векторів цієї системи не лежить в лінійній оболонці інших векторів. Добре відомо, що мінімальність системи векторів рівносильна існуванню біортогональної системи.
Теорема 2.3.1 Нехай існують комплексні числа такі, що одночасно виконуються умови:
(a) ноль — внутрішня точка трикутника ;
(b) , .
Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна та мінімальна в просторі .
У доведенні теореми 2.3.1 використовуються деякі ідеї з роботи А.А. Шкалікова3
Наведемо кілька прикладів крайових умов, що задовльняють умови теореми 2.3.1.
Приклад 2. Нехай — довільна невироджена матриця, а , де матриця така, що що всі її головні мінори невироджені. В такому випадку матриця невироджена для кожної матриці . Тому невироджена також матриця .
Приклад 3. Окремим випадком упов, що описані в прикладі 2, є періодичні крайові умови
,
або в більш загальному випадку
,
де всі
В наведених прикладах незалежно від . Наведемо також приклади коли не при всіх , але умови теореми 2.3.1 виконуються.
Приклад 4. Нехай , а крайові умови мають вигляд
де всі коефіцієнти відмінні від 0. Тоді матриця невироджена при , але є виродженою при
Приклад 5. Нехай , а крайові умови мають вигляд
де всі коефіцієнти відмінні від 0. Тоді матриця невироджена при , але є виродженою при
З теореми 2.3.1 отримуємо наступний наслідок.
Наслідок 1. Нехай існує таке комплексне число , для якого одночасно і .
Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі
В підрозділі 2.4 розглянуто самоспряжений випадок, тобто випадок, в якому , (іншими словами всі є дійсними числами).
В цьому випадку умови теореми 2.3.1 значно спрощуються.
Для того, щоб зформулювати основний результат введемо спектральні проектори та на додатну і від’ємну частину спектру оператора відповідно.
Позначим
та .
Теорема 2.4.1 Нехай . Тоді, якщо
та ,
то СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі .
Наслідок 2. Нехай і задовольняють умову .
Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі .
При цьому покакзано, що у випадку нульвих потенціалів і умови теореми 2.4.1 є не тільки достатніми, але й необхідними, для повноти СВПФ задачи (1), (4). А саме, має місце наступна теорема.
Теорема 2.4.2. Нехай і . Тоді, якщо
(або ),
то СВПФ оператора вигляду (1), (4) неповна в просторі . При цьому її дефект є нескінченим.
В третьому розділі вивчається повнота систем власних та приєднаних функцій систем вигляду
(5).1)
,
де , , , , .
При цьому застосовується існування трикутних операторів перетворення, побудованих для загальних систем вигляду (1) в роботі М.М. Маламуда4
. Для систем вигляду (5) трикутні оператори перетворення мають вигляд
де — розв’язок задачи Коші для системи (5) із початковими умовами
(6).1)
2 Маламуд М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале // Труды Моск. матем. об-ва. — 1999 — т.60, стр. 199–258.
3 Шкаликов А.А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложения. — 1976 — т. 10, № 4, стр. 69-80.
4 Маламуд М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале // Труды Моск. матем. об-ва. — 1999 — т.60, стр. 199–258.