тематики Понятие множества обычно принимается за одно из исходных аксиоматических понятий то есть не свод
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
- Множества. Множество — первичное понятие математики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, существуют различные описания множества.Например, Георг Кантор дал такое описание: Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое A определённых хорошо различимых предметов x нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества A).Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Иногда множества определяется через аксиомы теории множеств.Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описаниеего элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания.Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил . При этом, A(x) называется характеристическим свойством множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными.
Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В.
Сумма ( объединение ) множеств А и В есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В.
Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В.Разность множеств А и В ( рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.
- Вектор. Вектор – это направленный отрезок прямой. Нулевой вектор– это любая точка плоскости или пространства. Длина вектора- это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают . Два коллинеарных вектораназывают противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначают . Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Угол называется углом между векторами и . Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .
Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).
Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .
Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.
Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l.
Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.
Проекцию вектора на ось l будем обозначать .
Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0.
Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.
Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Теорема (о проекции вектора на ось) : проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между векторами и осью.
Следствие: Равные вектора имеют равные проекции на одну ось.
3. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.