Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
10
PAGE 10
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ
А.С. Матвеева
Контрольные задания и методические указания
по математике
для студентов заочного отделения
факультетов социального управления
и сервиса и межкультурных коммуникаций
( итоговый контроль – экзамен)
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012 г.
Самостоятельная работа над учебным материалом является основной формой обучения студента заочного отделения. При этом рекомендуется использовать литературу, перечисленную ниже.
Перед тем как приступить к выполнению контрольных заданий рекомендуется изучить конспект лекций, прочитанных на сессии.
Каждое задание содержит 10 вариантов.
Вариант задания определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
Если номер заканчивается на цифру 0, то номер варианта 10.
При выполнении контрольных работ следует указать номер задачи и целиком переписать ее условие, ответы на вопросы задачи должны быть ясно выделены.
Следует выполнить все рисунки, указанные в задании.
Работа должна быть выполнена на стандартных листах формата А 4, с одной стороны листа от руки.
Листы нумеруются, начиная со второго, скрепляются степлером.
На титульном листе следует указать номер варианта и номер зачетной книжки. и
К работе следует приложить заполненный бланк рецензии.
Работа, оформленная неверно, рассматриваться не будет.
Список литературы
1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов.-М.:ООО « Издательство Астрель»; ООО « Издательство АСТ», 2001 и далее
2.Красс М.С., Математика для экономических специальностей: Учебник.-М.: ИНФРА-М, 1999 и далее.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учебное пособие для втузов.-М.: Высшая школа, 1999 и далее
Контрольные задания
1.Заданы координаты вершин треугольника АВС. Требуется а) построить треугольник в системе координат 0ХУ б) вычислить его периметр,
в) написать уравнения сторон (с проверкой).
1.1. А(2,3) В(4,5) С(-1,2). 1.6. А(1,4) В(3,2) С(-3,4)
1.2. А(0,3) В(4,0) С(-1,-5) 1.7. А(5,3) В(3,5) С(-1,-1)
1.3. А(5,1) В(1,5) С(2,2) 1.8. А(4,4) В(2,2) С(-5,7)
1.4. А(0,5) В(6,1) С(-5,-6) 1.9. А(5,3) В(7,2) С1,1)
1.5. А(7,2) В(4,9) С-3,-3) 1.10. А(5,3) В(2,7) С-1,-1)
2.Найти точку пересечения прямых и построить прямые
2.1 2х-3у-3=0 и 3х+2у+6=0 2.6 2х+3у-3=0 и 3х-2у=0
2.2 3х+2у-6=0 и 2х-3у- 6=0 2.7 5х-2у-10=0 и 2х+5у-5=0
2.3 4х+3у-6=0 и 3х-4у+3=0 2.8 3х-3у+2=0 и 3х+3у-4=0
2.4 2х+2у-3=0 и 2х-2у+4=0 2.9 2х+ у-3=0 и х- 2у-4 =0
2.5 2х-2у+1=0 и 2х+2у-5=0 2.10 х+3у-2=0 и 3х-у +4=0
3. Решить систему по формулам Крамера ( с проверкой)
3.1 3.6
3.2 3.7
3.3 3.8.
3.4 . 3.9.
3.5. 3.10.
.4. Решить однородную систему ( с проверкой)
4.1 4.6
4.2 4.7
4.3 4.8.
4.4 . 4.9.
4.5. 4.10.
Исследовать функцию, построить график.
5.1 у= 5.6 у=
5.2. у=2e-x 5.7. у=-e-2x
4.3 .y=ln(2x-4) 4.8. y=ln(1-2x)
4.4. у= - 4х+3х-2 4.9. у= 2х- х +3
4.5 у=х3-4х2+3 4.10. у=х3-2х2+1
6. Найти частные производные первого и второго порядка функции z(x,y). Исследовать на экстремум. Исследовать функцию на условный экстремум при условии: х+у=1.
6.1. 6.6.
6.2. 6.7.
6..3. 6.8.
6.4 6.9.
6.5. . 6.10.
7. . Найти интеграл
7.1. 7.6
7.2. 7.7.
7.3. 7.8
7.4. 7.9.
7.5. 7.10.
8.Вычислить интеграл и проверить результат, исходя из его геометрического смысла
8.1. 8.6.
8.2. 8.7.
8.3. 8.8.
8.4. 8.9.
8.5. 8.10.
Номера разобранных примеров соответствуют номерам задач контрольного задания.
Пример 1. Заданы координаты вершин А (1.1), В(2.7), С(3,5) треугольника АВС.
Найти: а) построить треугольник в системе координат Оху. б)Вычислить
его периметр. б) Найти уравнения сторон (с проверкой).
Решение. а) Строим треугольник по координатам его вершин. б) Периметр треугольника – это сумма длин его сторон. Длина стороны – это расстояние между двумя точками плоскости:
АВ = =
ВС=
АС=
Р= АВ+ВС+АС=++2=+3
в) Уравнение сторон – это уравнение прямых, проходящих через две точки:
уравнение прямой АВ:
=, 6x-y-5=0
Проверка: подставим в подчеркнутое уравнение координаты точек А и В
2 2+7-11=0 (верно) 2 3+5-11=0 (верно)
Уравнения остальных сторон треугольника получим аналогично.
Пример 2. Найти точку пересечения прямых и построить прямые
х-3у+2=0 и3х+у-3=0
Решение. Для нахождения точки пересечения непараллельных прямых следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у
Для этого можно использовать формулы Крамера
х =, у =,где
0 - главный определитель системы ( определитель коэффициентов при неизвестных) , - определитель х ,полученный из главного определителя системы заменой первого столбца столбцом правых частей системы,
- определитель у ,полученный из главного определителя системы заменой второго столбца столбцом правых частей системы
=1+9=10
х = 0,7 у=0,9
Подставляя найденные значения х и у в оба уравнения прямых, убеждаемся, что каждое уравнение обращается в тождество
0,7-3 0,9=-2 (верно) 3 0,7+0,9=3 (верно).
Таким образом, х =0,7 у=0,9 - координаты точки пересечения прямых.
Далее следует построить прямые и сравнить графическое решение с полученным результатом. Отметим ,что данные прямые взаимно перпендикулярны.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений с проверкой методом Крамера
Решение. Формулы Крамера имеют вид
х =, х =, х =, где
0 - главный определитель системы ( определитель матрицы коэффициентов при неизвестных), ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного, заменой i столбца столбцом свободных членов.
.Для вычисления определителя третьего порядка, используем разложение определителя по элементам первой строки
1 - 2 + 3 =(-6-1)-2 (-4-3)+3(2-9) =-7+14-21=-14
==-14,==-28,==0,==14
х=2, х=0, х=-1.
Проверка: подставляем полученные значения переменных в левую часть исходной системы:
2-3=-1 (верно), 4-1=3 ( верно) , 6+2=8 ( верно).
Ответ: х=2, х=0, х=-1
4. Решить однородную систему методом Гаусса ( с проверкой)
Метод Крамера не является универсальным, поскольку предполагает, что главный определитель системы отличен от нуля.
Универсальным методом решения систем является метод Гаусса
( метод исключения неизвестных). Покажем его реализацию на примере решения однородной системы, главный определитель которой равен нулю. Действительно==0
Для реализации метода Гаусса расширенную матрицу системы приводят к ступенчатому виду
А=
Последняя матрица соответствует системе, равносильной исходной
откуда видно, что система имеет бесчисленное множество решений ,так как неизвестных три, а уравнений два.
х полагаем равным произвольному числу t ( свободное неизвестное): х=t , тогда х=23t/7, х=-6t/7.
Проверка: подставляем полученные значения переменных в левую часть исходной системы:
-18t/7+46t/7-4t=0 (верно)
-12t/7-23t/7+5t=0 (верно)
-6t/7+69t/7-9t=0 (верно)
Ответ: х=-6t/7, х=23t/7 , х=t (t- произвольное число).
Заметим ,что однородная система всегда имеет нулевое решение .Если главный определитель однородной системы равен нулю , то она имеет бесчисленное множество решений, то есть решения отличные от нулевого.
Пример 5 .Найти производные первого и второго порядка функции y=
Исследовать функцию, построить ее график.
Решение. Достаточно знать таблицу производных основных элементарных функций и основные правила дифференцирования.
, . щ
. Дана функции у=. Исследовать функцию, построить график.
Для решения следует применить общую схему исследования функции.
1) Область определения: D(y)=(
2)Точки пересечения с осями : с осью ОХ: 3х-1=0 х= , c осью ОУ: у(0)=1.
3)Характер монотонности: функция возрастает на всей области определения, поскольку Точки экстремума и экстремумы: точек экстремума и экстремумов нет, поскольку функция возрастает.
4)Асимптоты графика функции:
а) вертикальная асимптота: х=-0,5, поскольку =
б) горизонтальная асимптота: у=1,5 поскольку =
График функции: строят, исходя из свойств функции.
Пример 6 Дана функция .Найти частные производные первого и второго порядка функции. Исследовать на экстремум. Исследовать функцию на условный экстремум при условии: х+у=1.
Решение. Для нахождения частных производных первого порядка функции двух независимых переменных вторую переменную следует считать постоянной величиной. =2х-2у, =-2х+1, =2, =0, =-2.
Для исследования на экстремум сначала следует найти стационарные точки функции из условия . Для данной функции имеем
откуда х=0.5 у=0,5 – стационарная точка. Далее исследуем стационарную точку. Вычисляем в стационарной точке. В данном примере
. Поскольку , то в стационарной точке эксажаемтремума нет.
Для исследования на условный экстремум выразим из условия х+у=1 выразим у=1-х и подставив у в исходную функцию, исследуем на экстремум функцию
z(x)=
Минимум этой функции достигается в точке х=0,5 у=0,5 и равен
zmin=3 0,25-3 0,5+1=0,25
Пример .7. Найти интеграл
Решение. =-4х+ln+C
Пример 8. Вычислить интеграл и проверить результат, исходя из его геометрического смысла
Решение. , где F(x)-первообразная для функции f(x).
=(3x+x2)= (6+4)-(3+1)=10-4=6
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла от неотрицательной функции, значение интеграла равно площади подграфика функции у =(3+2x) на отрезке [1,2] . В данном примере получаем площадь трапеции равную полу сумме оснований, умноженной на высоту. Следует построить эту трапецию и вычислить ее площадь по формуле (у(1)+у(2))/2.
В данном примере у(1)=5; у(2)=7. Таким образом, S=(5+7)/2=6, что совпадает со
значением интеграла.
.