Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Химфак. 2-й курс. Вопросы к экзамену IV-го семестра по курсу высшей математике.
Вопросы по материалу IV-го семестра
Ряды
|
Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда. |
|
Классификация числовых рядов: знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. |
|
Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами. |
|
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов. |
|
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда. |
|
Функциональная последовательность и способы ее задания. Определение функционального ряда. Поточечная сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда. |
|
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом). |
|
Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва). |
|
Степенные ряды. Лемма Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда. |
|
Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. |
|
Теорема о ряде Тейлора (без док-ва). Основные разложения в ряд Тейлора. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. |
|
Ортонормированные системы функций: sin nx,cos nx: определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы. |
|
Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-;] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-;]. |
|
Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье и об оценке коэффициентов ряда Фурье. Коэффициенты для четной и нечетной функции. |
|
Понятие о сходимости в среднем. |
|
Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале. |
|
Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье. |
|
Комплексная форма интеграла Фурье. |
|
Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье. |
|
Определение абстрактного векторного пространства. Основные понятия: линейная зависимость, независимость векторов, базис, разложение вектора по базису, координаты вектора. |
|
Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису. |
|
Линейное подпространство. Линейная оболочка векторов. |
|
Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор. |
|
Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования. |
|
Обратный оператор, его матрица. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора. |
|
Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису. |
|
Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве. Гильбертово пространство. Система ортогональных векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы. |
|
Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. |
|
Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простым спектром. |
|
Нормированное пространство. Определение нормы вектора. Унитарное пространство. Норма в гильбертовом пространстве. |
|
Эрмитовы матрицы. Сопряженный оператор, его матрица. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора. |
|
Унитарные, ортогональные и эрмитовы операторы и их матрицы. |
|
Определение интеграла, зависящего от параметра. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра. |
|
Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса (с док-вом). Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов. |
Вопросу по курсу I-III семестров
Введение в анализ
|
Основные понятия теории множеств: множество, элемент. Операции над ними. |
|
Последовательность. Предел последовательности. Примеры. |
|
Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности. Примеры. |
|
Предел функции в точке на языке . Предел функции в точке на языке UU. Предел функции в точке на языке последовательностей. Теорема об эквивалентности 3-х определений предела (формулировка). |
|
Основные теоремы о пределах функций об арифметических операциях над пределами, о сжатой переменной |
|
Замечательные пределы. |
|
Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи между ними. Эквивалентные бесконечно малые (большие). Определение о-малых. |
|
Определение непрерывности. Непрерывность элементарных функций. Теореме о вложенных отрезках. Свойства непрерывных функций на отрезке: 1-я 2-я теоремы БольцаноКоши, теоремы Вейерштрасса. |
|
Классификация точек разрыва: разрывы I-го, II-го рода, устранимые разрывы. |
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
|
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение понятие производной. Дифференциал функции. |
|
Правила дифференцирования суммы и произведения. Производная сложной функции. Производная отношения двух функций. |
|
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Односторонние производные. |
|
Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций), теоремы Ролля, Лагранжа, Коши-Лагранжа (формулировка). |
|
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0, /. |
|
Многочлен Тейлора для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без док-ва). |
|
Общий план исследования функций с помощью производных. |
|
Определение асимптоты функции. Виды асимптот и способы их определения. |
Интегральное исчисление функций одной переменной
|
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. |
|
Таблица первообразных. Основные формулы интегрирования. |
|
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Оценки определенного интеграла. |
|
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной |
|
Понятие несобственного интеграла. Определение сходимости несобственного интеграла. Главное значение в смысле Коши. Пример о сходимости интегралов от степенных функций. |
Элементы линейной алгебры
|
Матричное исчисление. Матрица. Виды матриц. Арифметические действия над ними и их свойства. Транспонирование. Элементарные преобразования матриц. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений. |
|
Определители матриц. Решение С.Л.У. 2-го порядка. Определение перестановки, инверсии, порядка перестановки. Определитель n-го порядка. Примеры: определители 2-го,3-го порядков. |
|
Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема о разложение определителя по строке (столбцу). Определители диагональных и треугольных матриц. Практические алгоритмы вычисления определителей. |
|
Обратная матрица. Определение и свойства. Невырожденные матрицы. Союзная матрица. Теорема об обратной матрице. Правило Крамера. Ортогональные матрицы. |
|
Системы линейных уравнений. Классификация С.Л.У. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Решение квадратных систем методом Крамера. |
|
Исследование произвольных С.Л.У. Ранг системы. Теорема Кронекера - Капелли. Алгоритм Гаусса решения произвольной С.Л.У. Базисный минор. Свободные и базисные переменные. Представление решение в базисной форме. |
|
Построение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем с одинаковой матрицей коэффициентов. |
|
Собственные числа и собственные вектора матрицы. Характеристический многочлен. |
|
Понятие о векторном пространстве Rn. Действия над векторами и их свойства. Понятие о линейной комбинации векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Признак линейной зависимости векторов. Свойства собственных векторов. |
|
Квадратичные формы и их матрицы. Определение знакоопределенности квадратичных форм. Критерий Сильвестра (без док-ва). Следствие. |
Аналитическая геометрия на плоскости
|
Определение Г.М.Т. Уравнение Г.М.Т. Основные системы координат на плоскости: декартова, полярная. Связь между ними. |
|
Основные задачи на на прямой деление отрезка в заданном отношении, расстояние между точками. |
|
Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров. |
|
Основные задачи на прямую и точку на плоскости. |
|
Кривые 2-го порядка: канонические уравнения, геометрический смысл их параметров и их свойства. |
Элементы высшей алгебры.
|
Векторная форма представления комплексного числа, определение его модуля и аргумента. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация действий над комплексными числами . |
|
Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел. Умножение и деление в показательной форме. |
|
Понятие о функции комплексного переменного. Примеры элементарных функций комплексного переменного, а также определение функций: ez, Ln z, ln z, z1z. |
|
Многочлен и его корни. Основная теорема высшей алгебры (формулировка) и следствия из нее. Интерполяционная формула Лагранжа. |
|
Рациональные дроби и их разложения на простейшие над полем R и C. |
Математический анализ
Функции многих переменных.
|
Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных Линии уровня. |
|
Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции в точке. Непрерывность. Теорема о свойствах функций, непрерывных в замкнутой области (без док-ва). |
|
Частные приращения и частные производные. Дифференцируемость Ф.М.П. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в данной точке поверхности |
|
Градиент функции и его смысл. Производная по направлению. |
|
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. |
|
Формула Тейлора для функций 2-х переменных. |
|
Экстремумы функции нескольких переменных. Критические точки. Необходимое условие экстремума Ф.М.П. Достаточные условие экстремума функций двух переменных |
|
Постановка задачи об условном экстремуме. Функция Лагранжа. Множители Лагранжа. Теоремы о необходимых и достаточных условиях условного экстремума (без док-ва). |
|
Определение криволинейных интегралов 1- го рода (по длине), их свойства и вычисление. |
|
Определение криволинейных интегралов 2- го рода (по координатам), их свойства и вычисление. |
|
Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл: определение и свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойных интегралов к повторным. |
|
Замена переменных в двойном интеграле. Понятие якобиана. |
|
Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторному. |
|
Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан. |
Векторная алгебра.
|
Определения вектора. Аксиомы векторного пространства. Связь между различными моделями векторных пространств. |
|
Элементы вектора: координаты, модуль, направляющие косинусы, орт. |
|
Естественный базис. Разложение векторов по базису. Радиус-вектор точки. |
|
Определения проекций. Оператор проектирования вектора на координатную ось и его свойства. |
|
Векторные операции: скалярное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью. |
|
Векторные операции: векторное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью. |
|
Векторные операции: смешанное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью. |
Аналитическая геометрия в пространстве.
|
Плоскость в пространстве, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров. |
|
Прямая в пространстве, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров. |
|
Поверхности 2-го порядка и их классификация. |
|
Приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду. |
Теория поля
|
Понятие о поверхностных интегралах. Задачи, приводящие к поверхностным интегралам I-го и II-го рода. Их определение, свойства и вычисление. |
|
Оператор «набла». Точечные и интегральные характеристики векторных полей. Их физический и механический смысл. |
|
Формула Гаусса-Остроградского (без док-ва). |
|
Теорема Стокса (без док-ва). |
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
|
Основные понятия и определения: дифференциальное уравнение I-го порядка, решение дифференциального уравнения, особое решение. Понятие об интегральной кривой. Задача Коши для уравнения I-го порядка |
|
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения I-го порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнение с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах, однородное, со специальной правой частью, линейное уравнение и уравнение Бернулли вид и методы интегрирования. |
|
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. |
|
Линейно зависимые и линейно независимые функции. Вронскиан. |
|
Линейные дифференциальные уравнения: фундаментальная система решений, структура общего решения однородного и неоднородного уравнения. |
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения. |
|
Частные решения неоднородного дифференциального уравнения, получаемые методом вариации произвольных постоянных. |
|
Частные решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью, получаемые методом неопределенных коэффициентов. |
|
Нормальные системы дифференциальных уравнений: основные понятия и определения. |
Теория вероятностей.
|
Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. |
|
Классическая и геометрическая модель вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей. |
|
Основные теоремы теории вероятностей: теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности и формула Бернулли. |
|
Комбинаторика. |
|
Схема Бернулли. Формула Бернулли. |
|
Теоремы Муавра-Лапласа |
|
Дискретные случайные величины: её функция распределения и характеристики, примеры. |
|
Непрерывные случайные величины: их функция распределения, плотность, их взаимосвязь и свойства, примеры. |
|
Понятие о различных формах закона больших чисел. Центральная предельная теорема. |
Типовые задачи
1. |
Определить линейную зависимость (независимость) системы векторов. |
2. |
Ортогонализировать систему векторов. |
3. |
Построить матрицу линейного оператора. |
4. |
Построить матрицу линейного оператора в другом базисе. |
5. |
Построить матрицу эрмитово сопряженную к данной. |
6. |
Определить спектр линейного оператора. |
7. |
Исследовать числовой ряд на абсолютную сходимость. |
8. |
Исследовать числовой ряд на условную сходимость. |
9. |
Исследовать функциональный ряд на поточечную сходимость. |
10 |
Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость. |
11. |
Построить ряд Фурье для данной функции. |
12. |
Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл, зависящий от параметра. |