Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда.

Классификация числовых рядов: знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами.

Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда.

Функциональная последовательность и способы ее задания. Определение функционального ряда. Поточечная сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом).

Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва).

Степенные ряды. Лемма Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда.

Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Теорема о ряде Тейлора (без док-ва). Основные разложения в ряд Тейлора. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Ортонормированные системы функций: sin nx,cos nx: определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы.

Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-;] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-;].

Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье и об оценке коэффициентов ряда Фурье. Коэффициенты для четной и нечетной функции.

Понятие о сходимости в среднем.

Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале.

Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье.

Комплексная форма интеграла Фурье.

Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье.

Определение абстрактного векторного пространства. Основные понятия: линейная зависимость, независимость векторов, базис, разложение вектора по базису, координаты вектора.

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

Линейное подпространство. Линейная оболочка векторов.

Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор.

Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования.

Обратный оператор, его матрица. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора.

Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве. Гильбертово пространство. Система ортогональных векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы.

Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простым спектром.

Нормированное пространство. Определение нормы вектора. Унитарное пространство. Норма в гильбертовом пространстве.

Эрмитовы матрицы. Сопряженный оператор, его матрица. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора.

Унитарные, ортогональные и эрмитовы операторы и их матрицы.

Определение интеграла, зависящего от параметра. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра.

Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса (с док-вом). Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов.

Основные понятия теории множеств: множество, элемент. Операции над ними.

Последовательность. Предел последовательности. Примеры.

Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности. Примеры.

Предел функции в точке на языке . Предел функции в точке на языке UU. Предел функции в точке на языке последовательностей. Теорема об эквивалентности 3-х определений предела (формулировка).

Основные теоремы о пределах функций об арифметических операциях над пределами, о сжатой переменной

Замечательные пределы.

Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи между ними. Эквивалентные бесконечно малые (большие). Определение о-малых.

Определение непрерывности. Непрерывность элементарных функций. Теореме о вложенных отрезках. Свойства непрерывных функций на отрезке: 1-я 2-я теоремы Больцано–Коши, теоремы Вейерштрасса.

Классификация точек разрыва: разрывы I-го, II-го рода, устранимые разрывы.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение понятие производной. Дифференциал функции.

Правила дифференцирования суммы и произведения. Производная сложной функции. Производная отношения двух функций.

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Односторонние производные.

Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций), теоремы Ролля, Лагранжа, Коши-Лагранжа (формулировка).

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0, /.

Многочлен Тейлора для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без док-ва).

Общий план исследования функций с помощью производных.

Определение асимптоты функции. Виды асимптот и способы их определения.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица первообразных. Основные формулы интегрирования.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Оценки определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной

Понятие несобственного интеграла. Определение сходимости несобственного интеграла. Главное значение в смысле Коши. Пример о сходимости интегралов от степенных функций.

1.  1

Матричное исчисление. Матрица. Виды матриц. Арифметические действия над ними и их свойства. Транспонирование. Элементарные преобразования матриц. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений.

1.  2

Определители матриц. Решение С.Л.У. 2-го порядка. Определение перестановки, инверсии, порядка перестановки. Определитель n-го порядка. Примеры: определители 2-го,3-го порядков.

Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема о разложение определителя по строке (столбцу). Определители диагональных и треугольных матриц. Практические алгоритмы вычисления определителей.

Обратная матрица. Определение и свойства. Невырожденные матрицы. Союзная матрица. Теорема об обратной матрице. Правило Крамера. Ортогональные матрицы.

Системы линейных уравнений. Классификация С.Л.У. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Решение квадратных систем методом Крамера.

Исследование произвольных С.Л.У. Ранг системы. Теорема Кронекера - Капелли. Алгоритм Гаусса решения произвольной С.Л.У. Базисный минор. Свободные и базисные переменные. Представление решение в базисной форме.

Построение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем с одинаковой матрицей коэффициентов.

Собственные числа и собственные вектора матрицы. Характеристический многочлен.

Понятие о векторном пространстве Rn. Действия над векторами и их свойства. Понятие о линейной комбинации векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Признак линейной зависимости векторов. Свойства собственных векторов.

Квадратичные формы и их матрицы. Определение знакоопределенности квадратичных форм. Критерий Сильвестра (без док-ва). Следствие.

1.  1

Определение Г.М.Т. Уравнение Г.М.Т. Основные системы координат на плоскости: декартова, полярная. Связь между ними.

1.  2

Основные задачи на на прямой деление отрезка в заданном отношении, расстояние между точками.

1.  3

Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров.

1.  4

Основные задачи на прямую и точку на плоскости.

1.  5

Кривые 2-го порядка: канонические уравнения, геометрический смысл их параметров и их свойства.

Векторная форма представления комплексного числа, определение его модуля и аргумента. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация действий над комплексными числами .

Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел. Умножение и деление в показательной форме.

Понятие о функции комплексного переменного. Примеры элементарных функций комплексного переменного, а также определение функций: ez, Ln z, ln z, z1z.

Многочлен и его корни. Основная теорема высшей алгебры (формулировка) и следствия из нее. Интерполяционная формула Лагранжа.

Рациональные дроби и их разложения на простейшие над полем R и C.

Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных Линии уровня.

Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции в точке. Непрерывность. Теорема о свойствах функций, непрерывных в замкнутой области (без док-ва).

Частные приращения и частные производные. Дифференцируемость Ф.М.П. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в данной точке поверхности

Градиент функции и его смысл. Производная по направлению.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Формула Тейлора для функций 2-х переменных.

Экстремумы функции нескольких переменных. Критические точки. Необходимое условие экстремума Ф.М.П. Достаточные условие экстремума функций двух переменных

1.  .

Постановка задачи об условном экстремуме. Функция Лагранжа. Множители Лагранжа. Теоремы о необходимых и достаточных условиях условного экстремума (без док-ва).

1.  .

Определение криволинейных интегралов 1- го рода (по длине), их свойства и вычисление.

1.  .

Определение криволинейных интегралов 2- го рода (по координатам), их свойства и вычисление.

1.  .

Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл: определение и свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойных интегралов к повторным.

1.  .

Замена переменных в двойном интеграле. Понятие якобиана.

Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.

Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан.

Определения вектора. Аксиомы векторного пространства. Связь между различными моделями векторных пространств.

Элементы вектора: координаты, модуль, направляющие косинусы, орт.

Естественный базис. Разложение векторов по базису. Радиус-вектор точки.

Определения проекций. Оператор проектирования вектора на координатную ось и его свойства.

Векторные операции: скалярное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью.

Векторные операции: векторное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью.

Векторные операции: смешанное произведение, определение, геометрический смысл, свойства, основные геометрические задачи, решаемые с его помощью.

Плоскость в пространстве, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров.

Прямая в пространстве, различные виды ее уравнений и геометрический смысл их параметров.

Поверхности 2-го порядка и их классификация.

Приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду.

Понятие о поверхностных интегралах. Задачи, приводящие к поверхностным интегралам I-го и II-го рода. Их определение, свойства и вычисление.

Оператор «набла». Точечные и интегральные характеристики векторных полей. Их физический и механический смысл.

Формула Гаусса-Остроградского (без док-ва).

Теорема Стокса (без док-ва).

Основные понятия и определения: дифференциальное уравнение I-го порядка, решение дифференциального уравнения, особое решение. Понятие об интегральной кривой. Задача Коши для уравнения I-го порядка

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения I-го порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнение с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах, однородное, со специальной правой частью, линейное уравнение и уравнение Бернулли – вид и методы интегрирования.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Линейно зависимые и линейно независимые функции. Вронскиан.

Линейные дифференциальные уравнения: фундаментальная система решений, структура общего решения однородного и неоднородного уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Частные решения неоднородного дифференциального уравнения, получаемые методом вариации произвольных постоянных.

Частные решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью, получаемые методом неопределенных коэффициентов.

Нормальные системы дифференциальных уравнений: основные понятия и определения.

Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

Классическая и геометрическая модель вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Основные теоремы теории вероятностей: теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности и формула Бернулли.

Комбинаторика.

Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Теоремы Муавра-Лапласа

Дискретные случайные величины: её функция распределения и характеристики, примеры.

Непрерывные случайные величины: их функция распределения, плотность, их взаимосвязь и свойства, примеры.

Понятие о различных формах закона больших чисел. Центральная предельная теорема.

1.

Определить линейную зависимость (независимость) системы векторов.

2.

Ортогонализировать систему векторов.

3.

Построить матрицу линейного оператора.

4.

Построить матрицу линейного оператора в другом базисе.

5.

Построить матрицу эрмитово сопряженную к данной.

6.

Определить спектр линейного оператора.

7.

Исследовать числовой ряд на абсолютную сходимость.

8.

Исследовать числовой ряд на условную сходимость.

9.

Исследовать функциональный ряд на поточечную сходимость.

10

Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость.

11.

Построить ряд Фурье для данной функции.

12.

Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл, зависящий от параметра.