Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
План учебного занятия № 9
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы « Введение в математику»
Тема: Алгебраические многочлены. Теорема Безу.
Цель обучения: Сформировать понятие о разложении алгебраического многочлена на множители.
Цель развития: Показать, что всегда существует возможность разложения многочлена на множители.
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Алгебра и те науки, где находятся корни многочлена
Ход занятия:
1. Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х или алгебраическим многочленом степени n.
Два многочлена равны f(x)=g(x), тогда и только тогда, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х .
Теорема 1. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x) , что f(x)=g(x)*q(x)+r(x) , причем, степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x) определяются однозначно. Многочлен q(x) называется частным от деления f(x) на g(x) и r(x) - остатком от деления.
Формула может быть записана так: (g(x)0)/
Если остаток от деления f(x) на g(x) равен 0, то многочлен g(x) называют делителем многочлена f(x). Говорят, что f(x) делится нацело на g(x).
Многочлен h(x) называется общим делителем для многочленов f(x) и g(x), если он является делителем каждого из этих многочленов.
Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени(т.е. постоянных).
Замечание. Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если d(x) — наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), то cd(x) — также их общий делитель.
ПРИМЕР 1. Найти частное q(x) и остаток r(x) при делении многочлена f(x) = x4-x2-2 на многочлен φ(x)= x3-2x2+x-2 . Выразить f(x) через φ(x) и r(x) .
Выполняя деление, находим:
x4-x2-2 x3-2x2+x-2
- x4-2x3+x2-2x x+2
2x3-2x2+2x-2
2x3-4x2+2x-4
2x2+2
Итак, q(x) = x+2, r(x)= 2x2+2, x4-x2-2 = (x3-2x2+x-2)*(x+2) +2x2+2 .
ПРИМЕР 2. Найти наибольший общий делитель двух многочленов: f(x)= x4+2x2-3 и φ(x)=x3-x2+2x-2
Произведя деление f(x) на φ(x), получим: x4+2x2-3= (x3-x2+2x-2)(x-1) +(x2-1), т.к. q1(x)=x-1 r1(x)=x2-1. Разделив φ(x) на r1(x) , найдем второе из указанных равенств: x3-x2+2x-2= (x2-1)(x-1)+3x-3. Остаток r1(x) нацело делится на остаток r2(x) : x2-1=(3x-3)*(1/3x +1/3). Следовательно, r2(x)=3(x-1) является наибольшим общим делителем данных многочленов. В соответствии с замечанием общим делителем будет также x-1.
Число с называется корнем многочлена f(x) или корнем уравнения f(x)=0, если f(c)=0 и когда f(x) делится на x-c.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
При х = a, получаем f(a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
2. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители.
Если a1,a2...,an-корни многочлена f(х) = a0хn + a1хn-1 + ••• + аn-1x+ аn, то уравнение можно записать так: ао(х-а1)(х-а2)...(х-аn) = 0
Если а и - сопряженные комплексные корни, то (х - а) (х -) = х2 + рх + q, где p и q - действительные числа р = - (a + ), q = а.
Предположим, что левая часть уравнения разложена на множители вида х-с и х2 +px + q. Приравнивая нулю каждый множитель, получаем уравнения, каждое из которых является линейным или квадратным. Корни этих уравнений будут корнями исходного уравнения .
ПРИМЕР 3. Решить уравнение х4 + 2х3 -2х2 -8х-8 = 0. При разложении на множители используется результат примера 3. Поскольку х4 + 2х3 -2х2-8х-8 = х4 +2х3 -2х2 -4х-4х-8 = х3(х + 2)-
-2х(х + 2)-4(х + 2) = (х + 2)(х-2)(х2+2х + 2) = 0, откуда х + 2 = 0, х-2 = 0, х2+2х + 2 = 0; x1 =-2, x2=2, х3= -1-i, x4=-1 + i.
ПРИМЕР 4. Решить уравнение x5 — x4 — 81x +81 = 0. Так как x5 — x4 — 81x +81 = х4(x-1)-81(x-1) = =(x-1)(х4-81) = (x-1)(x2-9)(x:2+9), то (х-1)(х2-9)(х2+9) = 0, откуда х-1 = 0, х2-9=0, х2 + 9 = 0;
x1=1, х2 =-3, х3=3,х4=-3i, х5=3i,
Замечание. Алгебраические уравнения n-й степени (n5) в общем случае в радикалах не решаются, т. е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам.
Это впервые доказал норвежский математик Н.Х Абель. Однако имеются частные виды уравнений любой степени, разрешимые в радикалах (например, хn = а).
Вопрос о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраическое уравнение решалось в радикалах, исследовал французский математик Э. Галуа.
3. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей.
Целой рациональной функцией называют алгебраический многочлен. Дробной рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
R(x)=, если m>n , то дробь называется правильной.
Элементарными дробями называются рациональные дроби вида
и , где m и n – натуральные числа, c,p,q, A, B, C- действительные числа и p2/4-q<0 (корни квадратного трехчлена являются комплексными числами.)
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму элементарных дробей на основании следующей теоремы:
Если дана правильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы элементарных дробей. Следует заметить, что каждому действительному корню кратности l соответствует сумма l элементарных дробей вида A/(x-c)n , а каждой паре комплексно-сопряженных корней и (таких, что (x-)(x-)=x2+px+q) кратности m – сумма дробей вида :
ПРИМЕР 5. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную дробь (7х2-х+1)/(х3+1).
Так как х3 +1 = (x +1) (х2 -x +1), то искомое разложение имеет вид
,где коэффициенты А, В, С пока не определены.
Приводя к общему знаменателю правую часть и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем: (А + В)х2+(В + С-А)х + (А + С)= 7х2-х+1
Откуда A=3 B=4 C=-2
Если многочлен задан формулой f(x)= , то если мы представим f(x)=(x-c)q(x)+r, где q(x)= , то b0=a0, ………bk=cbk-1+ak k=1,2 …..n-1
r=cbn-1+an
Пользуясь схемой Горнера, разделить многочлен f(x)=2x5 -5x3 -8x+1 на (x-3)
|
2 |
0 |
-5 |
0 |
-8 |
1 |
|
|
3 |
2 |
3*2+0=6 |
3*6-5=13 |
3*13+0=39 |
3*39-8=109 |
3*109+1=328 |
Т.о., q(x)= 2x4+6x3+13x2+39x+109 Остаток r =328
А как сделать, чтобы найти корень многочлена?
Это такое значение, при котором остаток равен нулю.
Теорема. Если несократимая дробь (l и m –целые числа) является рациональным корнем многочлена, то l есть делитель свободного члена an , а m – делитель старшего коэффициента a0
Доказательство.
Умножив обе части на mn, получим
mn=0
) (1)
) (2)
Правая часть (1) делится на m на m должна делиться и левая часть, т.е. a0ln , но в силу несократимости дроби число ln взаимно просто с m , a0 должно делиться на m. Аналогично и для (2) an должно делиться на l .
Следствие. Многочлен f(x) = со старшим коэффициентом 1 и с целыми коэффициентами a1, a2, …..an может иметь в качестве рациональных корней только целые корни.
Пример. Найти рациональные корни многочлена f(x) = x4-2x3-8x2+13x-24.
Это делители свободного члена, т.е. (дроби со знаменателем 1).
f(-3)=0 . Остальные не подходят.
Следствия.
Доказательство:
Пусть f(x) имеет целый корень x0. Тогда f(x)=(x-x0)q(x)
f(2s)=(2s-x0)q(2s) и f(2t+1)=(2t+1-x0)q(2t+1)
Т.к. f(2s)- нечетно, то число ( 2s-x0) должно быть нечетным x0 - нечетное.
А т.к. f(2t+1) - тоже нечетно, то (2t+1-x0) должно быть нечетным , следовательно, x0 – четно.
Абсурд, предположение неверно.
2. Многочлен f(x) с целыми коэффициентами не имеет рациональных корней, если можно указать два таких целых числа k1 и k2, что k1- k2>0 и f(k1)=