Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
інансова математика
Розділ 1. ПРОСТІ ВІДСОТКИ І ПРИКЛАДИ ЇХ ВИКОРИСТАННЯ
У БАНКІВСЬКІЙ ПРАКТИЦІ
Під нарощеною (накопиченою) сумою боргу розуміють початкову її суму збільшену на величину нарахованих на неї відсоткових грошей на кінець терміну нарахування.
Якщо кожне нарахування відсотків проводиться від однієї суми (постійна база) то, як відомо, нараховані прості відсотки, а використана при цьому ставка називається простою відсотковою ставкою.
У банківській практиці нарощення за простими відсотковими ставками, як правило, використовується, якщо термін кредиту менше року – місяці або дні, або у випадку, коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються.
Розглянемо процес нарощення простих відсотків, увівши наступні позначення:
Р – початкова сума боргу;
S – кінцева сума боргу (нарощена сума);
І – відсоткові гроші, нараховані за весь термін (відсотки);
R – відсоткова ставка;
– відсоткове число;
n – термін позички у роках або кількість періодів нарахування.
Нехай відсотки нараховуються від суми Р за ставкою і один раз наприкінці року. Тоді за кожний рік сума боргу зростатиме на величину Р і (суму відсоткових грошей за один період нарахування).
Наприкінці першого року користування грошима борг становитиме ; наприкінці другого – , наприкінці третього року – і т.д. Як бачимо, процес нарощення боргу за простими відсотками описується арифметичною прогресією з першим членом P і різницею .
Таким чином, нарощена сума боргу через n років дорівнюватиме , тобто
. (1)
Зрозуміло, що сума відсоткових грошей, нарахованих за n років буде складати
. (2)
З формул (1), (2) можна дістати формулу для нарощеної суми у вигляді
, (3)
тобто, нарощена сума дорівнює сумі початкового боргу і суми відсоткових грошей.
Якщо скористатись відсотковим числом, то формули (1),(2) можемо записати у вигляді
, . (4)
Приклад 1. Обчислити суму відсоткових грошей та кінцевого (накопиченого) боргу, якщо позичку 1000 грн. надали на 4 роки під прості відсотки заставкою 20% річних.
Розв’язання. При розв’язуванні задачі скористаємося позначеннями: , , .
Тоді, використавши формули (2) та (1), одержимо:
грн.;
грн.
Отже, сума відсоткових грошей, нарахованих за користування позичкою, становить 800 грн., а кінцева сума боргу – 1800 грн.
1.2. Обчислення точних, комерційних та звичайних відсотків
Оскільки відсоткова ставка, як правило, встановлюється у розрахунку на рік, то при строку позички менше року, необхідно визначити, яка частина відсотків має бути заплачена кредитору. Аналогічна проблема може виникнути й у будь-якій іншій фінансовій ситуації, коли термін нарахування відсотків менший, ніж період нарахування.
Введемо нові позначення: t – кількість днів користування грошима (позичкою); K – кількість днів у році (база нарахування). Тоді термін користування грошима в роках n можна виразити дробом , а формули нарахування відсоткових грошей та кінцевої суми боргу набудуть вигляду:
, (5)
. (6)
Величини t та K можуть набувати різних числових значень. Так, кількість днів користування грошима (t) можна обчислити точно по датах (використовуючи календар року) і наближено (якщо рахувати, що кожен місяць має 30 днів, а рік має 360 днів). Отже, база року (K) теж може бути наближена (360 днів) і точна (365 або 366 у високосному році). Дата надання та погашення боргу вважається одним днем, як при наближених, так і при точних обчисленнях t. Обчислення точного числа днів між двома датами можна спростити за допомогою спеціальної таблиці "Порядкові номери днів у році".
Методику обчислення числа днів розглянемо на прикладі.
Приклад 2. Нехай кредит надали 20.02, а погасили 16.10. Визначити скільки днів користувалися грошима (наближено і точно, рік не високосний).
Розв’язання. Спочатку кількість днів знайдемо наближено. Для цього від дати погашення віднімемо дату видачі кредиту:
|
16. 10 |
|
|
- |
|
|
20. 02 |
|
|
- |
04. 08 |
Одержаний результат (8 місяців мінус 4 дні) перетворимо у дні, вважаючи, що в місяці 30 днів: 308-4=236 (днів).
Під час віднімання дат виконується й умова, що день надання і день погашення кредиту вважається одним днем.
Щоб обчислити точне число днів, скористаємось таблицею "Порядкові номери днів у році". Порядковий номер дня погашення – 289 (16.10), а порядковий день надання кредиту 51 (20.02). Результат віднімання 289-51=238 (днів). Отже, точне число днів користування грошима на 2 дні більше, ніж наближене.
Різні значення t та K , які використовуються у формулах (5), (6), приводять до різних результатів у нарахуванні простих відсотків.
На практиці застосовуються три варіанти обчислень числа днів, які дали назву трьом видам простих відсотків.
Цей спосіб нарахування відсотків, природно, дає найбільш точні результати. Його використовують як центральні банки, так і великі комерційні банки різних країн, зокрема, Великобританії, тому його називається англійським. В комерційних документах він позначається як 365/365 або АСТ/АСТ.
2. Комерційні відсотки – якщо t – точне, а K=360 днів.
Цей метод називають банківським, або французьким. Його використовують в комерційних банках Франції, Бельгії, Швейцарії при обліку векселі та інших банківських операціях. Його позначають, як 365/360 або АСТ/360. Цей спосіб нарахування відсотків дає дещо більший результат, як при використанні точних відсотків. Звернемо увагу, що при числі днів кредиту більшому за 360, даний спосіб приводить до того, що сума нарахованих відсотків буде більша, ніж передбачена річною ставкою. Наприклад, якщо t=364, то n=364/360=1,01111. Множник нарощення за рік, при умові, що і=20%, буде дорівнювати 1,20222 (замість 1,2).
3. Звичайні відсотки – якщо t – наближене, а K=360 днів.
Такий метод використовується, якщо при нарахуванні відсоткових грошей не потрібно великої точності, наприклад, при проміжних розрахунках, депозитах тощо. Такий метод використовується в практиці комерційних банків Німеччини, Швеції, Данії. Його називають німецьким методом і умовно позначають як 360/360.
Щоб з’ясувати, кому (боржнику чи кредитору) вигідні розглянуті типи відсотків (точні, комерційні і звичайні) розглянемо приклад.
Приклад 3. Позичка величиною 10000 грн. Надана 10.02.2009 року до 31.10 цього ж року під 22% річних. Яку суму відсоткових грошей заплатить боржник у день погашення боргу за умови декурсивного нарахування точних, комерційних та звичайних відсотків? Як зміниться при цьому величина кінцевої суми боргу?
Розв’язання. Визначимо наближене та точне число днів:
|
31. 10 |
304 |
|||
|
- |
- |
|||
|
10. 02 |
041 |
|||
|
|
21. 08 |
263 |
Отже, наближене число днів буде 21+308=261, а точне – 263.
Підставивши числові дані в формули (5), (6), отримаємо:
(грн.),
(грн.),
(грн.);
(грн.),
(грн.),
(грн.).
Результати показують, що для кредитора вигідними є комерційні відсотки, а для боржника – точні.
Якщо загальний термін кредиту захоплює два суміжні календарні роки і є необхідність в розподілі суми відсотків між ними, то загальна сума нарахованих простих відсотків буде складатися з суми відсотків, одержаних в кожному році, тобто:
, (7)
де , – частки терміну кредиту, які приходяться на кожний календарний рік.
Приклад 4. Кредит величиною 10000 грн. видано 20.02.2009 р. до 10.01.2010 р. під 18% річних. Яку суму повинен заплатити боржник у кінці терміну користування кредитом при використанні точних і звичайних відсотків?
Розв’язання. Шукаємо наближену кількість днів, як у прикладі 3:
|
|
10. 01.2010 |
|
|
- |
||
|
20. 02.2009 |
||
|
- |
10. -1. 1 |
Отже, наближене число днів буде 360-30-10=320 (днів).
Щоб правильно знайти точне число днів, підрахуємо їх в кожному році окремо, скористаємось таблицею "Порядкові номери днів у році" для кожного з років. У 2009 р. точне число днів буде 365-51=314; у 2004 – 10-0=10. Отже, точне число днів буде 314+10=324 (дні).
Обчислимо суму кредиту, яку повинен заплатити боржник, при використанні точних і комерційних відсотків:
(грн.),
(грн.).
1.3. Змінювана проста ставка відсотків
При укладанні фінансових угод іноді передбачають зміну відсоткових ставок у часі. Якщо це прості ставки, то нарощена сума на кінець терміну обчислюється наступним чином:
, (8)
де – значення ставок відсотків; – довжини термінів відповідних ставок , .
Якщо ставка змінюється протягом року, то термін дії кожної ставки виражається як відношення (або відношення кількості місяців до числа 12).
Приклад. Нехай трирічний контракт на 200000 грн. передбачає такий порядок нарахування відсотків: за перший рік – 8%, а в кожному наступному півріччі ставка підвищується на 0,5%. Обчислити нарощену суму боргу на кінець терміну контракту.
Розв’язання. Для обчислення нарощеної суми боргу скористаємось формулою (11):
грн.
Якщо сума, на яку нараховуються відсотки, змінює свою величину з часом (поточний рахунок при періодичному його поповненню або зняттю грошей з рахунку), то відсоткові гроші можна обчислити за формулою
, (9)
де – сума залишку на рахунку в момент часу j після чергового поступлення або зняття грошей з рахунку, – термін зберігання грошей (в роках) до нової зміни залишку на рахунку.
При практичних розрахунках користуються формулою, яка одержується з формули (8) за допомогою наступних її перетворень. Інтервали часу між моментами зміни величини залишку на рахунку виражають у днях, відсоткову ставку виражають у відсотках (а не десятковим дробом як вище). В результаті таких перетворень, дістанемо
, (10)
де – термін у днях між послідовними змінами залишку на рахунку, K – число днів у році.
Величину називають відсотковим числом, а величина – відсотковим дільником (дівізором). Тоді
. (11)
Приклад. Рух коштів на депозитному рахунку характеризуються наступними даними: 05.02 поступило 12000 грн., 10.07 знято 4000 грн., а 20.10 поступило 8000 грн. Знайти, яка буде відсоткова сума на кінець року, якщо відсоткова ставка 20% річних?
Розв’язання. Відсотковий дільник . Обчислення суми відсоткових чисел подамо у вигляді наступної таблиці
Таким чином, сума відсоткових грошей за весь термін дорівнює грн., а накопичена сума грн.
На практиці при інвестуванні коштів в короткотермінові депозити інколи практикують декілька разове послідовне повторення нарощення за простими відсотками в межах заданого загального терміну інвестування. Фактично це означає реінвестування коштів, одержаних на кожному етапі нарощення, за допомогою постійної або змінюваної ставок. Нарощена сума для всього терміну обчислюється за формулою
, (12)
де – величина ставок, за якими здійснюється реінвестування.
Якщо проміжні інтервали нарахування і ставки не змінюються з часом, то замість (12) маємо
, (13)
де m – кількість повторень реінвестицій.
Приклад. 100000 тис. грн. внесли 1-го січня 2009 р. на місячний депозит під 20% річних. Яка буде нарощена сума, якщо операція повториться чотири рази?
Розв’язання. Якщо нараховуються точні відсотки (365/365), то
грн.
Нарахування звичайних відсотків (360/360) при реінвестування
грн.
операціях
Як відомо, інфляція спричинює падіння купівельної спроможності грошей, тобто знецінює їх вартості. Щоб компенсувати населенню втрати від знецінення їх вкладів та власні втрати від надання кредитів , банки та інші фінансові установи повинні враховувати рівень інфляції у відсотковій ставці, збільшуючи її.
Щоб визначити, як зросте відсоткова ставка, розглянемо докладніше процес зниження купівельної спроможності грошей.
Нехай – річний рівень інфляції (у коефіцієнтах), тоді величина знецінення суми S за рік буде S, а через n років при постійному щорічному – .
Якщо позначити суму грошей, що компенсує втрати від інфляції через , тоді .
Оскільки кінцева сума грошей без урахування інфляції дорівнює , то .
З іншого боку, якщо просту ставку відсотка, яка враховує інфляцію, позначити через , то згідно з формулою нарощення простих відсотків будемо мати .
З останніх двох формул маємо , звідки, після спрощення, отримаємо
. (14)
Оскільки при короткотермінових операціях , то , а формула простої ставки відсотків, що враховує інфляцію, набуває вигляду
. (15)
Ставку , яка враховує інфляцію, називають ставкою-брутто.
Приклад. Кредит 50000 грн. видано 15.02 і сплачено 25.11. Ставка відсотків 20% річних, а річний темп інфляції – 15% (K=365).
Обчислити: а) просту ставку відсотків, яка враховує інфляцію; б) суму сплаченого платежу з урахуванням інфляції.
Розв’язання. Визначимо спочатку термін користування грошима (точно): t=329–46=283 днів.
а) Ставку-брутто обчислимо за формулою (15):
, звідки .
б) Суму кінцевого платежу, який враховує інфляцію, обчислимо за формулою нарощення простих відсотків, взявши за ставку відсотка величину :
грн.
Споживчий кредит – один із найбільш поширених способів кредитування населення. Банки і підприємства надають споживчі кредити для стимулювання попиту на товари, які населення не може придбати тільки за готівку.
У споживчому кредиті відсотки, як правило, нараховуються на всю суму кредиту і приєднуються до основної суми у момент надання кредиту. Таким чином, уже у момент формування кредиту сума боргу дорівнює кінцевій або нарощеній сумі . Умова, треба відмітити, є досить жорсткою для боржника.
Погашення суми споживчого кредиту може відбуватись двома способами. Перший спосіб, коли погашення боргу здійснюється рівним частинами. Другий спосіб базується на використанні арифметичної прогресії.
Перший спосіб. Погашення суми боргу проводиться частинами, як правило, рівними сумами на протязі всього терміну кредиту. Зокрема, якщо суму загального боргу S розбити на рівні платежі, які вноситимуться m разів на рік протягом n років, то величина разового погашувального платежу дорівнюватиме
, (16)
де n – термін кредиту в роках, m – кількість платежів протягом року.
Приклад. Кредит для купівлі товару сумою 12000 грн. відкрито на 6 місяців під річну відсоткову ставку 12%. Погашення кредиту щомісяця. Визначити кінцеву суму боргу та суму одноразового платежу.
Розв’язування. Скориставшись формулою (16), отримаємо:
(грн.),
(грн.).
Звернемо увагу, що у зв’язку з тим, що відсотки тут нараховуються на всю суму боргу, а його фактична величина систематично зменшується у часі, то дійсна вартість кредиту дещо більша за договірну відсоткову ставку.
Другий спосіб. Методика розрахунку платежів за цим способом базується на використанні арифметичної прогресії. Відсотковий платіж за користування споживчим кредитом, як правило, нараховується "вперед": для першого місяця відсотковий платіж нараховується на всю величину боргу, а кожний наступний місяць – на залишок боргу, тобто на величину боргу, зменшеного на уже виплачену частину.
Якщо величина споживчого кредиту дорівнює Р, число однакових щомісячних виплат основного боргу – m (m12), річна відсоткова ставка – R%, то відсотковий платіж по місяцях буде складати:
за перший місяць – ;
за другий місяць – ;
за третій місяць – ;
за m-й місяць –
або .
Тоді загальна величина відсоткових виплат за користування кредитом буде дорівнювати сумі усіх відсоткових платежів:
звідки ,
або
. (17)
Сума щомісячних виплат буде складатися із щомісячної виплати основного боргу і відсоткових платежів для даного місяця, тобто
. (18)
Сума рівномірних періодичних виплат обчислюється за формулою
. (19)
Приклад. Кредит для купівлі товару сумою 12000 грн. відкрито на 6 місяців під річну відсоткову ставку 12%. Погашення кредиту щомісяця. Необхідно скласти план погашення кредиту
Розв’язування. Сума щомісячної виплати основного боргу складає:
грн.
Відсоткові платежі і загальні суми щомісячних виплат будуть такими:
; ;
; ; ; ; ; ;
; ;
; .
Для обчислення загальної суми боргу скористаємось формулою , де Р – початкова величина кредиту, а І – відсотковий платіж, обчислений за формулою (17). Тоді
грн.
Середні щомісячні виплати грн.
Як бачимо, при другому способі погашення кредиту позичальник заплатить кредитору на 300 грн. (12720-12420) менше, ніж при першому способі, середні виплати менші на 50 грн. (2120-2070).
Узагальнення задачі погашення боргу частинами. Нехай сума кредиту Р, видана на термін n років з умовою погашення його рівними частинами m разів на рік при річній ставці відсотка R%. Потрібно обчислити загальний відсотковий платіж, загальну суму боргу, суму періодичних виплат і суму рівномірних періодичних виплат.
Відсотковий платіж і сума погашення боргу за перший період обчислюються за формулами:
, .
Оскільки сума основного боргу після першого періоду зменшиться на , то відсотковий платіж і сума погашення боргу за другий період обчислюються за формулами:
, .
Аналогічно, для третього періоду:
,
і т. д., для останнього, -го періоду:
, .
Загальна сума відсоткових платежів буде дорівнювати
.
Застосувавши до виразу в дужках формулу для суми арифметичної прогресії, одержимо:
. (20)
Для обчислення загальної суми боргу скористаємось формулою
. (21)
Сума періодичних виплат буде складатися із суми виплати основного боргу і відсоткових платежів для одного періоду, тобто
. (22)
Сума рівномірних періодичних виплат обчислюється за формулою
. (23)
Якщо кредит буде погашатись щорічно, щопіврічно, щоквартально або щомісячно, то у формулі (20) потрібно покласти m=1, 2, 4, 12, відповідно. Якщо кредит виданий на термін менше року і погашення буде здійснюватись в кінці кожного місяця, то потрібно користуватись формулами (17)–(19).
Приклад. Кредит величиною 5000 грн., виданий під ставку 8% річних, повинен погашатись рівними сумами на протязі 5 років. Обчислити суму платежів, якщо вони будуть здійснюватися в кінці кожного року, півроку, кварталу, місяця.
1.8. Погашення боргу частинами
У деяких випадках короткотермінові кредити погашають з допомогою декількох проміжних платежів. У цьому випадку потрібно вирішити питання про те, яку суму потрібно брати за базу для обчислення відсотків і яким чином визначити залишок заборгованості. Існують два методи вирішення даної задачі. Перший, який застосовується в основному в операціях із терміном більше року, називають актуарним методом. Другий метод, який використовується комерційними фірмами, якщо період кредитування не більше року, називається правилом торгівця. Як правило, при нарахуванні відсотків в обох методах користуються звичайними відсотками (360/360).
Актуарний метод передбачає послідовне нарахування відсотків на фактичні суми боргу. Часткові платежі використовуються у першу чергу на погашення відсотків, нарахованих на дату внесення платежу. Якщо сума платежу перевищує суму нарахованих відсотків, то різниця (залишок) використовується на погашення основної суми боргу. Непогашений залишок боргу є базою для нарахування відсотків за наступний період і т.д. Якщо ж частковий платіж менше нарахованих відсотків, то ніякі заліки в сумі боргу не робляться, а поступлення додається до наступного платежу.
Нехай, наприклад, кредит величиною Р0 виданий на деякий термін Т. На протязі цього терміну в рахунок погашення боргу здійснюються два платежі і , перший через інтервал часу , другий через інтервал часу , після першого, а в кінці терміну Т виплачується сума залишку (рис. 1,а).
Очевидно, що на інтервалі часу заборгованість зростає (завдяки нарахуванню відсотків) до величини . В кінці цього періоду виплачується в рахунок погашення боргу сума . Борг зменшується до величини і т.д. Закінчується операція одержанням кредитором суми залишку . Для випадку, показаному на рис. 1.б) розрахункові формули мають вигляд:
; . (24)
Заборгованість в кінці терміну повинна бути повністю погашена. Таким чином, .
Приклад. Укладена угода погасити за 1,5 року (з 12.03.2008 по 12.09.2009 р.) кредит величиною 15000 грн. Кредитор погоджується одержувати платежі частинами. Відсотки нараховуються за ставкою 20% річних. Часткові поступлення характеризуються наступними даними:
12.06.2008 р. – 500 грн.;
12.06.2009 р. – 5000 грн.;
30.06.2009 р. – 8000 грн.;
12.09.2009 р. – ?
Розв’язування. Розв’язок подамо за допомогою наступної послідовності записів:
12.03.2008 р. борг 15000 грн.
12.06.2008 р. борг з відсотками – 15750 грн. ()
поступлення -500 грн.
Оскільки сума, яка поступила менше за нарахованих відсотків (750), то вона приєднується до наступного поступлення.
12.06.2009 р. борг з відсотками – 18750 грн. ()
поступлення -5500 грн. ()
Залишок боргу – 13250 грн. ()
30.06.2009 р. борг з відсотками – 13382,50 грн. ()
поступлення -8000 грн.
Залишок боргу – 5382,50 грн. ()
12.09.2009 р. борг з відсотками – 5597,80 грн. (.
Таким чином, останній внесок потрібно зробити величиною 5597,80 грн.
Розглянемо погашення боргу за правилом торгівця. При цьому підході можливі два варіанти. Якщо термін позички не більше року, то з одного боку, сума боргу з відсотками залишається незмінною до повного погашення, а з другого боку, накопичуються часткові платежі з нарахованими на них відсотками до кінця терміну. Останній внесок повинен дорівнювати різниці цих сум. У випадку, коли термін перевищує рік, наведені вище розрахунки виконуються для річного періоду заборгованості. В кінці року із суми заборгованості віднімається накопичена сума часткових платежів. Залишок погашається в наступному році.
Алгоритм такого розрахунку можна записати наступним чином:
, (25)
де Q – залишок боргу на кінець терміну або року, S – накопичена сума боргу, R – накопичена сума платежів, Rj – сума часткового платежу, n – загальний термін кредиту, tj – інтервал часу від моменту платежу до кінця терміну кредиту або року.
Графічна ілюстрація такої операції при виплаті двох проміжних платежів наведена на рис. 2
Рис. 2
Залишок боргу буде обчислюватись за формулою
, де , , .
Зауважимо, що для тих самих даних актуарний метод і метод торгівця в загальному випадку дають різні результати. Залишок боргу за першим методом трохи вищий, ніж за другим.
Приклад. Кредит величиною 15000 грн., виданий 10.08.2008 р., повинен бути погашений 10.06.2009 р. Кредит виданий під 20% річних. В рахунок погашення боргу 10.12. 2008 р. поступило 8000 грн. Обчислити борг на кінець терміну користуючись методом торгівця і актуарним методом.
Розв’язання. Залишок боргу, згідно з формулою (25), за методом торгівця складатиме
грн.
У свою чергу, при застосуванні актуарного методу, дістанемо
грн..
1.9. Середній термін погашення боргу одному кредитору
Нехай n сум , видані під відсоткові ставки , потрібно погасити у різні терміни .
Позичальнику було би вигідно заплатити весь борг зразу, але кредитор на це погодиться лише при умові, що він не понесе збитків.
Припустимо, що всі борги можна виплатити зразу через днів. Такий термін називається середнім терміном погашення боргу.
Для розрахунку середнього терміну погашення боргу скористаємось наступною умовою:
Сума відсоткових платежів, нарахованих на n кредитів повинна дорівнювати одному відсотковому платежу, який нарахований на суму кредитів при середній відсотковій ставці і середньому терміну .
Виходячи з такої умови запишемо:
, (26)
де – середня відсоткова ставка, – середній термін.
Розглянемо три випадки.
Випадок 1. Одержані на різні терміни кредити мають однакову величину і надані під однакові відсоткові ставки, тобто:
, , .
Прийнявши до уваги дані співвідношення, з (26), дістанемо формулу для середнього терміну погашення боргу у вигляді
. (27)
Випадок 2. Кредити різної величини видані на різні терміни, але під однакові відсоткові ставки, тобто
, , .
Врахувавши в (26) дані співвідношення, одержимо
,
звідки
. (28)
Випадок 3. Кредити різної величини видані на різні терміни, під різні відсоткові ставки, тобто
, , .
Тоді з формули (26), маємо
. (29)
Нехай середня відсоткова ставка невідома. Тоді, для її наближеного обчислення, припустимо, що мають місце співвідношення:
.
Використавши останню умову, з (26) дістанемо
,
звідки
. (30)
Підставивши одержану величину в формулу (29), знайдемо
. (31)
Для визначення календарного дня одночасного погашення всіх кредитів необхідно середній термін погашення боргу, обчислений за однією з вищенаведених формул, додати до дня погашення першого планового платежу.
Приклад. Позичальник 01.03.09 одержав у кредит три різні суми, які повинен погасити у три різні терміни:
1000 грн. – 11.03.09
2000 грн. – 20.04.09
5000 грн. – 06.05.09
Нехай відсоткова ставка 12% річних однакова для всіх кредитів. Коли краще виплатити весь борг, щоб при цьому не понесли збитків ні кредитор, ні позичальник?
Розв’язання. Спочатку підрахуємо середній термін погашення кредитів, взявши за початок відліку (0 днів) термін першого планового погашення кредиту (11.03.09). Далі, скориставшись формулою (28), дістанемо
.
Дату погашення дістанемо, додавши до терміну (дати) першого планового платежу (11.03) число 45, тобто .
Основні розрахунки наведено в наведеній нижче таблиці. Зокрема, в стовпці Si обчислені значення нарощених сум за періоди часу з часу видачі до часу погашення, а в стовпці Si,s наведені значення нарощених сум, які обчислені за період часу від дати видачі кредиту до середньої дати погашення кредитів. Як бачимо (з останнього рядка), загальні нарощені суми для обох випадків нарахування співпадають.
1.10. Ломбардний кредит
Ломбардний кредит – це вид кредиту, коли позичальник повинен забезпечити одержуваний кредит цінними паперами або матеріальними цінностями. При цьому в світовій практиці прийнято, що сума ломбардного кредиту не повинна складати більше 75-80% номінальної вартості застави. Якщо кредит забезпечений цінними паперами, його сума розраховується виходячи із 75-80% поточної курсової вартості даних цінних паперів.
Як правило, ломбардний кредит видається на тримісячний термін. При цьому можливі різні варіанти виплати боргу: позичальник може весь борг погасити вчасно; може продовжити термін погашення на наступні три місяці; може виплатити вчасно лише частину боргу, а частину боргу, що залишилася погасити у наступному періоді. При розрахунках кількість днів обчислюється точно, а кількість днів у році береться 360, тобто нараховуються комерційні відсотки. Якщо позичальник не погасить кредит вчасно, то він, як правило, повинен розрахуватись з кредитором за збільшеною (штрафною) відсотковою ставкою за весь час простроченого платежу.
Розглянемо декілька характерних прикладів розрахунку.
Приклад 1. Клієнт звернувся в банк 16.03.09 для одержання ломбардного кредиту і вніс у заставу 150 одиниць цінних паперів. Величина кредиту розраховується виходячи з 80% їх курсової вартості. Відсоткова ставка складає 9% річних, а витрати банку по обслуговуванню боргу – 200 грн. На який кредит може розраховувати клієнт банку, якщо курс його цінних паперів складає 300 грн.?
Розрахунок у даному випадку має вигляд
Розрахунок проводиться 16.03.09 р.
Приклад 2. Припустимо, що у прикладі 1 клієнт виплатив 16.06 тільки частину боргу – 6000 грн. і продовжив погашення кредиту ще на три місяці. Необхідно визначити, який залишок боргу і відсотки за нього та скільки всього заплатить боржник кредитору?
Розрахунок проводиться 16.06.09 р.
Таким чином, боржник виплачує:
Основного боргу – 6000 грн.`
Відсотки (92 дн./9%) – 690 грн.
Разом – 6690 грн.
Приклад 3. Припустимо, що у прикладі 2 клієнт 16.09.09, тобто своєчасно, перерахував 15000 грн. Розподілити цю суму на виплату основного боргу і відсотків та знайти залишок боргу.
Розрахунок проводиться 16.09.09 р.
Таким чином, клієнт виплатив: осн. борг – 14650,81 + відсотки за період з 16.09 по 16.12 – 349,19. Разом 15000.
Пояснення до розв’язку
Так як перераховані клієнтом вчасно 15000 грн. є сумою виплати основ ного боргу і відсотків на нього (15000=V+I), то віднявши цю суму від залишку боргу 30000 грн., ми обчислимо залишок боргу, зменшений на відсотковий платіж
Скориставшись формулою для знаходження відсоткового платежу за відомою величиною капіталу, зменшеного на цей відсотковий платіж:
або , де ,
одержимо .
Для знаходження величини виплат основного боргу виконаємо обчислення .
Приклад 4. Припустимо, що позичальник в прикладі 3 не зумів погасити борг у визначений термін, тобто 16.12. Тому 20.12 він здійснює виплату частини основного боргу 5349,19 грн. і, крім того, окремо виплачує відсотки. Скільки всього виплачує позичальник і який його залишок?
Розрахунок проводиться 20.12.09 р.
Борг – 15349,19 грн.
Виплати – 5349,19 грн.
--------------------------------
Залишок – 10000.00 грн
Позичальник виплачує кредитору:
Основний борг – 5349,19 грн.
Відсотки за прострочку виплат
З 16.12 до 20.12 (4/10% штрафних) – грн.
Відсоки з 20.12 до 16.03.04 (86/9%) – грн.
-------------------------------------------------------------------------------------
Разом 5349,19 + 17,05 + 215 = 5581,24
Приклад 5. Нехай позичальник в прикладі 4 не погасити борг у визначений термін, тобто 16.03.10 і тільки 26.03.10 перерахував в рахунок погашення основного боргу 5000 грн. Як розподіляється ця сума на величину основного боргу і відсотків на нього? Який залишок боргу?
Розрахунок проводиться 26.03.10 р.
Виплати за штрафними відсотками (10 дн/10%)
З 26.03.10 до 16.06.10 виплачується звичайний відсотковий платіж, який розраховується наступним чином:
Від 5000 грн., які дорівнюють сумі основного платежу, звичайного відсоткового платежу і штрафного відсоткового платежу за 10 днів прострочки, віднімаємо 27,78 грн:
5000 – 27,78 = 4972,22 грн.
Величина 4972,22 грн. дорівнює сумі виплат основного боргу і звичайного відсоткового платежу. Віднімемо цю суму від суми загального боргу
10000 – 4972,22 = 5027,78 грн.
Одержана сума є залишок боргу, зменшений на відсотковий платіж, яий можна обчислити за фомулою
(тут = 4000, t = 82).
Величина виплат основного боргу обчислюється наступним чином:
5000 – (27,78+105,23)= 4866,99 = 4867 грн
Таким чином маємо розподіл виплат такий:
Виплата основного боргу – 4866,99 грн
Виплати штрафних відсотків (10/10%) – 27,78 грн.
Виплати звичайних відсотків (82/9%) – 105,23 грн.
-------------------------------------------------------------------------
Разом 5000.00 грн.
Залишок боргу – 10000 – 4867=5133 грн.
Оподаткування прибутковості фінансових операцій
Часто накопичені суми обкладаються податком, що зменшує їх величину.
Якщо ставка податку на прості відсотки дорівнює , то накопичена сума з врахуванням виплати податків складає величину:
.
З наведеної формули видно, що врахування податку зводиться до зменшення відсоткової ставки: замість відсоткової ставки фактично застосовується ставка, яка обчислюється за формулою .
PAGE 18