тематика Решение систем линейных уравнений Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Работа добавлена на сайт samzan.net:

101100.62

2013-2014 уч. год

Математика.  

Решение систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится  к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы  

      Элементарными преобразованиями системы называются:

умножение уравнения на число, отличное от нуля;

прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

перестановка двух уравнений;

отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.

Этапы решения системы 3-х линейных уравнений по методу Гаусса

		Действие	Результат
	1	Составить расширенную матрицу системы	Результат –исходная матрица
	2	Обнулить элемент a21, используя элем преобразования	Результат – преобразованная матрица
	3	Обнулить элемент a31, используя элем преобразования	Результат – преобразованная матрица
	7	Обнулить элемент a32, используя элем преобразования	Результат – преобразованная матрица треугольного (ступенчатого)  вида.
	8	Сформировать систему ЛУ на основе треугольной матрицы	Преобразованная СЛУ
		Из последнего уравнения найти  z	z =
	9	Подставить z во 2-е уравнение и найти y	y =
		Подставить y и z в 1-е уравнение и найти x	x =
	10	Сделать проверку путем подстановки и после этого записать ответ	Решение найдено: x =            y =              z =

Как “обнулить” элемент матрицы a21

Шаг 1. Выбираем строку, с помощью которой будем преобразовывать               2-ю строку и обнулять a21.

Это 1-я строка.

Шаг 2. Рассчитаем коэффициент, на который умножим строку 1, чтобы получить 0 на месте a21

 k21*a11 + a21 = 0,   откуда k21 = - a21/a11

Шаг 3.Вычисляем элемент, который будет на месте a22 при этом преобразовании 

a22 + k21*a12 

Шаг 4. Вычисляем элемент, который будет на месте a23 при этом преобразовании

a23 + k21*a13

Шаг 5. Вычисляем элемент, который будет на месте b23 при этом преобразовании

 b23 + k21* b13

Шаг 6. Запишем преобразованную матрицу в результате обнуления элемента a21.

Обнулить a32 и  a31 можно с помощью аналогичных действий.

Пример решения системы методом Гаусса.

1.  Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

     Решение.

     Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на   -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

           (1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

                   (2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2.

Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

                                                                             (3)

Откуда х3 =3, х2=1 и х1=–2. Это решение заданной системы.

     Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

.

Умножим элементы первой строки матрицы на — 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

       .

Разделив элементы второй строки на 2, получим

        .

Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

                                                       ,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

Алгоритм решения СЛУ по формулам Крамера

(3-го  порядка, 3 неизвестных)

Составь    ∆   главный определитель		Составь     ∆Х вспомогательный определитель для Х		Составь   ∆ Y вспомогательный определитель для Y		Составь   ∆Z вспомогательный определитель для Z
Вычисли главный определитель		Вычисли вспомогательный определитель для Х		Вычисли вспомогательный определитель для Y		Вычисли вспомогательный определитель для Z
∆ = 0?	→  ДА	∆Х = 0?	→  ДА	∆Y  = 0?	→  ДА	∆Z = 0?	→     ↓ ДА
↓   НЕТ		↓   НЕТ		↓   НЕТ		↓   НЕТ	↓
Вычисли Х = ∆Х /∆ Y =∆Y /∆ Z = ∆Z /∆		Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ		Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ		Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ	Ответ: БЕСКОНЕЧНО МНОГО РЕШЕНИЙ
↓
ПРОВЕРКА Подставь найденные X  Y  Z  В каждое уравнение И убедись, что равенства верные
Ответ:        X = Y =  Z =

Алгоритм решения СЛУ матричным методом

1. Составь главный определитель системы.

2. Вычисли его.

3. Если он не ноль, то построй обратную матрицу*.

4.Умножь обратную матрицу слева на столбец свободных членов.

5. Сделай проверку путем подстановки в исходную систему

* Для этого 

Составь

И Вычисли  алгебраические дополнения к каждому элементу.    

Замени элементы их алгебраическими дополнениями.

Транспонируй матрицу.

Подели каждый элемент на определитель системы. Возвращайся к п.4

Геометрический смысл системы

2-х линейных уравнений с 2 неизвестными.

Каждое Линейное уравнение  с двумя неизвестными

определяет на плоскости прямую линию.

Два уравнения – значит на плоскости имеем 2 прямые.

Как могут располагаться на плоскости 2 прямые относительно друг друга?

1. пересекаются

2. параллельны

3. совпадают

В случае 1 -  есть одна общая точка.  Соотв система имеет одно решение. ∆ ≠ 0.

В случае 2 -  нет общих точек.  Соотв система не имеет решений. ∆ = 0,  ∆х ≠ 0.

(Из равенства  ∆ = 0 следует, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны.)

В случае 3 -  (бесконечно) много общих точек.  Соотв система имеет бесконечно много решений. ∆ = 0,  ∆х = 0, ∆y = 0. (Одно уравнение получается путем умножения другого на число, не равное 0.)

Расположение прямых	Кол-во общих точек	Кол-во решений системы	Главный определитель	Вспомога- тельные определители
пересекаются	одна	одно	∆ ≠ 0
параллельны	нет общих точек	нет	∆ = 0,  ∆х ≠ 0	Хотя бы один Из ∆х  или ∆y ≠ 0
совпадают	много общих точек	бесконечно много	∆ = 0,	∆х = 0, и ∆y = 0

Линейная алгебра

Теоретические вопросы

1.  Определители второго, третьего, n-го  порядков.
2.  Основные свойства определителей.
3.  Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?
4.  Методы вычисления определителей третьего, n-го порядков.
5.  Формула разложения определителя по строке.
6.  Формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?
7.  Алгоритм решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.
8.  Матрицы. Виды матриц.
9.  Как определяются основные действия над матрицами?
10.  Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице?
11.  Алгоритм нахождения обратной матрицы.
12.  Алгоритм решения системы линейных уравнений матричный способом.
13.  Алгоритм решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.
14.  Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств.
15.  Пример задачи из жизни, приводящей к системе линейных уравнений. (С конкретными числовыми данными.

PAGE  5

1. Реферат- Социальный статус судьи по легкой атлетике
2. Технология знакомства
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата біологічних наук.html
4. Основные средства соответственно их амортизация начисляется на сч
5. Упадок нравственности в Росси
6. Оренбургский государственный университет Кафедра технической эксплуатации и ремонта автомобилей В
7. Практикум з економіки організації та управління підприємствами Для студентів спеціальності-
8. Мережі
9. Комплексные системы информационной безопасности
10. . Методические указания по подготовке к работе
11. Предпосылки и причины смуты На рубеже 16 и 17вв
12. Тема- Информационное обеспечение PR в коммерческой сфере на примере магазина Белочка города Асбеста Свер
13. 18 yers two week lnguge cmp The im of ldquo;fRilinguerdquo; is the combintion of lnguge courses French nd English in the morning with free time ctivities such s sport music dnce thetre nd ci
14. Средства доступа к базам данных в Internet и свободно доступная СУБД POSTGRES95
15. 12 ~ 10.02.12р. ІІІ курс Пара П
16. господарської діяльності підприємства- величину самофінансування структуру капіталу ціну залучення фінан
17. Пропаганда представляет собой форму коммуникации которая отличается от внушения тем что стремится добить
18. Национальные особенности рабочего самоуправления в революции 1917 года
19. 092013г Специальность 1 ~ 40 05 01 02 Информационные системы и технологии в экономике Антонова Анас
20. введение совместно с В

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе