Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
101100.62
2013-2014 уч. год
Решение систем линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы
Элементарными преобразованиями системы называются:
умножение уравнения на число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
перестановка двух уравнений;
отбрасывание уравнения 0=0.
Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.
Этапы решения системы 3-х линейных уравнений по методу Гаусса
|
Действие |
Результат |
||
|
1 |
Составить расширенную матрицу системы |
Результат –исходная матрица |
|
|
2 |
Обнулить элемент a21, используя элем преобразования |
Результат – преобразованная матрица |
|
|
3 |
Обнулить элемент a31, используя элем преобразования |
Результат – преобразованная матрица |
|
|
7 |
Обнулить элемент a32, используя элем преобразования |
Результат – преобразованная матрица треугольного (ступенчатого) вида. |
|
|
8 |
Сформировать систему ЛУ на основе треугольной матрицы |
Преобразованная СЛУ |
|
|
Из последнего уравнения найти z |
z = |
||
|
9 |
Подставить z во 2-е уравнение и найти y |
y = |
|
|
Подставить y и z в 1-е уравнение и найти x |
x = |
||
|
10 |
Сделать проверку путем подстановки и после этого записать ответ |
Решение найдено: x = y = z = |
|
Как “обнулить” элемент матрицы a21
Шаг 1. Выбираем строку, с помощью которой будем преобразовывать 2-ю строку и обнулять a21.
Это 1-я строка.
Шаг 2. Рассчитаем коэффициент, на который умножим строку 1, чтобы получить 0 на месте a21
k21*a11 + a21 = 0, откуда k21 = - a21/a11
Шаг 3.Вычисляем элемент, который будет на месте a22 при этом преобразовании
a22 + k21*a12
Шаг 4. Вычисляем элемент, который будет на месте a23 при этом преобразовании
a23 + k21*a13
Шаг 5. Вычисляем элемент, который будет на месте b23 при этом преобразовании
b23 + k21* b13
Шаг 6. Запишем преобразованную матрицу в результате обнуления элемента a21.
Обнулить a32 и a31 можно с помощью аналогичных действий.
Пример решения системы методом Гаусса.
Решение.
Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:
(1)
Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему
(2)
Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2.
Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему
(3)
Откуда х3 =3, х2=1 и х1=–2. Это решение заданной системы.
Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид
.
Умножим элементы первой строки матрицы на — 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
.
Разделив элементы второй строки на 2, получим
.
Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
,
которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.
Алгоритм решения СЛУ по формулам Крамера
(3-го порядка, 3 неизвестных)
|
Составь ∆ главный определитель
|
Составь ∆Х вспомогательный определитель для Х |
Составь ∆ Y вспомогательный определитель для Y |
Составь ∆Z вспомогательный определитель для Z |
|||||
|
Вычисли главный определитель |
Вычисли вспомогательный определитель для Х |
Вычисли вспомогательный определитель для Y |
Вычисли вспомогательный определитель для Z |
|||||
|
∆ = 0? |
→ ДА |
∆Х = 0? |
→ ДА |
∆Y = 0? |
→ ДА |
∆Z = 0? |
→ ↓ ДА |
|
|
↓ НЕТ |
↓ НЕТ |
↓ НЕТ |
↓ НЕТ |
↓ |
||||
|
Вычисли Х = ∆Х /∆ Y =∆Y /∆ Z = ∆Z /∆ |
Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ |
Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ |
Ответ: НЕТ РЕШЕНИЙ |
Ответ: БЕСКОНЕЧНО МНОГО РЕШЕНИЙ |
||||
|
↓ |
||||||||
|
ПРОВЕРКА Подставь найденные X Y Z В каждое уравнение И убедись, что равенства верные |
||||||||
|
Ответ: X = Y = Z = |
Алгоритм решения СЛУ матричным методом
1. Составь главный определитель системы.
2. Вычисли его.
3. Если он не ноль, то построй обратную матрицу*.
4.Умножь обратную матрицу слева на столбец свободных членов.
5. Сделай проверку путем подстановки в исходную систему
* Для этого
Составь
И Вычисли алгебраические дополнения к каждому элементу.
Замени элементы их алгебраическими дополнениями.
Транспонируй матрицу.
Подели каждый элемент на определитель системы. Возвращайся к п.4
Геометрический смысл системы
2-х линейных уравнений с 2 неизвестными.
Каждое Линейное уравнение с двумя неизвестными
определяет на плоскости прямую линию.
Два уравнения – значит на плоскости имеем 2 прямые.
Как могут располагаться на плоскости 2 прямые относительно друг друга?
1. пересекаются
2. параллельны
3. совпадают
В случае 1 - есть одна общая точка. Соотв система имеет одно решение. ∆ ≠ 0.
В случае 2 - нет общих точек. Соотв система не имеет решений. ∆ = 0, ∆х ≠ 0.
(Из равенства ∆ = 0 следует, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны.)
В случае 3 - (бесконечно) много общих точек. Соотв система имеет бесконечно много решений. ∆ = 0, ∆х = 0, ∆y = 0. (Одно уравнение получается путем умножения другого на число, не равное 0.)
|
Расположение прямых |
Кол-во общих точек |
Кол-во решений системы |
Главный определитель |
Вспомога- тельные определители |
|
пересекаются |
одна |
одно |
∆ ≠ 0 |
|
|
параллельны |
нет общих точек |
нет |
∆ = 0, ∆х ≠ 0 |
Хотя бы один Из ∆х или ∆y ≠ 0 |
|
совпадают |
много общих точек |
бесконечно много |
∆ = 0,
|
∆х = 0, и ∆y = 0 |
Линейная алгебра
Теоретические вопросы
PAGE 5