Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Для представления восьмеричных чисел достаточно трех двоичных разрядов. Такое описание называется триадным (запись по триадам). Для описания шестнадцатеричных чисел необходимо 4 двоичных разряда. Такая запись называется тетрадной (запись по тетрадам). Указанные записи используются при переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и восьмеричную систему счисления и обратно. В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
10 с/сч |
16 с/сч |
8 с/сч |
2 с/сч |
||
|
обычная запись |
по триадам |
по тетрадам |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
000 |
0000 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
001 |
0001 |
|
2 |
2 |
2 |
10 |
010 |
0010 |
|
3 |
3 |
3 |
11 |
011 |
0011 |
|
4 |
4 |
4 |
100 |
100 |
0100 |
|
5 |
5 |
5 |
101 |
101 |
0101 |
|
6 |
6 |
6 |
110 |
110 |
0110 |
|
7 |
7 |
7 |
111 |
111 |
0111 |
|
8 |
8 |
10 |
1000 |
001 000 |
1000 |
|
9 |
9 |
11 |
1001 |
001 001 |
1001 |
|
10 |
A |
12 |
1010 |
001 010 |
1010 |
|
11 |
B |
13 |
1011 |
001 011 |
1011 |
|
12 |
C |
14 |
1100 |
001 100 |
1100 |
|
13 |
D |
15 |
1101 |
001 101 |
1101 |
|
14 |
E |
16 |
1110 |
001 110 |
1110 |
|
15 |
F |
17 |
1111 |
001 111 |
1111 |
Например:
Например,
Пример 1: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Пример 2. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10)
|
а) 464 |
0 |
б) 380 |
0 |
1875 |
в) 115 |
1 |
94 |
||||
|
232 |
0 |
190 |
0 |
0 |
375 |
57 |
1 |
1 |
88 |
||
|
116 |
0 |
95 |
1 |
0 |
75 |
28 |
0 |
1 |
76 |
||
|
58 |
0 |
47 |
1 |
1 |
5 |
14 |
0 |
1 |
52 |
||
|
29 |
1 |
23 |
1 |
1 |
0 |
7 |
1 |
1 |
04 |
||
|
14 |
0 |
11 |
1 |
3 |
1 |
0 |
08 |
||||
|
7 |
1 |
5 |
1 |
1 |
1 |
0 |
16 |
||||
|
3 |
1 |
2 |
0 |
||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
а) 464(10)=111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) 1110011,11110(2)
(в данном случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен.)
При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.
Пример 3. Перевести данное число в десятичную систему счисления:
а) 1000001(2).
1000001(2) = 1 26 + 0 25 + 0 24 + 0 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 = 64 + 1 = 65(10).
Замечание. Если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.
б) 1000011111,0101(2).
1000011111,0101(2) = 1 29 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 + 1 2–2 + 1 2–4 =
= 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).
в) 1216,04(8).
1216,04(8) = 1 83 + 2 82 + 1 81 + 6 80 + 4 8–2 = 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = 654,0625(10).
г) 29A,5(16).
29A,5(16) = 2 162 + 9 161 + 10 160 + 5 16–1 = 512 + 144 + 10 + 0,3125 = 656,3125(10).
Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы:
а) двоичная система счисления
|
+ |
0 |
1 |
0-0=0 |
1-1=0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1-0=1 |
10-1=1 |
|
|
1 |
1 |
10 |
б) восьмеричная система счисления
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
в) шестнадцатеричная система счисления
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
8 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
9 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
A |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
B |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
|
C |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
|
D |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
|
E |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
|
F |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
1E |
Пример 4. Сложить числа 15 и 6 в различных системах счисления.
|
Шестнадцатеричная: F16+616 |
Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. |
Пример 5. Сложим числа 15, 7 и 3.
|
Шестнадцатеричная: F16+716+316 |
Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. |
Пример 6. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,28 = 3 . 82 + 1 . 81 + 1 . 80 + 2 . 8-1 = 201,25
C9,416 = 12 . 161 + 9 . 160 + 4 . 16-1 = 201,25
Пример 7. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
Пример 8. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 8. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
215,48 = 2 . 82 + 1 . 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1 = 141,5;
8D,816 = 8 . 161 + D . 160 + 8 . 16-1 = 141,5.
Необходимость выполнения арифметических действий не только над положительными, но и над отрицательными числами привела к трем способам кодирования в ЭВМ: прямым, обратным и дополнительным кодами. Для положительного числа изображение во всех трех кодах совпадает и равно самому числу. Различие в кодах проявляется при изображении отрицательных чисел.
Чтобы получить прямой код отрицательного двоичного числа, нужно в знаковом ряде поставить 1, а цифровые разряды оставить без изменения.
Чтобы получить обратный код отрицательного двоичного числа, необходимо в знаковом разряде поставить 1, во всех цифровых разрядах заменить 0 на 1, а 1 на 0.
Для получения дополнительного кода необходимо в знаковом разряде поставить1, во всех цифровых разрядах 1 заменить на 0, а 0 на 1 и к последнему цифровому разряду прибавить 1.
Разработаны специальные правила выполнения арифметических операций в обратном и дополнительных кодах. Для того, чтобы сумматор правильно работал в обратном коде, необходимо чтобы он осуществлял циклическое подсуммирование из старшего цифрового разряда в младший. В этом случае сумма кодов будет равна обратному коду суммы. Сумматор, работающий в дополнительном коде, должен обеспечивать потерю единицы переноса.
Пример 9. Выполнить вычитание:
0,1101(2) – 0,0110(2)
1)
|
Х= |
0, |
1 |
1 |
0 |
1 |
[X]об= |
0, |
1 |
1 |
0 |
1 |
||||
|
Y= |
-- |
0, |
0 |
1 |
1 |
0 |
[Y]об= |
1, |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
X+Y= |
0, |
0 |
1 |
1 |
1 |
[X]об+[Y]об= |
10,Ю, |
0 |
1 |
1 |
0 |
||||
|
0, |
0 |
1 |
1 |
1 |
2)
|
[X]доп= |
0, |
1 |
1 |
0 |
1 |
||||||||||
|
[Y]доп= |
1, |
1 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||
|
[X]доп+[Y]доп= |
10,Ю, |
0 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||
|
0, |
0 |
1 |
1 |
1 |
6