Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Домашняя контрольная работа по темам «Двойные, тройные интегралы» и «Комплексные числа и функции комплексного переменного»
1. НЕ ВЫПОЛНЯТЬ №№ 5, 6, 9!!!!!
2. Изучить «Образец решения контрольной работы»!
Интегрирование функций многих переменных.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена в некоторой замкнутой области D плоскости . Составим интегральную сумму для функции по области D : , разбив область D произвольно на n элементарных областей , не имеющих общих внутренних точек, где - площади этих областей, - значение функции в произвольной точке области D. Предел интегральной суммы при d=max{}→ 0 (n→∞) называется двойным интегралом по области D от функции :
. (1)
Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением к повторному интегралу:
(2)
Рис.1
(3)
у
Q
d
n C q
c
x
Рис 2.
Площадь S плоской области D вычисляется по формулам:
(4) S==, если область в декартовой системе координат определена неравенствами
(5) S==, если область в полярной системе координат определена неравенствами
Объем V цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскостью z=0, сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), проекцией которой на плоскость ХОУ является область D, вычисляется по формуле V=. (6)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена и непрерывна в пространственной области V, ограниченной сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , где функции и определены и непрерывны в области D.
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле: (7), причем при вычислении внутреннего интеграла переменные х и у считаются константами.
Рис.3
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Цилиндрические координаты есть обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
(8)
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле: (9) , где - модуль якобиана перехода от декартовых к цилиндрическим координатам.
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случае, если тело V проецируется в круг или часть круга.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Сферические координаты связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
(9)
Модуль якобиана перехода равен
Переменные в общем случае изменяются в пределах:
.
Переход к тройному интегралу в сферических координатах осуществляется по формуле:
(10).
Определим объемную плотность распределения массы в точке P тела как предел отношения массы элементарного тела, содержащего точку P к ее объему, когда диаметр элементарного тела стремится к нулю. Тогда:
1. Объем пространственной области
. (11)
2. Масса тела, занимающего область,
, (12)
где - плотность вещества.
Действия над комплексными числами.
Число, где
называется комплексным числом в алгебраической форме. Оно изображается на комплексной плоскости точкой М(a;b). - чисто вещественное число (изображается точкой, лежащей на оси ОХ), - чисто мнимое число (изображается точкой, лежащей на оси ОУ). Числа и называются взаимно сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
Пусть . Тогда:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. Если , , то .
Положение точки можно определить с помощью полярных координат . Пользуясь формулами , где - модуль числа z, - аргумент числа z, причем , комплексное число можно представить в тригонометрической форме: . С помощью формулы Эйлера можно от тригонометрической формы перейти к показательной: .
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть . Тогда:
1.
2. ;
3. - формула Муавра (n – целое число);
4. , n-целое положительное, k=0, 1, 2,…n-1.
Функции комплексного переменного. Пусть - комплексная переменная, . Тогда
1. , - свойство периодичности;
2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
причем
; ;; ;
8. - логарифм (многозначная функция),;
- главное значение логарифма.
9. .
- объемная плотность распределения массы тела в точке
Образец решения контрольной работы по темам «Двойные, тройные интегралы», «Комплексные числа и функции комплексного переменного».
Задание 1. Вычислить повторный интеграл
Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Задание 4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .
б) Вычислить данный интеграл.
Задание 5. а) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3). Или:
б) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода .
Задание 6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.
7. Вычислить все значения .
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :
9. Вычислить интеграл где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.
Образец выполнения контрольной работы
Задание 1. Вычислить повторный интеграл
Решение: Вычислим внутренний интеграл в предположении, что у – переменная, х-const. Тогда данный интеграл будет равен
Отв:
Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .
Решение: Изобразим область D, предварительно найдя точки пересечения линий:
Разобъем данный интеграл на повторный =
Отв:
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Решение: Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле .
Определим координаты точек пересечения кривых: ,
.
Ответ:
Задание 4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .
б) Вычислить данный интеграл.
Рис 7.
Решение: а) Так как тело проецируется на плоскость ХОУ в область, ограниченную окружностью , то перейдем к цилиндрическим координатам
Уравнение параболоида в цилиндрических координатах примет вид , уравнение окружности в проекции на плоскость ХОУ . Тогда
Пределы расставлены.
б)Рассмотрим продолжение задачи – вычисление данного интеграла:
Отв:
Задание 5.
а) Вычислить , где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3).
Решение: .
б) Вычислить: .
Решение: Проверим условие (*): – оно выполняется.
Значит: 1) интеграл не зависит от пути интегрирования;
2) подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Решим задачу двумя способами:
1 способ. В качестве пути интегрирования выберем ломаную АВС, где АС
у задается уравнениями у = 1 (значит, dу = 0),
3 •С ;
СВ: х = 2 (dx = 0 ), ;
1 А• •В
1 2 х
Тогда
.
Ответ: 26.
2 способ: Найдем функцию U, полным дифференциалом которой является выражение . Пусть М0(0; 0) (она лежит в области определения функций и ). Тогда
Ответ: 26.
Задание 6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.
Решение: Данные уравнения определяют в пространстве следующие поверхности:
- параболический цилиндр с образующими, параллельными оси ОZ и направляющей – параболой на плоскости ХОУ;
- плоскость, проходящая через ось ОУ и пересекающая плоскость XOZ по прямой ;
- плоскость, параллельная плоскости XOZ и проходящая через прямую ;
- плоскость XOY.
Таким образом, тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью , сбоку – параболическим цилиндром и плоскостью у=5, проекцией которого на плоскость ХОУ будет область D, ограниченная параболой и прямыми у=5 и х=0.
Тогда
Отв: 12(куб.ед).
Задание 7. Вычислить все значения .
Решение: Перепишем число -8 в тригонометрической форме . Тогда . При к=0,1, 2 получим:
k=0:
k=1:
k=2: =
=.
Ответ:
Задание 8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :
Решение: Выделим вещественную и мнимую части функции:
=. Получили:
.
Задание 8. Вычислить интеграл
где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.
Решение: Функция аналитична внутри круга , ограниченного окружностью С, . Тогда по интегральной формуле Коши получим
=.
Ответ: .
Варианты контрольной работы
Вариант №1
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями xу=1, x=2, у=.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .
4.Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле где G есть сфера . Вычислить.
5. Вычислить , где ОА – отрезок прямой; О(0; 0), А(2; 1).
6*. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями с помощью двойного интеграла.
7. вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №2.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы в первом октанте. Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 4.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№3
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Преобразовать с помощью формулы Грина
.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№4
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями xу=1, x=2, у=.
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить , где А (0;0), В (π;2π), т.е. линия интегрирования отрезок АВ от А к В.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №5
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями x=0, x=, у=2.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: у = х; х = 2; у = 0.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №6
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=0, x=4, у=1, у=е.
3. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: .
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть тело, ограничен поверхностями . Вычислить .
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = 2x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №7
1.Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам:
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями x-2у=0, x-у=0, х=4.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 16.
6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№8
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам:
2. Вычислить двойной интеграл , где областьD ограничена кривой и осью ОХ.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №9.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где область D ограничена линиями
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№10.
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная окружностью
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом . Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 36.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант № 11
1. Вычислить повторный интеграл
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная окружностью
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти если
9. Вычислить
Вариант № 12
1. Вычислить повторный интеграл
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – полукруг диаметра а с центром в точке С(а/2;0) в верхней полуплоскости.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить
5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, где .
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 13
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть параллелепипед: . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ,
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №14
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностью Вычислить.
5.Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + z 2 = 16.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №15
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: .
4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями б) Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где К – дуга параболы над осью ОХ по часовой стрелке.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 16
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы в первом октанте. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = 2 x при 0≤х≤2
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 17
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Вычислить , если областьD удовлетворяет неравенствам: .
3.Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где С – окружность х2 + у2 = 1.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 18
2. Вычислить , если область D задана неравенствами: .
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где АВ – отрезок прямой, А(1, 1), В(3, 4).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 19
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть шар радиуса R. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл, где l -отрезок прямой х = t +1, y = 2t +1, z = 3t +1 от точки А (1;1;1) до В (2;3;4).
6*. Вычислить объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями: .
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №20
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть шар радиуса R. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл:, где С – контур треугольника, образованного осями координат и прямой (обход против часовой стрелки).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: .
9. Вычислить
Вариант №21
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D:.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть параллелепипед: . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга кривой у = х 2 от точки А (1;1) до В (2;4).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №22
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга параболы х = у 2 от точки А (1;1) до В (25;5).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: Найти
9. Вычислить
Вариант №23
1. Вычислить повторный интеграл
2.Вычислить , если D ограничена линиями:
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (ближайшей от начала координат фигуры)
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями .
5. Вычислить криволинейный интеграл:, где С – прямоугольник, образованный прямыми: х = 0, х = 1, у = 0, у = 2.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. Проверить аналитичность функции Найти
9. Вычислить
Вариант №24
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. , где С – верхняя половина эллипса , , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №25
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл, где l -отрезок прямой y = kx от точки А (0;0) до В (2;6).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9.Вычислить
Вариант №26
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где С – верхняя половина эллипса , , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
6*. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями с помощью двойного интеграла.
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №27.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – четверть круга лежащая в первой координатной четверти.
3. Вычислить площадь меньшей из фигур, ограниченных кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = ln x от точки А (1;0) до В (е;1).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №28
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, определяемая неравенствами: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть тело, ограничен поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где АВ – дуга кривой у = х 2 от точки А (-1;1) до В (1;1).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Вычислить при
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №29
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где областьD ограничена кривой и осью ОХ.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (в 1-ой координатной четверти).
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤2
6*. Вычислить объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями: .
7. Вычислить при
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить