темам Двойные тройные интегралы и Комплексные числа и функции комплексного переменного 1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Домашняя контрольная работа по темам «Двойные, тройные интегралы» и «Комплексные числа и функции комплексного переменного»
1. НЕ ВЫПОЛНЯТЬ №№ 5, 6, 9!!!!!
2. Изучить «Образец решения контрольной работы»!
Интегрирование функций многих переменных.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена в некоторой замкнутой области D плоскости . Составим интегральную сумму для функции по области D : , разбив область D произвольно на n элементарных областей , не имеющих общих внутренних точек, где - площади этих областей, - значение функции в произвольной точке области D. Предел интегральной суммы при d=max{}→ 0 (n→∞) называется двойным интегралом по области D от функции :
. (1)
Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением к повторному интегралу:
(2)
Рис.1
(3)
у
Q
d
n C q
c
x
Рис 2.
Площадь S плоской области D вычисляется по формулам:
(4) S==, если область в декартовой системе координат определена неравенствами
(5) S==, если область в полярной системе координат определена неравенствами
Объем V цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскостью z=0, сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), проекцией которой на плоскость ХОУ является область D, вычисляется по формуле V=. (6)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена и непрерывна в пространственной области V, ограниченной сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , где функции и определены и непрерывны в области D.
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле: (7), причем при вычислении внутреннего интеграла переменные х и у считаются константами.
Рис.3
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Цилиндрические координаты есть обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
(8)
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле: (9) , где - модуль якобиана перехода от декартовых к цилиндрическим координатам.
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случае, если тело V проецируется в круг или часть круга.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Сферические координаты связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
(9)
Модуль якобиана перехода равен
Переменные в общем случае изменяются в пределах:
.
Переход к тройному интегралу в сферических координатах осуществляется по формуле:
(10).
Определим объемную плотность распределения массы в точке P тела как предел отношения массы элементарного тела, содержащего точку P к ее объему, когда диаметр элементарного тела стремится к нулю. Тогда:
1. Объем пространственной области
. (11)
2. Масса тела, занимающего область,
, (12)
где - плотность вещества.
Действия над комплексными числами.
Число, где
называется комплексным числом в алгебраической форме. Оно изображается на комплексной плоскости точкой М(a;b). - чисто вещественное число (изображается точкой, лежащей на оси ОХ), - чисто мнимое число (изображается точкой, лежащей на оси ОУ). Числа и называются взаимно сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
Пусть . Тогда:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. Если , , то .
Положение точки можно определить с помощью полярных координат . Пользуясь формулами , где - модуль числа z, - аргумент числа z, причем , комплексное число можно представить в тригонометрической форме: . С помощью формулы Эйлера можно от тригонометрической формы перейти к показательной: .
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть . Тогда:
1.
2. ;
3. - формула Муавра (n – целое число);
4. , n-целое положительное, k=0, 1, 2,…n-1.
Функции комплексного переменного. Пусть - комплексная переменная, . Тогда
1. , - свойство периодичности;
2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
причем
; ;; ;
8. - логарифм (многозначная функция),;
- главное значение логарифма.
9. .
- объемная плотность распределения массы тела в точке
Образец решения контрольной работы по темам «Двойные, тройные интегралы», «Комплексные числа и функции комплексного переменного».
Задание 1. Вычислить повторный интеграл
Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Задание 4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .
б) Вычислить данный интеграл.
Задание 5. а) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3). Или:
б) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода .
Задание 6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.
7. Вычислить все значения .
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :
9. Вычислить интеграл где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.
Образец выполнения контрольной работы
Задание 1. Вычислить повторный интеграл
Решение: Вычислим внутренний интеграл в предположении, что у – переменная, х-const. Тогда данный интеграл будет равен
Отв:
Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .
Решение: Изобразим область D, предварительно найдя точки пересечения линий:
Разобъем данный интеграл на повторный =
Отв:
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Решение: Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле .
Определим координаты точек пересечения кривых: ,
.
Ответ:
Задание 4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .
б) Вычислить данный интеграл.
Рис 7.
Решение: а) Так как тело проецируется на плоскость ХОУ в область, ограниченную окружностью , то перейдем к цилиндрическим координатам
Уравнение параболоида в цилиндрических координатах примет вид , уравнение окружности в проекции на плоскость ХОУ . Тогда
Пределы расставлены.
б)Рассмотрим продолжение задачи – вычисление данного интеграла:
Отв:
Задание 5.
а) Вычислить , где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3).
Решение: .
б) Вычислить: .
Решение: Проверим условие (*): – оно выполняется.
Значит: 1) интеграл не зависит от пути интегрирования;
2) подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Решим задачу двумя способами:
1 способ. В качестве пути интегрирования выберем ломаную АВС, где АС
у задается уравнениями у = 1 (значит, dу = 0),
3 •С ;
СВ: х = 2 (dx = 0 ), ;
1 А• •В
1 2 х
Тогда
.
Ответ: 26.
2 способ: Найдем функцию U, полным дифференциалом которой является выражение . Пусть М0(0; 0) (она лежит в области определения функций и ). Тогда
Ответ: 26.
Задание 6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.
Решение: Данные уравнения определяют в пространстве следующие поверхности:
- параболический цилиндр с образующими, параллельными оси ОZ и направляющей – параболой на плоскости ХОУ;
- плоскость, проходящая через ось ОУ и пересекающая плоскость XOZ по прямой ;
- плоскость, параллельная плоскости XOZ и проходящая через прямую ;
- плоскость XOY.
Таким образом, тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью , сбоку – параболическим цилиндром и плоскостью у=5, проекцией которого на плоскость ХОУ будет область D, ограниченная параболой и прямыми у=5 и х=0.
Тогда
Отв: 12(куб.ед).
Задание 7. Вычислить все значения .
Решение: Перепишем число -8 в тригонометрической форме . Тогда . При к=0,1, 2 получим:
k=0:
k=1:
k=2: =
=.
Ответ:
Задание 8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :
Решение: Выделим вещественную и мнимую части функции:
=. Получили:
.
Задание 8. Вычислить интеграл
где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.
Решение: Функция аналитична внутри круга , ограниченного окружностью С, . Тогда по интегральной формуле Коши получим
=.
Ответ: .
Варианты контрольной работы
Вариант №1
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями xу=1, x=2, у=.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .
4.Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле где G есть сфера . Вычислить.
5. Вычислить , где ОА – отрезок прямой; О(0; 0), А(2; 1).
6*. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями с помощью двойного интеграла.
7. вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №2.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы в первом октанте. Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 4.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№3
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Преобразовать с помощью формулы Грина
.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№4
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями xу=1, x=2, у=.
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить , где А (0;0), В (π;2π), т.е. линия интегрирования отрезок АВ от А к В.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №5
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями x=0, x=, у=2.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: у = х; х = 2; у = 0.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №6
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=0, x=4, у=1, у=е.
3. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: .
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть тело, ограничен поверхностями . Вычислить .
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = 2x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №7
1.Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам:
2. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями x-2у=0, x-у=0, х=4.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 16.
6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№8
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам:
2. Вычислить двойной интеграл , где областьD ограничена кривой и осью ОХ.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант №9.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где область D ограничена линиями
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант№10.
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная окружностью
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом . Вычислить.
5. Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + у 2 = 36.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти
9. Вычислить
Вариант № 11
1. Вычислить повторный интеграл
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная окружностью
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤1
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Найти если
9. Вычислить
Вариант № 12
1. Вычислить повторный интеграл
2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – полукруг диаметра а с центром в точке С(а/2;0) в верхней полуплоскости.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить
5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, где .
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 13
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть параллелепипед: . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ,
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №14
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностью Вычислить.
5.Вычислить по формуле Грина:, где С: х 2 + z 2 = 16.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №15
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: .
4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями б) Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где К – дуга параболы над осью ОХ по часовой стрелке.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 16
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы в первом октанте. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = 2 x при 0≤х≤2
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 17
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам
2. Вычислить , если областьD удовлетворяет неравенствам: .
3.Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где С – окружность х2 + у2 = 1.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 18
2. Вычислить , если область D задана неравенствами: .
3. Найти площадь, ограниченную кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где АВ – отрезок прямой, А(1, 1), В(3, 4).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант № 19
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть шар радиуса R. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл, где l -отрезок прямой х = t +1, y = 2t +1, z = 3t +1 от точки А (1;1;1) до В (2;3;4).
6*. Вычислить объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями: .
7. Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №20
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть шар радиуса R. Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл:, где С – контур треугольника, образованного осями координат и прямой (обход против часовой стрелки).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: .
9. Вычислить
Вариант №21
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D:.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть параллелепипед: . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга кривой у = х 2 от точки А (1;1) до В (2;4).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №22
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга параболы х = у 2 от точки А (1;1) до В (25;5).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Дано: Вычислить
8. . Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: Найти
9. Вычислить
Вариант №23
1. Вычислить повторный интеграл
2.Вычислить , если D ограничена линиями:
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (ближайшей от начала координат фигуры)
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями .
5. Вычислить криволинейный интеграл:, где С – прямоугольник, образованный прямыми: х = 0, х = 1, у = 0, у = 2.
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. Проверить аналитичность функции Найти
9. Вычислить
Вариант №24
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. , где С – верхняя половина эллипса , , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
7. Дано: Вычислить
8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z:
9. Вычислить
Вариант №25
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл, где l -отрезок прямой y = kx от точки А (0;0) до В (2;6).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9.Вычислить
Вариант №26
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , если D ограничена линиями:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , где С – верхняя половина эллипса , , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
6*. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями с помощью двойного интеграла.
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №27.
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – четверть круга лежащая в первой координатной четверти.
3. Вычислить площадь меньшей из фигур, ограниченных кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = ln x от точки А (1;0) до В (е;1).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Решить уравнение
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №28
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где D – область, определяемая неравенствами: .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V есть тело, ограничен поверхностями . Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл , где АВ – дуга кривой у = х 2 от точки А (-1;1) до В (1;1).
6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
7. Вычислить при
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
Вариант №29
1. Вычислить повторный интеграл
2. Вычислить , где областьD ограничена кривой и осью ОХ.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (в 1-ой координатной четверти).
4. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если тело V ограничено поверхностями Вычислить.
5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии у = x при 0≤х≤2
6*. Вычислить объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями: .
7. Вычислить при
8. Вычислить значение функции при
9. Вычислить
2. Непредельные углеводороды ряда ацетилена (алкины)
3. .Основні етапи розвитку економічної теорії Люди завжди прагнули усвідомити економічні умови свого існуван
4. группированию стремление к самостоятельности и независимости к
5. Вступ Вибір електродвигуна і кінематичний розрахунок привода Розрахунок зубчатої передачі П
6. Тема- Устройства ввода и вывода информации
7. . С целью увеличения точности готовой проволоки и уменьшения ее диаметра на стане установлен чистовой блок.
8. Теодор Рузвельт
9. Этот День в истории мы хотим вас поздравить с Осенинами ~ древним славянским праздником символизирующим п
10. ВВЕДЕНИЕ Зачастую на практике капитал предприятия рассматривается как нечто производное как показател
11. За что погиб
12. План работы психолога 2008-2009.html
13. тематики оказался малопригодным для решения многих задач оптимизации включающих большое число пер
14. 28 Работа 501 ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПРОЗРА
15. изгибающий момент; N продольная сила; Q поперечная сила; Т крутящий момент
16. Реферат- Ляпсусы российской рекламы
17. Степени окисления элементов их связь с положением элементов в Периодической системе
18. Тема- Система социального обслуживания населения- принципы функции виды и формы деятельности Социально
19. Контрольная работа- Государственный образовательный стандарт- понятие и значение
20. Введение 2. Аграрный и политический строй пореформенной России 3