Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
№ п/п |
Раздел |
Тема |
Количество часов |
|
1. |
«Воображаемая» геометрия. |
Введение |
1 |
|
История возникновения геометрии Лобачевского |
1 |
||
|
Попытки доказательства V постулата Евклида |
1 |
||
|
«Воображаемая» геометрия |
1 |
||
|
Непротиворечивость геометрии Лобачевского |
1 |
||
|
Аксиомы Лобачевского |
1 |
||
|
Аксиома параллельности |
1 |
||
|
Параллельные прямые по Лобачевскому |
3 |
||
|
2. |
2.Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского. |
Треугольники на плоскости Лобачевского |
2 |
|
Четырехугольники на плоскости Лобачевского |
1 |
||
|
3. |
3. Особенности геометрии Лобачевского. |
Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского |
2 |
|
Окружность |
1 |
||
|
Эквидистанта |
1 |
||
|
Орицикл |
1 |
||
|
Псевдосфера |
1 |
||
|
4. |
Неевклидовы геометрии. Открытие Лобачевского. |
Другие неевклидовы геометрии |
1 |
|
Значение открытия Лобачевского |
1 |
||
|
Итого часов: |
21 |
Тематический план
Урок 1. Введение.
Уже давно педагогическая общественность ищет пути внедрения элементов геометрии Лобачевского и важных новых идей, связанных с ее открытием, в школу.
Для того, кто впервые изучает геометрию Лобачевского, ощущает значительные сложности в ее понимании. Эти сложности следует отнести к сложностям психологического характера, потому что они вызваны не сложностью логических связей, которые существуют между отдельными утверждениями новой геометрии, а тем несоответствием, которое существует между логическими заключениями и обычными наглядными представлениями. Учащимся тяжело представить себе, как это может быть, чтобы через точку, не лежащую на прямой, проходили две прямые, которые не пересекают данную прямую. Чтобы этого избежать, необходимо знакомить учащихся с геометрией Лобачевского так, чтобы они прошли сначала наглядно-индуктивный курс этой геометрии. Так этот курс называется потому, что ученик сначала изучает геометрию Лобачевского путем внимательного исследования ее модели.
Лучшей является модель Бельтрами-Клейна, построенная, как известно, на внутренней части круга евклидовой плоскости. Но для того чтобы эта модель стала понятной, а также чтобы понятной стала сама идея моделирования системы аксиом, необходимо ознакомить учащихся с идеей аксиоматического метода, с аксиоматичной структурой планиметрии Евклида, с некоторыми общими вопросами аксиоматики.
Рассмотрение этих вопросов важно, потому что знакомит учащихся с характерными чертами современной математики, расширяет их взгляды на предмет геометрии и т.д. Но важно и то, что есть возможность сделать доступной геометрию Лобачевского, и не только доступной, а и такой, что имеет возможность выучить ее творчески, активно.
Урок 2. История возникновения геометрии Лобачевского.
Геометрия возникла в глубокой древности – несколько тысячелетий до нашей эры. Самые древние памятники культуры говорят о том, что уже 4-5 тысяч лет назад люди знали многие геометрические факты, изучаемые в настоящее время в школе.
Проникновение геометрии из Междуречья и Египта в Грецию привело к тому, что отрывочные, опытные, на глаз установленные факты здесь начинают превращаться в цепь связанных между собой предложений; каждое из них занимает в этой цепи определенное место и логически вытекает из предыдущих. Соответственно этому развитие геометрии шло в Греции в двух направлениях: во-первых, стремились логическими средствами найти возможно большее число геометрических истин; во-вторых, старались свести к возможному минимуму те геометрические факты, которые устанавливаются опытом.
Несмотря на то, что первые попытки обосновать геометрию предпринимались задолго до Евклида (одна из таких попыток принадлежала древнегреческому геометру Гиппократу Хиосскому, V век до н.э.), все они поблекли и были забыты после появления гениального творения Евклида. Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно, что в течение двух тысячелетий для математиков «Начала» были образцом для подражания, а для прочих – единственным учебником, по которому учились как взрослые, так и дети. «Начала» Евклида в качестве учебника царили вплоть до XVIII в., а в некоторых странах и дольше.
Математиков особенно интересовал последний, пятый постулат. Он читается так: «…если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекаются и при этом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых».
Урок 3. Попытки доказательства V постулата Евклида.
В 1826 году впервые в истории математики Н.И. Лобачевский высказал мысль о том, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом геометрии. Это сообщение оказало поистине революционное воздействие на дальнейшее развитие науки. Не случайно впоследствии, когда идеи русского ученого получили всеобщее призвание, математики стали называть Лобачевского Коперником геометрии.
В начале Лобачевский шел тем же путем, что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.
Итак, допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в (рис.1, а), можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с в.
Рис. 1 (а)
Пусть прямые и не пересекаются с . При их расположении, как на рисунке, будем поворачивать прямую по часовой стрелке. Тогда найдется прямая , которая "в последний раз" не пересекается с . Значит, прямые, получающиеся из при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол), будут пересекать прямую в, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая отделяет пересекающие в прямые от непересекающих ее. Сама прямая не пересекает в. Такая же картина наблюдается и для прямой с", симметричной относительно перпендикуляра АР, опущенного на в. Она отделяет пересекающие в прямые от не пересекающих. Лобачевский называет прямые и с" параллельными прямой в, причем с' параллельна вправо. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую в (такие, как а" и а'), именуются расходящимися с прямой в.
Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый прямой с' или с" с прямой АР, - через П(х) (рис. 1, б).
Рис. 1 (б)
Лобачевский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие.
На наших чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90°. Когда отрезок АР совсем мал, то, посмотрев "в микроскоп" на точку Р (рис. 2), мы увидим, что прямые с' и с" практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90 градусам.
Рис. 2
В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшем будут появляться все более и более странные вещи, то это только хорошо - мы скорее наткнемся на долгожданное противоречие.
Лобачевский доказывает (все в том же предположении неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 3).
Рис. 3
А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.3, 2). Это очень похоже на то, о чем писал Лежандр, но мы уже знаем, что здесь пока ещё нет никакого противоречия.
Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет на прямой в движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности (рис. 4).
Рис. 4
В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр р к прямой в до его пересечения с прямой с. Длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и, когда она попадает в некоторое положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восстановленный к прямой в в точке Q, параллелен прямой с (рис.5, а).
Рис. 5
Построив прямую с1, симметричную с относительно перпендикуляра р, получим три прямые - в, с и с1, которые попарно параллельны друг другу (рис.5, б). Возникает своеобразный "бесконечный треугольник": у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 6).
Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий! Но противоречия нет и здесь.
Рис. 6
Урок 4. «Воображаемая» геометрия.
Вспомним, что в 1826 году впервые в истории математики Н.И. Лобачевский высказал мысль о том, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом геометрии. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, он так и не пришел к противоречию.
Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяя введенную им функцию П(х), он получает зависимости , позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается, что в любом треугольнике сумма углов меньше 180 градусов. Значит, в четырехугольнике Саккери (если его разбить диагональю на два треугольника; рис. 7) сумма углов меньше 360 градусов.
Рис. 7
Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла - когда в четырёхугольнике Саккери четвёртый угол ф<90 градусов, как будто ничего нового нет: Саккери и его последователи долго ломали голову над гипотезой острого угла, но противоречия так и не нашли.
Однако Лобачевский оказался теперь намного богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами любого треугольника. Пользуясь своими формулами, Лобачевский доказал: если известны углы треугольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобные треугольники, в которых углы соответственно равны, а стороны неодинаковы, так что углы треугольника не позволяют вычислить длины всех его сторон. Что это - желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных, но неравных треугольников доказывается с помощью аксиомы о параллельных прямых. А потому сам факт, что такие треугольники существуют, может рассматриваться как ещё одна новая аксиома, эквивалентная пятому постулату.
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики. Другими словами, это общая часть евклидовой и геометрии Лобачевского.
И Лобачевского осенила гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается не противоречивая геометрическая система - та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т.е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной денной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её "воображаемой" геометрией), которая, однако, тоже не противоречива.
Урок 5. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Построение такой модели (т.е. доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского) выпало на долю математиков следующего поколения.
В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского. Если на этой поверхности нарисовать кратчайшие линии («геодезические») и измерять по этим линиям расстояния, составлять из дуг этих линий треугольники и т.д., то оказывается, что в точности реализуются все формулы геометрии Лобачевского (сумма углов любого треугольника меньше 180°). Правда, на псевдосфере реализуется не вся плоскость Лобачевского, а лишь ее ограниченный кусок, но все же этим была пробита первая брешь в глухой стене непризнания Лобачевского. А через два года немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) предлагает другую модель плоскости Лобачевского.
Клейн берет некоторый круг К и рассматривает такие проективные преобразования плоскости, которые отображают круг К на себя. «Плоскостью» Клейн называет внутренность круга К, а указанные проективные преобразования считает «движениями» этой «плоскости». Далее, каждую хорду круга К (без концов, поскольку берутся только внутренние точки круга) Клейн считает «прямой». Поскольку «движения» представляют собой проективные преобразования, «прямые» переходят при этих «движениях» в «прямые». Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать отрезки, треугольники и т.д. Две фигуры называются «равными», если одна из них может быть переведена в другую некоторым «движением». Тем самым введены все понятия, упоминаемые в аксиомах геометрии, и можно производить проверку выполнения аксиом в этой модели. Например, очевидно, что через любые две точки A, В проходит единственная «прямая». Можно проследить также, что через точку А, не принадлежащую «прямой» a, проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих а. Дальнейшая проверка показывает, что в модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского. В частности, для любой «прямой» l (т.е. хорды круга К) и любой точки А этой «прямой» существует «движение», переводящее ее в другую заданную прямую l' с отмеченной на ней точкой А'. Это и позволяет проверить выполнение всех аксиом геометрии Лобачевского.
Еще одна модель геометрии Лобачевского была предложена французским математиком А. Пуанкаре (1854-1912). Он также рассматривает внутренность некоторого круга К; «прямыми» он считает дуги окружностей, которые в точках пересечения с границей круга К касаются радиусов. Не говоря подробно о «движениях» в модели Пуанкаре (ими будут круговые преобразования, в частности инверсии относительно «прямых», переводящие круг К в себя), ограничимся указанием рис. 13, показывающего, что в этой модели евклидова аксиома параллельности места не имеет. Интересно, что в этой модели окружность (евклидова), расположенная внутри круга К, оказывается «окружностью» и в смысле геометрии Лобачевского; окружность, касающаяся границы Г круга К изображает орицикл, а дуга окружности, пересекающая Г (но не касающаяся радиусов),- эквидистанту. Заметим еще, что в геометрии Лобачевского правильный n-угольник может иметь любой угол при вершине, меньший 180°(1 - 2/n) (т.е. меньший аналогичного угла в евклидовой геометрии). Поэтому для любого n существует «паркет», представляющий собой замощение плоскости Лобачевского правильными n-угольниками (без пропусков и перекрытий).
Пуанкаре придумал фантастический мир, «жители» которого должны были бы принять геометрию Лобачевского из физических экспериментов. Для этого Пуанкаре предположил, что круг К представляет собой неоднородную оптическую среду, в которой скорость света в точке A ∈ K равна расстоянию точки А от границы круга К. Тогда свет будет (в соответствии с принципом Ферма о минимальности времени движения по световой траектории) распространяться как раз по «прямым» рассмотренной модели. Свет не может за конечное время дойти до границы (поскольку там его скорость убывает до нуля), и потому этот мир будет восприниматься его «жителями» бесконечным, причем по своей метрике и свойствам совпадающим с плоскостью Лобачевского.
Впоследствии были предложены и другие модели геометрии Лобачевского. Этими моделями была окончательно установлена непротиворечивость геометрии Лобачевского. Тем самым было показано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Это оказало большое прогрессивное воздействие на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
Урок 6. Аксиомы Лобачевского.
Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии:
I. Аксиомы связи прямой и точки.
II. Метрические аксиомы отрезка.
III. Аксиома непрерывности.
же сторону, что и точка A от любой точки из . Тогда на прямой a существует точка C, такая, что любая точка из лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из – по ту же сторону от C, что и B.
IV. Аксиомы плоскости.
V*. Аксиома параллельности.
Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Урок 7. Аксиома параллельности.
Вспомним еще раз формулировку V постулата.
V*. Аксиома параллельности.
Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 2-1).
В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.
Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD (рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.
Имеет место следующий признак параллельности прямых.
Урок 8. Параллельные прямые по Лобачевскому.
Теорема 1.1 Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.
□ Для доказательства теоремы достаточно установить, что, каковы бы ни были точки Р' и Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Возможны три случая: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ. Рассмотрим здесь первые два случая.
а) Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' — точка луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q'PQ и QPB, поэтому луч h либо лежит внутри угла Q'P'Q, либо совпадает с лучом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 2-3, а). В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, поэтому пересекает и луч Q'Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает
луч QD и, следовательно, луч Q'D.
Если Q' — точка луча QD, то угол Q'P'B является частью угла QPB (рис. 2-3,б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересечения является точкой луча Q'D, так как h не проходит внутри угла QPQ' и поэтому не пересекает отрезок QQ'.
б) Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит внутри угла Q'P'P, поэтому h пересекает отрезок PQ' в некоторой точке М (рис. 2-4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Так как BPQ' - внешний угол треугольника PP'Q', то PP'Q' < BPQ', поэтому РР'М <. BPQ'. Отсюда следует, что РМ' — внутренний луч угла BPQ'. Следовательно, по доказанному (см. случай а)) этот луч пересекает луч Q'D в некоторой точке М1 (рис. 2-4). Прямая Р'М пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M1 и не пересекает сторону РМ1 (так как ВРМ1 = BP'M), поэтому по аксиоме Паша прямая Р'М пересекает отрезок Q'M1. Таким образом, луч h пересекает луч Q'D. ■
Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому. Докажем теорему о существовании параллельных прямых.
Урок 9. Параллельные прямые по Лобачевскому.
Теорема 1.2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.
□ Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую МР, перпендикулярную к прямой MN (рис. 2-5). Мы предполагаем, что точки Р и В лежат по одну сторону от прямой MN'. Прямые МР и NB не пересекаются.
Точки отрезка NP разобьем на два класса К1 и K2 по следующему закону. К первому классу отнесем те точки X этого отрезка, которые удовлетворяют условию: луч MX пересекает луч NB, а ко второму классу — все остальные точки отрезка NP. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) предложения Дедекинда .
а) Очевидно, N є К1 и Р є К2. Класс К1 содержит точки, отличные от N, например, точки X пересечения луча МХ1 с отрезком NP, где Х1 — произвольная точка луча NB (рис. 2-5). Класс К2 содержит точки, отличные от Р. В самом деле, по аксиоме V* существует прямая MS1, отличная от прямой МР и не пересекающая прямую АВ. Прямая MS2, симметричная прямой MS1 относительно прямой MN, также не пересекает прямую АВ (рис. 2-5).
Одна из прямых MS1 или MS2 проходит внутри угла NMP, поэтому пересекает отрезок NP в некоторой точке Y, принадлежащей классу K2 ;
б) Пусть А' — произвольная точка класса К1, отличная от N, a Y — точка второго класса. Тогда N — X — Y, так как в противном случае имеем N -- Y — X, что означает, что луч MY — внутренний луч угла NMX. Отсюда следует, что луч MY пересекает отрезок NX1, т. е. Y є K1.
Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сечение. Пусть точка D производит это сечение. Докажем, что D є К2. Предположим противное: D К1. Тогда луч MD пересекает луч NB в некоторой точке D1 (рис. 2-6). Возьмем на луче NB точку D'1 так, чтобы N — D1 — D'1. Луч MD'1 пересекает отрезок DP в некоторой точке D' (рис. 2-6), которая принадлежит классу К1. Полученный вывод противоречит предложению Дедекинда. Таким образом, D К2. На прямой MD возьмем точку С так, чтобы С — М — D. По теореме 1 CD || AB.
Остается доказать, что CD — единственная прямая, преходяща, через точку М и параллельная прямой АВ. Пусть, напротив. C'D' — другая прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. По определению параллельных прямых внутренние лучи углов NMD и NMD' пересекают луч NB, поэтому лучи MD, MD' лежат в той же полуплоскости с границей MN, что и луч NB. Отсюда мы приходим к выводу, что-либо MD - внутренний луч угла NMD', либо MD' - внутренний луч угла NMD.
Но тогда одна из прямых CD или C'D' пересекает прямую АВ, что противоречит определению параллельности прямых. ■
Урок 10. Параллельные прямые по Лобачевскому.
Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой a две точки A и В так, чтобы А — N — В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).
В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF—различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN ≠ FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.
Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.
Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. На этом рисунке 2-8 NMD — угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N'M'D' — угол параллельности в точке М' относительно прямой а', α = NMD, x = MN, α' = N'M'D' , x' = M'N'. Докажем, что если х = х', то α = α' . Пусть, напротив, α' ≠ α, например α' > α. Тогда существует внутренний луч h’ угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h' равен α . Луч h' пересекает прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F' так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику МN'F' (треугольник MNF на рис. 2-8 не изображен). Так как NMF = α, то лучи MD и MF совпадают. Мы пришли к выводу, что прямые MD и а пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, α. = α'.
Итак, α — функция от х: α = П(х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что .
Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:
, где k — некоторое положительное число.
Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между О и . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.
Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин.
В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный .
Урок 11. Треугольники на плоскости Лобачевского.
Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.
Существует ряд других предложений, эквивалентных V постулату, одним из которых является утверждение: сумма углов каждого треугольника равна двум прямым.
Теорема 2.1. Если принять, что сумма углов каждого треугольника равна 2d, где d — мера прямого угла, то имеет место V постулат.
В заключение рассмотрим две теоремы о сумме углов треугольника, которые доказываются без помощи V постулата и предложений, эквивалентных этому постулату. Предварительно докажем лемму. Условимся сумму углов треугольника ABC обозначать через σABC, а меру прямого угла — через d.
Теорема 2.2. Сумма углов любого треугольника не больше 2d.
□ Теорему докажем методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что σABC = 2d + ε, где ε > 0. Применяя предыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треугольник АnВnСn, удовлетворяющий условиям σABC = = σAnBnCn и . Выберем n так, чтобы . Тогда Âп < ε. Так как Âп + Вn + Ĉn = 2d + ε, то Вп + Ĉn > 2d.
С другой стороны, легко доказать, что Вn + Сn < 2d. В самом деле, если β - мера внешнего угла треугольника АnВnСn, смежного с углом Вп, то β > Ĉп, а по теореме о смежных углах β + Вп = 2d, поэтому Вп + Сn < 2d. Мы пришли к противоречию, следовательно, не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше чем 2d. ■
Урок 12. Треугольники на плоскости Лобачевского.
Итак, сумма углов любого треугольника не больше 2d. Но не может ли получиться так, что у одних треугольников эта сумма меньше 2d, а у других равна 2d? Отрицательный ответ на этот вопрос дает вторая теорема Саккери — Лежандра, которую мы приводим без доказательства.
Теорема 2.3. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d.
Мы получили еще одно предположение, эквивалентное V постулату: существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.
Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.
Но треугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Теорема 2.4. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.
□ Пусть ABC — произвольный треугольник. По первой теореме Саккери — Лежандра ( теорема 2.2) σABC ≤ 2d. Если предположить, что σABC = 2d, то по теоремам 2.3 и 2.1 окажется справедливым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, σABC < 2d. ■
Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.
Теорема 2.5. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.
Теорема 2.6. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Теорема 2.7. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Урок 13. Четырехугольники на плоскости Лобачевского.
Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами.
Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.
1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С = D и каждый из углов С и D острый.
Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч АD — в луч ВС (так как A = B = d).B силу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC — в угол BCD. Таким образом, C = D.
По теореме 2 А + В + С + D < 4d, поэтому С + D < 2d. Но так как С = D, то каждый из этих углов острый.
2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD < ВС,
то С < D.
Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ. При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а точка D — в точку D' луча ВС (рис. 2-13). Так как АD < ВС и AD = BD', то BD' < ВС, поэтому D' — точка отрезка ВС. Четырехугольник ADD'В является четырехугольником Саккери, поэтому по свойству 1° 1 = 2. Но 1 < ADC, a 2> DCB ( 2 — внешний угол треугольника CDD'). Таким образом, DCB < АDC.
3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ С < D, то AD < ВС.
Урок 14. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
Лемма 3.1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых АВ и CD.
□ Пусть Р и Q — точки, лежащие соответственно на прямых AВ и CD, a h и k — биссектрисы углов QPB и PQD (рис. 2-13). Так как AВ || CD, то луч h пересекает луч QD в некоторой точке Е. Тогда луч k пересекает отрезок РЕ в некоторой точке S.
Докажем, что точка S равноудалена от прямых AВ и CD. Обозначим через SH1, SH2 и SH3 — перпендикуляры, проведенные из точки S к прямым AВ, CD и PQ (рис. 2-13). Так как SH1 = SH3 и SH2 = SH3, то SH1 = SH2. Теперь ясно, что прямая d, содержащая биссектрису угла H1SH2, является осью симметрии прямых AВ и CD. ■
Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.
Теорема 3.1. Если АВ || CD, то CD || АВ.
□ Пусть Р — произвольная точка прямой AВ, a d — ось симметричных прямых AВ и CD. Тогда точка Q, симметричная точке Р относительно прямой d, лежит на прямой CD (рис. 2-14). Для доказательства теоремы воспользуемся признаком параллельности прямых (теорема 1.1). Прямые AВ и CD не пересекаются, поэтому достаточно доказать, что любой внутренний луч угла PQD пересекает луч РВ.
Пусть h — произвольный внутренний луч угла PQD, a h' — луч, симметричный лучу h относительно прямой d. Так как угол PQD симметричен углу QPB и h — внутренний луч угла PQD, то h' — внутренний луч угла QPB. Но AВ || CD, поэтому луч h' пересекает луч QD. Отсюда следует, что и луч h пересекает луч РВ. ■
Урок 15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
Продолжим рассматривать особенности расположения прямых на плоскости Лобачевского. Приведем следующую теорему без доказательства.
Теорема 3.2. Если АВ || EF, EF || CD и прямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.
Две (ненаправленные) прямые а и b параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.
Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 2-7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.
Таким образом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.
Теорема 3.3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.
Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.
Заметим, что две прямые не могут иметь более чем один общий перпендикуляр. Действительно, если, например, прямые а и b имеют два общих перпендикуляра АВ и А'В' (рис. 2-16), то выпуклый четырехугольник ABB'А' имеет четыре прямых угла. Но это противоречит теореме 2.5. Таким образом, если две прямые имеют общий перпендикуляр, то он единственный и по теореме 3 эти прямые расходятся. В заключение докажем, что на плоскости Лобачевского расстояние от переменной точки одной из двух параллельных или расходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 3.2. Пусть лучи РР' и QQ' лежат в одной полуплоскости с границей PQ, PQQ' прямой, a QPP' прямой или тупой (рис. 2-18, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н — проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН = f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.
Пусть АВ и CD — расходящиеся прямые, a PQ — общий перпендикуляр этих прямых (рис. 2-19). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы 3.2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.
Пусть теперь АВ || CD, a PQ — перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 2-20). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет условиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от перемен- ной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности.
Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.
Урок 16. Окружность.
На плоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучок пересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 2-21, а); б) пучок расходящихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 2-21, б); в) пучок параллельных прямых - множество прямых, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 2-21, в).
Ясно, что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучка пересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка.
С каждым пучком прямых связаны определенные линии.
Окружность. Как известно из школьного курса геометрии, окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Это определение относится к абсолютной геометрии, поэтому окружность линия как евклидовой плоскости, так и плоскости Лобачевского. Многие теоремы об окружности, известные учащемуся из курса геометрии средней школы, доказываются без помощи аксиомы параллельных, поэтому они справедливы и на плоскости Лобачевского. Прежде всего, отметим теорему о том, что любая прямая, лежащая в плоскости окружности, пересекается с ней не более чем в двух точках. Перечислим другие свойства окружности, которые относятся к абсолютной геометрии. При этом рассмотрим только те свойства, которые относятся к расположению точек окружности по отношению к пучку пересекающихся прямых с центром в центре окружности. Прямые этого пучка называются осями окружности.
1°. Окружность симметрична относительно любой своей оси.
2°. В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.
Учитывая это свойство, мы можем говорить, что окружность пересекает свои оси под прямым углом или что окружность есть ортогональная траектория пучка прямых с центром в центре окружности (рис. 2-22, а).
Прямая АВ, где А а и В Ь, называется секущей равного наклона к прямым а и b, если отрезок АВ составляет с этими прямыми равные внутренние односторонние углы.
3°. Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.
4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью.
Не все свойства окружности, известные нам из школьного курса геометрии, имеют место на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна на плоскости Лобачевского. В самом деле, пусть угол АСВ, вписанный в окружность с центром О, опирается на диаметр АВ (рис. 2-23). Проведем радиус ОС и рассмотрим два равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как A = АСО и B = BCO, то A + В = АСО + ВСО = АСВ. Следовательно, σABC = A + В + АВС = 2 АСВ. Значит, АСВ = σABC . Так как σABC < 2d, то АСВ < d, т. е. АСВ — острый угол.
Урок 17. Эквидистанта.
Эквидистанта. Эквидистантой называется фигура, которая состоит из всех точек полуплоскости с границей и, равноудаленных от этой прямой. Прямая и называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу,— высотой. Высотой называется также длина h этого перпендикуляра.
С эквидистантой связан пучок расходящихся прямых — множество всех прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка называются осями эквидистанты. Многие свойства эквидистанты аналогичны свойствам окружности.
Убедимся в том, что эквидистанта — кривая линия.
Теорема 3.4. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантой не более, чем в двух точках.
Рассмотрим другие свойства эквидистанты.
1°. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.
2°. В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проведенной через точку касания.
Учитывая это свойство, мы можем говорить, что эквидистанта является ортогональной траекторией пучка расходящихся прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты (см. рис. 2-22, б).
Хордой эквидистанты назовем любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.
3°. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.
4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является ее осью.
Урок 18. Орицикл.
Орицикл. Прежде чем ввести понятие орицикла, докажем следующую лемму.
Лемма 3.3. Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит одна и только одна секущая равного наклона к этим прямым.
Пусть на плоскости задан пучок параллельных прямых. На множестве Ω всех точек плоскости введем бинарное отношение ∆ следующим образом. Будем говорить, что точки A и В находятся в отношении ∆, если они совпадают или прямая АВ является секущей равного наклона к прямым данного пучка, проходящим соответственно через точки А и В. Из этого определения непосредственно следует, что отношение ∆ удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности. Можно также доказать, что оно удовлетворяет условию транзитивности. Каждый элемент фактор-множества Ω/∆ называется орициклом (или предельной линией). Прямые данного пучка называются осями орицикла. Если задан пучок параллельных прямых, то через каждую точку А плоскости проходит один и только один орицикл, который представляет собой класс эквивалентности КА по отношению ∆. Это множество состоит из точки А и всех таких точек X плоскости, что АХ -секущая равного наклона к прямым данного пучка, проходящим через точки А и X.
Если даны направленная прямая UV и на ней некоторая точка А, то тем самым однозначно определяется орицикл, проходящий через точку А с осью UV.
Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты.
Теорема 3.5. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом не более чем в двух точках.
Орицикл симметричен относительно любой своей оси и является ортогональной траекторией пучка его параллельных осей (см. рис 2-22, в).
Любые два орицикла на плоскости Лобачевского равны.
Урок 19. Псевдосфера.
Псевдосфера — поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг ее асимптот. Название псевдосферы связано с тем, что ее полная (гауссова) кривизна постоянна и отрицательна: к= -1 : а2, где а — отрезок касательной, заключенный между точкой касания к трактрисе и ее базой, в то время как полная кривизна сферы О (R) постоянна и положительна: к = 1 : R2 (псевдосферы - ложная сфера).
Важность псевдосферы состоит в том, что на ней частично реализуется плоская неевклидова геометрия Лобачевского, что было установлено уже после смерти Лобачевского итальянским геометром Бельтрами в 1868 г. Этот факт положил конец спорам о реальности геометрии Лобачевского.
В более общем понимании псевдосферы называется поверхность постоянной отрицательной кривизны, на которой установлено движение в достаточно малой окрестности (куске) ее. При этом роль прямых линий на псевдосферы играют геодезические линии так, что через каждую точку поверхности проходит только одна геодезическая линия.
Урок 20. Другие неевклидовы геометрии.
Среди неевклидовых геометрий особое значение имеют геометрия Лобачевского и Риманова геометрия, которые чаще всего и подразумеваются, когда говорят о неевклидовой геометрии. Геометрия Лобачевского - первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Ниже обе неевклидовы геометрии и геометрия Евклида сопоставляются как синтетические теории.
Неевклидовы геометрии как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит точно одна прямая, которая лежит в одной плоскости с этой прямой и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых более одной (затем доказывается, что их бесконечно много).
В геометрии Рпмана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы. Сущность дела в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку во множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку во множестве точек окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит проективная плоскость).
Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трех геометрий одинаковы. Примеры теорем неевклидовой геометрии.
1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).
2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой
где - внутренние углы треугольника, R- постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула
при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).
3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например:
где sh, ch - гиперболические синус и косинус, a,b,c - стороны треугольника, - противолежащие им углы, R- постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой си прямым углом ) имеет место, например, равенство
При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определенный отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остается неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R=1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:
(для произвольного треугольника) и
(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространств) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных (в евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких других формул, выражающих линейные величины через угловые). При замене R на iR формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на iR все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы неевклидовой геометрии переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличаются от евклидовых.
Совместное исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами.
Урок 21. Значение открытия Лобачевского.
В истории науки часто бывает так, что истинное значение научного открытия выясняется не только через много лет после того, как это открытие было сделано, но, что особенно интересно, в результате исследований совсем в другой области знаний. Так произошло и с геометрией, предложенной Лобачевским, которая сейчас носит его имя.
Размышляя о постулатах Евклидовой геометрии, Лобачевский пришел к выводу, что по крайней мере один из них может быть пересмотрен. Очевидно, что краеугольный камень геометрии Лобачевского — это отрицание постулата Евклида, без которого геометрия около двух тысяч лет оказалось, не могла жить.
Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии. Поскольку ее существование было невозможно представить в реальном мире, ученый назвал ее «воображаемой геометрией».
Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Болиай-отец был другом Гаусса, и, бесспорно, тот делился с ним мыслями о новой геометрии. Между тем право гражданства получила в Западной Европе именно геометрия Лобачевского.
В 1837 году труды Лобачевского печатаются на французском языке. В 1840 году он издал на немецком языке свою теорию параллельных, заслужившую признание великого Гаусса. В России же Лобачевский не видел оценки своих научных трудов.
Очевидно, исследования Лобачевского находились за пределами понимания его современников. Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманом. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения.
Естественно, возникает вопрос, где же находится такое пространство. Ответ на него был дан крупнейшим физиком XX века Альбертом Эйнштейном. Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, он создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства.
В соответствии с этой теорией любая материальная масса искривляет окружающее ее пространство. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.
Литература