Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.
Основная идея метода. Может оказаться, что система
Ax=f (1)
имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицы А равен нулю. В этом случае обычный метод Гаусса оказывается непригодным, но может быть применен метод Гаусса с выбором главного элемента.
Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. Тем самым, если , то в процессе вычислений не будет происходить деление на нуль.
Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений
(2)
Предположим, что . Тогда на первом шаге будем исключать переменное . Такой прием эквивалентен тому, что си стема (2) переписывается в виде
(3)
и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения про водится соответствующая перенумерация переменных.
Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что . Перепишем систему (2) в виде
и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация уравнений.
Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается максималь ный по модулю элемент среди всех элементов матрицы системы.
Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде
где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей перестановок Р называется квад ратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарной матрицей перестановок на зывается матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой к-й и l-й строк.
Например, элементарными матрицами перестановок третьего по рядка являются матрицы
Можно отметить следующие свойства элементарных матриц перестановок, вытекающие непосредственно из их определения .
Произведение двух (а следовательно, и любого числа) элементар ных матриц перестановок является матрицей перестановок (не обязательно элементарной).
Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-й и l-й строк.
Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-го и l-го столбцов.
Применение элементарных матриц перестановок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояснить на следующем примере системы третьего порядка:
(4)
Система имеет вид (1), где
(5)
Максимальный элемент первого столбца матрицы А находится во второй строке. Поэтому надо поменять местами вторую и первую строки и перейти к эквивалентной системе
(6)
Систему (6) можно записать в виде
(7)
т.е. она получается из системы (4) путем умножения на матрицу
пе рестановок
Далее, к системе (6) надо применить первый шаг обычного метода ис ключения Гаусса. Этот шаг эквивалентен умножению системы (7) на элементарную нижнюю треугольную матрицу
В результате от системы (7) перейдем к эквивалентной системе
(8)
или в развернутом виде
(9)
Из последних двух уравнений системы (9) надо теперь исключить перемен ное . Поскольку максимальным элементом первого столбца уко роченной системы
(10)
является элемент второй строки, делаем в (10) перестановку строк и тем самым от системы (9) переходим к эквивалентной системе
(11)
которую можно записать в матричном виде как
. (12)
Таким образом система (12) получена из (8) применением элемен-тар ной матрицы перестановок
Далее к системе (11) надо применить второй шаг исключения обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы (11) на элементарную нижнюю треугольную матрицу
В результате получим систему
(13)
или
(14)
Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в замене последнего уравнения системы (14) уравнением
что эквивалентно умножению (13) на элементарную нижнюю треугольную мат рицу
Таким образом, для рассмотренного примера процесс исключения Гаусса с вы бором главного элемента по столбцу записывается в
виде
(15)
По построению матрица
(16)
является верхней треугольной матрицей с единичной главной диаго налью.
Отличие от обычного метода Гаусса состоит в том, что в качестве сомножителей в (16) наряду с элементарными треугольными матри цами могут присутствовать элементарные матрицы перестановок .
Покажем еще, что из (16) следует разложение
PA=LU, (17)
где L -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную, P - матрица перестановок.
Для этого найдем матрицу
(18)
По свойству 2) матрица получается из матрицы переста новкой второй и третьей строк,
Матрица согласно свойству 3) получается из перестановкой второго и третьего столбцов
т.е. -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную.
Из (18), учитывая равенство , получим
(19)
Отсюда и из (16) видно, что
где обозначено . Поскольку Р-матрица перестановок и L-нижняя треугольная матрица, свойство (17) доказано. Оно означает, что метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к мат рице РА, т.е. к системе, полученной из исходной системы перестанов кой некоторых уравнений.
Общий вывод. Результат, полученный ранее для очень частного примера, справедлив и в случае общей системы уравнений (1).
А именно, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно записать в виде
(20)
где - элементарные матрицы перестановок такие, что
и -элементарные нижние треугольные матрицы.
Отсюда, используя соотношения перестановочности, аналогичные (19), можно показать, что метод Гаусса с выбором главного элемента эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к си стеме
PAx=Pf, (21)
где Р - некоторая матрица перестановок.
Теоретическое обоснование метода Гаусса с выбором главного элемента содержится в следующей теореме.
ТЕОРЕМА 1. Если то существует матрица перестано-
вок Р такая, что матрица РА имеет отличные от нуля угловые ми-
норы.
Доказательство в п.4.
СЛЕДСТВИЕ. Если то существует матрица престана-
вок Р такая, что справедливо разложение
РА=LU, (22)
где L- нижняя треугольная матрица с отличными от нуля диагональными элементами и U- верхняя треугольная матрица с единичной главной диагональю. В этом случае для решения системы (1) можно применять метод Гаусса с выбором главного элемента.
4. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему индукцией по числу m -порядку матрицы А.
Пусть m=2, т.е.
Если то утверждение теоремы выполняется при Р=Е, где Е - единичная матрица второго порядка. Если , то , т.к. При этом у матрицы
все угловые миноры отличны от нуля.
Пусть утверждение теоремы верно для любых квадратных матриц порядка m-1. Покажем, что оно верно и .для матриц порядка m. Разобьем матрицу А порядка m на блоки
где
Достаточно рассмотреть два случая : и . В первом случае по предположению индукции существует матрица перестановок порядка m-1 такая, что имеет отличные от нуля угловые миноры. Тогда для матрицы перестановок
имеем
причем . Тем самым все угловые миноры матрицы РА отличны от нуля.
Рассмотрим второй случай, когда . Т.к. , найдется хотя бы один отличный от нуля минор порядка m-1 матрицы А, полученный вычеркиванием последнего столбца и какой-либо строки. Пусть, например,
где .
Переставляя в матрице А строки с номерами l и m, получим матрицу , у которой угловой минор порядка m-1 имеет вид
и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.
Теорема доказана.