Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Модуль І
Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві рівняння
Тема 12. Інтегральне числення
Мета роботи. Знати поняття невизначеного інтеграла, основні методи інтегрування. Вміти обчислювати визначений та невласні інтеграли, досліджувати інтеграли на збіжність. Виробити практичні навички застосування визначеного інтеграла в економіці.
План вивчення теми
Методичні рекомендації до самостійної роботи
Рекомендується вивчити поняття невизначеного інтеграла та первісної, таблицю інтегралів основних функцій. Опанувати основні методи обчислення невизначеного, визначеного та невласних інтегралів, дослідження збіжності інтеграла. Набути навички застосування визначеного інтеграла в економіці.
Первісна функція
Означення. Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку , якщо в будь-якій точці цього відрізку виконується рівність:
F(x) = f(x).
Необхідно зазначити, що первісних для однієї і тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятись один від одного на деяке постійне число:
F1(x) = F2(x) + C.
Невизначений інтеграл
Означення. Невизначеним інтегралом функції називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням: .
Записують: .
Умовою існування невизначеного інтегралу на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.
Властивості:
1. 2.
3. 4.
5. де u, v, w – деякі функції від х.
Знаходження значення невизначеного інтегралу пов’язано головним чином зі знаходженням первісної функції.
Таблиця основних інтегралів
|
Інтеграл |
Значення |
Інтеграл |
Значення |
||
|
1 |
-lncosx+C |
9 |
ex + C |
||
|
2 |
lnsinx+ C |
10 |
sinx + C |
||
|
3 |
|
11 |
-cosx + C |
||
|
4 |
|
12 |
tgx + C |
||
|
5 |
13 |
-ctgx + C |
|||
|
6 |
ln |
14 |
arcsin + C |
||
|
7 |
15 |
||||
|
8 |
|
16 |
|
Методи інтегрування
Розглянемо три основних методи інтегрування.
Безпосереднє інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування – інтегрування за допомогою таблиці основних інтегралів та властивостей невизначеного інтеграла. Цей метод застосовується лише для деяких обмежених класів функцій.
Метод заміни змінної (підстановки)
Теорема. Якщо потрібно знайти інтеграл , але важко відшукати, то за допомогою заміни x=(t) і dx=(t)dt отримаємо:
.
Функцію намагаються обирати таким чином, щоб права частина зазначеної формули набула зручного для інтегрування вигляду.
Наприклад. Знайти невизначений інтеграл .
Зробимо заміну змінної t = sinx, dt = cosxdt.
Інтегрування частинами
Якщо і - диференційовані функції, то
.
Ця формула дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій. Інколи, щоб звести інтеграл до табличного, доводиться застосовувати формулу інтегрування частинами декілька разів.
Можливі такі випадки.
Інтегрування елементарних дробів
Означення. Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:
I. III.
II. IV.
m, n – натуральні числа (m 2, n 2) і b2 – 4ac <0.
Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.
Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.
Інтеграл дробу виду III може бути зображений у вигляді:
Отримали в загальному вигляді зведення інтегралу дробу виду III до двох табличних інтегралів.
Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладі:
Взагалі, якщо у трьохчлена ax2 + bx + c вираз b2 – 4ac >0, то дріб за означенням не є елементарною, однак, її можна інтегрувати зазначеним вище способом.
Розглянемо тепер методи інтегрування дробів IV типу.
Спочатку розглянемо частинний випадок при М = 0, N = 1.
Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрату зобразити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:
.
Другий інтеграл, що входить в цю рівність, будемо інтегрувати частинами.
Позначимо:
Для початкового інтегралу отримали:
Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n-1 разів, то отримаємо табличний інтеграл .
Повернемося тепер до інтегралу від елементарного дробу виду IV в загальному випадку.
В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t=u2+s зводиться до табличного , а до другого інтегралу застосовується розглянута вище рекурентна формула (див. приклади).
Інтегрування раціональних функцій
Інтегрування раціональних дробів
Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.
Теорема. Якщо - правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якої є добутком лінійних і квадратичних множників (відмітимо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути записано в такому виді: P(x)=(x-a)…(x-b)(x2+px+q)…(x2+rx+s) ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:
де Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.
При інтегруванні раціональних дробів застосовують розклад початкового дробу на елементарні. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожньо рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових степенях х.
Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі:
Обчислити інтеграл:
Так як (, то
Приводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні чисельники, отримаємо:
Отже:
Інтегрування деяких тригонометричних функцій
Інтеграл виду .
Тут R – деяка раціональна функція від змінних і .
Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.
,
Тоді
Таким чином:
Зазначене перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.
Наприклад. Обчислити інтеграл:
За допомогою цієї підстановки завжди можна перевести тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може утворитись достатньо складна раціональна функція.
Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосовувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдено, як відомо, завжди.
Розглянемо деякі підстановки для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.
Інтеграл виду де n- натуральне число.
За допомогою підстановки функція раціоналізується.
Тоді
Наприклад. Обчислити інтеграл:
Якщо до складу ірраціональної функції входять корені різних степенів, то в якості нової змінної доцільно взяти корені степеня, що дорівнює найменшому спільному кратному степенів корнів, що входять у вираз. Проілюструємо це на прикладі.
Наприклад. Обчислити інтеграл:
Інтеграли виду .
Існує декілька способів інтегрування такого роду функцій. В залежності від виду виразу, що стоїть під знаком кореня, обирають той чи інший спосіб.
Як відомо, квадратний трьохчлен шляхом виділення повного квадрату може бути зведений до вигляду:
Таким чином, інтеграл зводиться до одного з трьох видів:
1 спосіб. Тригонометрична підстановка.
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно або (див. приклади)
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно і .
Наприклад.
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно або .
Наприклад.
2 спосіб. Підстановки Ейлера.
.
3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:
де P(x) – многочлен, n – натуральне число.
Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко зведені до виду інтегралу I типу.
Надалі виконується наступне перетворення:
в цьому виразу Q(x) - деякий многочлен, степінь якого нижче степеня многочлена P(x), а - деяка постійна величина.
Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), степінь якого нижче степеня многочлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на і, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, визначають і коефіцієнти многочлена Q(x).
Приклади
Обчислити інтеграли: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9.
10.
11.
12.
13.
Так як дріб неправильний, то попередньо необхідно виділити цілу частину:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3
9x3 + 8x2 – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:
3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3
3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2
5x2 – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
Таким чином 3x3–4x2 –17x+6 =(x–3)(3x2 +5x–2)=(x–3)(x+2)(3x–1). Тоді:
,
,
Для того, щоб обійти при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групування і розв’язку системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитись достатньо великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято в якості довільних значень брати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, -2, 1/3. Отримаємо:
Остаточно отримаємо:
=
14.
Знайдемо невизначені коефіцієнти:
.
Тоді значення заданого інтегралу:
15. .
Тепер продиференцюємо отриманий вираз, помножимо на і зведемо коефіцієнти при однакових степенях х.
=
=
Отже =
=
16. 17.
18.
19.
20.
21.
Завдання
Невизначений інтеграл
1. Знайти інтеграли для заданих функцій:
В. 1 В. 2
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
В. 3 В. 4
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
В. 5 В. 6
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
Методи інтегрування (підведення функції під знак диференціала; зміна змінної; інтегрування частинами)
2. Знайти інтеграли для заданих функцій:
В. 1 В. 2
1. 1.
2. 2.
3. 3.
В. 3 В. 4
1. 1.
2. 2.
3. 3.
В. 5 В. 6
1. 1.
2. 2.
3. 3.
Інтегрування раціональних дробів
3. Знайти інтеграли для даних функцій:
В. 1 В. 2
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
В. 3 В. 4
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
В. 5 В. 6
1. 1.
2. 2.
3. . 3.
Інтегрування ірраціональних виразів
4. Знайти інтеграли для даних функцій:
В. 1 В. 2 В. 3
1. 1. 1.
2. . 2. . 2.
В. 4 В. 5 В. 6
1. 1. 1.
2. . 2. . 2.
Інтегрування тригонометричних функцій
5. Знайти інтеграли для даних функцій:
В. 1 В. 2 В. 3
1. 1. 1.
2. 2. 2.
В. 4 В. 5 В. 6
1. 1. 1.
2. 2. 2.
Визначений інтеграл
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x). Позначимо через і найменше і найбільше значення функції на відрізку . Розіб’ємо відрізок на частини (не обов’язково однакові) точками x0 < x1 < x2 < … < xn.
Тоді x1 x0=x1, x2–x1=x2, … ,xn–xn-1=xn;
y
M
m
0 a xi b x
На кожному із отриманих відрізків знайдемо найменше і найбільше значення функції.
[x0,x1]m1, M1; [x1, x2] m2, M2; … [xn-1, xn] mn, Mn.
Складемо суми:
n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
Сума називається нижньою інтегральною сумою, а сума – верхньою інтегральною сумою.
Так як miMi, то n n, а m(b – a) n n M(b – a).
Всередині кожного відрізку оберемо деяку точку .
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < < xn.
Знайдемо значення функції в цих точках і складемо вираз, який називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a,b].
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
Тоді можна записати: mixi f(i)xi Mixi
Отже,
.
Позначимо maxxi – найбільший відрізок розбиття, а minxi – найменший. Якщо maxxi 0, то число відрізків розбиття відрізка прямує до нескінченності.
Якщо , то
Означення. Якщо при довільних розбиття відрізку таких, що maxxi 0 і довільному виборі точок i інтегральна сума прямує до границі S, яка називається визначеним інтегралом від f(x) на відрізку .
Позначення : , де а – нижня границя, b – верхня границя, х – змінна інтегрування, – відрізок інтегрування.
Означення. Якщо для функції f(x) існує границя то функція називається інтегруємо на відрізку .
Також виконуються твердження:
Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.
Властивості визначеного інтеграла
.
.
Узагальнена теорема про середнє. Якщо функції f(x) і (x) неперервні на відрізку , і функція (х) знакопостійна на ньому, то на цьому відрізку існує точка , така, що
.
Обчислення визначеного інтеграла
Нехай в інтегралі нижня границя а=const, а верхня границя b змінюється. Очевидно, що якщо змінюється верхня границя, то змінюється і значення інтегралу.
Позначимо = Ф(х). Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній границі х:
.
Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої границі.
Теорема. Для всякої функції f(x), неперервної на відрізку , існує на цьому відрізку первісна, а отже, існує невизначений інтеграл.
Теорема (Теорема Ньютона – Лейбниця). Якщо функція F(x) – будь-яка первісна від неперервної функції f(x), то
- формула Ньютона – Лейбниця.
Обчислення визначених інтегралів практично нічим не відрізняється від всіх тих методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.
Так само застосовуються методи підстановки (заміни змінної), метод інтегрування частинами, ті ж самі прийоми знаходження первісних для тригонометричних, ірраціональних і трансцендентних функцій. Особливістю є лише те, що при застосуванні цих прийомів потрібно розповсюджувати перетворення не лише на підінтегральну функцію, але і на границі інтегрування. Замінюючи змінну інтегрування, не забути змінити відповідно границі інтегрування.
Заміна змінних
Нехай задано інтеграл , де f(x) – неперервна функція на відрізку .
Введемо нову у відповідності з формулою x = (t).
Тоді якщо
1) () = а, () = b
2) (t) і (t) неперервні на відрізку
3) f((t)) визначена на відрізку , то
Тоді .
Інтегрування частинами
Якщо функції u = (x) і v = (x) неперервні на відрізку , а також неперервні на цьому відрізку їх похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:
Наближене обчислення визначеного інтегралу
Існує велика кількість функцій, інтеграл від яких не може бути виражено через елементарні функції. Для знаходження інтегралів від таких функцій застосовують різноманітні наближені методи, суть яких полягає в тому, що підінтегральна функція замінюється “близькою” до неї функцією, інтеграл від якої виражається через елементарні функції.
Формула парабол
(формула Сімпсона або квадратурна формула)
(Томас Сімпсон (1710-1761)- англійський математик)
Розділимо відрізок інтегрування на парне число відрізків (2m). Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) замінимо на площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою другого степеня з віссю симетрії, паралельній осі Оу і яка проходить через точки кривої, зі значеннями f(x0), f(x1), f(x2).
Для кожної пари відрізків побудуємо таку параболу. Рівняння цих парабол мають вид Ax2 +Bx + C, де коефіцієнти А, В, С можуть бути легко знайдені за трьома точками перетину параболи з початковою кривою.
у
0 х0 х1 х2 х3 х4 х
Позначимо .
Якщо взяти х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то .
Тоді рівняння значень функції мають вигляд:
З урахуванням цього: .
Звідки маємо:
Тоді
Додаючи ці вирази, отримаємо формулу Сімпсона:
.
Чим більше взяти число m, тем більш точне значення інтегралу буде отримано.
Приклади
1. Обчислити визначений інтеграл
2. Обчислити визначений інтеграл:
Нехай = t, звідки . Отже, якщо х змінюється від 0 до ln5, то нова змінна t змінюється від 0 до 2. Функція , обернена до функції , на відрізку [0; 2] є монотонною і неперервною разом з похідною на цьому відрізку. Маємо:
3. Обчислити наближене значення визначеного інтеграла за формулою Сімпсона, розбивши відрізок інтегрування на 10 частин.
За формулою Сімпсона отримаємо:
|
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
f(x) |
2.828 |
3.873 |
4 |
4.123 |
4.899 |
6.557 |
8.944 |
11.874 |
15.232 |
18.95 |
22.98 |
Точне значення цього інтеграла – 91.173.
Завдання
1. Обчислити інтеграли:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
Невласні інтеграли першого роду
Нехай функція f(x) визначена і неперервна на інтервалі . Тоді вона неперервна на будь-якому відрізку .
Означення. Якщо існує скінчена границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі .
Позначається: .
Якщо ця границя існує і скінчена, то кажуть, що невласний інтеграл є збіжним.
Якщо границя не існує або нескінченна, то невласний інтеграл є розбіжним.
Аналогічно визначають невласні інтеграли на проміжках , . Наведемо формули, які вважатимемо робочими для обчислення:
.
Ознаки порівняння
Теорема. Якщо для всіх х (xa) виконується умова і інтеграл збігається, то також збігається і
.
Теорема. Якщо для всіх х (xa) виконується умова і інтеграл розбіжний, то також розбіжний.
Теорема. Якщо збігається, то збігається і інтеграл
.
В цьому випадку інтеграл називається абсолютно збіжним.
Невласні інтеграли другого роду
Означення. Якщо функція необмежена в будь-якому околі точки відрізка і неперервна при і , то
.
Якщо границі в правій частині рівності існують і скінченні, то невласний інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку – розбіжним. У випадку або означення відповідним чином спрощується.
Подвійні інтеграли
Нехай у замкненій обмеженій області площини визначено неперервну функцію . Розіб’ємо область довільним чином на областей із площами . У кожній -й елементарній області виберемо довільну точку , помножимо значення функції в цій точці на площу відповідної області і утворимо суму цих добутків , яка називається інтегральною сумою функції в області .
Означення. Подвійним інтегралом функції за областю називається границя цієї функції
,
де - найбільший із діаметрів елементарних областей . Функція , для якої ця границя існує і скінчена, називається інтегрованою в цій області.
У прямокутній системі координат диференціал площі , тоді подвійний інтеграл набере вигляду:
.
Якщо область , в якій розглядається подвійний інтеграл, є прямокутником з паралельними координатним осям сторонами, які задано рівняннями , , , (,), то подвійний інтеграл обчислюється за однією із формул:
або
.
Інтеграли у правих частинах цих формул називаються повторними.
Приклади
1. Обчислити визначені інтеграли:
а)
=;
б)
в)
Оскільки ця границя не існує при , то цей інтеграл розбіжний.
2. Обчислити інтеграл або довести його розбіжність.
- інтеграл збіжний.
3. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі
Тут потрібно перейти від повторного інтеграла виду:
до інтеграла виду:
.
Область інтегрування D обмежена лініями:
Якщо внутрішнє інтегрування провести по у, а зовнішнє – по х, то задану область D треба розглядати як правильну в напрямі осі . Оскільки лінія, на якій містяться точки входу в область, задана двома різними рівняннями, то дану область треба розробити на дві частини . Маємо
.
Завдання
а); б) ; в) ; г); д)
2. Змінити порядок інтегрування:
а); б); в)
Питання для самоконтролю
Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]
Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
Мета роботи. Вивчити основи диференціального числення. Вміти визначати тип диференціального рівняння та методи його розв’язання. Знати поняття різницевих рівнянь та їх застосування в економіці.
План вивчення теми
Методичні рекомендації до самостійної роботи
Самостійно рекомендується вивчити та законспектувати такі поняття, як диференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні диференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищих порядків, різницеві рівняння та властивості їх розв’язків. Ознайомитись із застосуванням різницевих рівнянь в економіці.
Звичайні диференціальні рівняння
Розв'язок різноманітних геометричних, фізичних а також економічних задач часто зводяться до рівнянь, які пов’язують незалежні змінні, які характеризують ту чи іншу задачу, з деякою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків.
Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежні змінні, їх функції і похідні (або диференціали) цієї функції.
Означення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням в частинних похідних.
Означення. Найвищій порядок похідних, які входять в рівняння, називається порядком диференціального рівняння.
Наприклад.
- звичайне диференціальне рівняння 1–го порядку. В загальному вигляді записується .
- звичайне диференціальне рівняння 2–го порядку. В загальному вигляді записується
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається така диференційована функція y=(x, C), яка при підстановці в початкове рівняння замість невідомої функції обертає рівняння в тотожність.
Властивості загального розв’язку
1) Так як постійна С – довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має нескінченну множину розв’язків.
2) За деяких початкових умов х=х0, у(х0)=у0 існує таке значення С=С0, при якому розв’язком диференціального рівняння є функція у=(х, С0).
Означення. Розв'язок виду у=(х, С0) називається частинним розв’язком диференціального рівняння.
Означення. Задачею Коші (Огюстен Луі Коші (1789-1857)- французький математик) називається знаходження будь-якого частинного розв’язку диференціального рівняння виду у=(х, С0), що початковим умовам у(х0)=у0.
Теорема Коші (теорема про існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння 1- го порядку). Якщо функція f(x, y) неперервна в деякій області D в площині і має в цій області неперервну частинну похідну , то якою б не була точка (х0,у0) в області D, існує єдиний розв’язок рівняння , який визначений на деякому інтервалі, який містить точку х0, і приймає при х = х0 значення (х0) = у0, тобто існує єдиний розв’язок диференціального рівняння.
Означення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є наслідком.
Означення. Інтегральною кривою називається графік y=(x) розв’язку диференціального рівняння на площині .
Означення. Особовим розв’язком диференціального рівняння називається таке рішення, в усіх точках якого умова єдиності Коші не виконується, тобто в околі деякої точки (х, у) існує не менш двох інтегральних кривих.
Особові розв’язки не залежать від постійної С.
Особові розв’язки не можна отримати із загального розв’язку ні за яких значеннях постійної С. Не кожне диференціальне рівняння має особові розв’язки.
Диференціальні рівняння першого порядку.
Означення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, яке пов’язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду:
Якщо таке співвідношення привести до виду то це диференціальне рівняння першого порядку буде називатись рівнянням, розв’язаним відносно похідної.
Перетворимо такий вираз далі:
Функцію f(x,y) запишемо у вигляді: тоді при підстановці в отримане вище рівняння маємо:
- диференціальна форма рівняння першого порядку.
Розглянемо типи рівнянь першого порядку і методи їх розв’язку.
Рівняння виду y’ = f(x)
Нехай функція f(x) – визначена і неперервна на деякому інтервалі a<x<b. В такому випадку всі розв’язки даного диференціального рівняння знаходяться як . Якщо задані початкові умови х0 і у0, то можна визначити постійну С.
Рівняння з відокремлюваними змінними
Означення. Диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна записати у вигляді
.
Таке рівняння можна зобразити також у вигляді:
Перейдемо до нових позначень
Отримаємо:
.
Після знаходження відповідних інтегралів отримаємо загальний розв’язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.
Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв’язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частинний розв’язок.
Однорідні рівняння
Означення. Функція f(x, y) називається однорідною n–го виміру відносно своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (окрім нуля) виконується тотожність:
Означення. Диференціальне рівняння виду називається однорідним, якщо його права частина f(x,y) є однорідна функція нульового виміру відносно своїх аргументів.
Будь-яке рівняння виду є однорідним, якщо функції P(x, y) і Q(x, y) – однорідні функції однакового виміру.
Розв'язок будь-якого однорідного рівняння оснований на зведенні цього рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними.
Розглянемо однорідне рівняння
Так як функція f(x,y) – однорідна нульового виміру, то можна записати:
Так як параметр t довільний, припустимо, що . Отримаємо:
Права частина отриманої рівності залежить фактично лише від одного аргументу , тобто
Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:
Далі заміняємо y = ux, .
таким чином, отримали рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції :
.
Далі, замінивши допоміжну функцію на її вираз через х і у і обчисливши інтеграли, отримаємо загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння.
Рівняння, які зводяться до однорідних
Розглянемо рівняння виду: .
Якщо визначник то змінні можуть бути відокремлені підстановкою де і - розв’язки системи рівнянь .
Лінійні рівняння
Означення. Диференціальне рівняння називається лінійним відносно невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записано у вигляді:
при цьому, якщо права частина Q(x) дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням. P(x) і Q(x) - функції неперервні на деякому проміжку a<x<b.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння
Розглянемо методи знаходження загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння першого порядку виду
.
Для цього типу диференціальних рівнянь відокремлювання змінних не є складністю:
Загальний розв’язок: .
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)0) застосовують два методи: метод Бернуллі і метод Лагранжа.
Метод Бернуллі
(Якоб Бернуллі (1654-1705) – швейцарський математик.)
Метод полягає в тому, що шукана функція зображується у вигляді добутку двох функцій .
При цьому очевидно, що - диференціювання частинами.
Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:
,
.
Так як функції і довільні, то можна одну із них вибрати так, що вираз .
Таким чином, можливо отримати функцію u, проінтегрувавши, отримане співвідношення як однорідне диференціальне рівняння за описаною вище схемою:
Для знаходження другої невідомої функції v підставимо отриманий вираз для функції u в рівняння з урахуванням того, що вираз у дужках дорівнює нулю:
Інтегруючи, можемо знайти функцію v:
; ;
Тобто отримали другу складову добутку . Підставляючи отриманні значення, отримаємо:
.
Остаточно отримаємо формулу:
, С2 – довільний коефіцієнт.
Це співвідношення може вважатися розв’язком неоднорідного лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді за методом Бернуллі.
Метод варіації довільної сталої
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:
.
Перший крок даного методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем:
Далі знаходиться розв’язок отриманого однорідного диференціального рівняння:
.
Для того, щоб знайти відповідні рішення неоднорідного диференціального рівняння, будемо вважати постійну С1 деякої функцією від х.
Тоді за правилами диференціювання добутку функцій отримаємо:
.
Підставимо отримане співвідношення в шукане рівняння:
,
З цього рівняння визначимо змінну функцію С1(х):
Інтегруючи, отримаємо:
.
Підставляючи це значення в початкове рівняння, отримаємо:
.
Таким чином, ми отримали результат, повністю співпадаючий з результатом розрахунку по методу Бернуллі.
Рівняння Бернуллі
Означення. Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду
де P і Q – функції від х або постійні числа, а n – постійне число, яке не дорівнює 1.
Для розв’язку рівняння Бернуллі застосовують підстановку , за допомогою якої, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного.
Для цього розділимо початкове рівняння на yn.
Примінимо підстановку, враховуючи, що
.
Тобто отримали лінійне рівняння відносно невідомої функції z.
Розв'язок цього рівняння будемо шукати у вигляді:
Рівняння в повних диференціалах
Означення. Диференціальне рівняння першого порядку виду:
називається рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал деякої функції
Інтегрування такого рівняння зводиться до знаходження функції u, після чого розв’язок легко знаходиться у вигляді:
Таким чином, для розв’язку потрібно визначити:
1) в якому випадку ліва частина рівняння являє собою повний диференціал функції u;
2) як знайти цю функцію.
Якщо диференціальна форма є повним диференціалом деякої функції u, то можна записати:
Тобто .
Знайдемо мішані похідні другого порядку, продиференціювавши перше рівняння по у, а друге – по х:
Прирівнюючи ліві частини рівнянь, отримаємо необхідну і достатню умову того, що ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом. Ця умова також називається умовою тотальності:
.
Тепер розглянемо питання про відшукання функції u.
Проінтегрувавши рівність :
Після інтегрування отримаємо не постійну величину С, а деяку функцію С(у), так як при інтегруванні змінна у вважається постійним параметром.
Визначимо функцію С(у).
Продиференцюємо отриману рівність по у.
Звідки отримаємо:
Для знаходження функції С(у) необхідно проінтегрувати наведене вище рівняння.
Визначимо функцію С(у):
Підставляючи цей результат у вираз для функції u, отримаємо:
Тоді загальний інтеграл початкового диференціального рівняння буде мати вигляд:
Приклади
1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .
Розв'язок. Загальний розв’язок диференціального рівняння знаходиться за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, яке попередньо перетворимо наступним чином:
Тепер інтегруємо:
- це загальний розв’язок заданого диференціального рівняння.
2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: Знайти особливий розв’язок, якщо він існує.
Дане диференціальне рівняння має також особливий розв’язок у=0. Цей розв’язок неможливо отримати із загального, однак при підстановці в задане рівняння отримаємо тотожність.
3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
Розв'язок.
Інтеграл, що стоїть в лівій частині, інтегрується частинами:
- це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння, так як шукана функція і не виражена через незалежну змінну. В цьому і полягає відмінність загального (частинного) інтеграла від загального (частинного) розв’язку.
3. Знайти розв’язок диференціального рівняння за умови у(2) = 1.
Розв'язок.
за умови у(2) = 1 отримаємо
Отже: або - частинний розв’язок.
4. Розв’язати рівняння
Розв'язок.
- загальний інтеграл
- загальний розв’язок.
5. Перевірити функцію на однорідність: .
Розв'язок.
Таким чином, функція f(x, y) є однорідною 3- го порядку.
6. Розв’язати рівняння .
Розв'язок. Введемо допоміжну функцію u.
.
Підставляємо в задане рівняння:
Розділимо змінні:
Інтегруючи, отримаємо:
Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримаємо загальний розв’язок:
7. Розв’язати рівняння
Розв'язок. Виконаємо наступні перетворення
Знаходимо значення визначника .
Розв’язуємо систему рівнянь
Застосуємо підстановку підставимо в задане рівняння:
Замінимо змінну при підстановці у вираз, записаний вище, маємо:
Розділимо змінні:
Переходимо тепер до початкової функції у і змінної х.
Отже, вираз є загальним інтегралом заданого диференціального рівняння.
8. Розв’язати рівняння
Розв'язок. Розділимо обидві частини рівняння на
Покладемо
Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Розглянемо відповідне йому лінійне однорідне рівняння:
Вважатимемо, що C=C(x) і підставляємо отриманий результат в лінійне неоднорідне рівняння, з урахуванням того, що
Отримаємо:
Застосовуючи зворотну підстановку, отримаємо кінцеву відповідь:
9. Розв’язати рівняння
Розв'язок. Перевіримо умову тотальності:
Умова тотальності виконується, отже, диференціальне рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
Визначимо функцію u.
;
Отже,
Знаходимо загальний інтеграл заданого диференціального рівняння:
Завдання
1. Розв’язати диференціальне рівняння:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
2.Знайти частинний розв’язок рівняння, , який задовольняє початкову умову:
а) , y(1)=0; б) , , в) , y(0)=1;
г) ; д) , у(2)=8.
Комплексні числа
Означення. Комплексним числом z називається вираз , де a і b – дійсні числа, i – уявна одиниця, яка визначається співвідношенням:
При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a=Rez), а b- уявною частиною (b = Im z).
Означення. Числа і називаються комплексно – спряженими.
Означення. Два комплексних числа і називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні і уявні частини:
Означення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна і уявна частини.
Диференціальні рівняння вищих порядків
Означення. Диференціальним рівнянням порядку n називається рівняння виду:
В деяких випадках це рівняння можна розв’язати відносно y(n):
Так само як і рівняння першого порядку, рівняння вищих порядків мають нескінченну кількість розв’язків.
Означення. Розв’язок задовольняє початковим умовам , якщо
Означення. Знаходження розв’язку рівняння , що задовольняє початковим умовам , називається розв’язком задачі Коші.
Теорема Коші. (Теорема про необхідні і достатні умови існування розв’язку задачі Коші). Якщо функція (n-1)–й змінних виду в деякій області D (n-1)- вимірного простору неперервна і має неперервні частинні похідні по , то якою б не була точка () в цій області, існує єдиний розв’язок рівняння , визначеного в деякому інтервалі, який містить точку х0, який задовольняє початковим умовам .
Диференціальні рівняння вищих порядків, розв’язок яких може бути знайдено аналітично, можна розділити на декілька основних типів.
Рівняння, що допускають пониження порядку
Пониження порядку диференціального рівняння – основний метод розв’язку рівнянь вищих порядків. Цей метод дає можливість порівняно легко знаходити розв’язок, однак, він застосовується далеко не до всіх рівнянь. Розглянемо випадки, коли можливе зниження порядку.
Рівняння виду y(n) = f(x)
Якщо f(x) – функція неперервна на деякому проміжку a<x<b, то розв’язок може бути знайдено послідовним інтегруванням:
…………………………………………………………….
.
Рівняння, які не містять явно шуканої функції і їх похідних до порядку k – 1 включно
Це рівняння виду:
В рівняннях такого типу можливе зниження порядку на k одиниць. Для цього роблять заміну змінної:
Тоді отримаємо:
Тепер припустимо, що отримане диференціальне рівняння проінтегровано і сукупність його рішень виражається співвідношенням:
Роблячи зворотну підстановку, маємо:
Інтегруючи отримане співвідношення послідовно k раз, отримаємо кінцеву відповідь:
Рівняння, яке не містить явно незалежної змінної
Це рівняння виду
Порядок таких рівнянь може бути понижено на одиницю за допомогою заміни змінних
і т.д.
Підставляючи ці значення в початкове диференціальне рівняння, отримаємо:
Якщо це рівняння проінтегрувати, і - сукупність його рішень, то для розв’язку даного диференціального рівняння лишається розв’язати рівняння першого порядку:
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Означення. Лінійним диференціальним рівнянням n – го порядку називається будь-яке рівняння першого степеня відносно функції у і її похідних виду:
де p0, p1, …,pn – функції від х або постійні величини, причому p0 0.
Ліву частину цього рівняння позначимо L(y).
Означення. Якщо f(x) = 0, то рівняння L(y) = 0 називається лінійним однорідним рівнянням, якщо f(x) 0, то рівняння L(y) = f(x) називається лінійним неоднорідним рівнянням, якщо всі коефіцієнти p0, p1, p2, … pn – постійні числа, то рівняння L(y) = f(x) називається лінійним диференціальним рівнянням вищого порядку з постійними коефіцієнтами.
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку
Теорема. Якщо задано рівняння виду і відомий один ненульовий розв’язок у = у1, то загальний розв’язок може бути знайдено за формулою:
Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами
Розв’язок диференціального рівняння виду або, скорочено, будемо шукати у вигляді , де k = const.
Так як то
При цьому многочлен називається характеристичним многочленом диференціального рівняння.
Для того, щоб функція була розв’язком початкового диференціального рівняння, необхідно і достатньо, щоб
тобто
Так як ekx 0, то - це рівняння називається характеристичним рівнянням.
Алгебраїчне рівняння степеня n, характеристичне рівняння має n коренів. Кожному кореню характеристичного рівняння ki відповідає розв’язок диференціального рівняння.
В залежності від коефіцієнтів k характеристичне рівняння може мати або n різних дійсних коренів, або серед дійсних коренів можуть бути кратні корені, можуть бути комплексно – спряжені корени, як різні, так і кратні.
Сформулюємо загальне правило знаходження розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
1) записуємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені.
2) знаходимо частинні розв’язки диференціального рівняння, причому:
a) кожному дійсному кореню відповідає розв’язок ekx;
б) кожному дійсному кореню кратності m ставиться у відповідність m розв’язків:
в) кожній парі комплексно – спряжених коренів характеристичного рівняння ставиться у відповідність два розв’язки:
і .
г) кожній парі m – кратних комплексно – спряжених коренів характеристичного рівняння ставиться у відповідність 2m розв’язків:
3) записуємо лінійну комбінацію знайдених розв’язків.
Ця лінійна комбінація і буде загальним розв’язком початкового лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами
Рівняння з правою частиною спеціального виду
Розрізняють наступні випадки:
I. Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:
де - многочлен степеня m.
Тоді частинний розв’язок шукається у вигляді:
,
де Q(x)- многочлен того ж степеня, що і P(x), але з невизначеними коефіцієнтами, а r – число, яке показує скільки раз число є коренем характеристичного рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (див. приклади).
II. Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:
,
де Р1(х) і Р2(х) – многочлени степеня m1 і m2 відповідно.
Тоді частинний розв’язок неоднорідного рівняння буде має вигляд:
де число r показує скільки раз число є коренем характеристичного рівняння для відповідного однорідного рівняння, а Q1(x) і Q2(x) – многочлени степеня не вище m, де m- більша із степенів m1 і m2.
Відмітимо, що якщо права частина рівняння є комбінацією виразів розглянутих вище видів, то розв’язок знаходиться як комбінація розв’язків допоміжних рівнянь, кожне з яких має праву частину, яка відповідає виразу, що входить в комбінацію.
Тобто, якщо рівняння має вигляд: , то частинний розв’язок цього рівняння буде де у1 і у2 – частинні розв’язки допоміжних рівнянь (див. приклади)
и .
Приклади
1. Розв’язати рівняння з початковими умовами x0=0; y0=1;
Підставимо початкові умови:
Отримаємо частинний розв’язок (розв’язок задачі Коші):
.
2. Розв’язати рівняння .
Запишемо характеристичне рівняння:
Загальний розв’язок має вигляд:
3. Розв’язати рівняння
Запишемо характеристичне рівняння:
Загальний розв’язок:
4. Розв’язати рівняння
Характеристичне рівняння:
Загальний розв’язок:
5. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Застосуємо підстановку
Виконуючи зворотну заміну, отримаємо:
Загальний розв’язок диференціального рівняння:
Відмітимо, що це співвідношення є розв’язком для всіх значень змінної х окрім значення х=0.
6. Розв’язати рівняння .
Розв’яжемо відповідне однорідне рівняння:
Тепер знайдемо частинний розв’язок початкового неоднорідного рівняння.
Сопоставимо праву частину рівняння з виглядом правої частини, розглянутим вище.
Частинний розв’язок будемо шукати у вигляді: , де
Тобто,
Тепер визначимо невизначені коефіцієнти А і В.
Підставимо частинний розв’язок в загальному вигляді в початкове неоднорідне диференціальне рівняння.
Отже, частинний розв’язок:
Тоді загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння:
7. Розв’язати рівняння
Запишемо характеристичне рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння:
Загальний розв’язок однорідного рівняння:
Тепер знайдемо частинний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді:
Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.
Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:
Частинний розв’язок має вигляд:
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння:
Завдання
В1. Розв’язати рівняння .
Доведіть, що функція y=x+sinx задовольняє рівнянню .
В2. Розв’язати диференціальне рівняння .
Розв’язати диференціальне рівняння. , , .
В3. Розв’язати диференціальне рівняння
.
Розв’язати диференціальне рівняння .
В4. Розв’язати рівняння .
Розв’язати диференціальне рівняння .
В5. Розв’язати рівняння .
Знайти розв’язок рівняння , .
В6. Розв’язати диференціальне рівняння при заданих умовах
, , .
Розв’язати рівняння .
Однорідні різницеві рівняння
Означення. Лінійним різницевим рівнянням -го порядку називається рівняння виду
, ,
де - сталі коефіцієнти.
Запишемо це різницеве рівняння в рівносильній формі:
, .
Число називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна подати в операторній формі:
,
, .
Якщо , різницеве рівняння називається однорідним, а якщо , різницеве рівняння називається неоднорідним. Для однозначного визначення розв’язку зазвичай задаються початкові умови
.
Означення. Розв’язком різницевого рівняння називається послідовність , підставлення якої в це рівняння перетворює його на тотожність.
Властивості однорідного різницевого рівняння :
Звідси випливає, що це різницеве рівняння має також розв’язок
, , , .
Означення. Розв'язок різницевого рівняння -го порядку
називається загальним, якщо завдяки вибору довільних сталих можна задовольнити початкові умови
, .
При цьому дана система рівнянь завжди має розв’язок відносно сталих .
Загальний метод розв’язування лінійних різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами (метод Ейлера). Частинні розв’язки однорідного рівняння відшукуємо у вигляді
, , .
Число називається мультиплікатором розв’язку різницевого рівняння. Мультиплікатори визначаються із алгебраїчного рівняння
.
Це рівняння називається мультиплікаторним рівнянням.
Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має різних коренів , то загальний розв’язок різницевого рівняння має вигляд:
, .
Розглянемо випадок кратних коренів мультиплікаторного рівняння.
Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має кратні корені кратності відповідно (), то загальний розв’язок різницевого рівняння запишеться так:
, .
Неоднорідні різницеві рівняння зі спеціальною правою частиною
Розв’язування неоднорідного різницевого рівняння
,
завжди можна звести до підсумування відомих функцій, застосувавши метод варіації довільних сталих. Загальний розв’язок різницевого рівняння є сумою частинного розв’язку неоднорідного різницевого рівняння і загального розв’язку однорідного різницевого рівняння.
Найчастіше неоднорідне різницеве рівняння має спеціальну праву частину
, , ,
де - многочлен від степеня . Тоді має місце наступні теореми.
Теорема. Якщо , то неоднорідне різницеве рівняння має частинний розв’язок вигляду
, ,
де - деякий многочлен від степеня .
Теорема. Якщо і є коренем рівняння кратності , то різницеве рівняння має частинний розв’язок вигляду
, .
Многочлен від степеня можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.
Система лінійних різницевих рівнянь
Лінійне різницеве рівняння - го порядку завжди можна звести до системи лінійних різницевих рівнянь вигляду
Позначивши
, , ,
дістанемо систему різницевих рівнянь у векторній формі:
, .
Розв'язок однорідної системи різницевих рівнянь , можна дістати у вигляді
, , , ..., .
Частинні розв’язки однорідної системи різницевих рівнянь відшукаємо у вигляді
, .
Підставляючи у систему різницевих однорідних рівнянь, дістаємо рівняння
, .
Звідси випливає, що - власне число, - власний вектор матриці . Отже, має місце наступна теорема.
Теорема. Якщо матриця порядку має різних власних чисел , то загальний розв’язок системи різницевих рівнянь набирає вигляду
, де - довільні сталі.
Приклади
1. Знайдемо загальний розв’язок різницевого рівняння
.
Розв'язок. Мультиплікаторне рівняння має корінь =2 третьої кратності. Тому загальний розв’язок рівняння набирає вигляду
.
2. Знайдемо частинний розв’язок різницевого рівняння
.
Оскільки число =3 не є коренем мультиплікаторного рівняння , то частинний розв’язок має вигляд . Підставляючи в різницеве рівняння, дістаємо:
, , .
Частинний розв’язок має вигляд .
3. Знайдемо загальний розв’язок системи рівнянь
.
Розв'язок. Матриця має власні числа , і відповідні власні вектори , .
Загальний розв’язок системи різницевих рівнянь подається так:
, .
Завдання
1. Скласти рівномірну сітку і визначену на ній сіткову функцію при N=4, якщо функція визначена на відрізку [0;1].
2. Знайти загальний розв'язок рівняння: .
3. Знайти розв'язок задачі Коші для рівняння четвертого порядку: із заданими початковими умовами: .
Питання для самоконтролю
11. Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами?
12. Яке рівняння називається характеристичним?
13. Як знаходять характеристичне рівняння?
14. Який вигляд має загальний розв’язок рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, якщо:
15. Дайте визначення сітки, сіточної функції
16. Яку форму має лінійне різницеве неоднорідне рівняння n-го порядку з змінними коефіцієнтами?
17. Властивості розв’язків лінійних різницевих рівнянь.
18. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь.
19. Можливі випадки типів коренів характеристичних рівнянь однорідних різницевих рівнянь.
Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]
Модуль І.
Змістовний модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
Тема 14. Ряди та їх застосування
Мета роботи. Знати поняття числових та функціональних рядів. Набути навички розкладання функції в степеневий ряд. Вміти досліджувати ряд на збіжність та застосовувати степеневі ряди для наближених обчислень.
План вивчення теми
Методичні рекомендації до самостійної роботи
Вивчити теоретичні відомості, ознайомитись з поняттями числового та функціонального рядів, необхідними та достатніми ознаками збіжності знакододатних та знакозмінних рядів. Опанувати застосування степеневих рядів для наближених обчислень.
Основні означення
Означення. Сума членів нескінченої числової послідовності називається числовим рядом
.
При цьому числа будемо називати членами ряду, а un – загальним членом ряду.
Означення. Суми , n = 1, 2, … називаються частинними сумами ряду.
Означення. Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його частинних сум. Сума збіжного ряду – границя послідовності його частинних сум.
Означення. Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, тобто не має границі, або має нескінченну границю, то ряд називається розбіжним і йому не ставлять у відповідність ніякої суми.
Властивості рядів
1) Збіжність або розбіжність ряду залишиться незмінною якщо змінити, відкинути або додати скінчену кількість членів ряду.
2) Розглянемо два ряди і , де С – постійне число.
Теорема. Якщо ряд збігається і його сума дорівнює S, то ряд також збігається, і його сума дорівнює СS. (C 0)
3) Розглянемо два ряди і . Сумою або різністю цих рядів буде називатись ряд , де елементи отримані в результаті додавання (віднімання) початкових елементів з однаковими номерами.
Теорема. Якщо ряди і збігаються і їх суми дорівнюють відповідно S і , то ряд також збігається і його сума дорівнює S + .
Різниця двох збіжних рядів також буде збіжним рядом.
Сума збіжного і розбіжного рядів буде розбіжним рядом.
Необхідна умова збіжності ряду
Якщо ряд збігається, то загальний член ряду un прямує до нуля
.
Однак, ця умова не є достатньою. Можна лише стверджувати, що якщо загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд точно є розбіжним. Наприклад, гармонічний ряд є розбіжним, хоча його загальний член і прямує до нуля.
Ряди з невід’ємними членами
Теорема. Для збіжності ряду з невід’ємними членами необхідно і достатньо, щоб частинні суми ряду були обмежені.
Ознака порівняння рядів з невід’ємними членами
Нехай задані два ряди і при un, vn 0.
Теорема. Якщо un vn при будь-якому n, то із збіжності ряду випливає збіжність ряду , а із розбіжності ряду випливає розбіжність ряду .
Також використовується наступна ознака збіжності:
Теорема. Якщо і існує границя , де h – число, відмінне від нуля, то ряди і є або одночасно збіжними або одночасно розбіжними.
Ознака Даламбера
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)
Якщо існує границя , то при < 1 ряд збігається, а при > 1 – розбігається. Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним так і розбіжним.
Ознака Коші
Якщо існує границя , то при <1 ряд збігається, а при >1 ряд розбігається.
Інтегральна ознака Коші
Якщо (х) – неперервна знакододатня функція, яка спадає на проміжку [1;), то ряд (1)+(2)+ …+(n)+ …= і невласний інтеграл одинакові в характері збіжності.
Приклади
1. Дослідити ряд на збіжність:
Розв'язок. Знайдемо - необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд є розбіжним.
2. Дослідити ряд на збіжність:
Розв'язок. Так як , а гармонічний ряд розбіжний, то розбіжним є і ряд .
3. Дослідити ряд на збіжність:
Розв'язок. Так як , а ряд є збіжним, то ряд також збігається.
4. Дослідити ряд на збіжність: .
Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:
Отже, ряд є збіжним.
5. Дослідити ряд на збіжність:
Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:
Отже, ряд є збіжним.
6. Дослідити ряд на збіжність: .
Розв'язок. Застосуємо ознаку Коші:
Висновок: ряд є збіжним.
7. Дослідити на збіжність ряд
І спосіб
Для розв’язання даного прикладу використовуємо ознаку Даламбера:
, при k > 1 ряд розбіжний, при k < 1 ряд збіжний
, ряд збіжний.
ІІ спосіб
Для розв’язування даного прикладу використовуємо радикальну ознаку Коші:
при k > 1 ряд розбіжний , при k < 1 ряд збіжний.
- ряд збіжний.
Завдання
1. Дослідити на збіжність ряди:
В. 1
1. 2. 3. 4. .
B. 2
1. 2. 3. 4. .
B. 3
1. 2. 3. 4. .
B. 4
1. 2. 3. 4. .
B. 5
1. 2. 3. 4. .
Знакозмінні ряди
Нехай маємо ряд , в якого є як додатні, так і від’ємні члени. Такі ряди називаються знакозмінними.
Серед знакозмінних рядів відокремлюють знакопочережні ряди, тобто ряди, в яких додатні та від’ємні члени чергуються.
Знакопочережний ряд можна записати у вигляді:
, де .
Ознака Лейбниця
Якщо у знакопочережного ряду абсолютні величини ui спадають і загальний член прямує до нуля , то ряд є збіжним.
Абсолютна і умовна збіжність рядів
Розглянемо деякий знакозмінний ряд (1) і ряд, складений із абсолютних величин членів цього ряду (2).
Теорема. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).
Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .
Означення. Ряд називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд розбігається.
Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів
Ознака Даламбера. Нехай - знакозмінний ряд. Якщо існує границя , то при <1 ряд буде абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді щодо збіжності ряду.
Ознака Коші. Якщо існує границя , то при <1 ряд буде абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді щодо збіжності ряду.
Функціональні ряди
Означення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.
Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше ніж дослідження числових рядів. Один і той самий функціональний ряд може при однакових значеннях змінної збігається, а при інших – розбігається. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної , за яких ряд збігається.
Сукупність таких значень називається областю збіжності.
Степеневі ряди
Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду
.
Теорема Абеля
(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)
Теорема. Якщо степеневий ряд
збігається при x = x1 , то він збігається і д отого абсолютно для всіх .
Наслідок. Якщо при х = х1 ряд розбігається, то він розбігається для всіх .
Таким чином, для кожного степеневого ряду існує таке додатне число R, що при всіх х таких, що ряд абсолютно збігається, а при всіх ряд розбігається. При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R) називається інтервалом збіжності.
Радіус збіжності може бути знайдено за формулами:
або .
Розвинення функцій в степеневі ряди
Розвинення функцій в степеневий ряд має велике значення для розв’язку різних задач дослідження функцій, диференціювання, інтегрування і т.д. Задача відшукання за заданою функцією степеневого ряду, для якого є його сумою, називається задачею розвинення функції в степеневий ряд.
Припустимо, що функція у точці має похідні всіх порядків. Тоді можна побудувати степеневий ряд
,
де .
Такий ряд називається рядом Тейлора функції . Уразі, коли , ряд
,
де називають рядом Маклорена.
У разі розвинення функції в степеневий ряд коефіцієнти ряду Тейлора відшукують, використовуючи п’ять основних розвинень:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , .
Приклади
1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку на границі інтервалу збіжності:
Розв’язок.
Ряд збіжний абсолютно для усіх значень
Дослідити поведінку ряду на границі інтервалу збіжності .
Підставимо в поданий ряд , маємо: 1-1+1-1+… цей ряд розбіжний, тому що не виконується необхідна умова збіжності ряду
Тепер підставимо в поданий ряд маємо: 1+1+1+1+… оскільки не виконується необхідна умова збіжності, цей ряд також розбіжний.
Завдання
Визначити, які знакозмінні ряди збігаються абсолютно, умовно або розбігаються:
В. 1 2. .
В. 2 2. .
B. 3 2. .
B. 4 2. .
B. 5 2. .
Степеневі ряди
1. Знайти область збіжності степеневих рядів
В 1. . В 2. .
В 3. . В 4. .
В 5. .
2. Розкласти задані функції по степенях х за допомогою формули Маклорена:
В 1. , В 2. , В 3.
В 4. , В 5. .
Питання для самоконтролю
Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]
Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість знати нарахування простих та складних відсотків, зрозуміти встановлення необхідної відсоткової ставки, вміти розраховувати номінальну ставку та ефективну ставку.
План вивчення теми
Методичні рекомендації до самостійної роботи
Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, ознайомитись з основами фінансової математики. Письмово надати відповіді на запитання для самостійної роботи.
Формула нарощування за простими процентами
Під нарощеною сумою суди 9боргу, депозиту) розуміють її початкову суму разом із нарахованими на неї відсотками к кінцю строку. Нехай - початкова сума грошей, - ставка простих процентів, тоді формула нарощування за простими процентами за періодів запишеться у вигляді:
.
Процентні ставки не залишаються незмінними в часі, тому в кредитних угодах іноді передбачають дискретно змінні в часі процентні ставки. В цьому випадку формула розрахунку нарощеної суми має вигляд:
,
де - початкова сума грошей, - ставка простих процентів в періоді з номером , - тривалість періоду нарахування за ставкою .
Дисконтування та облік
На практиці часто доводиться розв’язувати задачу, обернену нарощуванню відсотків, коли по заданій сумі , що відповідає кінцю фінансової операції, потрібно знайти початкову суму , цей розрахунок називають дисконтуванням суми . Проценти у вигляді різниці називаються дисконтом, або знижкою. Процес нарахування або утримання процентів наперед називають обліком.
Формула дисконтування:
,
де вираз називається дисконтним множником.
При розрахунку процентів при обліку векселів застосовується облікова ставка, яку позначають .
Проста річна облікова ставка знаходиться за формулою
.
Розмір дисконту, або облік, що утримується банком,
.
Складні проценти
Формула нарощування за складними процентами
Складні проценти застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо проценти на сплачуються періодично відразу після їх нарахування за минувший період часу, а додаються до суми боргу. Приєднання нарахованих процентів до суми, яка була базовою для їх нарахування, називають капіталізацією процентів. Нехай початкова сума боргу дорівнює , - нарощена сума, - річна ставка складних процентів; - термін суди, тоді
.
Втому випадку, коли ставка складних процентів змінюється в часі, формула нарощування набуває вигляду:
,
де - послідовність значень ставок процентів, що діють в періоди відповідно.
Номінальна та ефективна ставки процентів та їх облік
Означення. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює , а число періодів нарахування протягом ріку . Тоді щоразу проценти нараховуються за ставкою . Ставка називається номінальною. Нарахування процентів за номінальною ставкою відбувається за формулою
,
де - кількість періодів нарахування, .
Означення. Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних процентів дає той самий фінансовий результат, що і - разове нарощування в рік за ставкою .
Якщо проценти капіталізуються раз на рік, кожного разу за ставкою , то можна записати рівність для відповідних множників нарощування:
,
де - ефективна ставка, а - номінальна ставка. Звідси отримаємо, що зв’язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням
.
Нарахування процентів в умовах інфляції
Нарахування за простими процентами
Якщо нарощення за років сума грошей складає , а індекс цін дорівнює , то реально нарощена сума грошей з урахуванням їх покупної спроможності складає
.
Нехай очікуваний середній річний темп інфляції дорівнює . Тоді річний індекс цін складає .
Якщо нарощування відбувається за простою ставкою протягом років, то реальне нарощування при темпі інфляції складає
,
де в загальному випадку .
Нарахування за складними процентами
Нарощення за складними процентами сума до кінця строку суди з урахуванням падіння покупної спроможності грошей складає
,
де індекс цін визначається виразом . В цьому випадку падіння покупної спроможності грошей компенсується при ставці , яка забезпечує рівність .
Фінансові ренти
Означення. Потік платежів, всі члени якого додатні величини, а часові інтервали постійні, називають фінансовою рентою.
Нехай наприкінці кожного року протягом років на розрахунковий рахунок вноситься по грошових одиниць, проценти нараховуються один раз на рік за ставкою . Наприкінці строку ренти її нарощена сума буде дорівнювати:
.
Знайдемо нарощену суму за умови, що рента сплачується раз на рік рівними платежами, а проценти нараховуються один раз наприкінці року.
Якщо - річна сума платежів, то розмір окремого платежу дорівнює . Тоді нарощена сума обчислюється за формулою:
.
Приклади
1. Нехай фірмою взято в банку кредит у розмірі 100 тис. грн. на строк 3 роки. Річна декурсивна ставка відсотків – 14%. Обчислити за формулою розрахунку простих відсотків суму відсоткових грошей та кінцеву суму боргу.
Розв'язок. Річна плата за кредит складає 14% від суми кредиту, тобто 14 тис. грн. Оскільки розраховуються прості відсотки при сталій базі нарахування (100 тис. грн.), щороку нараховується однакова сума (14 тис. грн.). За три роки плата за кредит складе 14*3=42 (тис. грн.). Кінцева сума боргу включає початкову суму боргу та плату за користування грошима: 100+ 42=142 (тис. грн.).
2. Нарощена сума грошей склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.
Розв'язок. Початкова сума грошей за простими відсотками дорівнює:
тис. грн.
Початкова сума грошей за складними відсотками дорівнює:
тис. грн.
Завдання
1. Фірмою взято кредит розміром 100 тис. грн. на рік. За умовою контракту відсотки нараховують щокварталу. Щоквартальна декурсивна відсоткова ставка півроку становить 3%, а кожного наступного кварталу збільшується на 1 пункт. Яку величину відсоткових грошей та кінцеву суму боргу повинна повернути фірма після завершення строку позики?
2. Нарощена сума склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.
3. Якою буде реальна купівельна спроможність суми 100 тис. грн. через три роки, якщо нараховується 16% в рік за ставкою складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції 15% щороку.
4. Кредит надано під 24% складних річних. Якою повинна бути еквівалентна ставка простих відсотків, якщо термін кредиту: а) 2 роки; б) півроку?
5. Банк нараховує за позику відсотки за номінальною ставкою 24%. Яка реальна дохідність фінансового зобов'язання, якщо відсотки нараховуються :
а) щомісяця, б) щокварталу, в) півроку?
Питання для самоконтролю
1. Сформулюйте суть відсотків, відсоткових ставок та назвіть їх види.
2. Розрахунки за простими відсотками . Врахування інфляції.
3. Обчислення складних відсотків та урахування інфляції.
4. Що називається дисконтуванням?
5. Сформулюйте принцип еквівалентності у фінансових обчисленнях.
6. Як розраховується номінальна ставка і ставка ефективності?
Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]
PAGE 241