Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Негладкие преобразования.
Данное преобразование служит для того, чтобы не прерывать процесс интегрирования в особых точках, где мгновенно меняется вектор состояния. Преобразование Журавлева работает в случае, когда коэффициент восстановления скорости равен .
Рассмотрим следующую схему, рис. 1 для применения преобразования.
Рис. 1. Схема исследования
Заменим координату следующим образом.
.
Тогда производные координаты по времени
На рис. 2 изобразим графики функций и .
Рис. 2. Графики функций и
Для решения воспользуемся некоторыми свойствами функции
.
Запишем систему уравнений для системы на рис. 1.
Покажем, что при преобразовании не будет разрыва переменной .
Таким образом, мы показали, что при работе с переменной нет разрыва скорости, . То есть интегрирование происходит без обработки разрыва.
Далее перепишем систему с учетом , .
.
Таким образом, получили обычный затухающий осциллограф.
Приведем уравнение к нормированному виду посредством следующей подстановки.
Решение уравнения
На рис. 3 представим решение уравнения и .
Рис. 3. Решение уравнения
На рис. 4 представим фазовые портреты решений и .
Рис. 4. Отображение на фазовой плоскости решений и
В общем виде для любой системы преобразование Журавлева можно записать так
В программе функция заменяется гиперболическим тангенсом , где параметр управляет наклоном кривой в точке , рис. 5.
Рис. 5. Аппроксимация функции
Преобразование Иванова А.П. применяется для любого коэффициента восстановления скорости .
Пусть координата и скорость движения массы соответственно будут . Тогда выполним преобразование
Выполняя подстановку в , имеем
Далее необходимо подобрать функцию , такую что . Тогда из выражения следует, что
Иванов предложил следующий вариант для функции
.
Причем знак произведения иллюстрирует рис. 6.
Рис. 6. Знак произведения
Подставив в , получим
Тогда в общем виде, для произвольной системы
и .
На фазовой плоскости будем иметь, рис. 7.
Рис. 7. Фазовые портреты в преобразовании Иванова
На рисунках ниже изобразим графики исследования задачи на рис. 1 при следующих параметрах
Рис. 8. Траектория движения и скорость тела в случае без вложенных точек и с вложенными точками
Увеличим графики на рис. 8 и изобразим их на рис. 9.
Рис. 9. Увеличенные траектории движения и скорости тела в случае без вложенных точек и с вложенными точками
Из рис. 9 видно, что в случае с вложенными точками нет излома графика как в случае без вложенных точек.
На рис. 10 изобразим фазовые траектории движения в случае с вложенными точками и без них.
Рис. 10. Фазовые траектории движения с вложенными точками и без них
Далее на рисунках ниже изобразим траектории движения, фазовые траектории для задачи Харкевича. Причем задачу будем решать при одних и тех же параметрах с помощью преобразования Журавлева и посредством прерывания интегрирования.
Исходные данные для решения задачи следующие
На рис. 11 представим траектории движения и скорости тела для задачи, решенной методом Журавлева и методом с прерыванием интегрирования.
Рис. 11. Траектория движения и скорость тела для задачи решенной методом Журавлева и методом с прерыванием интегрирования
Из рис. 11 видно, что графики имеют большое сходство.
На рис. 12 представим сравнение фазовых траекторий.
Рис. 12. Сравнение фазовых траекторий
Из рис. 12 видно, что фазовые траектории схожи.
Таким образом, метод Журавлева позволяет существенно снизить время интегрирования системы уравнений, но недостатком метода преобразования Журавлева является невозможность его использования при коэффициенте отражения скорости отличным от .
Изобразим решение задачи, предложенной на рис. 1.
Исследуем задачу при следующих параметрах.
На рисунках ниже изобразим траектории движения, скорости движения, фазовые траектории движения. Будем сравнивать решение, без вложенных точек и с ними.
Рис. 13. Траектория движения и скорость тела в случае без вложенных точек и с вложенными точками
Из рис. 13 видно, что решением задачи методом Иванова хорошо описывается точка контакта тела с преградой. Это хорошо видно из сравнения фазовых траекторий, рис. 14.
Рис. 14. Увеличенный вид фазовых траекторий
Рис. 15. Сравнение фазовых траекторий
Если не делать увеличенный вид фазовых траекторий, то отличий между траекториями в случае без вложенных точек и с ними нет. Это хорошо иллюстрируют рис. 15 и 14.
Далее сравним решение задачи Харкевича для случаев решения ее методом Журавлева и с прерыванием интегрирования при следующих параметрах
Рис. 16. Сравнение траеторий движения
Следует отметить, что при решении задачи Харкевича не учитывался демпфер, следовательно картины траекторий движения и фазовых траекторий - различны.
Рис. 17. Сравнение фазовых траекторий
Таким образом, сравнивая два метода решения, метод Журавлева В.Ф. и метод Иванова А.П., можно сделать вывод, что метод Иванова точнее решает задачу. Так же метод преобразования Иванова позволяет решать с задачи с любым коэффициентом восстановления скорости в пределах .