Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. Математические методы исследования динамических систем.
Линейный динамический элемент
Поскольку динамическая система имеет в своем составе хотя бы один динамический элемент, то вначале изучим поведение динамического элемента.
Нелинейный динамический элемент n-го порядка задается следующим уравнением:
где х(t) — входное воздействие на элемент (вход);
у(t) — реакция элемента на входное воздействие (выход);
В частности, линейный динамический элемент n-го порядка задается следующим линейным дифференциальным уравнением:
Наиболее часто в практических приложениях встречаются элементы нулевого порядка (мультипликатор, акселератор), первого порядка (инерционное звено) и второго порядка. Звено второго порядка может быть колебательным звеном либо двумя последовательно соединенными инерционными звеньями.
Мультипликатор — линейноe статическое звено, задаваемое уравнением:
a — коэффициент усиления.
Например, валовые инвестиции I (вход) следующим образом связаны с валовым внутренним продуктом Y (выход)
где р — доля валовых инвестиций в ВВП,
— коэффициент усилении (мультипликатор), который
показывает насколько должен быть увеличен ВВП для увеличения валовых инвестиций на единицу. Таким образом, в широком смысле, мультипликатор — усилительное линейное статическое звено, в узком смысле — сам коэффициент усиления.
Акселератор — дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален скорости входа,
Например, инвестиции могут быть выражены через скорость изменения ВВП следующим образом:
где r — коэффициент акселерации, т. е. прирост потребности в инвестициях при увеличении ВВП на единицу.
При дискретности времени Δt или Δt = 1 (один год) то же уравнение выглядит следующим образом:
Инерционное звено задается дифференциальным уравнением первого порядка:
Путем деления уравнения на а0 его можно привести к стандартному виду:
Где (смысл постоянной времени Т будет выяснен ниже).
Инерционное звено описывает процесс отработки заданного модного воздействия x(i) (значок «тильда» опустим), при этом скорость отработки пропорциональна разности между входом b выходом:
Понятие передаточной функции
Понятие передаточной функции динамического элемента и линейной динамической системы связано с операторным методом решения дифференциального уравнения. Суть метода состоит в сведении решения дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения. В основе метода — переход от первоначальных функций времени x(t), y(t) к их образам X{s), Y[s) — преобразованиям Лапласа этих функций. Необходимые сведения о преобразованиях Лапласа даны в Приложении 2, здесь напомним только определение преобразования Лапласа для некоторой функции f(t):
и формулу обратного перехода от образа к оригиналу (прообразу)
Образ производной можно найти по образу функции
поэтому
В частности, при f(0) = 0 Lf. =sF(s), при
В табл. 1.1 приведены преобразования Лапласа некоторые функций.
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнен и* динамического элемента (3.1.1) (пользуясь формулой (3.1.9) для образа производных):
где
откуда
где
Передаточной функцией G(s) динамической системы (или подсистемы, или элемента) называется отношение образа выхода к образу входа при нулевых начальных условиях. Из (3.1.10) видно, что передаточная функция линейного динамического элемента является дробно-раиионадьной функцией параметра s. Например, переда-точная функция инерционного звена равна (см. 3.1.3)
В передаточной функции динамической системы (подсистемы, звена) содержатся все сведения о ее поведении при нулевых начальных условиях- В самом деле, по входу х(г) находим его образ X(s), затем умножаем этот образ на передаточную функцию, тем самым получаем образ выхода Y(s) = G(s) X(s) Ит наконец, пользуясь либо табл. 3.1, либо непосредственно формулой (3.1.8), определяем выход у(t). Если начальные условия ненулевые, то к этому решению еше добавится «шлейф», образ которого — R(s).
Таблица 3.1
Преобразования Лапласа типовых функций
Колебательное звено
Колебательное звено задается дифференциальным уравнением второго порядка:
с отрицательным дискриминантом, составленным из коэффициентов в левой части уравнения (3.1.11),
Колебательное звено описывает циклические процессы в экономике.
Характеристики динамического звена
Все сведения о возможных вариантах поведения динамического звена содержатся в его уравнении. Эти же сведения в закодированном виде содержат характеристики звена. Основной характеристикой звена является передаточная функция. Выше было показано как с помощью передаточной функции по заданному входу найти выход. Точно такое же назначение и у других характеристик.
Импульсной характеристикой (функцией) называется ответная (выходная) реакция звена на импульсное входное воздействие в форме функции Дирака δ(t).
Поскольку образ функции Дирака
то образ импульсной характеристики
Поэтому сама импульсная характеристика равна
где L-1 — обратное преобразование Лапласа.
Переходной характеристикой (функцией) называется ответная реакция звена на ступенчатое входное воздействие в форме функции Хэвисайда χ(t)
Поскольку образ функции Хэвисайда
то образ переходной функции
Поэтому сама переходная функция равна
Частотная характеристика задает установившуюся реакцию звена в форме вынужденных автоколебаний на синусоидальное входное воздействие sin ωt и равна G(iω). Амплитуда выходных колебаний равна | G(iω)|, а сдвиг по фазе φ=arg| G(iω)|.
Основные виды связей динамической системы и их характеристики
Анализ динамической системы — это разбиение системы на элементы и установление связей между ними. Существуют три основных вида связей:
1) последовательное соединение (рис. 3.8), вход соединения является входом первого элемента, выход первого элемента является входом второго элемента, выход второго элемента — выход соединения;
Рис. 3.8. Последовательное соединение
2) параллельное соединение с суммирующим звеном (рис. 3.9), вход соединения является одновременно и входом каждого из элементов, сумма (разность) выходов элементов — выход соединения;
Рис. 3.9. Параллельное соединение
3) замкнутый контур с обратной связью (рис. 3.10), в контуре имеются управляемый и управляющий элементы и суммирующее звено, вход в контур в сумме (разности) с выходом управляющего -элемента поступает на вход управляемого элемента, выход последнего является выходом соединения.
Рис, 3.10. Контур обратной связи
Синтез системы заключается в построении (проектировании) системы с требуемыми свойствами либо возможно близкими к требуемым. Например, наиболее частым и важным является требование устойчивости системы, Первый шаг о этом направлении: определить характеристики системы по характеристикам составляющих се элементов. Умея решать эту первую задачу, можно подойти и к решению основной: меняя состав системы, взаимосвязи между элементами и характеристики элементов, можно из всех возможных вариантов выбрать такую систему, характеристики которой ближе всего к желаемым.
Поскольку основными соединениями элементов в системе являются последовательное, параллельное и с обратной связью, то прежде всего необходимо уметь находить характеристики этих соединений Но все характеристики элементов и систем определяются по передаточной функции, поэтому задача сводится к нахождению передаточной функции соединения по передаточным функциям составляющих его звеньев.
Передаточная функция последовательного соединения
Последовательное соединение показано на рис. 3.8. Согласно определению передаточная функция есть отношение образов выхода и входа, поэтому
Таким образом, передаточная функция последовательно соединенных элементов равна произведению их передаточных функции.
Передаточная функция параллельного соединения
Из рис. 3.9 видим, что
Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных элементов с суммирующим звеном равна сумме (разности) передаточных функций элементов.
Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью
Из рис. 3.10 видим, что
Поэтому
Откуда