Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З КУРСУ
“МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ ”
ДОНЕЦЬК – ДонНТУ – 2012
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З КУРСУ
“МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ”
Затверджено
на засіданні кафедри
“Електропостачання
промислових підприємств і міст”
Протокол № 3/02
від 27.02.2012 р.
Затверджено
на засіданні навчально-видавничої
ради ДонНТУ
Протокол № 3
від 03.04.2012 р.
ДОНЕЦЬК - ДонНТУ - 2012
УДК 681.332(07)
Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу “Математичні методи і моделі” (для студентів спеціальності 7.090603 “Електротехнічні системи електроспоживання”) /Склад.: Джура С.Г., Шлепньов С.В., Якімішина В.В.
Викладено теоретичні зведення по методах обчислювальної математики, що використовуються при рішенні інженерних задач в області електротехніки й енергетики. Приведено завдання і методичні рекомендації до виконання 16 лабораторних робіт, призначених для навчання студентів методам рішення на ЕОМ лінійних і нелінійних рівнянь і їхніх систем, диференціальних рівнянь, методам чисельного інтегрування, апроксимації функцій, пошуку екстремальних значень.
Складачі: С.Г.Джура, доц.
С.В.Шлепньов, доц.
В.В.Якімішина, ас.
Рецензент: В.М.Павлиш, проф.
Нормоконтролер: В.І.Чурсінов, доц.
ВСТУП
Одним з головних напрямків науково-технічного прогресу в даний час є розвиток методів і засобів інформатики й обчислювальної техніки.
Використання математичних методів рішення інженерних задач на ЕОМ дозволяє значно підвищити ефективність процесів проектування, розрахунку параметрів, дослідження, аналізу і синтезу різних технічних систем, у тому числі і систем електропостачання.
У математичному плані багато задач електротехніки й енергетики зводяться до рішення алгебраїчних, трансцендентних і диференціальних рівнянь і їхніх систем, операціям над матрицями, векторами і рядами, апроксимації табличних функцій, мінімізації функціоналів та ін. Ці задачі не завжди можуть бути вирішені аналітично і вимагають застосування чисельних методів.
У даному посібнику приведені завдання і методичні вказівки до лабораторних робіт, виконання яких дозволить придбати навички алгоритмізації, програмування і рішення на ЕОМ задач з використанням методів обчислювальної математики.
За узгодженням з викладачем допускається заміна завдань, передбачених у лабораторних роботах, задачами аналогічного змісту з дисциплін, що паралельно вивчаються, або за тематикою НДРС, а також вибір мови програмування, якою буде виконуватися завдання.
Мета роботи: навчитися обчислювати значення статечних багаточленів найбільш економічним образом, придбати навички програмування з використанням функцій і підпрограм користувача.
1.1 Теоретичні відомості
У практиці аналізу і синтезу систем автоматичного керування й у теорії електричних кіл часто виникає необхідність в обчисленні функцій, що мають вид статечного полінома (багаточлена):
Pn(x)=а0 xn+а1 xn-1+…+аn-1x+аn=, (1.1)
де n - ступінь полінома;
=(а0, а1, …, аn)- вектор коефіцієнтів,
х - незалежна змінна.
Багаточлен (1.1) можна перетворити до виду:
Pn(x)=(…((( 0x+1)x+2)x+3)x+…+n) . (1.2)
Алгоритм обчислення Pn(x), складений на підставі виразу (1.2), називається схемою Горнера.
Відповідно до цієї схеми багаточлен і-го порядку виражають через багаточлен (і-1)-го порядку за формулою
Pi=Pi-1x+i. (1.3)
Поклавши P0=а0 і виконавши операцію (1.3) n разів при і=1,2,...,n, одержують необхідне значення.
У математиці доведено, що для багаточленів загального виду не можна побудувати алгоритм більш економічний у значенні числа операцій (n додавань і n множень), ніж схема Горнера.
1.2 Завдання
Розрахувати значення змінної z при x, що змінюється від -1 до +1 із кроком 0,1. Вирази для обчислення z приведені в таблиці 1.1. У цих виразах функції f1(x), f2(x) і f3(x) являють собою статечні багаточлени, що відрізняються друг від друга порядком і значеннями коефіцієнтів.
Для непарних варіантів:
f1(x)=1.07x5-12x4-2.8x3+6.3x2+3.7x+4,
f2(x)=10.1x7+37x5-15x4+8.2x+5.4,
f3(x)=-23x3+13.6x2+0.5x-1.2.
Для парних варіантів:
f1(x)=8.16x4+14x3+0.9x2+3.8x-2,
f2(x)=19.7x6+11.4x4+2.3x3-1.8x+0.9,
f3(x)=21.6x5-17.4x4+8.7x3+11x.
Для введення значень коефіцієнтів статечних багаточленів скласти підпрограму (процедуру), а для обчислення цих багаточленів - функцію користувача.
Таблиця 1.1 – Вихідні дані до лабораторної роботи №1
|
Варіант |
Вираження для обчислення змінної |
|
1 |
2 |
|
1,2 |
|
|
3,4 |
|
|
5,6 |
|
|
7,8 |
|
|
9,10 |
|
|
11,12 |
|
|
13,14 |
|
|
15,16 |
|
|
17,18 |
|
|
Продовження таблиці 1.1 |
|
|
1 |
2 |
|
19,20 |
|
|
21,22 |
|
|
23,24 |
|
|
25,26 |
1.3 Методичні рекомендації
Якщо програма складається мовою програмування Паскаль, масиви коефіцієнтів для функцій f1(x), f2(x) і f3(x) у програмі і масив коефіцієнтів для обчислення значення статечного полінома Pn(x) у функції користувача повинні мати однаковий тип, описаний у головному модулі, наприклад,
const nmax=6;
type vector=array[1..nmax] of real,
де nmax - максимальний порядок багаточлена.
Перераховані вище масиви краще позначити різними ідентифікаторами.
Мета роботи: навчитися обчислювати суму, різницю і скалярний добуток матриць, транспонувати їх і визначати норми матриць.
2.1 Теоретичні відомості
В електротехнічних розрахунках часто використовуються матриці і вектори (вектором називають матрицю-рядок чи матрицю-стовпець). У даній лабораторній роботі розглянуті найпростіші операції над матрицями: сума, різниця, множення, транспонування, обчислення деяких норм. Більш складні операції будуть розглянуті пізніше.
2.1.1 Сума і різниця двох матриць
Сумою двох матриць одного і тогож розміру
A+B=[i,j]+[bi,j] (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
називається матриця C=[Ci,j] того ж розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць A і B:
Cij=ij+bij. (2.1)
Різниця матриць визначається аналогічно сумі, тільки у елементів матриці, що віднімається, знак змінюється на протилежний, тобто елементи матриці С=В-А обчислюються за формулою:
Cij=ij-bij (2.2)
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n).
2.1.2 Скалярний добуток матриць і зведення їх у ступінь
Скалярним добутком матриці А розміром mk на матрицю В розміром kn називається матриця С розміром mn , елементи якої обчислюються за формулою:
(2.3)
Відзначимо, що матриця С=АВ визначена тільки тоді, коли число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В.
Для скалярного добутку матриць несправедливий перемістительний закон, тобто АВ≠ВА.
Частинним випадком множення матриць є множення матриці А розміром mk на вектор-стовпець , що складається з k елементів, і вектора-рядка , що складається з k елементів, на матрицю В розміром kn.
У першому випадку результатом буде вектор-стовпець з елементами
(2.4)
(і=1, 2,..., m) , а в другому випадку – вектор - рядок з елементами
. (2.5)
Відповідно до поняття про скалярний добуток матриць у цілу позитивну ступінь k можна возвести тільки квадратну матрицю:
Аk=((АА)А)…А) (2.6)
k- співмножників
2.1.3 Транспонування матриць
Якщо в матриці А розміром mn замінити рядки відповідними стовпцями, то одержимо матрицю А розміром nm, що називається транспонованою стосовно матриці А.
Таким чином,
ijT=ji
(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m).
2.1.4 Норми матриць
Під нормою матриці A=[aij] розуміється дійсне число ||A||, що задовольняє наступним умовам:
- ||A||≥0 (причому ||A=0|| тільки при А=[0]),
До найбільше легко обчислювальних норм відносяться наступні три норми:
(2.7)
максимальна сума модулів елементів матриці по рядках;
(2.8)
максимальна сума модулів елементів матриці по стовпцях;
(2.9)
корінь квадратний із суми квадратів модулів всіх елементів матриці.
2.2 Завдання
Виконати операції над матрицями відповідно до виразів, що наведені в таблиці 2.1. Повторювані дії оформити у виді окремих процедур:
, , , .
Таблиця 2.1
|
Номер варіанта |
Завдання |
|
1 |
2 |
|
1 |
Перевірити співвідношення: ||A+C||1 ||A||1+||C||1 |
|
2 |
||A*B||1 ||A||1*||B||1 |
|
3 |
||A-C||1 | ||C||1-||A||1 | |
|
4 |
||A+C||2||A||2+||C||2 |
|
5 |
||A*B||2||A||2*||B||2 |
|
6 |
||A-C||2 | ||C||2-||A||2 | |
|
7 |
||A+C||3||A||3+||C||3 |
|
8 |
||A*B||3||A||3*||B||3 |
|
продовження таблиці 2.1 |
|
|
1 |
2 |
|
9 |
||A-C||3 | ||C||3-||A||3 | |
|
10 |
Обчислити: K=A+C+BT |
|
11 |
K=B(A+C)+D |
|
12 |
K=(A-C)*(D*B) |
|
13 |
K=BT-A-C |
|
14 |
K=B*A*B |
|
15 |
L=||A+C||1+||B||1 |
|
16 |
L=||A||1+||B||2+||C||1 |
|
17 |
K=C*D+A+C |
|
18 |
K=B*C*D |
|
19 |
||A||1 ||AT||1 ||B||1 ||BT||1 |
|
20 |
K=D*CT*A |
|
21 |
K=D-B*C-B*A |
|
22 |
K=AT+CT+B |
|
23 |
K=(A-C)*B |
|
24 |
K=C*D-A-C |
Мета роботи: навчитися обчислювати на ЕОМ корені систем лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.
3.1 Теоретичні відомості
Рішення систем лінійних рівнянь використовується в електротехніці і похідних від неї дисциплінах при розрахунку статичних режимів у розгалужених електричних колах.
Система n лінійних рівнянь з n невідомими має вид:
(3.1)
Її можна записати й у матричній формі:
(3.2)
де - квадратна матриця коефіцієнтів;
- вектор вільних членів;
- шуканий вектор коренів.
Способи рішення систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи:
- точні методи (метод обернення матриці коефіцієнтів, правило Крамера, метод Гаусса та ін.);
- ітераційні методи (Н`ютона, Зейделя, простих ітерацій та ін.).
Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система має єдине рішення:
(3.3)
де - матриця, зворотна матриці А.
Обчислення коренів за формулою (3.3) називається методом обернення матриці коефіцієнтів.
Згідно з правилом Крамера корені розраховуються за формулами:
де - визначник матриці А;
- визначники матриць, отриманих з матриці А шляхом заміни її і-го стовпця вектором вільних членів .
Обидва з перерахованих вище методів використовують на практиці тільки при рішенні "вручну" систем рівнянь невисокого порядку. При n>3 ці методи дуже трудомісткі і не економічні.
Найбільш розповсюдженим з точних методів є метод Гаусса.
Метод Гаусса можна розбити на два етапи:
- прямий хід, що полягає в послідовному виключенні коренів з 1-го до n-го і перетворенні матриці коефіцієнтів до трикутного виду;
- зворотний хід, що полягає в послідовному визначенні коренів з n-го до 1-го з перетвореної системи рівнянь.
Виключення k-го кореня (k=1, 2,..., n-1) з і-го рівняння (і=k+1, k+2,..., n) виконується шляхом заміни всіх коефіцієнтів і-го рівняння різницею між колишніми коефіцієнтами цього рівняння і відповідними коефіцієнтами і-го рівняння, помноженими на мірильний множник:
. (3.4)
У результаті коефіцієнти і-го рівняння приймуть наступні значення:
ik=0, (3.5)
ij=ij-pkj (j=k+1,k+2,…,n), (3.6)
bi=bi-pbk. (3.7)
У формулах (3.6) і (3.7) знак "=" використовується як символ операції присвоювання, у правій частині використовуються колишні значення коефіцієнтів aij і bi, а в лівої – нові.
При виключенні коренів мінімальних похибок округлення при перерахуванні коефіцієнтів можна досягти перестановкою рівнянь таким чином, щоб модулі коефіцієнтів при коренях, що виключаються, хk були максимально можливими. Цей етап методу Гаусса називають вибором головного елемента.
Відповідно до вищевикладеного схема алгоритму прямого ходу може мати вид, що представлен на рис. 3.1.
У результаті прямого ходу система рівнянь (3.1) перетвориться до виду:
(3.8)
Коефіцієнти ij і bi системи (3.8) не збігаються із відповідними коефіцієнтами вихідної системи (3.1).
З перетвореної системи корені можна розрахувати за формулами:
, (3.9)
(3.10)
Відповідно схема зворотного ходу може мати вид, наведений на рис. 3.2.
Алгоритм прямого ходу можна спростити, об’єднавши квадратну матрицю коефіцієнтів Anxn і вектор - стовпець вільних членів у єдину матрицю ARnx(n+1), яка називаеться розширеною матрицею коефіцієнтів, у якій (n+1)-й стовпець складають елементи вектора :
(3.11)
При цьому зі схеми рис. 3.1 зникнуть блоки 9 і 13, а в блоках 7 і 14 параметр j (номер стовпця) буде змінюватись не до n, а до n+1. У схемі рис. 3.2 у блоках 1 і 6 змінні і прийдеться замінити змінними і відповідно.
3.2 Завдання
Розрахувати струми і напруги в вітках електричних кіл, наведених на рис. 3.3, методом законів Кірхгофа. Параметри схем наведені в таблиці 3.1. Виконати перевірку результатів.
3.3 Методичні рекомендації
Якщо використується мова програмування Паскаль: процес визначення коренів системи рівнянь зручно оформити у виді підпрограми (процедури) з формальними параметрами n, A, B і X, причому масив Х повинний бути обов'язково описаний як параметр-змінна (із ключовим словом var). При використанні розширеної матриці коефіцієнтів формальними параметрами процедури будуть n, A і Х.
Для опису типів масивів у розділі констант доцільно визначити максимально припустимі розміри масивів.
Для того, щоб підпрограма методу Гаусса була універсальною, вона не повинна містити процесів вводу вихідних даних і виводу результатів.
Основний модуль програми повинний містити ввод вихідних даних, формування фактичних параметрів для підпрограми методу Гаусса, виклик цієї підпрограми, вивід результатів і перевірку правильності рішення.
Для перевірки можна обчислити і вивести на екран значення функцій
fi=i1x1+i2x2+…+inxn-bi (3.12)
(i=1, 2,…, n).
При правильному рішенні ці значення повинні бути близькі до нуля.
Вивід матриці і контроль результатів можна також оформити у виді окремих підпрограм.
Таблиця 3.1 – Параметри схем
|
Номер Варіан-та |
В |
В |
В |
В |
В |
В |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
|
1-6 |
130 |
500 |
120 |
240 |
170 |
380 |
21 |
14 |
13 |
16 |
9 |
20 |
|
7-12 |
360 |
190 |
210 |
130 |
450 |
170 |
8 |
9 |
16 |
13 |
21 |
12 |
|
13-18 |
120 |
220 |
340 |
80 |
510 |
160 |
5 |
18 |
12 |
14 |
7 |
28 |
|
19-24 |
280 |
540 |
310 |
160 |
90 |
360 |
12 |
6 |
24 |
10 |
14 |
18 |
|
25-31 |
340 |
110 |
280 |
210 |
130 |
260 |
27 |
30 |
4 |
6 |
22 |
11 |
P=aik /akk
Рисунок 3.1 – Прямий хід метода Гауса
Рисунок 3.2 – Зворотній хід метода Гауса
Рисунок 3.3 – Схеми до завдання 3.2
Лабораторна робота 4
РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З
КОМПЛЕКСНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Мета роботи: навчитися розраховувати статичні режими в розгалужених електричних колах.
4.1 Теоретичні відомості
Якщо електричне коло містить, крім резисторів і джерел постійного струму, котушки індуктивностей, конденсатори і джерела змінного струму, то для розрахунку струмів і напруг у сталих режимах необхідно розв’язати систему рівнянь з комплексними коефіцієнтами. Якщо при цьому не враховувати нелінійність статичних характеристик елементів, то одержують лінійну систему алгебраїчних рівнянь, для рішення якої годяться всі методи, викладені в попередній лабораторній роботі, у тому числі і метод Гаусса.
Особливість розв’язання полягає тільки у тому, що оперувати приходиться не з дійсними, а з комплексними числами. Такі алгоритмічні мови як Фортран і ПЛ-1 мають у своєму складі дані комплексного типу і дозволяють оперувати з ними також легко, як і з арифметичними даними дійсного типу.
При роботі на Паскалі програміст повинний сам скласти підпрограму для виконання операцій з комплексними числами, причому це робиться набагато легше, завдяки можливості створювати типи, визначаємі користувачем, і наявності в підпрограмах апарата формальних і фактичних параметрів. Наприклад, у розділі описів Паскаль-програми можна визначити комплексний тип даних як запис, що складається з двох частин: дійсної (re) і мнимої (іm)
type complex = record
re, іm: real
end;
потім скласти ряд підпрограм і функцій для роботи з комплексними числами. Наприклад, підпрограма множення двох комплексних чисел X=X+jX і Y=Y+jY може мати наступний вигляд:
procedure MultС(x,y:complex; var z:complex);
begіn
z.re:=x.re*y.re-x.іm*y.іm;
z.іm:=x.re*y.іm+x.іm*y.re;
end;
При наявності такої підпрограми для обчислення значення змінної
W=(3,6-j8)(5+j2,1)
досить у будь-якому підпрограмному модулі, якому доступна процедура MultC, записати послідовність операторів:
wіth do
begіn re:= 3.6; іm:= -8 end;
wіth b do
begіn re:= 5; іm:= 2.1 end;
MultC (,b,w);
попередньо описавши змінні ,b,w як дані комплексного типу:
var a,b,w:complex.
Таблиця 4.1- Параметри схем
|
Номер варіанта |
Гн |
мкФ |
В |
В |
Ом |
Ом |
Ом |
|
1-6 |
0,05 |
170 |
360 |
200 |
18 |
10 |
27 |
|
7-12 |
0,08 |
150 |
400 |
250 |
30 |
13 |
20 |
|
13-18 |
0,07 |
270 |
200 |
320 |
18 |
21 |
32 |
|
19-24 |
0,09 |
130 |
220 |
440 |
28 |
20 |
16 |
|
25-31 |
0,06 |
180 |
320 |
240 |
25 |
16 |
34 |
4.2 Завдання
Розрахувати сталі струми у вітках електричних кіл, наведених на рисунку 4.1, склавши систему рівнянь за допомогою законів Кірхгофа. Параметри схем наведені в таблиці 4.1. Виконати перевірку результатів.
4.3 Методичні рекомендації
При виконанні роботи скористайтеся рекомендаціями і схемами алгоритмів, наведеними у попередній роботі, замінивши операції над комплексними коефіцієнтами викликом відповідних підпрограм (процедур) чи функцій.
Програму доведеться доповнити наступними процедурами і функціями:
- процедурами вводу і виводу значень комплексних змінних чи їх масивів,
- процедурами множення, ділення і додавання двох комплексних чисел,
- процедурою зміни знака комплексного числа,
- функцією обчислення модуля комплексного числа.
Рисунок 4.1 – Варіанти схем
Лабораторна робота 5
ОБЕРНЕННЯ МАТРИЦЬ
Мета роботи: навчитися обчислювати матрицю, зворотну заданій за допомогою ЕОМ.
5.1 Теоретичні відомості
Обернення матриць широко застосовується при розрахунку розгалужених електричних кіл різними методами в матричній формі.
Зворотною стосовно вихідної квадратної матриці називається така квадратна матриця
Xnxn=A-1nxn, (5.1)
яка, будучи помноженою на вихідну, дає одиничну діагональну матрицю Enxn:
Anxn*A-1nxn=Enxn, (5.2)
або в розгорнутій формі
. (5.3)
Для матриць невеликого розміру (n3) обернення частіше виконують у ручну, використовуючи формулу
(5.4)
де A - союзна матриця (матриця, складена з алгебраїчних доповнень);
- визначник.
При n>3 розрахунки по формулі (5.4) стають дуже громіздкими.
Як видно з (5.3), елементи КС-го стовпця зворотної матриці Х можна визначити вирішуючи систему n лінійних рівнянь з n невідомими.
(5.5)
де (5.6)
КС=1, 2, ..., n.
Таким чином, для визначення всіх елементів зворотної матриці необхідно вирішити n систем рівнянь.
Цей підхід часто використовують при машинних розрахунках. Розв’язувати системи рівнянь можливо будь – яким із відомих методів, наприклад, методом Гаусса.
Якщо вже існує підпрограма рішення системи рівнянь, то алгоритм обернення матриці може бути представлений схемою (рисунок 5.1)
Якщо підпрограма рішення систем рівнянь відсутня, то прямий хід методу Гаусса виконують один раз над розширеною матрицею А, складеної з вихідної матриці AІ і приєднаної до неї ліворуч одиничної квадратної матриці Е:
(5.7)
або
(5.8)
і=1, 2, ..., n,
j=1, 2, ..., 2n.
У схемі прямого ходу в порівнянні з алгоритмом рисунка 5.1 зникнуть блоки 9 і 13, а в блоках 7 і 14 кінцеве значення змінної j стане рівним 2n.
Зворотний хід буде виконуватися n разів (при КС=1, 2,..., n). При цьому в схемі рисунка 3.2 елементи вектора коренів xn, xj i xi необхідно замінити елементами зворотної матриці xn, KC хj.KC і
xi, KC, а змінні bn і bi - змінними n, n+КС і i,n+КС відповідно.
5.2 Завдання
Виконати обернення довільних квадратних матриць другого, третього і четвертого порядків з контролем результату.
5.3 Методичні рекомендації
Оформити у вигляді окремих процедурних блоків ввод, вивід, обернення матриці і контроль результату.
Для перевірки правильності рішення обчислите і виведіть на екран скалярний добуток вихідної матриці на отриману зворотну. Якщо в результаті одержите одиничну діагональну матрицю (див. рівняння (5.3)), то результат вірний.
Лабораторна робота 6
ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ МАТРИЦЬ
Мета роботи: навчитися обчислювати визначники матриць за допомогою ЕОМ.
6.1 Теоретичні відомості
Для обчислення визначника можна перетворити вихідну матрицю в трикутну форму за допомогою прямого ходу методу Гаусса і розрахувати добуток її діагональних елементів.
Якщо в схемі прямого ходу використовується перестановка рядків, то необхідно врахувати, що одна така перестановка змінює знак визначника на протилежний.
6.2 Завдання
Розв’язати системи рівнянь, наведені в таблиці 6.1, методом Крамера. Виконати перевірку результату.
Таблиця 6.1 – Вихідні дані
|
Номер варіанта |
Система рівнянь |
|
1 |
2 |
|
1,2 |
3.14 x1-2.2x2+1.17x3=1.27 -2.12x1+1.32x2-2.45x3=2.13 1.17x1-2.45x2+1.18x3=3.14 |
|
3,4 |
2.45x1+1.75x2 –3.24x3=1.23 1.75x1-1.16x2 +2.18x3=3.43 -3.24x1+2.18x2 –1.85x3=-0.16 |
|
5,6 |
1.65x1-2.27x2 +0.18x3=2.25 -2.27x1+1.73x2 –0.46x3=0.93 0.18 x1-0.46x2 +2.16x3=1.33 |
|
7,8 |
3.23x1+1.62x2 +0.65x3=1.28 1.62x1-2.33x2 –1.43x3=0.87 0.65x1-1.43x2 +2.18x3=-2.87 |
|
9,10 |
0.93x1+1.42x2 -2.55x3=2.48 1.42x1-2.87x2 +2.36x3=-0.75 -2.55x1+2.36x2 –1.44x3=1.83 |
|
11,12 |
1.42 x1-2.15x2 +1.07x3=2.48 -2.15x1+0.76x2-2.18x3=1.15 1.07x1-2.18x2+1.23x3=0.88 |
|
Продовження таблиці 6.1 |
|
|
1 |
2 |
|
13,14 |
2.23x1-0.71x2 +0.63x3=1.28 -0.71x1+1.45x2 –1.34x3=0.64 0.63 x1-1.34x2 +0.77x3=-0.87 |
|
15,16 |
1.63x1+1.27x2 –0.84x3=1.51 1.27x1+0.65x2 +1.27x3=-0.63 -0.84x1+1.27x2 –1.21x3=2.15 |
|
17,18 |
0.78x1+1.08x2 –1.35x3=0.57 1.08x1-1.28x2 +0.37x3=1.27 -1.35x1+0.37x2 +2.86x3=0.47 |
|
19,20 |
0.83x1+2.18x2 –1.73x3=0.28 2.18 x1-1.41x2 +1.03x3=-1.18 -1.73x1+1.03x2 +2.27x3=0.72 |
|
21,22 |
2.74x1-1.18x2 +1.23x3=0.16 -1.18x1+1.71x2 –0.52x3=1.81 1.23x1-0.52x2 +0.62x3=-1.25 |
|
23,24 |
1.35x1-0.72x2 +1.81x3=0.88 -0.72x1+1.45x2 –2.18x3=1.72 1.38x1-2.18x2 +0.93x3=-0.72 |
Мета роботи: повторити побудову графіків функцій і навчитися відокремлювати корені трансцендентних рівнянь.
7.1 Теоретичні відомості
f(x)=0 (7.1)
називається трансцендентним, якщо воно містить тригонометричні або інші спеціальні функції (експонентні, логарифмічні та ін.) змінної х .
Трансцендентні рівняння мають невизначене число рішень, можуть мати і нескінченне число рішень.
Якщо розглянуті рівняння не мають аналітичного рішення, то їх розв’язують ітераційними методами. Першим етапом рішення такої задачі є відокремлення коренів, тобто визначення інтервалу існування кореня і його початкового наближення.
Для відокремлення дійсних коренів трансцендентних рівнянь часто досить приблизно побудувати графік функції f(х) або, перетворивши вихідне рівняння f(х)=0 до виду 1(x)=2(х), побудувати графіки двох функцій 1(x) і 2(х) і визначити приблизно область точки їхнього перетинання. Шуканий інтервал існування кореня [a,b] повинний задовольняти умові
f(a)*f(b)<0. (7.2)
7.2 Завдання
Відокремити перший позитивний корінь трансцендентного рівняння, наведеного в таблиці 7.1, графічним методом.
7.3 Методичні рекомендації
Ліву границю пошуку хн виберіть рівної нулю (якщо f(0) існує) чи близькому до нього позитивному значенню, наприклад, 0,01 або 0,1. Права границя пошуку хк довільна і залежить від функції f(х). Для рівнянь таблиці її не слід приймати більше 5. Первісне значення кроку пошуку х виберіть таким, щоб на інтервалі пошуку розраховувалося не більш 20 значень функції. Виведіть їх на екран.
Якщо в області пошуку не виявиться зміна знака функції f(х) , зменшите х і (або) збільште хк і повторите обчислення.
Для мірилування графіка визначте (програмно чи візуально) максимальне і мінімальне значення функції, на підставі цієї інформації визначте межи графіка і побудуйте його.
Використовуйте графік не тільки для відокремлення кореня, але і для вибору найбільш вдалого методу його уточнення.
Функцію f(х) визначте як функцію користувача.
Таблиця 7.1 – Завдання до лабораторної работи №7
|
№ п/п |
Рівняння |
Метод рішення |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2sin(x+/3)-0.5x2+1=0 |
Дотичних |
|
2 |
cos(x+0.3)-x2=0 |
Дотичних |
|
3 |
tg3x-x+1=0 |
Дотичних |
|
4 |
2arctg x –x+3=0 |
Дотичних |
|
5 |
(x+3)cos x-1=0 |
Дотичних |
|
6 |
tg(0.58x+0.1)-x2=0 |
Дотичних |
|
7 |
Хорд |
|
|
8 |
Бісекцій |
|
|
9 |
2ln x-x/2+1=0 |
Бісекцій |
|
10 |
ln x –1/ x2=0 |
Бісекцій |
|
11 |
4.3sin 4x-3.5x=0 |
Хорд |
|
12 |
2x-2(x-2)-1=0 |
Бісекцій |
|
13 |
cos(15.6x)+0.5=0 |
Бісекцій |
|
14 |
0.5x+1-(x-2)2=0 |
Дотичних |
|
15 |
3(x-1)-2-x=0 |
Хорд |
|
16 |
x2cos 2x+1=0 |
Хорд |
|
17 |
x2-2(x-1)=0 |
Дотичних |
|
18 |
5sinx-x=0 |
Бісекцій |
|
19 |
arctg(x-1)+2x=0 |
Хорд |
|
20 |
(x-2)2-2x=0 |
Дотичних |
|
продовження таблиці 7.1 |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
22 |
2ex-5x-2=0 |
Дотичних |
|
23 |
cos(x+0.5)-x3=0 |
Дотичних |
|
21 |
x2-20sin x=0 |
Хорд |
|
24 |
2arctg x-1/2x3=0 |
Хорд |
|
25 |
e-x+x2-2=0 |
Хорд |
Мета роботи: навчитися відокремлювати корені алгебраїчних рівнянь.
8.1 Теоретичні відомості
Алгебраїчні рівняння n-го ступеня виду
0xn+1xn-1+…+n-1x+n=0 (8.1)
мають n коренів.
При відокремленні коренів алгебраїчних рівнянь корисно мати на увазі наступні їх властивості:
1) n коренів алгебраїчного рівняння n-ї ступені можуть бути дійсними або комплексними;
2) якщо всі коефіцієнти i дійсні, то всі комплексні корені утворять комплексно сполучені пари;
3) число позитивних дійсних коренів дорівнює або менше числа змін знаків у послідовності коефіцієнтів i багаточлена f(x);
4) число негативних дійсних коренів дорівнює або менше числа змін знаків у послідовності коефіцієнтів багаточлена f(-x);
5) якщо f(x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [a,b], тобто f(a)*f(b)<0, то усередині цього відрізка міститься хоча б один корінь, він буде єдиним, якщо похідна f '(x) зберігає усередині інтервалу [,b] постійний знак;
6) використовуючи теорему Лагранжа, можна розрахувати верхні Rв і нижні Rн межи позитивних R+ та негативних R- дійсних коренів:
(8.2)
де k - номер першого з негативних коефіцієнтів рівняння (8.1) при 0>0;
В - найбільша з абсолютних величин негативних коефіцієнтів:
R+Н=1/R1, R-Н=-R2, R-В= -1/R3,, (8.3)
де R1, R2, R3- змінні, розраховані за формулою (8.2) для відповідних допоміжних рівнянь:
(8.4)
Знаючи R-Н і R+В, можна відокремити кожен корінь, використовуючи алгоритм рисунка 8.1.
8.2 Завдання
Відокремити кожен дійсний корінь алгебраїчного рівняння f(x)=0 для f(x) наведених у таблиці 8.1. Побудувати графік функції f(x) на інтервалі [R-H, R+B].
8.3 Методичні рекомендації
Збережить програму відокремлення коренів і використовуйте її в лабораторних роботах по уточненню коренів як першу частину програми рішення рівняння.
Таблиця 8.1 – Завдання до лабораторної роботи №8
|
№ п/п |
f(x) |
Метод рішення |
|
1 |
4.2x3-31.92x2+74.3x-51.87 |
Бісекцій |
|
2 |
3.6x3-172.8x2+5.184x-237.32 |
Хорд |
|
3 |
5.8x3-47.56x2+121.2x-97.02 |
Бісекцій |
|
4 |
6.1x3-90.28x2+388.2x-506.2 |
Хорд |
|
5 |
3.6x3-39.96x2+12.17x+426.4 |
Бісекцій |
|
6 |
2.7x3-37.26x2+16.71x-202.7 |
Хорд |
|
7 |
1.3x3-5.98x2-1.09x+13.76 |
Простих ітерацій |
|
8 |
4.5x3-26.1x2+176.6x-112.4 |
Простих ітерацій |
|
9 |
5.1x3-62.22x2+142.7x+109.2 |
Простих ітерацій |
|
10 |
1.6x3-3.04x2-29.18x+8.98 |
Простих ітерацій |
|
продовження таблиці 8.1 |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
11 |
-2.3x3+0.23x2+17.05x+13.48 |
Простих ітерацій |
|
12 |
1.6x3-14.24x2+38.13x-29.02 |
Простих ітерацій |
|
13 |
5.3x3-36.04x2+12.25x+28.05 |
Простих ітерацій |
|
14 |
-2.6x3+4.68x2+14.38x+3.822 |
Бісекцій |
|
15 |
-1.5x3-14.25x2-37.98x-22.03 |
Простих ітерацій |
|
16 |
3.4x3-46.58x2+127.3x-60.34 |
Простих ітерацій |
|
17 |
2.8x3-25.76x2+6.18x+107.4 |
Бісекцій |
|
18 |
-1.4x3-10.78x2-22.54x-11.85 |
Простих ітерацій |
|
19 |
3.1x3-62.6x2+414.7x-898.9 |
Простих ітерацій |
|
20 |
1.6x3-12.48x2+25.04x-8.12 |
Бісекцій |
|
21 |
5.4x3-54x2+140.6x-73.8 |
Простих ітерацій |
|
22 |
2.7x3-17.6x2-45.4x+123 |
Бісекцій |
|
23 |
-1.8x3-5.58x2+1.5x+119 |
Бісекцій |
|
24 |
-2.5x3+8.25x2+61.9x-117 |
Простих ітерацій |
Мета роботи: навчитися розв’язувати трансцендентні й алгебраїчні рівняння.
9.1 Теоретичні відомості
Численне рішення рівняння
f(x)=0 (9.1)
поділяється на два етапи: відокремлення коренів і уточнення їхніх початкових наближень ітераційними методами.
Найбільш розповсюдженими методами уточнення коренів є методи бісекцій, хорд, дотичних і простих ітерацій.
9.1.1 Метод бісекцій
Метод бісекцій, або метод половинного ділення, складається в послідовному розподілі відрізка, що містить корінь, навпіл:
,
де a і b - ліва і права межі кореня, тобто
b>a, (9.2)
f(a)*f(b)<0. (9.3)
Для кожного наступного ділення вибирається та половина відрізка, на кінцях якої функція має протилежний знак. При цьому інтервал існування кореня звужується за рахунок зміни одної з його меж: лівої (a = x) або правої (b = x).
Ітераційний процес ділення закінчується при виконанні умови:
b-a, (9.4)
де - задана точність обчислення кореня. Іноді вимагають, щоб одночасно з (9.4) виконувалася умова:
|f(x)| . (9.5)
Метод половинного ділення - простий і надійний спосіб пошуку простих коренів рівняння f(x)=0. Він збігається для будь-яких безперервних функцій f(x), у тому числі тих, що не диференціруємі. Швидкість збіжності невелика. Для досягнення точності необхідно витратити
Nlog2((b-a)/ ) (9.6)
ітерацій. Це означає, що для одержання кожних 3 вірних десяткових знаків необхідно зробити близько 10 ітерацій.
Якщо на відрізку [a,b] знаходиться кілька коренів, то процес збігається до одного з них. Метод не застосовується для відшукання кратних коренів парного порядку.
9.1.2 Метод хорд
Метод хорд, або метод пропорційних частин полягає в послідовному розподілі відрізка [, b] , що містить корінь, на частині, пропорційні значенням функції на кінцях відрізка:
, (9.7)
звідки
. (9.8)
Геометрично це еквівалентно заміні графіка функції f(x) хордою, що проходить через точки (, f()) і (b, f(b)).
Для закінчення ітераційного процесу замість умови (9.4) використовують умову
|xi+1-xi|, (9.9)
де xi+1, xi - останнє обчислене і попереднє йому наближення кореня відповідно. В іншому цей метод аналогічний методу бісекцій, але забезпечує більш швидку збіжність.
9.1.3 Метод дотичних
Метод дотичних, або метод Н`ютона, складається в послідовній апроксимації функції f(x) дотичними до кривої в точці попереднього наближення (xі, f(xі)), що перетинають вісь абсцис у точці наступного наближення xі+1, визначаємого за формулою
(9.10)
Послідовність (9.9) збігається до дійсного значення кореня рівняння f(x)=0, якщо початкове наближення кореня належить інтервалу [a, b] (f(a)*f(b)<0), на якому похідні f'(x) і f ''(x) зберігають свій знак і задоволена умова
f(x0)* f’’(x0)>0. (9.11)
Ітерації припиняють при виконанні умов (9.9) і (або) (9.5).
Метод Н`ютона ефективний, якщо відомо гарне початкове наближення для кореня, і в околиці кореня графік функції має велику крутість. У добрих нагодах число вірних десяткових знаків у черговому наближенні подвоюється, тобто процес збігається дуже швидко.
Недоліком методу дотичних є необхідність розраховувати в кожній точці не тільки значення функції, але і значення похідної.
9.1.4 Метод простих ітерацій
Метод простих ітерацій складається в заміні вихідного рівняння f(x)=0 еквівалентним йому рівнянням
x=(x) (9.12)
і обчисленні послідовності
xi+1=(xi) (9.13)
(і=1, 2, 3,...), що збігається при i до точного рішення .
Ітерації припиняють при виконанні умови
|xi+1-xi|. (9.14)
Достатньою і необхідною умовою збіжності методу є
|`(x)|<1. (9.15)
Швидкість збіжності збільшується зі зменшенням |`(x)|.
9.2 Завдання
Обчислити перший позитивний корінь трансцендентного рівняння з таблиці 7/1 і всі дійсні корені алгебраїчного рівняння з таблиці 8.1 зазначеними в таблицях методами з точністю .
9.3 Методичні рекомендації
Інтервали [, b] для кожного кореня або початкові наближення коренів x визначте, скориставшись результатами робіт 7 і 8.
Перш, ніж використовувати методи дотичних або простих ітерацій, перевірте їхню збіжність.
При налагодженні виводьте на екран результати обчислень у кожній ітерації.
Для контролю правильності рішення виводьте на екран не тільки послідовні наближення коренів, але і значення функції f(x) у цих точках.
Оцінить швидкість збіжності різних методів.
Лабораторна робота 10
РОЗВ`ЯЗАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Мета роботи: навчитися розв`язувати системи нелінійних рівнянь ітераційним методами.
10.1 Теоретичні зведення
Система n рівнянь із n невідомими має вид:
(10.1)
………………..
Для розв`язання нелінійних систем використовують ітераційні методи.
Розглянемо деякі з них.
10.1.1 Метод простих ітерацій
Для застосування цього методу необхідно вихідну систему рівнянь перетворити до виду:
(10.2)
Якщо відомі початкові наближення коренів
(10.3)
то для їх уточнення використовуються формули:
(10.4)
де k=1,2,3,…,- номер ітерації.
Ітерації припиняють при досягненні умови
(10.5)
де - припустима похибка результатів.
Достатні умови збіжності ітераційного процесу мають вид:
(10.6)
або
Вони повинні виконуватись для всіх значень i ( i =1,2,... ,n).
10.1.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя відрізняється від методу простих ітерацій тільки формулами уточнення коренів:
(10.7)
У більшості випадків він забезпечує більш швидку збіжність ітераційного процесу.
10.1.3 Метод Н`ютона
Метод Н`ютона є похідним від методу дотичних для одного рівняння.
Вектор збільшень коренів на кожному кроцi ітераційного процесу визначається шляхом рішення системи n лінійних рівнянь із n невідомими:
(10.8)
…
де … (10.9)
…
матриця Якобi;
- вектор правих частин вихідної системи рівнянь (10.1).
Уточнення коренів виконують за формулою :
(10.10)
Ітерації припиняють при виконанні умови (10.5). Для більш жорсткого контролю можна разом з умовою (10.5) перевіряти умову:
. (10.11)
10.2 Завдання
Розв`язати систему нелінійних рівнянь із початковими наближеннями з таблиці заданим методом.
10.3 Методичні рекомендації
1. Позначте у вихідній схемі рівнянь змінні одним ім'ям із різними індексами.
2. Перевірте, чи виконуються умови збіжності при заданих початкових наближеннях.
3. При розв`язанні системи нелінійних рівнянь методом Н`ютона зручно скласти підпрограми для обчислення матриці Якобi, розв`язання системи лінійних рівнянь, розв`язання системи нелінійних рівнянь. В основному модулі організуйте введення початкових наближень, звернення до підпрограми розв`язання системи нелінійних рівнянь, виведення результатів розрахунку.
4. При рішенні системи методами Зейделя і простих ітерацій зручно скласти підпрограму для обчислення .
Таблиця 10.1 – Завдання до лабораторної роботи №10
|
Номер варiанта |
Системарівнянь |
Метод |
Початкові набли-ження |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2x + tg xy = 0 ( y2 -7,5)2-15x=0 |
Простих ітерацій |
x0=3 y0 =0 |
|
2 |
tg x -cos 1,5y=0 2y3-x2-4x-3=0 |
Зейделя |
x0=0 y0 =1 |
|
3 |
10x2+9 y2-1=0 sin(3,2x+0,3y)+3x=0 |
Н`ютона |
x0=0 y0=0,5 |
|
4 |
cos y + 2x=0 0,24x+3,5y+x2y=0 |
Зейделя |
x0=0 y0=0 |
|
5 |
sin(x+0,4)+3,5y-1,5=0 cos(y+0,2)+0,5x=0 |
Простих ітерацій |
x0 =-1,3 y0=0,5 |
|
6 |
sin(3,3x-0,4y)+4x=0 8x2 +25y2-1=0 |
Н`ютона |
x0=0 y0=0,5 |
|
7 |
0,16x+2,1y+x2y=0 cos y + x=0 |
Зейделя |
x0=-1 y0=0 |
|
8 |
2,1y3-x2-4x-3=0 tg 2x-cos 2y=0 |
Те ж |
x0=0 y0=1 |
|
Продовження таблиці 10.1 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
9 |
(y2 - 7,5)-15x=0 tg xy+2x=0 |
Простих ітерацій |
x0 =3 y0=0 |
|
11 |
tg xy+6x=0 -120x+(y2 - 20)2=0 |
Те ж |
x0=3 y0= - 0,5 |
|
12 |
0,9x+cos(y+1,6)=0 0,1-2y+sin(x+1,8)=0 |
Простих ітерацій |
x0 =0,5 y0=0,4 |
|
13 |
cos(y+0,6)+0,6x=0 sin(x+0,8)+2y-1=0 |
Те ж |
x 0= - 0,8 y0=0,5 |
|
14 |
tg 4x-cos 3y=0 2,3y3-x2-4x-3=0 |
Зейделя |
x0 =0 y0=1 |
|
15 |
2,2y3-x2-4x-3=0 tg 3x-cos 2,5y=0 |
Те ж |
x 0=0 y0=1 |
|
16 |
5x+tg xy=0 (y2-1,5)2-7,5x=0 |
Н`ютона |
x0=0,6 y0=-2 |
|
17 |
0,5y-0,5+sin(x+1,2)=0 0,7x+cos(y+0,8)=0 |
Те ж |
x0=-1 y0=0 |
|
18 |
sin(x+2,1)-3y+0,4=0 cos(y+1,8)+1,2x=0 |
Простих ітерацій |
x0=0,4 y0=0,5 |
|
19 |
4,9y+0,32x+x2y=0 cosy+3x=0 |
Те ж |
x 0=0 y0=0 |
|
20 |
(y2-5)2-20x-=0 tg xy+4x=0 |
Н`ютона |
x0=0,3 y0=-2,8 |
|
21 |
sin(4x-0,5y)+5x=0 7x2+30y2-1=0 |
Те ж |
x0=0 y0=0,5 |
|
22 |
tg 6x-cos 4y=0 2,5y3-x2-4x-3=0 |
Простих ітерацій |
x0=0 y0=1 |
|
23 |
6x+tg xy=0 (y2-2)2-12x=0 |
Н`ютона |
x0=0,5 y0=-2 |
|
24 |
sin(3,1x+0,2y)+2x=0 12x2+5y2-1=0 |
Те ж |
x0=0 y0=0,5 |
|
Продовження таблиці 10.1 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
25 |
Cosy+5x=0 0,48x+6,7y+x2y=0 |
Зейделя |
x0=0 y0=0 |
|
26 |
tg 5x-cos 3,5y=0 2,4y3-x2 –3-4x=0 |
Те ж |
x0=0 y0=1 |
|
27 |
14x2+3y2-1=0 sin(3x+0,1y)+x=0 |
Н`ютона |
x0=0 y0=0,5 |
|
28 |
0,6x+7,5y+x2y=0 cosy+6x=0 |
Простих ітерацій |
x0=0 y0=0 |
|
29 |
sin(x+1,6)-1=0 cos(y+1,2)+0,8x=0 |
Те ж |
x0=0,5 y0=0,8 |
|
30 |
4x2+35y2-1=0 sin(4,2x-0,6y)+6x=0 |
Ньютона |
x0=0 y0=0,5 |
Лабораторна робота 11
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ`ЯЗАННЯ ЛІНІЙНИХ
Мета роботи: навчитися розв`язання чисельними методами звичайні лінійні диференціальні рівняння з початковими умовами і їхнi системи.
11.1 Теоретичні вiдомостi
Розв`язання диференціальних рівнянь складає фундамент математичного моделювання різноманітних пристроїв, процесів, систем.
В електротехніцi та похiдних від неї дисциплінах розв`язання диференціальних рівнянь використовується при розрахунку перехідних процесів.
Звичайне диференціальне рівняння n-го типу порядку має вид:
(11.1)
де x - незалежна перемінна;
y(x) - невідома функція незалежної змінної,
- її похідні.
Для визначення приватного окремого розв`язання (11.1) повинні бути відомі n початкових умов:
…, (11.2)
Чисельне розв`язання диференціального рівняння складається у визначенні таблиці значень yi(xi)(i=0,1,2,…,k) на деякому інтервалі [ x0, xk].
Різницю між двома сусідніми табличними значеннями аргументу називають кроком інтегрування
h = xi+1 – xi . (11.3)
До числа найбільше поширених чисельних методів розв`язання диференціальних рівнянь вiдноcяться методи Рунге-Кутта.
Методи Рунге-Кутта узгоджуються з розкладанням функції y(x) у ряд Тейлора в окрузі точки xi аж до членів, що містять hp :
(11.4 )
Показник ступеня p при h в останньому члені, який було сумовано, у рядi Тейлора визначає порядок методу.
Метод Рунге-Кутта першого порядку називають методом Ейлера, другого порядку - модифікованим методом Ейлера, або методом Ейлера-Коши. Методи більш високих порядків не мають спеціальних назв.
Для використання методів Рунге-Кутта необхідно вихідне диференціальне рівняння (11.1) перетворитити в систему n диференціальних рівнянь першого порядку в нормальній формі Коши:
= f1(x,y1,y2,…,yn),
=f2(x,y1,y2,…,yn),
………………… (11.5)
= fn(x,y1,y2,…,yn),
y1(x0)=y10,y2(x0)=y20,…,yn(x0)=yn0.. (11.6)
Допоміжні змінні y1, y2,…, yn і їхні початкові умови в процесі перетворення однозначно зв'язуються з невідомою функцією y та її похідними.
Відповідно до методу Ейлера один крок рішення системи диференціальних рівнянь (11.5) із початковими умовами (11.6) виконується за формулою:
yi (x+h) = yi(x)+ hfi(x,y1,y2,…,yn), (11.7)
i=1,2,…,n
Метод Eйлера-Коши потребує обчислення вектора похідних (правих частин диференціальних рівнянь) у двох точках:
K1i=fi (x,y1,y2, …, yn ), (11.8)
K2i=fi (x+h,y1+hK11,y2+h12, …, yn+hK1n);
(11.9)
Відповідно при використанні методу Рунге-Кутта четвертого порядку вектор поxiдних на кожному кроцi чисельного інтегрування обчислюється чотири рази:
(11.10 )
(11.11)
Обчислення за приведеними вище формулах продовжуються доти, доки не буде досягнутий кінець інтервалу [x0, xk].
Похибка методів Рунге-Кутта визначається виразом:
. (11.12)
Величина коефіцієнта K залежить від системи, що розв'язується.
11.2 Завдання
Розв'язати систему диференціальних рівнянь із початковими умовами з таблиці 11.1 в заданому інтервалі з заданим кроком, використовуючи метод Ейлера-Коши (непарнi варіанти) або метод Рунге-Кутта четвертого порядку (парнi варіанти). Порівняти результати.
11.3 Методичні рекомендації
1. Позначте у вихідній системі рівнянь залежні змінні одним ім'ям із різними індексами (наприклад, y=y1, z=y2 ).
2. Виділiть в окремі підпрограми обчислення вектора похiдних при заданих значеннях x і та один крок чисельного інтегрування системи диференціальних рівнянь заданим методом.
3. У основному модулі організуйте введення вихідних даних (x0, xk, h, n, початкові умови) і ітераційний цикл за незалежною змінною x, усередині якого викликайте підпрограму заданого методу та виводьте результати (у вигляді таблиці або графіка).
4. Для контролю роботи програми розв`яжіть спочатку тестову систему диференціальних рівнянь другого порядку, для якої відомо аналітичне розв`язання. Порівняйте результати чисельного й аналітичного розв`язаннь.
Таблиця 11.1 – Завдання до лабораторної роботи №11
|
№ п/п |
Дифференцiальнi рівняння |
Параметри |
Iнтервал |
Крок |
Початковi умови |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1,2 |
a=2,5 b=3,0 |
tн=0 tк=0,3 |
ht=0,02 |
x(0)=1 y(0)=0,05 |
|
|
3,4 |
|
a=2,0 b=3,5 |
tн=0 tк=0,3 |
ht=0,02 |
x(0)=1 y(0)=0,5 |
|
5,6 |
|
a=2,5 b=3,5 |
tн=0 tк=0,15 |
ht=0,01 |
x(0)=0,5 y(0)=1 |
|
7,8 |
|
a=2,0 b=4,5 |
tн=0 tк=0,28 |
ht=0,02 |
x(0)=0,5 y(0)=1 |
|
9, 10 |
|
a=3,0 b=2,5 |
tн=0 tк=0,18 |
ht=0,01 |
x(0)=1 y(0)=0,5 |
|
11,12 |
|
x н=0 xк=1 |
hx=0,1 |
y(0)=0 z(0)=-0,4 |
|
|
13,14 |
|
n=4 |
xн=0 xк=1,2 |
hx=0,1 |
y(0)=1 z(0)=0 |
|
Продовження таблиці 11.1 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
15,16 |
|
a=2,0 c=4,5 |
xн=0 xк=0,3 |
hx=0,02 |
y(0)=1 z(0)=0,05 |
|
17,18 |
|
xн=0 xк=0,3 |
hx=0,02 |
y(0)=1 z(0)=0,5 |
|
|
19,20 |
k=2 n=4 |
xн=0 xк=0,28 |
hx=0,02 |
y(0)=0,5 z(0)=1 |
|
|
21,22 |
|
c=2 d=4,5 |
xн=0 xк=0,18 |
hx=0,01 |
y(0)=1 z(0)=0,5 |
|
23,24 |
|
k=3 c=2,5 |
xн=0 xк=0,3 |
hx=0,02 |
Y(0)=1 z(0)=0,5 |
Лабораторна робота 12
Мета роботи: навчитися визначати значення функцій, якi заданi у виглядi таблицi, при будь-яких значеннях аргументів за допомогою інтерполювання функцій ступеневими багаточленами.
12.1 Теоретичні зведення
У науці і техніцi багато функціональних залежностей задаються не аналітично, а у вигляді графіків або таблиць.
У ЕОМ інформація про такі функції вводиться у вигляді масивів, наприклад:
yi = f (xi), (12.1)
i=0,1,…,n . (12.2)
Задача інтерполювання полягає у знаходженнi наближеного значення нелінійної функції y у точках, що відрізняються від вузлів () .
Цю задачу можна вирішити, якщо знайти функцію F(x), яка интерполює, що приймає на деякому інтервалі [ xj, xj + k ] значення, що збігаються зі значеннями табличної функції (12.1) у вузловых точках:
F(xj )=yj,…,F(xj+1)=yj+1,…,F(xj+k)=yj+k. . (12.3)
Точку xj називають початковим вузлом інтерполяції.
Дуже часто в якості функції, що iнтерполює, використовують алгребраїчний поліном :
(12.4)
. (12.5)
При k=n багаточлен (12.4) стає глобальним iнтерполянтом, тому що в цьому випадку його значення збігаються зі значеннями вихідної функції в усіх вузлах ( j=0, j+k=n ).
Якщо таблична функція є заданою у рівномірно розташованих вузлах, тобто:
xi+1–xi=h=const, (12.6)
то значення y(x) можна визначити за першою iнтерполiйною формулою Ньютона:
(12.7)
де ; (12.8)
- прямі різниці відповідних порядків у початковому вузлі.
Якщо вузли табличної функції розташованi нерівномірно (xi+1-xi=var), то значення y(x) можна визначити за интерполяцiйною формулою Лагранжа:
(12.9)
Формули (12.8), (12.9) можна застосовувати для знаходження y(x) на інтервалі [xj, xj+k], проте найбільшу точність вони забезпечують поблизу початкового вузла інтерполяції xj :
Тому перш, нiж застосовувати iнтерполяцiйнi формули, необхідно визначити номер початкового вузла інтерполяції. Умову вибору можна виразити таким чином:
0 при x < x0,
j= n-k при x > xn-k ,
i при xi x < xi+1, i=1,2,…,n-k .
У технічних розрахунках звичайно застосовують лінійну або квадратичну інтерполяцію. У цьому випадку формули (12.7) і (12.9) набувають такого вигляду:
при k = 1:
(12.10)
(12.11)
при k = 2:
(12.12)
. (12.13)
Формули (12.10) і (12.11) являють собою рівняння прямої, що проходить через точки ( xj, yj ) і ( xj+1, yj+1 ), а (12.12) і (12.13) - рівняння квадратичної параболи, що проходить через точки ( xj, yj ), ( xj+1, yj+1 ), ( xj+2, yj+2 ).
12.2 Завдання
Обчислити наближені значення табличних функцій, приведених у таблиці 12.1, для аргументів, що змінюються по таких законах:
для непарних варіантів:
x=10 sint, t=0.5, 0.6,…,1.5;
для парних:
x=10 cost, t=0.1, 0.2,…,1.
У залежності від розташування вузлів застосувати квадратичную інтерполяцію Н`ютона або лінійну Лагранжа. Вiрнiсть рoзв`язання перевірити графічно.
12.3 Методичні рекомендації
1. Масиви табличних значень аргументу функції і поточні їхній значення x у програмі повинні бути позначені різними ідентифікаторами, наприклад,
2. Після пошуку номера початкового вузла інтерполяції перевірте умову x=xj . При його виконаннi не використовуйте iнтерполяцiйну формулу, а визначайте значення безпосередньо з таблиці: y=yj.
Таблиця 12.1 – Завдання до лабораторної роботи №12
|
Номер варiанту |
Табличнi функцiї |
|||||||||
|
1 |
2 |
|||||||||
|
1,2 |
xi |
-1 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
zi |
8,71 |
109,8 |
124,4 |
122,5 |
112,1 |
96,6 |
80,2 |
6,3 |
57,9 |
|
|
3,4 |
xi |
2 |
3,2 |
4,4 |
6,2 |
7,8 |
9,5 |
10,9 |
11,5 |
12,7 |
|
wi |
19,9 |
22 |
30 |
42,1 |
65 |
99,5 |
120 |
126,8 |
133,4 |
|
|
5,6 |
xi |
-3,5 |
-1,5 |
0,5 |
2,5 |
4,5 |
6,5 |
8,5 |
10,5 |
12,5 |
|
hi |
0,45 |
-3,09 |
-4,01 |
-3,9 |
-3 |
-1,62 |
-0,18 |
0,99 |
1,72 |
|
|
7,8 |
xi |
1,25 |
2,59 |
4,4 |
6,54 |
8,5 |
11,5 |
13,5 |
14,9 |
15 |
|
Pi |
3,0 |
5,0 |
7,0 |
8,5 |
9,3 |
9,9 |
10,6 |
11,2 |
11,64 |
|
|
9,10 |
xi |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
fi |
7,84 |
7,13 |
6,31 |
5,29 |
4,03 |
2,5 |
0,87 |
-0,68 |
-0,79 |
|
|
11,12 |
xi |
-1,5 |
1 |
2,7 |
5,5 |
6,5 |
8,3 |
9,6 |
11,2 |
12,75 |
|
Ui |
2,45 |
1,12 |
-1 |
-2,1 |
-2,3 |
- 1,9 |
-1 |
2 |
3,5 |
|
|
13,14 |
xi |
0,67 |
1,5 |
2,5 |
3,5 |
5 |
6,5 |
10 |
12,4 |
14 |
|
Si |
110 |
118,7 |
124,5 |
125,2 |
122,5 |
115,1 |
88,3 |
70 |
61,2 |
|
|
15,16 |
xi |
0,5 |
2,5 |
4,5 |
6,5 |
8,5 |
10,5 |
12,5 |
14,5 |
16,5 |
|
pi |
23,7 |
20,1 |
27,8 |
45,3 |
79,2 |
115,4 |
132,9 |
141,1 |
147 |
|
|
17,18 |
xi |
-2,77 |
-0,5 |
1 |
2 |
3,5 |
7 |
10 |
11,5 |
12,5 |
|
zi |
-1,5 |
-3,65 |
-4,03 |
-4,0 |
-3,54 |
-1,58 |
0,73 |
1,4 |
1,83 |
|
|
19,20 |
xi |
0,5 |
2,0 |
3,5 |
5,0 |
6,5 |
8,5 |
9,5 |
11,0 |
12,5 |
|
Wi |
1,23 |
0,92 |
0,78 |
0,68 |
0,6 |
0,53 |
0,49 |
0,47 |
0,45 |
|
|
21,22 |
xi |
-1 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
hi |
1,02 |
2,57 |
5,51 |
7,52 |
8,69 |
9,38 |
9,79 |
10,35 |
1,64 |
|
|
Продовження таблиці 12.1 |
||||||||||
|
1 |
2 |
|||||||||
|
23,24 |
xi |
-3 |
0,5 |
1,5 |
2,5 |
4,3 |
6,2 |
7,7 |
9,0 |
11 |
|
fi |
9,4 |
7,52 |
6,75 |
5,8 |
3,6 |
0,53 |
-1,5 |
-2,94 |
-4,4 |
|
|
25,26 |
xi |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
Ui |
3,1 |
2,66 |
1,74 |
0,35 |
-1,26 |
-2,28 |
-2,07 |
-0,54 |
2,53 |
|
|
27,28 |
xi |
0 |
0,4 |
1,5 |
3,0 |
4,6 |
7 |
9,2 |
11,5 |
13 |
|
Si |
1,47 |
1,26 |
0,99 |
0,82 |
0,7 |
0,57 |
0,5 |
0,46 |
0,44 |
3. Для графічної перевірки виведіть на екран у графічному режимі табличну функцію та її інтерпольовані значення в різній формі або різному кольорі. Наприклад, функцію виводьте у вигляді “решiтки” (відрізки з координатами кінців (xi,0), (xi,yi), i=0,1,. .,n), а інтерпольовані значення - у вигляді точок (x,y) або функцію - у вигляді ломаної кривої, що складається з відрізків із координатами (xi-1,yi-1) (xi,yi), а інтерпольовані значення - у виді решiтки.
Лабораторна робота 13
АПРОКСИМАЦIЯ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Мета роботи: навчитися описувати табличні функції аналітичними виразами.
13.1 Теоретичні вiдомостi
Апроксимація (від лат. : approximare - наближатися)- це наближене вираження яких-небудь величин через інші, більш прості величини.
Апроксимація табличної функції
yi = f(xi) , (13.1)
i=1,2,…,n . (13.2)
методом найменших квадратів складається у визначенні параметрів деякої аналітичної функції F(x), що забезпечують мінімізацію функцiонала.
(13.3)
Якщо в якості апроксимуючої функції обраний ступеневий багаточлен
(13.4)
то задача зводиться до визначення вектора коефіцієнтів шляхом розв`язання системи лінійних рівнянь (k+1) –го порядку:
(13.5)
де (13.6)
(13.7)
m=0,1,…,k.. (13.8)
Після перетворень система (13.5) прийме вид:
(13.9)
З системи (13.9) бачимо, що елементи матриці коефіцієнтів А й вектори вільних членів можна описати формулами:
(13.10)
Після визначення коефіцієнтів систему (13.9) можна розв`язаним будь-яким із відомих методів, наприклад методом Гаусса.
Апроксимацію методом найменших квадратів часто застосовують для згладжування табличних функцій, отриманих у результаті експерименту, а також для зменшення обсягу інформації про табличні функції при невисоких вимогах до точності розрахунків.
13.2 Завдання
Апроксимувати табличну функцію, що приведена в таблиці роботи 12, ступеневим багаточленом k-го порядку методом найменших квадратів. Для непарних варіантів k=3, для парних - k=2. Обчислити значення функцiонала, що мiнiмiзується. Проiлюструвати результати графіками. Виконати програму двічі при різній кількості табличних точок (n=9 і n=5). Оцінити вплив кількості точок на точність апроксимації.
13.3 Методичні рекомендації
При використанні для рішення системи рівнянь (13.9) стандартних підпрограм необхідно узгодити індекси стандартної системи рівнянь (що не містить коефіцієнтів із нульовими індексами) і системи (13.9). Узгодження складається в зміні формул. (13.10 ).
Лабораторна робота 14
Мета роботи: навчитися обчислювати на ЕОМ визначені інтеграли від функцій, заданих таблично й аналітично.
14.1 Теоретичні вiдомостi
Задачi, у яких потрібно обчислення інтегралів, виникають практично у всіх областях прикладної математики.
Чисельні методи інтегрування засновані на тому, що інтервал [a, b] розбивають на участки, на кожному з яких крива, що описується подiнтегральною функцією f(x), заміняється деякою іншою кривою, для якої обчислення інтеграла виконується за достатньо простими формулами, а потім усі площі підсумовуються.
При заміні подiнтегральної функції поліномами, що интерполюють, одержують т.званi. квадратурнi формули. Квадратурнi формули для рівновіддалених вузлів інтерполяції називають формулами Ньютона-Котеса.
У залежності від ступеня полінома, що интерполює, розрізняють методи прямокутників, трапецій і квадратичних трапецій, або метод Сiмпсона.
Основні формули і показники, що характеризують ці методи при розбивці інтервалу інтегрування на рівні відрізки, приведені в табл. 14.1, де прийняті такі позначення:
n - число участків розбивки,
- крок інтегрування,
(14.1)
Похибка методів визначається величиною інтеграла від залишкового члена интерполяцiйного полінома. У формулах для оцінки похибки Mi - максимальне значення i-ої похідної на інтервалі [a, b].
Таблиця 14.1 – Завдання до лабораторної роботи №14
|
Назва методу |
Ступiнь полінома, що iнтер-полює |
Похибка |
|
|
Прямокутни-кiв |
0 |
||
|
Трапецiй |
1 |
||
|
Сiмпсона |
2 |
При використанні методу Сiмпсона число участків розбивки обов'язково повинно бути парним (n=2k) і всі участки повинні бути однаковими (h=const). При нерівномірній розбивці інтервалу інтегрування використовують звичайно методи прямокутників і трапецій, для яких формули чисельного інтегрування в цьому випадку набувають виду:
(14.2)
за методом прямокутників,
(14.3)
за методом трапецій.
Для забезпечення заданої точності інтегрування часто використовують алгоритми з автоматичним вибором кроку (АВК), у яких використовують такий прийом. Обчислюють значення інтеграла одним із розглянутих методів із деяким початковим кроком h, а потім повторюють ці ж обчислення з половинним кроком . Якщо виявиться, що
(14.4)
де - припустима похибка інтегрування,
то обчислювальний процес припиняють, у противному випадку удають до подальшого роздрібнення кроку.
Отримане таким методом наближене значення інтеграла можна уточнити, використовуючи екстраполяцiйний перехід до лімiту, що був запропонований Рiчардсоном:
, (14.5)
1 - для методу прямокутників,
де k= 2 - для методу трапецій,
3 - для методу Сiмпсона.
14.2 Завдання
14.2.1 Інтегрування табличних функцій
Розрахувати визначений інтеграл від табличної функції, заданої в табл. 14.2. Непарнi варіанти використовують метод трапецій при нерівномірній розбивці інтервалу інтегрування і метод Сiмпсона - при рівномірнiй, парнi варіанти в аналогічних ситуаціях використовують метод прямокутників і метод трапецій відповідно.
14.2.2 Інтегрування функцій, заданих аналітично
Обчислити визначений інтеграл
для функції, приведеної в табл. 14.2, на заданому інтервалі [a,b] із заданою точністю , використовуючи зазначений у таблиці метод з автоматичним вибором кроку.
14.3 Методичні рекомендації
Для візуального контролю результату побудуйте графік подiнтегральної функції і нанесiть на нього пряму, паралельну вiсі абсцис, на рівні
При правильному розв`язанні площа, обмежена подiнтегральною кривою і прямими х=а, x=b і y=0, буде приблизно дорівнює площі прямокутника, обмеженого відрізками прямих y=yсp , x=a, x=b, y=0.
Таблиця 14.2 – Вихідні дані до лабораторної роботи №14
|
Варiант |
Метод |
f(x) |
a |
b |
Параметри |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
Прямокутників |
10-5 |
0 |
=0,182 |
||
|
2 |
Сiмпсона |
10-3 |
||||
|
3 |
Трапецiй |
10-4 |
0 |
c=0,953 d=2,295 |
||
|
4 |
Прямокутників |
10-2 |
||||
|
5 |
Трапецiй |
10-6 |
0 |
1 |
c=3,18 d=-1,37 |
|
|
6 |
Сiмпсона |
10-3 |
||||
|
7 |
Прямокутників |
10-2 |
0 |
m=3 |
||
|
8 |
Трапецiй |
10-4 |
||||
|
9 |
Те ж |
10-5 |
0 |
1 |
c=1,21 |
|
|
10 |
Сiмпсона |
10-3 |
||||
|
11 |
Трапецiй |
10-2 |
0 |
c=8,53 d=0,524 |
||
|
12 |
Прямокутників |
10-4 |
||||
|
13 |
Сiмпсона |
10-5 |
0 |
1 |
c=0,732 |
|
|
14 |
Трапецiй |
10-3 |
||||
|
Продовження таблиці 14.2 |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
15 |
Прямокутників |
10-4 |
0 |
c=3,76 d=8,39 |
||
|
16 |
Трапецiй |
10-2 |
||||
|
17 |
Сiмпсона |
10-6 |
0 |
1 |
c=4,18 |
|
|
18 |
Трапецiй |
10-3 |
||||
|
19 |
Те ж |
10-2 |
0 |
1 |
c=0,874 |
|
|
20 |
Прямокутників |
10-4 |
||||
|
21 |
Сiмпсона |
10-5 |
1 |
2 |
c=2 |
|
|
22 |
Трапецiй |
10-3 |
||||
|
23 |
Прямокутників |
10-2 |
1 |
5 |
||
|
24 |
Сiмпсона |
10-4 |
||||
|
25 |
Те ж |
10-5 |
0 |
c=0,5 |
||
|
26 |
Трапецiй |
10-3 |
Лабораторна робота 15
ГАРМОНІЧНИЙ АНАЛІЗ І СИНТЕЗ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Мета роботи: навчитися визначати гармонічний склад періодичних функцій.
15.1 Теоретичні вiдомостi
Функція часу f(t) називається періодичною, якщо для неї справедлива умова
(15.1)
де Т - період.
Гармонічний аналіз періодичних функцій полягає у визначенні коефіцієнтів ak , bk ряду Фур'є:
(15.2)
де кругова частота першої гармоніки;
k - порядковий номер гармоніки.
Обмежившись у формулі (15.2) деякою кінцевою кількістю гармонік m, одержують апроксимуючий гармонічний багаточлен Qm(t):
(15.4)
Коефіцієнти Фур'є визначаються виразами:
(15.5)
Використовуючи для чисельного інтегрування у формулах (15.5) метод прямокутників при розбивці інтервалу інтегрування [0,T] на n рівних відрізків, одержимо:
(15.6)
k=1,2,…,m,
(15.7)
(15.8)
(15.9)
При
n=2k (15.10)
функція Qm(t) стає тригонометричним iнтерполянтом.
Гармонічним синтезом називається одержання періодичної функції шляхом підсумовування її гармонічних складових за формулою (15.4).
15.2 Завдання
Розрахувати коефіцієнти iнтерполюючого тригонометричного багаточлена, що апроксимуючу табличну функцію з таблиці, задану в точках
при
Побудувати графік функції , що iнтерполює, і нанести на нього вихідну табличну функцію у вигляді решiтки.
15.3 Методичні рекомендації
Для наочності щільність точок на графіку апроксимуючої функції повинна в 5-10 разів перевищувати щільність точок, що розбивають період на відрізки для чисельного інтегрування.
Простежте, як впливає кількість гармонік m при заданій кількості відрізків розбивки n на точність апроксимації.
Таблиця 15.1 – Вихідні дані до лабораторної роботи №15
|
Номер варiанту |
Табличні значення функції |
|
1 |
2 |
|
1 |
1.00,1.803, 3.085,4.776,6.434,7.347,7.027,5.652,3.897,2.381, 1.347, 7.422, 0.419, 0.256, 0.176, 0.142, 0.136, 0.155, 0.209, 0.324, 0.554 |
|
2 |
7.38, 6.76, 5.22, 3.47, 2.07, 1.16, 0.64, 0.36, 0.23, 0.16, 0.13, 0.13, 0.16, 0.23, 0.37, 0.64, 1.16, 2.08, 3.48, 5.22, 6.76 |
|
3 |
-1.24, -1.17, -1.08, -0.96, -0.84, -0.79, -0.8, -0.9, -1.1, -1.21, -1.02, -1.28, -1.32, -1.34, -1.36, -1.37, -1.37, -1.36, -1.35, -1.33, -1.30 |
|
4 |
-3.0, -3.58, -4.12, -4.56, -4.86, -4.99, -4.94, -4.73, -4.36, -3.86, -3.30, -2.7, -2.13, -1.64, -1.26, -1.05, -1.00, -1.13, -1.43, -1.87, -2.43 |
|
5 |
1.0,1.05, 90.6, 520.4, 1714.7, 2915.0, 2439.2, 1020.6,230.7, 32.17, 3.29, 0.3, 0.03, 0.004, 0.001, 0.0003,0.0006, 0.002, 0.01, 0.09, 0.9 |
|
6 |
2980.1, 2089.3, 742.4, 146.6, 18.6, 1.8, 0.16, 0.02, 0.003, 0.001, 0.001,0.001,0.002,0.003, 0.018, 0.9, 1.22, 18.6, 146.6, 742.5, 2089.7 |
|
7 |
1.0, 1.34, 1.75, 2.18, 2.53, 2.71, 2.65, 2.37, 1.97, 1.54, 1.16, 0.86, 0.64, 0.5, 0.42, 0.37, 0.36, 0.39, 0.45, 0.56, 0.74 |
|
8 |
2.71, 2.6, 2.28, 1.86, 1.44, 1.07, 0.8, 0.46, 0.42, 0.4, 0.37, 0.37, 0.4, 0.48, 0.6, 0.8, 1.07, 1.44, 1.86, 2.28, 2.6 |
|
9 |
-1.32,-1.28,-1.26,-1.24, -1.25, -1.25, -1.25, -1.26, -1.27, -1.29, -1.29, -1.33, -1.34, -1.37, -1.37, -1.37, -1.37, -1.36, -1.36, -1.35, -1.34 |
|
Продовження таблиці 15.1 |
|
|
1 |
2 |
|
10 |
-4.0, -4.2, -4.5, -4.7, -4.9, -5.0, -4.9, -4.8, -4.6, -4.4, -4.1, -3.8, -3.5, -3.1, -3.0, -3.0, -3.0, -3.1, -3.2, -3.4, -3.7 |
|
11 |
1.0, 2.4, 5.4, 10.4, 16.3, 19.9, 18.6, 13.4, 7.7, 3.6, 1.6, 0.64, 0.27, 0.13, 0.07, 0.05, 0.05, 0.06, 0.09, 0.18, 0.4 |
|
12 |
20.0, 17.5, 11.9, 6.4, 2.9, 1.2, 0.5, 0.2, 0.1, 0.06, 0.05, 0.05, 0.06, 0.1, 0.5, 1.0, 1.2, 2.9, 6.4, 11.9, 17.5 |
|
13 |
-1.1, -0.8, -0.3, 0.3, 0.7, 0.8, 0.7, 0.5, 0.04, -0.6, -0.9, 1.1, -1.27, -1.32, -1.35,-1.37, -1.37, -1.36, -1.34, -1.3, -1.2 |
|
14 |
-2.0, -2.8, -3.7, -4.3, -4.7, -4.9, -4.9, -4.5, -4.1, -3.3, -2.4, -1.5, -0.6, -0.04, 0.6, 0.02, 0.99, 0.79, 0.34, 0.3, -1.1 |
|
15 |
1.1, 3.2, 9.5, 22.8, 41.4, 53.9, 49.4, 31.9, 15.2, 5.7, 1.8, 0.55, 0.17, 0.06, 0.03, 0.02, 0.01, 0.02, 0.04, 0.1, 0.3 |
|
16 |
-0.78, -1.22, -1.34, -1.39, -1.42, -1.43, -1.42, -1.41, -1.37, -1.3, -1.1, -0.1, 1.1, 1.2, 1.33, 1.36, 1.37, 1.35, 1.3, 1.17, 0.65 |
|
17 |
54.5, 45.7, 27.2, 12.1, 4.3, 1.3, 0.4, 0.13, 0.05, 0.03, 0.02, 0.02, 0.03, 0.05, 0.13, 0.41, 1.3, 4.3, 12.1, 21.2, 45.7 |
|
18 |
-0.78, 0.18, 0.89, 1.13, 1.21, 1.24, 1.23, 1.18, 1.04,0.63, -0.38, -1.01, -1.22, -1.3, -1.35, -1.36, -1.37, -1.36, -1.33, -1.27, -1.1 |
|
19 |
-1.0, -2.1, 3.2, -4.1, -4.7, -4.9, -4.8, -4.4, -3.7, -2.7, -1.6, -0.4, 0.7, 1.7, 2.4, 2.9, 3.0, 2.7, 2.1, 1.2, 0.2 |
|
20 |
1.0 , 4.36, 16.7, 49.8, 105. 0, 146. 3, 130. 9, 75.9, 30.0,8.75, 2.1, 0.47, 0.11, 0.03, 0.01, 0.007, 0.006, 0.009, 0.02, 0.05, 0.2 |
|
21 |
148.4, 118.8, 62.6, 25.5, 6.21, 1.45, 0.33, 0.08, 0.02,0.01, 0.007,0.007, 0.01, 0.02, 0.08, 0.32, 1.45, 6.2, 22.6, 62.2, 119.0 |
|
22 |
0.0, 0.97, 1.23, 1.32, 1.36, 1.37, 1.36, 1.34, 1.28, 1.130.64, -0.64, -1.13, -1.28, -1.34, -1.37, -1.36, -1.32, -1.23, -0.9, -0.2 |
|
23 |
-0.0001, -1.47, -2.8, -3.9, -4.65, -4.98, -4.87, -4.33, -3.4, -2.16, -0.74, 0.74, 2.17, 3.14, 4.33, 4.87, 4.98, 4.65, 3.9, 2.8, 1.4 |
|
24 |
1.0,5.8, 29.3, 108.9, 266.4, 396.7, 347.1, 180.5, 59.2, 13.5, 2.4, 0.4, 0.07, 0.01, 0.005, 0.003, 0.002, 0.004, 0.009, 0.03, 0.1 |
|
25 |
403.4, 309.0, 142.2, 42.1, 8.9, 1.56, 0.26, 0.05, 0.01, 0.0044, 0.0026, 0.0026, 0.0044,0.01, 0.05, 0.263, 1.56, 8.95, 42.1, 142.2, 309.9 |
|
26 |
0.78, 1.22, 1.34, 1.39, 1.42, 1.43, 1.42, 1.41, 1.37, 1.3, 1.1, 0.1, -1.1, -1.2, -1.33, -1.36, -1.37, -1.35, -1.3, 1.17, -0.65 |
|
27 |
1.0, -0.77, -2.3, -3.6, -4.6, -4.9, -4.8, -4.1, -3.1, -1.6, 0.1, 1.9, 3.6, 5.1, 6.2, 6.84, 6.98, 6.58, 5.69, 4.4 , 2.7 |
|
28 |
1.0 , 7.8, 51.5, 238.1, 675.9, 1075.4, 620.1, 429.3, 110.8, 20.8, 2.83, 0.35, 0.04, 0.01, 0.002, 0.001, 0.001, 0.001,0.004, 0.02, 0.12 |
|
продовження таблиці 15.1 |
|
|
1 |
2 |
|
29 |
1.10, 1.32, 1.40, 1.43, 1.45, 1.46, 1.46, 1.44, 1.42, 1.37, 1.25, 0.76, -0.8, -1.22, -1.33, -1.36, -1.37, -1.35, -1.29, -1.1, -0.1 |
|
30 |
2.0 , -0.06, -1.9, -3.4, -4.9, -4.8, 4.0, -2.7, -1.1, 0.95, 3.0, 5.0, 6.7, 8.1, 8.8, 8.9, 8.5, 7.47, 5.94, 4.06 |
Лабораторна робота 16
ПОШУК ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЙ МЕТОДОМ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРIЗУ
Мета роботи: навчитися визначати максимальні і мінімальні значення функції на заданому інтервалі.
16.1 Теоретичні вiдомостi
Пошук екстремумiв функції одної змінної має не тільки самостійний інтерес, а і є важливим елементом процесів мінімізації функцій декількох змінних (багатовимiрної мінімізації) при розв`язанні різноманітних задач оптимізації.
Метод, що описується нижче, дозволяє знайти точку екстремума функції f(x) на інтервалі [a,b]. Для певності пошуку відрізок [a,b] повинний містити один максимум або мінімум досліджуваної функції.
Золотим перерiзом відрізка називають ділення його на дві частини таким чином, що відношення довжини усього відрізка до довжини більшої частини дорівнює відношенню довжини більшої частини до меншої.
Неважко довести, що золотий перерiз відрізка [a, b] виконують дві симетрично розташовані точки:
(16.1)
де (16.2)
Причому точка x1 у свою чергу робить золотий перерiз відрізка [a, x2], а точка x2 - відрізка [x1, b].
Відповідно до вищевикладеного, пошук мінімального значення функції на заданому інтервалі [a, b] може бути виконаний у такий спосіб:
- відрізок [a, b] дiлимо точками x1 і x2 за правилом золотого перерiзу;
- обчислюємо значення функції, що мiнiмiзується, f(x) у точках x1 і x2 ;
- при f(x1)>f(x2) змінюємо ліву границю інтервалу a=x1, а в противному випадку - праву b=x2;
- повторюємо процес спочатку, враховуючи, що одна з точок золотого перерiзу уже відома;
- ітерації продовжуємо доти, поки інтервал невизначеностi [a, b] не стане менше заданої похибки ;
- після завершення ітерацій точку мінімуму можна уточнити, розділивши відрізок [a, b] навпіл:
Аналогічно можна знайти максимум функції.
16.2 Завдання
Знайти максимальне або мінімальне значення функції на інтервалі [a, b] із точністю . Вихiднi дані приведені в таблиці 16.1. Побудувати графік функції і відзначити на ньому точку екстремума.
Таблиця 16.1 – Завдання до лабораторноъ роботи №16
|
№ з/р |
f(x) |
a |
b |
Вид екстремума |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
4 |
5 |
10-5 |
Мінімум |
|
|
2 |
0 |
2 |
10-4 |
Максимум |
|
|
3 |
-1 |
2 |
10-3 |
Мінімум |
|
|
4 |
1 |
2 |
10-5 |
Максимум |
|
|
5 |
-2 |
0 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
6 |
0 |
2 |
10-3 |
Максимум |
|
|
7 |
-2 |
0 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
8 |
0 |
1 |
10-5 |
Максимум |
|
|
9 |
-2 |
0 |
10-3 |
Мінімум |
|
Продовження таблиці 16.1 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
10 |
-1 |
1 |
10-3 |
Максимум |
|
|
11 |
0 |
2 |
10-3 |
Мінімум |
|
|
12 |
12 -6 |
Максимум |
|||
|
13 |
1 |
3 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
14 |
1 |
2 |
10-5 |
Максимум |
|
|
15 |
-1 |
0 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
16 |
0,1 |
2 |
10-3 |
Максимум |
|
|
17 |
0,1 |
0,18 |
10-6 |
Мінімум |
|
|
18 |
-0,1 |
0,6 |
10-5 |
Максимум |
|
|
19 |
-1 |
1 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
20 |
-1 |
2 |
10-3 |
Максимум |
|
|
21 |
1,6 |
3 |
10-4 |
Мінімум |
|
|
22 |
0,2 |
0,5 |
10-6 |
Максимум |
|
|
23 |
-5 |
0 |
10-3 |
Мінімум |
|
|
24 |
0,5 |
1,6 |
10-4 |
Максимум |
|
|
25 |
0,1 |
1 |
10-5 |
Мінімум |
|
Вступ |
||
|
Лабораторна робота №1 |
Обчислення значень статечного полінома за схемою Горнера |
3 |
|
Лабораторна робота №2 |
Найпростіші операції з матрицями |
6 |
|
Лабораторна робота №3 |
Рішення систем лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами |
10 |
|
Лабораторна робота №4 |
Рішення систем лінійних рівнянь з комплексними коефіцієнтами |
18 |
|
Лабораторна робота №5 |
Обернення матриць |
20 |
|
Лабораторна робота №6 |
Обчислення визначників матриць |
23 |
|
Лабораторна робота №7 |
Відокремлення коренів трансцендентних рівнянь |
25 |
|
Лабораторна робота №8 |
Відокремлення коренів алгебраїчних равнянь |
28 |
|
Лабораторна робота №9 |
Уточнення коренів трансцендентних і алгебраїчних рівнянь |
30 |
|
Лабораторна робота №10 |
Розв`язання систем нелінійних рівнянь |
34 |
|
Лабораторна робота №11 |
Чисельне розв`язання лінійних діференціальних рівнянь |
39 |
|
Лабораторна робота №12 |
Інтерполювання |
43 |
|
Лабораторна робота №13 |
Апроксимація методом найменьших квадратів |
47 |
|
Лабораторна робота №14 |
Чисельне інтегрування |
49 |
|
Лабораторна робота №15 |
Гармонічний аналіз і сінтез періодичних функцій |
53 |
|
Лабораторна робота №16 |
Пошук екстремальних значень функцій методом золотого перерізу |
57 |
Методичні вказівки до лабораторних робіт до курсу “Математичні методи і моделі” (для студентів спеціальності 7.090603)
Складачі: Джура Сергій Георгійович, к.т.н., доцент
Шлепньов Сергій Володимирович, к.т.н., доцент
Якімішина Вікторія Вікторівна, асистент