Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
72. Понятие функции нескольких переменных
Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.
Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают
z = f (x, y).
Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.
Так, для функции z = x2 + 3xy
при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,
при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.
Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y и z вычислить соответствующее значение u:
u = F (x, y, z).
Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y и z.
Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,
при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.
Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается
u = f (x, y, z, …,t).
Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М0 (x0, y0, z0, …,t0) и обозначается f (М0) = f (x0, y0, z0, …,t0).
Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.
Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п-мерного пространства.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х0, у0), равный числу А, обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f (x, y)→А при (x, y)→ (х0, у0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х0, у0) последовательность точек (xk, yk).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, у0) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f (x, y) – A | < ε (3)
для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х0, у0) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х0, у0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х0, у0) можно записать в виде х = х0 + Δх, у = у0 + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х0, у0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ωх, ωу) – произвольный вектор длины единица (|ω|2 = ωх2 + ωу2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t)
образуют луч, выходящий из (х0, у0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t)
f (х0 + tωх, y0 + tωу),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х0, у0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x, y) за исключением точки х0 = 0, у0 = 0. Имеем (учесть, что и ):
Отсюда
(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y)| < ε, если < δ).
Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство
из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид
).
Пример 2. Рассмотрим в R2 функцию
(х4 + у2 ≠ 0).
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х → 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х2
и
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что
| f (x, y)| > N,
коль скоро 0 < < δ.
Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:
(5)
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |x| > N, |y| > N, функция f определена и имеет место неравенство
| f (x, y) – А| < ε.
Справедливы равенства
(6)
(7)
(8)
где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.
Докажем для примера (7).
Пусть (xk, yk) → (х0, у0) ((xk, yk) ≠ (х0, у0)); тогда
(9)
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk, yk) стремится к (х0, у0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y)∙ φ (x, y) в точке (х0, у0).
Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х0, у0), т.е.
то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ, (10)
она удовлетворяет неравенству
(12)
Поэтому для таких (x, y)
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда при A > 0 и при
A < 0 (сохранение знака).
По определению функция f(x) = f (x1, …, xn) = A имеет предел в точке
x0 = , равный числу А, обозначаемый так:
(пишут еще f(x) → A (x → x0)), если она определена на некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к x0 последовательность точек хk из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x0.
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x0 предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
(13)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < |x – x0| < δ.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x0) точки x0 такая, что для всех хU(x0), х ≠ x0, выполняется неравенство (13).
Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x0, то А есть предел функции f(x0 + h) от h в нулевой точке:
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x0, кроме, быть может, точки x0; пусть ω = (ω1, ..., ωп) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x0 + tω (0 < t) образуют выходящий из x0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
(0 < t < δω)
от скалярной переменной t, где δω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)
если он существует, естественно называть пределом f в точке x0 по направлению вектора ω.
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x0, за исключением, быть может, x0, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f(x)| > N, коль скоро 0 < |x – x0| < δ.
Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:
(14)
Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |x| > N, функция f определена и имеет место неравенство .
Итак, предел функции f(x) = f(x1, ..., хп) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f(M) при М → М0, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М0 и удовлетворяющих условию | ММ0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f1(M) и f2(M) при М → М0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
а)
б)
в)
Пример 1. Найти предел функции:
Решение. Преобразуем предел следующим образом:
Пусть y = kx, тогда
Пример 2. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда
Пример 3. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда
Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х0, у0) можно записать в эквивалентной форме:
(1')
т.е. функция f непрерывна в точке (х0, у0), если непрерывна функция f (х0 + Δх, у0 + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.
Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов
Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y)
и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если
(1'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х0, у0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х0, у0) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что
| f (x, y) – f (х0, у0) | = |с – с | = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:
| f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.
Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R2.
Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R2, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.
Функция
Р (x, y) = х3 – у2 + х2у – 4
может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция
Р (x, y) = х4 – 2х2у2 + у4
есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x0, y0, z0) пространства R3 (точек (x, y, z)), а функции
x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)
непрерывны в точке (u0, v0) пространства R2 (точек (u, v)). Пусть, кроме того,
x0 = φ (u0, v0), y0 = ψ (u0, v0), z0 = χ (u0, v0).
Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по
(u, v)) в точке (u0, v0).
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х0, у0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х0, у0) в некоторой окрестности точки (х0, у0).
По определению функция f (x) = f (x1, ..., хп) непрерывна в точке х0 = (х01, ..., х0п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х0, и если предел ее в точке х0 равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х0 можно записать в эквивалентной форме:
(2')
т.е. функция f (x) непрерывна в точке х0, если непрерывна функция f (х0 + h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение f в точке х0, соответствующее приращению h = (h1, ..., hп),
Δh f (х0) = f (х0 + h) – f (х0)
и на его языке определить непрерывность f в х0: функция f непрерывна в х0, если
(2'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х0) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δh f (х0) называют также полным приращением функции f в точке х0.
В пространстве Rn точек х = (x1, ..., хп) зададим множество точек G.
По определению х0 = (х01, ..., х0п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.
функций нескольких переменных" width="17" height="14" align="BOTTOM" border="0" /> Rn называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х1 = φ1 (t), ..., хп = φп (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в Rn, соединяющую точки х1 = (х11, ..., х1п) и х2 = (х21, ..., х2п), где х11 = φ1 (а), ..., х1п = φп (а), х21 = φ1 (b), ..., х2п = φп (b). Букву t называют параметром кривой.
Множество G называется связным, если любые его две точки х1, х2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.
Связное открытое множество называется областью.
Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству
f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х0 G, тогда существует шар
| х – х0 | < δ,
на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х0 G – внутренняя для G.
Случай с f (x) < с доказывается аналогично.
Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке М0 и вблизи этой точки;
б) существует предел ;
в)
Если в точке М0 нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x2 + y2).
Решение. Функция z = ln (x2 + y2) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.
Пример 2. Найти точки разрыва функции:
Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x2 + y2 – z2 = 0. Следовательно, поверхность конуса
x2 + y2 = z2 является поверхностью разрыва.
73. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
При вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные считаются константами, поэтому техника дифференцирования функции нескольких переменных включает те же правила и приемы, которые используются при нахождении производных функций одной переменной.
Для функции z= f( x, y) полный дифференциал
. (54)
Если x и y – независимые переменные и функция f( x, y) имеет непрерывные частные производные, то
. (55)
Точки экстремума функции относительно некоторого множества называют точками относительного экстремума, или условного экстремума функции.
Задачу нахождения условного экстремума будем рассматривать для частного случая функции двух переменных , определенной на , при условии, что множество Е имеет вид:
,
где – некоторая функция, определенная на D. Уравнение называется в данной задаче уравнением связи.
Пример 4.2.1. <Дана функция . Найти .
Решение. Используя свойства (51), (52), (53), вычислим частные производные первого и второго порядка:
Ответ: ►
Пример 4.2.2.Найти экстремум функции при условии .
Решение. Запишем уравнение связи в виде . style='color:black'>Найдем экстремум функции относительно множества .
Из уравнения связи выразим одну переменную через другую и получим функцию одной переменной
.
Функция зависит только от одной переменной, поэтому, вычисляя производную, определяем точки её экстремума
.
Так как вторая производная положительна, то имеем для функции строгий минимум. Подставляя найденное значение в уравнение связи, находим координаты точки условного минимума .
Таким образом, функция имеет строгий минимум относительно множества в точке , равный .
Ответ: . ►
Пример 4.2.3. Найти экстремум функции
Решение.Область определения данной функции .Находим частные производные первого порядка
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки из системы уравнений
или
Решая данную систему, получаем , т.е. точка – стационарная точка.
Находим значения частных производных второго порядка в точке :
.
Тогда
,
следовательно, в точке функция имеет максимум: .
Ответ: ►
Частные производные
2.1. Частные производные.
Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М)<, называют -окрестностью точки М.
Пусть функция двух переменных z
=
f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z
=
f(x;у) изменится на величину
,
которая называется частичным приращением функции z
=
f(x;у) по переменной х.
Аналогично величину
называют частичным приращением функции по переменной у.
Если существует предел
,
то его называют частной производной функции z
=
f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х и обозначают такими символами:
,,,.
Аналогично
=
Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей. Частные производные от частных производных , функции z
=
f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:
, ,
, .
Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.
Пример 1: Найти частные производные функции
Решение:
(при дифференцировании по x мы считаем у=const, а при дифференцировании по у мы считаем x=const).
Пример 2: Найти частные производные функции
Решение:
Пример 3: Пусть u= xу (x>0); частные производные этой функции будут:
Первая из них вычисляется как производная степенной функции от х
(при у =const), а вторая - как производная показательной функции от у
(при х = const).
Пример 4: Если , то
Пример 5: Для имеем:
; ; .
Пример 6: Пусть , где - произвольная функция (имеющая производную).
Показать, что для z всегда выполняется соотношение:
какова бы ни была функция .
По правилу дифференцирования сложной функции (означая штрихом производную по u) имеем:
и отсюда
Пример 7: Сторона a треугольника определяется по двум другим сторонам b
,
c и заключенному между ними углу a так: .
Тогда
. Геометрический смысл частных производных
Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.
Рассмотрим функцию z
= f
(
x
, у), определенную на плоском открытом множестве G
, т. е. множестве G
, лежащем на плоскости Е2.
Пусть (x
0
, у0) G
и пусть в точке (х0, у0) существует частная производная . Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной
производной как обычной производной функции f
(
x
, у) по х при
фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной.
График 1 – геометрический смысл частных производных.
В самом деле, возьмем замкнутый круг Q
радиуса r
с центром в точке (x
0
, у0) и лежащий в G
*. Пусть - кривая, заданная представлением
т. е. кривая, которая получается сечением графика функции z
=
f
(
x
, у), (х,
y
)
Q
плоскостью =y
0.
* Такой круг Q
всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая -окрестность
O
точки (х0, у0), что О
G
.
Тогда замкнутый круг
Q
радиуса с центром в точке (х0, у0) будет заведомо лежать в
G
.
Как известно,
где - угол, образованный касательной к графику функции f
(х,
у0) в точке (х0, f
(
x
0
,
у0)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой в точке (x
0
, у0,
f
(х0,
у0)) с осью Ох.
Таким образом,
- в этом состоит геометрический смысл частной производной.
Совершенно аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производной тангенса угла наклона, образованного касательной в точке (х0, f
(
x
0
,
у0)) к кривой, образованной сечением графика функции z=f(x, у), (х,y
)
Q
плоскостью х=х0, с осью Оу.
74. Полное приращение и полный дифференциал
функции двух переменных
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные fx/(x,y) и fy/(x,y).Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения и . Тогда функция получит приращение, которое называется полным приращением. Запишем следующим образом: (3).
Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:
,
Где а . Если и то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при . Таким образом, , где и бесконечно малые величины. Отсюда: (4).
Обозначим Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при и , также стремиться к нулю. Соотношения равносильны соотношению . Окончательно,
(5)
причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно и и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно . Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.
.
Приращения независимых переменных и равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx= и dy=. Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.
Пример. Найти dz, если z=x2yx.
.
Вычислим частные производные: fx/(x,y)=2xyx+x2yxlny, fy/(x,y)=x2xyx-1=x3yx-1.
Окончательно, dz=(2xyx+x2yxlny)dx+x3yx-1dy.
Пример. Пусть z=3xy-5xy2+2. Найти приближенное значение функции в точке А(1,01;1,98).
Дадим x и y, исходя из значений x0=1, y0=2, приращения и , вычислим и dz.
z(x0,y0)=z(1;2)=-12, z(x+)=z(1,01;1,98)=-11,79862. Значит =0,20138. С другой стороны, zx/=3y-5y2, zy/=3x-10xy.
Если x=1, y=2, то zx/=-14, zy/=-17. Значит, dz=-0,14+0,34=0,2.
Абсолютная ошибка равенства равна 0,00138, а относительная ошибка%
Понятие дифференциала нашло применение в теории ошибок. Пусть величина z=f(x,y) зависит только от x и y. Необходимо найти z0 , соответствующее x0 и y0, которые находятся в результате некоторого измерения. Так как любое измерение дает приближенное значение данной величины, причем ошибка бывает, неизвестна, а известна лишь предельная ошибка, т.е. число, которое не может превзойти ошибка, (это число определяется точностью измеряемой аппаратуры). Зная предельные ошибки х0 и у0, можно найти предельную ошибку zo. Измерение дает не х0 и у0, а х0+ и у0+, причем <,<у ( иу - предельные ошибки или максимальные абсолютные погрешности).
При вычислении получаем . Разность может быть заменена dz, т.е. ошибка , равная dz=fx/(x,y)+fy/(x,y), удовлетворяет неравенству
(6)
Отношение погрешности к приближенному значению z называется относительной погрешностью этой величины и обозначается .
.
Максимальной относительной погрешностью величины z называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине z и обозначается .
(7)
Пример. Измерения катетов прямоугольного треугольника дали х=10 см. и у=6 см., причем максимальные абсолютные погрешности при измерении равны 0,1 см. Определить максимальную относительную погрешность при вычислении площади треугольника.
Решение. Площадь треугольника S равна половине произведения катетов, т.е. S=0,5xy. По формуле (6) находим: . Отсюда: