У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-12-27

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.4.2025

    ЧИСЛЕННОЕ  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .

Пусть имеется функция  которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в  некоторой точке.

         Если задан явный вид функции,  то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

 

Рассмотрим  простейшие формулы численного дифференцирования,  которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах


Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

 

 Пусть функция задана в двух точках  и   ее значения   

          Посстроим  интерполяционный  многочлен первой степени

 

 

Производная    равна

Производную функцию  в точке  приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

       (1)

Величина   называется  первой разностной производной.

  Пусть  задана в трех точках     

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке  она равна

Получаем приближенную формулу

       (2)

Величина    называется   центральной  разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

    получаем приближенную формулу.  

      (3)

Величина   называется  второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул  (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая  лемма.

      Лемма 1. Пусть    произвольные точки,    Тогда существует такая точка   что

Доказательство.  Очевидно неравенство

 

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между  и  Значит существует такая точка   что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

         Лемма 2.

1.Предположим, что   Тогда существует такая точка  ,  что

                            (4)

Если    то существует  такая точка  ,  что

                                (5)

Когда     то существует   такая,  что

      (6)               Доказательство. По формуле Тейлора

         

откуда следует  (4).

Если    то по  формуле Тейлора

                             (7)

где    

    Подставим (7)  в     Получаем

       

Заменяя  в соответствии с леммою 1

       

получаем

     

Откуда и следует (6).

       Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

      Формулы (4)-(6) называются формулами  численного дифференцирования с остаточными членами.

       Погрешности формул  (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

       

        Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно  (или порядка  ), а погрешность формул (2) и (3) имеет  второй порядок относительно    (или порядка   ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок  точности.

     Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

     Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции  в каждой точке удовлетворяет неравенству                                                                                                                             

                                                                                           (8)

       Пусть в некоторой окрестности точки  производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны  и удовлетворяют неравенствам

                                               (9)

где      - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин             

Минимизация по  этих величин приводит к следующим значениям  :                                            

 

                                    (12)

при этом

                      (13)

Если при выбранном  для какой-либо из формул (2), (3) значении  отрезок    не выходит за пределы окрестности  точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9),  то найденное   есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).




1. Применение концепции маркетинга на рынке образовательных услуг (на примере подготовки специалистов экономического профиля).html
2. А является главным элементом гидроакустической станции предназначенной как средство гидроакустического в
3. .1] Признаки процессуальной формы [2.
4. Тема Лес и его обитатели Разработка урока окружающего мира во 2 классе по программе Начальная школа 21 век
5. Контрольная работа по дисциплине Учёт товарных операций для студентов 1 курса заочного отделения по спе
6. Реферат- Расчет рекуперативного теплообменника газотурбинного двигателя
7. Реконструкция истории науки П Фейерабендом и его теоретико-методологический плюрализм
8. Невская битва 1240 года Ледовое побоище 1242 года
9. Значение института соучастия в преступлении.html
10. Марлен Дитрих