Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор–директор ИПР
_______________ А.Ю. Дмитриев
«____»_____________2011 г.
Методические указания и индивидуальные задания
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
«Нефтегазовое дело»,
«Прикладная геология»,
«Технология геологической разведки»,
«Экология и природопользование»
Составители С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко
|
Семестр |
1 |
|
Кредиты |
4 |
|
Лекции, часов |
10 |
|
Практические занятия, часов |
10 |
|
Индивидуальные задания |
2 |
|
Самостоятельная работа, часов |
88 |
|
Формы контроля |
зачет |
Издательство
Томского политехнического университета
УДК 517
ББК
Линейная алгебра и аналитическая геометрия: методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геология»,130102 «Технология геологической разведки», 022000 «Экология и природопользование» / сост. С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко; Томский политехнический университет.–Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.–с.
Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ______2011 года, протокол № ___.
Зав. кафедрой ВМ,
профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев
Рецензент
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры ВМ ФТИ
Э.М. Кондакова
© Составление.ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Рожкова С.В., Рожкова В.И.,
Матвеенко Г.М, составление, 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Ниже приводятся темы 1-го семестра дисциплины «Линеиная алгебра и аналитическая геометрия».
Изучение курса математики для студентов преследует следующие цели:
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Элементы линейной алгебры
2.2. Векторная алгебра
2.3. Аналитическая геометрия
3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Тематика практических занятий
4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4.1. Общие методические указания
Студент выполняет вариант, совпадающий с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, согласно шифру 5311/12, студент выполняет вариант № 12. Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученного при вычитании или шифру 5311/53 соответствует № 13 .
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
4.2 Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрицей размера называется прямоугольная таблица, в которой в специальном порядке записаны элементов :
или .
Первый индекс является номером строки, а второй индекс номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент .
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк - ее порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными.
Две матрицы и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы , ().
Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, которая содержит элементы , называется - побочной.
Суммой - матриц и называется матрица размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и :
, ().
Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , которая получается из матрицы умножением всех элементов на :
, ().
Произведением – матрицы на - матрицу называется - матрица , элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов ой строки матрицы и го столбца матрицы :
, ().
Заметим, что число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы .
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е.
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
.
Сумма нулевой матрицы и произвольной матрицы дает матрицу :
.
Единичной матрицей называется матрица вида
.
Пример. Вычислить 1) 2) 3) , где ; .
Решение.
Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы
порядка называется число , где определитель порядка , полученный из матрицы вычеркиванием первой строки и го столбца. Число называется дополнительным минором элемента .
Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы имеем
,
где , . Аналогично для матрицы
получим
Заметим, что понятие определителя имеет смысл только для квадратных матриц.
В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными :
(1)
Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы
, (2)
а матрица
(3)
называется расширенной матрицей системы.
Если , то система (1) называется однородной.
Числа называются решением системы линейных уравнений, если будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Введем понятие ранга матрицы.
В матрице размером минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет.
Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение ).
Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся:
Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными (пишут: ).
Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы к некоторой другой матрице , то . Вычислив ранг мы тем самым будем знать и ранг . Оказывается, что от любой матрицы можно перейти к такой матрице , вычисление ранга которой не представляет затруднений; для этого следует добиться, чтобы в было достаточно много нулей
. (4)
Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными.
Пример. Найти ранг матрицы .
Решение.
.
Разберем преобразования матрицы :
В результате данных преобразований остались две различные строки.
В качестве базисного минора возьмем определитель . Его порядок равен двум, а определителей третьего порядка составить уже нельзя, следовательно, .
Вопрос о совместности системы (1) полностью решается следующей теоремой:
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Пусть для системы линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности т.е.
тогда:
1) если , то система имеет единственное решение;
2) если , то то система имеет бесконечно много решений, а именно, некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определятся уже единственным образом.
Рассмотрим далее некоторые методы решения систем линейных уравнений.
Если в системе (1) и , то система (1) имеет единственное решение и
, (5)
где определитель, полученный из определителя матрицы заменой го столбца на столбец свободных членов. Формулы (5) носят названия формул Крамера.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера (задача 1.1–1.20)
Решение.
, , .
Вычислим определитель матрицы
Так как , то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим , и :
Таким образом, получили
Проверка:
Ответ:
Пусть задана система (1). Для того чтобы решить систему (1) методом Гаусса, надо данную систему привести к треугольному виду, а затем обратным ходом последовательно вычислить неизвестные.
На практике рациональнее преобразовывать не саму систему, а ее расширенную матрицу. Расширенную матрицу системы приводим с помощью элементарных преобразований к виду, когда все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю.
Метод Гаусса является одним из универсальных методов нахождения решения системы линейных уравнений. Его универсальность заключается в том, что он позволяет установить не только совместность или несовместности системы, но и найти решение совместной системы.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Выпишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду (4):
Разберем преобразование матрицы :
Мы видим, что , т. к. базисный минор . Число неизвестных . Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса, для этого запишем систему, соответствующую преобразованной матрице (укороченная система):
Откуда получим: Проверка:
Ответ:
СХЕМА РЕШЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
) проверяем условие (если , то система не имеет решения);
) выбираем базисный минор порядка и записываем укороченную систему;
) неизвестные назовем базисными, а свободными и выразим базисные неизвестные через свободные;
) записываем общее решение системы.
Пример. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и одно частное решение
Однородная система всегда совместна, т.к. ее расширенная матрица получается добавлением к основной матрице нулевого столбца и, следовательно, всегда .
всегда является решением однородной системы (тривиальное решение).
Для существования нетривиального (ненулевого) решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы .
Найдем ранг матрицы .
Разберем преобразования матрицы :
Выберем в качестве базисного минора
.
Следовательно, и система имеет ненулевые решения.
Запишем укороченную систему
.
В качестве базисных неизвестных выберем и (т. к. в базисный минор выбраны 1-й и 2-й столбцы), тогда и - свободные неизвестные. Полагая , , находим и .
.
Подставим в первое уравнение системы и найдем :
Запишем общее решение системы
.
Из общего решения находим любое частное решение. Например, полагая , , получим , . Таким образом, частное решение системы имеет вид: , , , .
4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1
Элементы линейной алгебры
1.1. , .
.2.
1.3. ,
1.4.
1.5. ,
1.6. ,
1.7. ,
,
1.8. ,
1.9. ,
1.10. ,
1.11. , .
1.12. , .
.13.
1.14. ,
1.15.
1.16. ,
1.17. ,
1.18. ,
,
1.19. ,
1.20. ,
2.1
2.2., .
2.3. ,
2.4.
2.5.
2.6. ,
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12., .
2.13. ,
2.14.
2.15.
2.16. ,
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
3. Вычислить определитель матрицы из задания 2, соответствующего варианта.
4. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) матричным.
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. 4.8.
4.9. 4.10.
4.11. 4.12.
4.13. 4.14.
4.15. 4.16.
4.17. 4.18.
4.19. 4.20.
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11. 5.12.
5.13. 5.14.
5.15. 5.16.
5.17. 5.18.
5.19. 5.20.
4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор двумя большими латинскими буквами с общей чертой (начало вектора, конец вектора) или одной малой (см. рис.)
Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется его модулем.
Если заданы декартовы координаты вектора , то модуль вектора , обозначаемый символом , вычисляется по формуле: .
Если заданы две точки в декартовой системе координат и , где начало вектора, конец вектора, то координаты вектора вычисляются по формулам .
Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Пример. Даны два вектора и .
Вычислить а) ; б) .
Решение.
а) ;
Скалярное произведение векторов, его свойства
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается или .
Обозначим через угол между векторами и . Тогда скалярное произведение выражается формулой
.
Если векторы и заданы декартовыми координатами , , то скалярное произведение вычисляется по формуле
.
Скалярное произведение векторов и равно нулю () тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. В частности , если или .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
.
. , где константа;
. .
С помощью скалярного произведения можно вычислить:
.
.
Пример. Векторы и взаимно перпендикулярны и , . Найти .
Решение.
.
Пример. Вычислить косинус угла, образованного векторами и .
Решение.
Воспользуемся формулой .
;
Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и определяемый тремя правилами:
Алгебраические свойства векторного произведения:
Геометрические свойства векторного произведения:
.
Пример. Даны точки , , . Вычислить площадь треугольника .
Решение.
,
Вычислим :
.
Тогда (кв.ед.).
Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Принято обозначение смешанного произведения трех векторов (или ).
Геометрические свойства смешанного произведения:
Если векторы , и заданы декартовыми координатами: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле
.
Пример. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти длину высоты, опущенную из вершины .
Решение.
.
Тогда
Откуда получим . Вычислим (см. предыдущий пример).
Тогда
Кривые второго порядка
В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
(2)
где не все коэффициенты , и одновременно равны нулю. Если , то уравнение определяет прямую линию.
В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:
а) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;
б) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;
а) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .
б) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .
Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.
Пример. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.
а)
.
Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Сделаем схематический чертеж.
б)
парабола с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .
в) .
Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат
, , , .
Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями , . Если решить данное уравнение относительно , получим
, .
В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси .
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Всякое уравнение первой степени относительно и , т. е. уравнение вида
, (6)
где , и - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
Если в общем уравнении прямой , то разрешив его относительно , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
, (7)
где - тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ; - ордината точки пересечения прямой с осью .
Уравнение (8)
является уравнением прямой, которая проходит через точку и имеет угловой коэффициент .
Если в общем уравнении прямой , то, разделив все члены на , получим уравнение прямой «в отрезках»
, (9)
где , –величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на осях координат и , соответственно.
Уравнение
, (10)
является уравнением прямой, проходящей через две точки и .
Обозначим , координаты направляющего вектора прямой , тогда (10) примет вид
, (11)
где –точка на прямой. Уравнение (11) называется каноническим уравнением прямой. Введя параметр , из (10) получим параметрические уравнения прямой
где (12)
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
. (13)
Вектор –называется нормальным вектором прямой. Раскрывая в (13) скобки, получим общее уравнение прямой
.
Таким образом, в общем уравнении прямой, коэффициенты при и суть координаты нормального вектора прямой.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Возможны следующие случаи их взаимного расположения:
Пример. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны декартовы координаты вершины острого угла и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.
Решение.
Найдем уравнение прилежащего катета. Так как , , то уравнение имеет вид . Угол между катетом и гипотенузой в равнобедренном треугольнике равен . Для нахождения уравнения гипотенузы воспользуемся формулой , из которой найдем угловой коэффициент прямой .
Тогда уравнение имеет вид
Тогда уравнение
Ответ: ,
Прямая и плоскость в пространстве
Плоскость в декартовой системе координат может быть задана следующими уравнениями:
1. Общее уравнение плоскости
.
Кроме того,
уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .
2. Уравнение плоскости “в отрезках”
,
где –величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и , соответственно.
.
Прямая в пространстве задается:
где , таким образом, прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.
,
где –точка, принадлежащая прямой, а –направляющий вектор.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей координаты вектора нормали , имеет вид
.
Найдем координаты вектора нормали. –данная точка, –точка, лежащая на нашей прямой, –координаты направляющего вектора прямой. Тогда
.
Запишем уравнение искомой плоскости
,
,
4.5. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1. Параллелограмм построен на векторах и .
Найти : 1) длины диагоналей параллелограмма; 2) косинус угла между диагоналями; 3) ; 4) площадь параллелограмма.
2. Даны координаты вершин пирамиды .
1) Найти модуль вектора
2) Найти площадь грани
) Найти длину высоты, опущенной из вершины
) Найти косинус угла между векторами и
) Записать уравнение плоскости
) Записать уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
3. В соответствии с вариантом выполнить следующие задания.
и уравнение одной из его диагоналей Найти координаты вершин этого параллелограмма.
параллельно плоскости
М(1;-2;3) параллельно прямым и
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Учебное издание
Методические указания и индивидуальные задания
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
«Нефтегазовое дело»,
«Прикладная геология»,
130102 «Технология геологической разведки»,
«Экология и природопользование»
Составители
РОЖКОВА Светлана Владимировна
РОЖКОВА Валентина Ивановна
МАТВЕЕНКО Галина Михайловна
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
|
Подписано к печати 21.11.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка». Печать XEROX. Усл. печ. л. 2,27. Уч.-изд. л. 2,05. Заказ . Тираж 50 экз. |
|
Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества Издательства Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008 |
||
|
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30 Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru |