Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
27.Простые числа. Бесконечность мн-ва пр.чисел. Каноническое разложение сост.числа и его ед-ть.
О: Натуральное число назв. простым, если оно имеет в точности 2 положит. делителя. Натур.число н-ся составным, если оно имеет более 2-х положит.делителей. Число 1 ни простое ни составное.
Св-ва:
1. Наименьший положительный не равный 1 делитель натураль ного числа () является прос тым числом.
Д-во: пусть - наименьший положительный делитель натур. числа и пусть число составное, т.е. , где . Так как , , то , т.е. у числа нашелся положительный отличный от единицы делитель меньший наименьшего – пришли к противоречию простое. Ч.т.д.
2.(Т.Евклида) Мн-во пр.чисел беск-но.
Д-во: (от противного) Пусть мн-во пр.чисел (2,3,…p)- конечно, т.е. - наиб. пр. число. Рассмотрим число . Число не дел-ся на 2, на 3, …, на , т.е не дел-ся ни на одно пр.число, по св-ву 1 (т.е. должен иметь хотя бы один простой делитель) это не так. Пришли к противоречию. Ч.т.д.
3. Если нат.число не дел-ся ни на одно пр.число, к-е ,то такое число простое.
4. Любое натуральное число либо делится на , либо и взаимно просты.
О: целые числа и () назыв. взаимно простыми, если их .
Лемма1. Если число простое, а - произв. целое число, , то либо , либо и вз.просты.
Д-во: пусть и , - простое (по условию) у него 2 делителя или . Если , то , т.к . Если , то числа и вз.просты. Ч.т.д.
Лемма2. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на простое число , то хотя бы одно из них делится на .
Т1! (осн.теорема арифметики):
Любое натураль ное число () представимо в виде произведения простых чисел, притом одно значно (с точностью до порядка сомножителей).
Д-во: ΙСущ-е. пусть . Если простое, то все доказано. Пусть не является простым числом, тогда для него найдется простой делитель , т.е. , ().
Если простое, то все доказано, если же - составное, то получаем что найдется простое число , такое что . . Продолжая процесс, получим убывающую цепочку нат. чисел которая оборвется на конечном шаге. и получаем . Получили разл-е числа на пр. сомнож-ли.
ΙΙ. Ед-ть. (от противного) . Предп., что у числа есть др. разл-е на пр.сомн-ли . . Видим, что левая часть дел-ся на пр.число . По лемме2 один из этих сомн-й дел-ся на . Пусть так как -пр, ( два дел-ля), то или , но 1, т.к. оно пр. . Тогда сократим на , получим . Продолжая рассуждения , и т.д. Если (пусть ), то после сокращения получим
что не возможно. Поэтому разложение единственно.
-канонич. разл-е. числа на простые сомножители ( различные простые числа, - сколько раз вошло в разложение.)
Сл.1. Любое натуральное число имеет ед. канонич .разл-е .
Сл.2. Если , то любой делитель числа имеет вид: , где .
Сл.3. Если и , то , , где , .