Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Цель работы: экспериментальное исследование переходных процессов RLC-цепи при подключении к генератору прямоугольных видео- и радиоимпульсов.
Краткие сведения
Если RLC-цепь (рис. 3.1) , не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t > 0 справедливо уравнение
имеющее решение для тока
Рис. 3.1
Свободная составляющая
где и - корни характеристического уравнения
,
Обозначив получим
и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями в цепи; - принужденная составляющая тока, определяемая видом ЭДС e(t) и величинами R, L, C.
При подключении источника постоянного напряжения = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет:
Для t = 0
(т. к. ).
Таким образом,
откуда
следовательно,
В зависимости от соотношения и (- резонансная частота) возможны три случая:
а) ,
(апериодический процесс).
В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 3.2). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 3.3) .
Рис. 3.2 Рис. 3.3
Напряжения на элементах:
Рис. 3.4
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 3.4.
б) , R = 2r, Q = 0,5 (критический режим).
= - d в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим
,
при ненулевых начальных условиях
(действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по , получаем
.
Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов.
в) , R < 2 r, Q > 0,5, = - d + j (колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис. 3.5).
- угловая частота свободных (собственных) колебаний.
Рис. 3.5 Рис. 3.6
При
.
Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 3.6).
Напряжение на элементах цепи:
,
,
,
где .
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 3.7.
Рис. 3.7
Очевидно, что чем меньше d, тем медленнее затухают колебания в цепи.
Скорость затухания колебаний оценивают величиной - декрементом затухания, где - период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания .
,
при высокой добротности и логарифмический декремент затухания
.
Время практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты , которое составляет
где - постоянная времени контура. За время переходного процесса укладывается N периодов свободной составляющей, причем
Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура.
Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса, найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности.
Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса на рис. 3.8, для колебательного на рис. 3.9.
Рис. 3.8 Рис. 3.9
Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения.
Пусть при t > 0 внешняя ЭДС имеет вид тогда принужденный ток
где
Полное решение для тока
При нулевых начальных условиях , для t = 0
имеем
Отсюда
Подставив постоянные интегрирования и в выражение для полного тока, получим
Наибольшее применение на практике имеют колебательные контуры с малыми потерями (R<<r). В этом случае
и ,
,
Следовательно,
Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебаний внешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний.
Чаще всего колебательный контур с малыми потерями () работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Если y = p/2, т. е. напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через нуль, то , |Z| = R, = 0, ,
Рис. 3.10
Из последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контуре с течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь к принужденной составляющей (рис. 3.10).
Скорость нарастания амплитуды тока определяется производной
где
Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полоса пропускания контура, меньше добротность.
Если же частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотой контура, то при малых расстройках ()
Если потери в контуре отсутствуют (d =0), то
т.е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами в контуре
возникают колебания с частотой и медленно изменяющейся амплитудой , так называемые биения (рис. 3.11).
Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частоты внешней ЭДС и резонанса контура.
В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободной составляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течением времени будет стремиться к установившемуся значению (рис. 3.12).
Рис. 3.11
Рис. 3.12
Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до можно найти как отклик на гармоническую ЭДС, включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = , после прекращения действия внешней ЭДС, остается только свободная составляющая тока
где определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t =. Таким образом, полный отклик колебательного контура на радиоимпульс на входе имеет вид представленный на рис. 3.13 для случая , и (рис. 3.14) для случая .
1. Домашнее задание
1.1. Исходя из заданных параметров L1 и C8 лабораторного стенда, рассчитать постоянную времени контура, частоту и период свободных колебаний цепи в случае R=Ri +RL=60 Oм, L=L1, C=C8 .
1.2. Построить графики напряжений на элементах цепи при воздействии прямоугольных видеоимпульсов амплитудой 1 В и длительностью
tи1 = 0.5QТсв (Q=добротность контура).
1.3. Построить графики напряжений на элементах цепи R=R2+Ri+RL, L=L1, C=C8 при воздействии прямоугольных видеоимпульсов амплитудой 1 В и длительностью tи2 = 4/|Pmin|, (|Pmin| - минимальный по модулю корень характеристического уравнения).
1.4. Построить графики напряжений на элементах цепи при воздействии радиоимпульса амплитудой 0.1 В, длительностью tи3=QT0, (T0=, f0 - резонансная частота контура), частотой заполнения f=f0 и f=1.1f0, начальной фазой заполнения при R=Ri+RL =60 Oм.
2. Лабораторное задание
2.1. Собрать схему (рис.3.15) для исследования переходных процессов в RLC- цепи.
Рис.3.15 Рис.3.16
2.2. Задать на входе прямоугольный импульс с параметрами, соответствующими пп. 1.2, 1.3 домашнего задания и провести регистрацию напряжений на ёмкости в двух случаях: при R=Ri+RL=60 Oм и R=R2+Ri+RL.
2.3. Поменяв в схеме (рис.3.15) L1 на C2=C8, а C8 на L5=L1, повторить регистрацию напряжений на индуктивности по п. 2.2.
2.4. Собрать схему (рис.3.16) и повторить регистрацию напряжения на сопротивлении при R=R4 и R=R6.
2.5. Задать на входе цепи (рис.3.15) радиоимпульс с параметрами, соответствующими п. 1.4 домашнего задания, и провести регистрацию напряжений на ёмкости при R=Ri+RL=60 Oм и R=R2+Ri+RL.
3. Содержание отчёта
3.1. Результаты выполнения домашнего задания в виде аналитических выражений и графиков напряжений на элементах R, L, C.
3.2. Структурные схемы измерений.
3.3. Снятые графики напряжений на элементах по пп. 2.2-2.6.
3.4. Краткие выводы по работе с анализом причин расхождения расчётных и экспериментальных данных.
4. Контрольные вопросы
4.1. Как изменяются кривые тока и напряжения на элементах при изменении величин R, L, C в два раза при включении на входе постоянного напряжения? (Нарисовать качественно зависимость тока и напряжения на элементах от времени при увеличении или уменьшении R, L, C в два раза).