22. Метод Рунге-Кутта

Задача коши. Пусть требуется найти непрерывную при  ф-ию , удовлетворяющую ДУ при  и начальному условию при

Где  – заданная непрерывная ф-ия 2х аргументов.

Идея метода Рунге повышения точности, состоит в следующем. Предположим, что решение  является достаточно гладким и имеет место следующее разложение погрешности:

по степеням   :

Где ,  - ф-ии независящие от . Выберем 2 сетки с шагами , имеющие общие узлы. Решим на каждой сетке задачу

И найдем , и  соответственно. Возьмем общий для 2х сеток узел:

И запишем (12) при

Образуем линейную комбинацию с параметром :

Выбирая  из условия , т.е. полагая получаем:

Сеточная ф-ия  приближает решение  со вторым порядком точности по . Т.о.

высили точность метода Эйлера, проведя два расчета на сетках с шагами . Эту процедуру можно продолжить, имея в виду (12). Проводя расчеты по схеме (7) на трех сетках с шагами , мы определим решение задачи (1) с третьим порядком точности в узлах, являющихся общими для этих трех сеток.

Схемы Рунге — Кутта. Порядок точности можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространены на практике схемы Рунге — Кутта второго и четвертого порядков точности. Вычисления по схеме Рунге — Кутта второго порядка точности проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение по схеме Эйлера с шагом :

Где  – параметры. Исключая  получим для  схему

23. Метод Адамса.

Многошаговый метод построения разностных схем основан на том, что для вычисления значения  используются результаты не одного, а  предыдущих шагов, т.е. значения  В этом случае получается шаговый метод. Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение

В виде

Проинтегрируем обе части этого ур-ния по  на отрезке [].  Интеграл от левой части вычисляется легко:

Для вычисления интеграла от правой части ур-ния  (27) строится сначала интерполяционный многочлен  степени  для аппроксимации ф-ии  на отрезке [] по значениям  После этого можно написать

Приравнивая выражения, полученные в (28) и (29) можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной ф-ии  в узле

На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена , для построения которого используются значения сеточной функции  вычисленные на  предыдущих шагах.

24. Метод стрельбы.

Рассмотрим краевую задачу для ур-ния 2 порядка, разрешенного относительно 2й производной.

Будем искать решение  этого уравнения на отрезке . Любой отрезок  можно привести к этому отрезку с помощью замены переменной:

Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка примем в простейшем виде  , т.е.

Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи (39), (40) к решению задач коши для того же уравнения (39) с  начальными условиями

Здесь - точка на оси ординат, в к-рой помещается начало искомой интегральной кривой. угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке.

Считая решение задачи коши  зависящим от параметра , будем искать такую интегральную кривую  которая