Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
22. Метод Рунге-Кутта Задача коши. Пусть требуется найти непрерывную при ф-ию , удовлетворяющую ДУ при и начальному условию при Где – заданная непрерывная ф-ия 2х аргументов. Идея метода Рунге повышения точности, состоит в следующем. Предположим, что решение является достаточно гладким и имеет место следующее разложение погрешности: по степеням : Где , - ф-ии независящие от . Выберем 2 сетки с шагами , имеющие общие узлы. Решим на каждой сетке задачу И найдем , и соответственно. Возьмем общий для 2х сеток узел: И запишем (12) при
Образуем линейную комбинацию с параметром : Выбирая из условия , т.е. полагая получаем: Сеточная ф-ия приближает решение со вторым порядком точности по . Т.о. высили точность метода Эйлера, проведя два расчета на сетках с шагами . Эту процедуру можно продолжить, имея в виду (12). Проводя расчеты по схеме (7) на трех сетках с шагами , мы определим решение задачи (1) с третьим порядком точности в узлах, являющихся общими для этих трех сеток. Схемы Рунге — Кутта. Порядок точности можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространены на практике схемы Рунге — Кутта второго и четвертого порядков точности. Вычисления по схеме Рунге — Кутта второго порядка точности проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение по схеме Эйлера с шагом : Где – параметры. Исключая получим для схему |
23. Метод Адамса. Многошаговый метод построения разностных схем основан на том, что для вычисления значения используются результаты не одного, а предыдущих шагов, т.е. значения В этом случае получается шаговый метод. Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение В виде Проинтегрируем обе части этого ур-ния по на отрезке []. Интеграл от левой части вычисляется легко: Для вычисления интеграла от правой части ур-ния (27) строится сначала интерполяционный многочлен степени для аппроксимации ф-ии на отрезке [] по значениям После этого можно написать Приравнивая выражения, полученные в (28) и (29) можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной ф-ии в узле На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена , для построения которого используются значения сеточной функции вычисленные на предыдущих шагах. |
24. Метод стрельбы. Рассмотрим краевую задачу для ур-ния 2 порядка, разрешенного относительно 2й производной. Будем искать решение этого уравнения на отрезке . Любой отрезок можно привести к этому отрезку с помощью замены переменной: Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка примем в простейшем виде , т.е. Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи (39), (40) к решению задач коши для того же уравнения (39) с начальными условиями Здесь - точка на оси ординат, в к-рой помещается начало искомой интегральной кривой. угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке. Считая решение задачи коши зависящим от параметра , будем искать такую интегральную кривую которая |