Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Элементы квантовой механики
§213. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества
Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представ ления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль ут верждал, что не только фотоны, но и элек троны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают так же волновыми свойствами.
Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной сто роны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс р, а с другой — волновые характеристики — частота v и длина волны К. Количественные соотно шения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:
E=hv, p=h/. (213.1)
Смелость гипотезы де Бройля заключа лась именно в том, что соотношение (213.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопо ставляют волновой процесс с длиной вол ны, определяемой по формуле де Бройля:
=h/p. (213.2)
Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.
Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физики К. Дэвиссон (1881 — 1958) и Л. Джермер (1896—1971) обнаружили, что пучок электронов, рас сеивающийся от естественной дифрак ционной решетки — кристалла никеля,— дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответство вали формуле Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычислен ной по формуле (213.2). В дальнейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электро нов (энергия 50 кэВ) через металличе скую фольгу (толщиной 1 мкм).
Так как дифракционная картина ис следовалась для потока электронов, то необходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку боль шой совокупности электронов, но и каж дому электрону в отдельности. Это уда лось экспериментально подтвердить в 1948 г. советскому физику В. А. Фабри канту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пуч ка, когда каждый электрон проходит че рез прибор независимо от других (проме жуток времени между двумя электронами в 104 раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракцион ных картин, получаемых при короткой эк спозиции для потоков электронов, в де сятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива,
342
а присущи каждой частице в отдельно сти.
Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, про тонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказатель ством наличия волновых свойств микроча стиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля (213.2). Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электро нография и нейтронография (см. § 182), а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики (см. § 169).
Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства до лжны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально? Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с =6,62•10-31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению об ласти (периодических структур с периодом d10-31 м не существует). Поэтому счи тается, что макроскопические тела про являют только одну сторону своих свойств — корпускулярную — и не прояв ляют волновую.
Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц ве щества углубляется еще тем, что на части цы вещества переносится связь между полной энергией частицы г и частотой v волн де Бройля:
e=hv. (213.3)
Это свидетельствует о том, что соотноше ние между энергией и частотой в формуле (213.3) имеет характер универсального соотношения, справедливого как для фо тонов, так и для любых других микроча стиц. Справедливость же соотношения (213.3) вытекает из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной физике.
Подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества корен ным образом изменила представления о свойствах микрообъектов. Всем микро объектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни части цей, ни волной в классическом понимании. Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выраже на словами советского физика-теоретика В. А. Фока (1898—1974): «Можно ска зать, что для атомного объекта существу ет потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микро объекту, и состоит дуализм волна — частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправильно» (в сб.: Фило софские вопросы современной физики.— М.: Изд-во АН СССР, 1959).
§214. Некоторые свойства волн де Бройля
Рассмотрим свободно движущуюся со ско ростью v частицу массой т. Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Фазовая скорость, со гласно (154.8),
(E=h и p = hk, где k=2/—волновое число). Так как c>v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн (см. § 155)). Групповая скорость, согласно (155.1),
343
Для свободной частицы Е=(m2с4+р2с2) (см. (40.7)) и
Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.
Групповая скорость фотона u=pc2/E=тсс2/mc2=c т. е. равна скорости самого фотона.
Волны де Бройля испытывают диспер сию (см. § 154). Действительно, подставив в выражение (214.1) vфаз=E/р формулу
(40.7) Е=(m2c4+p2c2), увидим, что ско рость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положе ний квантовой механики. После установ ления корпускулярно-волнового дуализма делались попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматри вать частицы как «узкие» волновые паке ты (см. § 155), «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая ги потеза соответствовала локализации частицы в данный момент времени в опре деленной ограниченной области простран ства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось и то, что скорость распростране ния центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное пред ставление частицы в виде волнового паке та (группы волн де Бройля) оказалось не состоятельным из-за сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10-26 с!) волно вого пакета или даже разделению его на несколько пакетов.
§215. Соотношение неопределенностей
Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для опи сания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойст ва частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести не которые ограничения в применении к объектам микромира понятий классиче ской механики.
В классической механике всякая частица движется по определенной тра ектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и им пульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличают ся от классических частиц. Одно из основ ных различий заключается в том, что не льзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправо мерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуа лизма. Так, понятие «длина волны в дан ной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см. (213.1)), то отсюда сле дует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределен ную координату. И наоборот, если микро частица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс яв ляется полностью неопределенным.
В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с во лновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одно временно с любой наперед заданной точ ностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению не определенностей Гейзенберга, микроча стица (микрообъект) не может иметь од новременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, ру, рz), причем не определенности этих величин удовлетворя ют условиям
т. е. произведение неопределенностей ко ординаты и соответствующей ей проекции
344
импульса не может быть меньше величины порядка h.
Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (x=0), то в этом состоянии соответствующая про екция ее импульса оказывается совершен но неопределенной (рx), и наобо рот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее ко ординаты и импульс имели бы одновремен но точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновре менно с любой наперед заданной точно стью измерить координату и импульс микрообъекта.
Поясним, что соотношение неопределенно стей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной х, распо ложенную перпендикулярно направлению их движения (рис.295). Так как электроны обла дают волновыми свойствами, то при их про хождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля электрона, на блюдается дифракция. Дифракционная карти на, наблюдаемая на экране (Э), характеризует ся главным максимумом, расположенным сим метрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходит ся на главный максимум).
До прохождения через щель электроны дви гались вдоль оси К, поэтому составляющая им пульса рx=0, так что рx=0, а координа та х частицы является совершенно неопреде ленной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси X определяется с точностью до ширины
щели, т. е. с точностью x. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут дви гаться в пределах угла 2 ( — угол, соответ ствующий первому дифракционному миниму му). Следовательно, появляется неопределен ность в значении составляющей импульса вдоль оси X, которая, как следует из рис. 295 и форму лы (213.1), равна
рх=рsin=(h/)sin. (215.2)
А
Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из тео рии дифракции (см. § 179) известно, что первый минимум соответствует углу , удовлетворяю щему условию
xsin=, (215.3)
где x — ширина щели, а — длина волны де Бройля. Из формул (215.2) и (215.3) получим
xpx=h,
учитывая, что для некоторой, хотя и незначи тельной, части электронов, попадающих за пре делы главного максимума, величина рxpsin. Следовательно, получаем выражение
xpxh, т.е. соотношение неопределенностей (215.1).
Невозможность одновременно точно определить координату и соответствую щую составляющую импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является след ствием специфики микрообъектов, отра жающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение не определенностей получено при одновре менном использовании классических ха рактеристик движения частицы (коорди наты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопре деленностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.
Соотношение неопределенностей, отра жая специфику физики микрочастиц, по зволяет оценить, например, в какой мере
345
можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно гово рить о траекториях микрочастиц. Извест но, что движение по траектории характе ризуется в любой момент времени опреде ленными значениями координат и скоро сти. Выразим соотношение неопределенно стей (215.1) в виде
xvxh/m. (215.4)
Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше не определенности ее координаты и скоро сти и, следовательно, с тем большей точ ностью можно применять к этой ча стице понятие траектории. Так, напри мер, уже для пылинки массой 10-12 кг и линейными размерами 10-6 м, коор дината которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (х=10-8 м), не определенность скорости, по (215.4), vx = 6,62•10-34/(10-8•10-12) м/с= 6,62•10-14 м/с, т.е. не будет сказы ваться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; коорди ната и скорость макротел могут быть од новременно измерены достаточно точно. Это же означает, что для описания движе ния макротел с абсолютной достоверно стью можно пользоваться законами клас сической механики.
Предположим, пучок электронов дви жется вдоль оси х со скоростью v=108м/с, определяемой с точностью до 0,01 % (vx104 м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4),
т. е. положение электрона может быть оп ределено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории,
иными словами, описывать их движение законами классической механики.
Применим соотношение неопределен ностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона х10-10 м (по рядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит дан ному атому). Тогда, согласно (215.4), vx=6,62•10-34/(9,11•10-31•10-10)=7,27'•106 м/с. Используя законы класси ческой физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круго вой орбите радиуса 0,5•10-10 м его ско рость v2,3•106 м/с. Таким образом, не определенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движе нии электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя поль зоваться законами классической физики.
В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопреде ленности этих величин удовлетворяют ус ловию
Eth. (215.5)
Подчеркнем, что E — неопределенность энергии системы в момент ее измерения, t — неопределенность длительности про цесса измерения. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни t, не мо жет быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии E=h/t возрастает с уменьшением средне го времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность =E/h, т.е. линии спектра долж ны характеризоваться частотой, равной ±E/h. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; из меряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.
Соотношение неопределенностей неод нократно являлось предметом философ ских дискуссий, приводивших некоторых философов к его идеалистическому истол кованию. Например, по их мнению,соотно-
346
шение неопределенностей, не давая воз можности одновременно точно определить координаты и импульсы (скорости) частиц, устанавливает границу познавае мости мира, с одной стороны, и существо вание микрообъектов вне пространства и времени — с другой. На самом деле соотношение неопределенностей не ставит какого-либо предела познанию микроми ра, а только указывает, насколько при менимы к нему понятия классической ме ханики.
§216. Волновая функция и ее статистический смысл
Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограничен ность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношени ем неопределенностей, а также противоре чие целого ряда экспериментов с применя емыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой тео рии — созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимо действия микрочастиц с учетом их волно вых свойств. Ее создание и развитие ох ватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы; см. §200) до 20-х годов XX в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э.Шредингера (1887—1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского фи зика П.Дирака (1902—1984).
На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой про блемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характе ризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в раз личных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды коле баний. Согласно волновым представлени ям о природе света, интенсивность диф ракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракцион ной картины. Следовательно, число фото нов в данной точке дифракционной карти ны задается квадратом амплитуды свето вой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет ве роятность попадания фотона в ту или иную точку.
Дифракционная картина, наблюдае мая для микрочастиц, также характеризу ется неодинаковым распределением пото ков микрочастиц, рассеянных или отра женных по различным направлениям,— в одних направлениях наблюдается боль шее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наи большей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где име ется большее число частиц, т. е. интенсив ность волн де Бройля в данной точке про странства определяет число частиц, попав ших в эту точку. Таким образом, дифрак ционная картина для микрочастиц являет ся проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интен сивность волн де Бройля наибольшая.
Необходимость вероятностного подхо да к описанию микрочастиц является важ нейшей отличительной особенностью кван товой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках про странства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда веро ятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрица тельна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, не мецкий физик М. Борн (1882—1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой веро ятности и обозначаемая (х, у, z, t). Эту величину называют также волновой фун кцией (или -функцией). Амплитуда ве-
347
роятности может быть комплексной, и ве роятность W пропорциональна квадрату ее модуля:
W~|(х, y, z, t)|2 (216.1)
(||2=*) * —функция, комплексно сопряженная с ). Таким образом, описа ние состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля ам плитуды волн де Бройля) определяет веро ятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz.
Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой фун кции, которая является основным носите лем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность на хождения частицы в элементе объемом dV равна
dW=||2dV. (216.2) Величина
||2=dW/dV
(квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в еди ничном объеме в окрестности точки с ко ординатами х, у, z. Таким образом, физи ческий смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля ||2, которым за дается интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна
Так как ||2dV определяется как веро ятность, необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в еди ницу, если за объем V принять бесконеч ный объем всего пространства. Это озна чает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей
где данный интеграл (216.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от — до . Таким образом, условие (216.3) говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция , характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однознач ной (вероятность не может быть неодно значной величиной) и непрерывной (веро ятность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система мо жет находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1, 2,....n,. .., то она также может находить ся в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций:
где Сn (n=1,2, ...)— произвольные, вооб ще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятно стей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулем волновых функций) принципиально отличает квантовую тео рию от классической статистической тео рии, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятно стей.
Волновая функция , являясь основ ной характеристикой состояния микро объектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микро объект. Например, среднее расстояние <r> электрона от ядра вычисляют по формуле
348
где интегрирование производится, как и в случае (216.3).
§217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Статистическое толкование волн де Бройля (см. §216) и соотношение неопреде ленностей Гейзенберга (см. §215) при вели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим дви жение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которо го бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное урав нение должно быть уравнением относи тельно волновой функции (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина ||2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть во лновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравне ния физики (например, уравнения Ньюто на в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правиль ность этого уравнения подтверждается со гласием с опытом получаемых с его по мощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид
где h=h/(2), m — масса частицы —
оператор Лапласа (=д2/дx2 +д2/дy2
+д2/дz2), i — мнимая единица, U(х, у, z, t)
— потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,
(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. §225), движущейся с малой (по срав нению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные д/дx, д/дy, д/дz, д/дt должны быть непрерывны;
3) функция ||2 должна быть интегриру ема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятно стей (216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, ко торой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одно мерный случай. Уравнение плоской волны, рас пространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)
(x,t)=Acos(t-kx), или в комплексной записи
(х,t)=Aеi(t-kx).
Следовательно, плоская волна де Бройля име ет вид
=Ae-(i/h)(Et-px) (217.2)
(учтено, что =E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со зна ком минус, но поскольку физический смысл име ет только||2, то это (см. (217.2)) несуществен но. Тогда
Используя взаимосвязь между энергией Е и им пульсом р(Е=р2/(2m)) и подставляя выраже-
349
ния (217.3), получим дифференциальное урав нение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу).
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетиче ской и потенциальной энергий. Проводя анало гичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р для данного случая р2/(2m)=Е-U, придем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).
Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказа тельством правильности уравнения Шре дингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также на зывают уравнением Шредингера, завися щим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, ины ми словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в кото ром частица движется, стационарно, т. е. функция U =U(х, у, z) не зависит яв но от времени и имеет смысл потенциаль ной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть пред ставлено в виде произведения двух фун кций, одна из которых есть функция толь ко координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражает ся множителем е-it=е-i(E/h0t, так что
(х, у, z, t)=(х, у, z)e-i(E/h)t,
(217.4)
где Е — полная энергия частицы, постоян ная в случае стационарного поля. Под ставляя (217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множи тель e-i(E/h)t и соответствующих преобра зований придем к уравнению, определяю щему функцию :
Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.
В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В тео рии дифференциальных уравнений дока зывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из кото рых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие фи зический смысл. Для уравнения Шредин гера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волно вые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким об разом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выража ются регулярными функциями Но регу лярные решения имеют место не при лю бых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии на зываются собственными. Решения же, ко торые соответствуют собственным значе ниям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е мо гут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае гово рят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.
§218. Принцип причинности в квантовой механике
Из соотношения неопределенностей часто делают идеалистический вывод о непри менимости принципа причинности к явле ниям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих сообра жениях. В классической механике, соглас но принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известно му состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значе ниями координат и импульсов всех частиц
350
системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состоя ние в любой последующий момент. Следо вательно, классическая физика основыва ется на следующем понимании причинно сти: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть при чина, а ее состояние в последующий мо мент — следствие.
С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответству ющую проекцию импульса (задаются со отношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в на чальный момент времени состояние систе мы точно не определяется. Если же со стояние системы не определено в началь ный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состоя ния, т. е. нарушается принцип причин ности.
Необходимо, однако, отдавать себе отчет в том, что никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, по скольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает со вершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состоя ние микрообъекта полностью определяет ся волновой функцией (х, у, z, t), квад рат модуля которой (x, у, z, t)2 задает плотность вероятности нахождения части цы в точке с координатами х, у, z.
В свою очередь, волновая функция (х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (217.1), содержащему пер вую производную функции по времени. Это же означает, что задание функции 0 (для момента времени to) определяет ее значение в последующие моменты. Следо вательно, в квантовой механике начальное состояние 0 есть причина, а состояние в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функ ции 0 предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким об разом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего со стояния, как того требует принцип при чинности.
§219. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U(x)=0) ее полная энергия совпадает с кине тической. Для свободной частицы, движу щейся вдоль оси х, уравнение Шрединге ра (217.5) для стационарных состояний примет вид
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция (х)=Аеikx, где А=const и k=const, с собственным зна чением энергии
E=h2k2/(2m). (219.2)
Функция (x)=Aeikx=Aе(i/h)2mEx представляет собой только координатную часть волновой функции (х, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),
(здесь =Е/h и k=px/h). Функция (219.3) представляет собой плоскую мо нохроматическую волну де Бройля (см. 217.2)).
Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса
E=h2k2/(2m)=p2x/(2m)
оказывается обычной для нерелятивист ских частиц. Следовательно, энергия сво бодной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значе ния), т. е. ее энергетический спектр явля ется непрерывным.
Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохрома тической волной де Бройля. Этому соот ветствует не зависящая от времени плот ность вероятности обнаружения частицы
351
в данной точке пространства ||2 =**=|A|2,
причем одинаковая в любой его точке.
§ 220. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высо кими «стенками». Такая «яма» описывает ся потенциальной энергией вида (для про стоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)
где l— ширина «ямы», а энергия отсчиты вается от ее дна (рис. 296).
Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одно мерной задачи запишется в виде
По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за преде лы «ямы», поэтому вероятность ее обнару жения (а следовательно, и волновая фун кция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=l) непре рывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, гра ничные условия в данном случае имеют вид
(0) =(l)=0. (220.2)
В пределах «ямы» (0xl) уравне ние Шредингера (220.1) сведется к урав нению
Общее решение дифференциального уравнения (220.3):
(х)=Аsinkx+Bcoskx.
Так как по (220.2) (0)=0, то В=0. Тогда (x)=Asinkx. (220.5)
Условие (l)=Asinkl=0 (220.2) выпол няется только при kl = n, где — целые числа, т. е. необходимо, чтобы
k= n/l. (220.6)
Из выражений (220.4) и (220.6) следу ет, что
Еn=n22h2/2ml2 (n=1,2,3,...), (220.7)
т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «по тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бес конечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии En называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным кван товым числом. Таким образом, микрочасти ца в «потенциальной яме» с бесконечно вы сокими «стенками» может находиться толь ко на определенном энергетическом уровне £„, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.
Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:
352
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде
В результате интегрирования получим А=2/1, а собственные функции будут иметь вид
Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энер гии (220.7) при n=1,2,3, приведены на рис. 297, а. На рис. 297, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |n(x)|2 = n(x) *n(x) для n=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в сере дине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и пра вой частях. Такое поведение частицы ука зывает на то, что представления о тра екториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя со седними уровнями равен
Например, для электрона при размерах ямы l=10-1 м (свободные электроны
в металле) En10-35n Дж10-16n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атом ными (l10-10 м), то для электрона En10-17n Дж102n эВ, т.е. получа ются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, при менение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высо кими «стенками» приводит к квантован ным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не наклады вает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная 2h2/(2ml2). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотно шения неопределенностей. Неопределен ность координаты x частицы в «яме» шириной l равна x=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределен ность импульса ph/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинети ческая энергия Emin(p)2/(2m)=h2/(2ml2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это мини мальное значение.
Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) En/En2/n<<1, т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем боль ше п. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной по следовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот ре зультат является частным случаем прин ципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики до лжны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.
353
Более общая трактовка принципа со ответствия, имеющего огромную роль в со временной физике, заключается в следую щем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория перехо дит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относи тельности переходят при v<<c в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипо теза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.
§ 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект
Рассмотрим потенциальный барьер про стейшей прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты
U и ширины l можем записать
При данных условиях задачи классиче ская частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при E>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сто рону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же даже при E>U имеется отличная от нуля вероят ность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>l, т.е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадок сальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, опи сывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.
Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных на рис. 298, а области имеет вид
(для области 2q2=2m (E-U}/h2).
Общие решения этих дифференциальных уравнений:
(x)=A1eikx+B1e-ikx (221.2)
(для области 1); 2(х)=А2еiqx+В2е-iqx
(для области 2);
3(x)=A3eikx+B3e-ikx (221.3)
(для области 3).
В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), бу-
354
дет иметь вид
В этом выражении первый член представ ляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует части це, движущейся в сторону барьера), а вто рой — волну, распространяющуюся в про тивоположном направлении, т. е. отражен ную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).
Решение (221.3) содержит также во лны (после умножения на временной мно житель), распространяющиеся в обе сто роны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и рас пространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В3 в формуле (221.3) следу ет принять равным нулю.
В области 2 решение зависит от со отношений E>U или E<U. Физический интерес представляет случай, когда пол ная энергия частицы меньше высоты по тенциального барьера, поскольку при E<U законы классической физики одно значно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q= i — мнимое число, где
=(2m(U-E)/h).
Учитывая значение q и В3=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:
1(x)=A1eikx + B1e-ikx
(для области 1), 2(х)=А2е-x+В2ex (221.5) (для области 2),
3(х)=А3eikx (для области 3).
В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распро страняющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что
для частного случая высокого и широкого барьера, когда l>>1, В20.
Качественный вид функций 1(x), 2(х) и 3(x) показан на рис. 298, б. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же им пульсом, т. е. с той же частотой, но с мень шей амплитудой. Следовательно, получи ли, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенци альный барьер конечной ширины.
Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специ фическому квантовому явлению, получив шему название туннельного эффекта, в ре зультате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента про зрачности D потенциального барьера, оп ределяемого как отношение плотности по тока прошедших частиц к плотности по тока падающих. Можно показать, что
D=|A3|2/|A1|2.
Для того чтобы найти отношение |А3/А1|2, необходимо воспользоваться условиями непрерывности и ' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 298):
Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты А2, а3, В1 и В2 через А1. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциаль ного барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравне нию с единицей)
где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барь ера, Do — постоянный множитель, кото рый можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы m частицы, шири ны l барьера и от (U-E); чем шире барь ер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.
355
Для потенциального барьера произ вольной формы (рис.299), удовлетворяю щей условиям так называемого квазиклас сического приближения (достаточно глад кая форма кривой), имеем
где U=U(x).
С классической точки зрения прохож дение частицы сквозь потенциальный барьер при E<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, до лжна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эф фект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может про никнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность им пульса p на отрезке x=l составляет p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энер гия (p)2/(2m) может оказаться достаточ ной для того, чтобы полная энергия части цы оказалась больше потенциальной.
Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Тун нельное прохождение сквозь потенциаль ный барьер лежит в основе многих явле ний физики твердого тела (например, яв ления в контактном слое на границе двух
полупроводников), атомной и ядерной фи зики (например, -распад, протекание термоядерных реакций).
§ 222. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике
Линейный гармонический осциллятор —
система, совершающая одномерное дви жение под действием квазиупругой си лы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории (см. §142). Пружинный, физиче ский и математический маятники — при меры классических гармонических осцил ляторов.
Потенциальная энергия гармоническо го осциллятора (см. (141.5)) равна
U=m20х2/2, (222.1)
где 0 — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы. Зависи мость (222.1) имеет вид параболы (рис.300), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической. Амплитуда малых колебаний класси ческого осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точ ках с координатами ±xmax полная энер гия Е равна потенциальной энергии. По этому с классической точки зрения части ца не может выйти за пределы области (-хmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше пол ной, что абсурдно, так как приводит к вы воду, что кинетическая энергия отрица тельна. Таким образом, классический ос циллятор находится в «потенциальной
яме» с координатами -xmaxxxmax
«без права выхода» из нее.
356
Гармонический осциллятор в кванто вой механике — квантовый осциллятор —
описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тог да стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида
где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) ре шается только при собственных значениях энергии
En=(n+1/2)h0. (222.3)
Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантует ся. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. §220), минимальным значением энер гии E0=1/2h0. Существование минималь ной энергии — она называется энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и представляет со бой прямое следствие соотношения неоп ределенностей.
Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обраще нием в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда не определенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».
Вывод о наличии энергии нулевых ко лебаний квантового осциллятора противо речит выводам классической теории, со гласно которой наименьшая энергия, кото рую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классиче ская физика приводит к выводу, что при
T=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колеба ниями атомов. Однако эксперимент пока зывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна ну лю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т ->0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтвержде нием нулевых колебаний.
Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис.300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно h0, причем минимальное значение энергии
E0=1/2h0.
Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному зна чительному отличию от классического рас смотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнару жить за пределами дозволенной области |х|xmax (см. рис. 16) в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (-хmax, +x:max). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вы вода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероят ности w обнаружения осциллятора для состояния п=1. Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действитель-
357
но плотность вероятности w имеет конеч ные значения за пределами классически дозволенной области |х|xmax, т. е. имеет ся конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за предела-
ми «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений w за предела ми «потенциальной ямы» объясняется воз можностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. §221).
Контрольные вопросы
• Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?
• В каком случае и почему при условиях vx/vx<<1 и vx/vx1 можно говорить о движении частицы
по определенной траектории?
• Как, исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины спектральных линий?
• Что определяет квадрат модуля волновой функции? Почему квантовая механика является статистической теорией? В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?
• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза?
• Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?
• В чем отличие квантово-механического и классического описания гармонического осциллято ра? В выводах этих описаний?
Задачи
28.1. Свободная частица движется со скоростью и. Доказать, что выполняется соотношение
vфазu=c2.
28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускае мая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, определить неопре деленность координаты электрона. Применительно ли в данном случае для электрона понятие траектории? [x=33 нм; нет]
28.3. -Функция некоторой частицы имеет вид =(A/r)е-r/a, где r — расстояние этой частицы от
силового центра, а — постоянная. Определить среднее расстояние <r> частицы от силово го центра. [<r> =а/2]
28.4. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода.
28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бес конечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n=2). Пояснить физиче ский смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаруже ния электрона в данном состоянии. [W = 0,195]
28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Определить в электрон-воль тах разность энергий U-Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]