Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Образцы решения экзаменационных задач I.
Задачи на расчет сделок с комиссией.
Задача 1.
Инвестор открыл портфельную сделку, купив 100 акций A по $100,00 и продав 40 акций В по $40,00. Спустя полгода он закрыл сделку по ценам $120,00 и $30,00 соответственно. За полгода по акциям А и В были получены дивиденды $10 и $5. Налог взимается с сальдо полного дохода сделки по ставке τ=15,00%. Годовой темп инфляции равен 10,00%, а ставка комиссии составляет α=2,00%.
Решение. Согласно условию позиции портфеля по активам: zA = 100, zB = -40;
начальные цены: P0A =$100,00 P0B =$40,00; а конечные P1A =$120,00 P1B =$30,00;
Тогда начальные стоимости позиций:
S0A = zA ∙P0A =100∙ $100,00 = $10 000,00; S0В = zВ∙P0В = -40∙ $40,00 = - $1600,00;
начальная стоимость портфеля
S0 = S0A + S0B = $10 000,00 - $1600,00 = $8400,00.
Соответственно конечные стоимости позиций:
S1A = zA ∙P1A =100∙ $120,00 = $12 000,00; S1В = zВ∙P1В = -40∙ $30,00 = - $1200,00;
конечная стоимость портфеля
S1 = S1A + S1B = $12 000,00 - $1200,00 = $10800,00.
Ценовой доход портфеля равен
I(p) = S = S1 - S0 = $10800,00 - $8400,00 = $2400,00
а текущий
I(с) = zA ∙ IA(с) + zB ∙ IB(с) = 100∙$10,00 - 40∙$5,00 = $800,00
Начальный оборот сделки равен
S0 = S0A + S0B = $10 000,00 + $1600,00 = $16 000,00.
Начальная комиссия
С0 = αS0 = 0,02∙ $16 000,00 = $320,00
Конечный оборот сделки равен
S1 = S1A + S1B = $12 000,00 + $1200,00 = $13 200,00.
Конечная комиссия
С1 = αS1 = 0,02∙ $13 200,00 = $264,00
Полная комиссия
С = С0 + С1 = $320,00 + $264,00 = $584,00
Ценовой доход с учетом комиссии равен
Iα(p) = I(p) – С = $2400,00-$584,00 = $1816,00
Полный доход с учетом комиссии
TIα = Iα(p) + I(с) = $1816,00 + $800,00 = $2616,00.
Налог на полную прибыль
Tax = TIα∙ τ = $2616,00∙0,15 = $392,40.
Чистая прибыль
NTI = $2616,00 - $392,40 = $2223,60.
Начальный капитал сделки
W0 = S0 + C0 = $8400,00 + $320,00 = $8720,00
Доходность портфеля за период (полгода)
r1/2 = NTI/W0 = 0,255 или 25,5%.
Эффективная годовая доходность
yэф = (1+r1/2 )(1/0,5)-1 =(1+0,255)2-1= 0,5750 или 57,50% годовых.
Реальная чистая годовая доходность равна (согласно ф-ле Фишера)
или 43,18% годовых.
Задача 2.
Инвестор с капиталом в 100 000$ сформировал портфель из акций A и B с вектором весов
w = (1,5; -0,5) Начальные цены акций $100,00 и $40,00 соответственно. Найти вектор позиций сделки с учетом комиссии равной 2,00% .
Решение. Обозначим через S0 начальную стоимость портфеля. Тогда суммы средств вложенных в активы А и В будут равны
S0A = wA ∙S0 =1,5∙ S0; S0B = wB ∙S0 = -0,5∙ S0;
Начальный оборот портфеля равен
S0 = S0A + S0B =wA ∙S0 + wB ∙S0 = S0(wA + wB ) =2S0
Тогда начальная комиссия
С0 = αS0 = 0,02∙2S0 = 0,04S0.
Начальный капитал
W0 = S0 + C0 = S0 + 0,04S0= 1,04S0 = $100 000.
Следовательно
S0 =$100 000/1,04 = $96153,85.
Тогда
S0A = wA ∙S0 =1,5∙ $96153,85= $144230,77 и S0В= wВ ∙S0 = -0,5∙ $96153,85= -$48076,92.
Учитывая начальные цены акций, получим позиции по ним в портфеле:
zA = S0A/P0A = $144230,77/$100,00 = 1442,31
zВ = S0В/P0В = -$48076,92/$40,00 = -1201,92.
Задача 3.
Инвестор с начальным капиталом 100000 долл. Формирует портфель из активов А1 и A2 по начальной цене $100 и $50 соответственно. Конечная цена активов А1 и A2 равна $120 и $40 соответственно. Найти максимальную прибыль за полгода, которую может заработать инвестор с учетом комиссии 2,00% (но без налогов) если веса активов удовлетворяют ограничениям:
a1= -1 a2 = -0,5
b1 = 3 b2 = 5,5
Решение. Обозначим через S0 начальную стоимость портфеля. Пусть веса портфеля с наибольшей прибылью равны w1 и w2. Тогда как в предыдущей задаче получим
W0 = S0 + C0 = S0 + αS0 = S0[1+ α(w1 + w2 )]
Откуда
S0 = W0/[1+ α(w1 + w2 )]
Поскольку
-1≤w1≤3 и -0,5≤w2 ≤5,5
То подставляя w2=1-w1 в второе неравенство получим
-0,5≤ 1-w1 ≤5,5
или
-4,5≤ w1 ≤1,5
Совместно с первым неравенство это дает ограничение на вес первого (более доходного) актива
-1≤ w1 ≤1,5.
Доходности активов равны соответственно
r1=$120/$100-1=0,2 и r2=$40/$50-1= -0,2
Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна
rπ = r1w1 + r2w2 = r1w1 + r2(1-w1) = r2 + w1(r1-r2) = -0,2 +0,4w1.
Без учета комиссии веса портфеля с наибольшей прибылью будут
w1 =1,5 и w2 = -0,5
а максимальная доходность портфеля составит
rπ = -0,2 +0,4∙1,5 = 0,4.
Начальная стоимость такого портфеля будет равна
S0 = W0/[1+ α(wA + wB )]=$100 000/1,04 = $96153,85.
Тогда
S01 = w1 ∙S0 =1,5∙ $96153,85= $144230,77 и S02= 2 ∙S0 = -0,5∙ $96153,85= -$48076,92.
Начальный оборот портфеля
S0 = S01 + S02 = $144230,77 + $48076,92. = $192307,69.
Начальная комиссия
С0 = αS0 = 0,02∙ $192307,69 = $3846,15
Конечные стоимости позиций будут равны
S11 = S01(1+ r1) = $144230,77∙1,2 = $173076,92
S12 = S02(1+ r2) = -$48076,92∙0,8= - $38461,54.
Конечная стоимость портфеля
S1= $173076,92 - $38461,54 = $134615,38
Конечный оборот портфеля
S1 = S11 + S12 = $173076,92 + $38461,54 = $211538,46.
Начальная комиссия
С1 = αS1 = 0,02∙ $211538,46 = $4230,77
Полная комиссия
С = С0 + С1 = $3846,15 + $4230,77 = $8076,92.
Следовательно прибыль без учета комиссии равна
I(p) = S = S1 - S0 = $134615,38 - $96153,85 = $38461,53
А с учетом комиссии
Iα(p) = I(p) – С = $38461,53 - $8076,92 = $30384,61
Поскольку короткие позиции порождают большие обороты и комиссии, необходимо рассчитать вариант инвестирования без коротких позиций, т.е. когда весь капитал (с учетом комиссии) вкладывается в наиболее доходный актив.
В этом случае w1=1 и w2 = 0
Поэтому
S0 = W0/[1+ α(wA + wB )] = $100 000/1,02 = $98039,22
С0 = αS0 = 0,02∙ $98039,22= $1960,78
S1 = S11 = S01(1+ r1) = $98039,22∙1,2 =$117647,06
С1 = αS1 = 0,02∙ $11764,06 = $2392,54
Полная комиссия
С = С0 + С1 = $1960,78 + $2392,54 = $4313,73.
Прибыль без учета комиссии равна
I(p) = S = S1 - S0 = $11764,06 - $98039,22 = $19607,84
А с учетом комиссии
Iα(p) = I(p) – С = $19607,84 - $4313,73 = $15294,11
Поскольку эта прибыль меньше той, что получена с использованием короткой позиции по активу с меньшей доходностью то окончательный ответ будет
Iα(p) = $30384,61
Задача 4.
Пусть на рынке из акций А1, А2 и А3 допустимо формирование портфелей w=(w1,w2,w3)
веса которых удовлетворяют ограничениям ai ≤ wi ≤ bi где
a1 = 0,1 a2 = -0,5 a3= -0,1 0
b1 =3 b2 =2,0 b3= 4 8,4
Начальные цены акций А1, А2 и А3 равны $100,00; $50,00; $80,00 а конечные - $120,00; $55,00; $60,00 соответственно. Какую максимальную прибыль (без учета комиссии и налогов) может получить инвестор с начальным капиталом 10000$, если он формирует допустимый портфель из акций А1, А2 и А3 . Дивиденды не учитывать.
Решение. Найдем сначала доходности активов
r1=$120/$100-1= 0,2; r2=$55/$50-1= 0,1 и r3=$40/$80-1 = -0,5
Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна
rπ = r1w1 + r2w2 + r3w3= 0,2w1 + 0,1w2 -0,5w3 ; w1 + w2 + w3 =1.
Поскольку доходность линейная функция весов (при заданных доходностях активов) то максимальное значение возможно только на граничных значениях этих весов. Это означает что начав с любого допустимого портфеля нужно максимальным образом увеличивать веса более доходных и на ту же величину (чтобы сохранить портфельное ограничение – сумму весов равной 1) уменьшать веса менее доходных активов.
Возьмем в качестве исходного портфель
w1 = 0,1; w2 = -0,1; w3 =1.
Это, очевидно, допустимый портфель. Его доходность
rπ = 0,2∙0,1 - 0,1∙0,1 -0,5∙1= -0,49
Будем увеличивать вес w1 (наиболее доходного актива) А1 и одновременно уменьшать на эту же величину вес w3 (самого низкодоходного) актива А3 . Предельное возможное увеличение w1 (с 0,1 до 3) составляет 3-0,1= 2,9 а предельное возможное уменьшение w3 (с 1 до -0,1) составляет
1-(-0,1)=1,1. Это значит, что одновременно можно увеличить w1 на 1,1 с 0,1 до 1,2, и уменьшить w3 с 1 до предельного значения -0,1. Поэтому получился новый портфель
w1=1,2; w2 = -0,1; w3 = -0,1
с доходностью
rπ = 0,2∙1,2 - 0,1∙0,1 +0,5∙0,1 = 0,28.
Поскольку уменьшать вес w3 более невозможно, будем увеличивать вес w1 актива А1 (более доходного чем А2 ) и одновременно уменьшать вес w2 менее доходного актива А1 . Предельное увеличение w1 (с 1,2 до 2) составляет 2-1,2=0,8 а предельное уменьшение веса w2 (с -0,1 до -0,5)
составляет -0,1- (-0,5) = 0,4. Поэтому одновременно возможно только увеличить вес w1 на 0,4
с 1,2 до 1,6 и уменьшить w2 на 0,4 с -0,1 до -0,5 предельного значения -0,5. В итоге получим портфель
w1=1,6; w2 = -0,5; w3 = -0,1
с доходностью
rπ = 0,2∙1,6 - 0,1∙0,5 +0,5∙0,1 = 0,32.
Полученный портфель имеет максимальную доходность 0,32 или 32%. Поэтому наибольшая возможная прибыль составляет
Imax = $10000∙0.32= $3200.