Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство сельского хозяйства
Российской федерации
ФГБОУ дальневосточный государственный аграрный университет
Методические указания
для выполнения контрольных работ
по теоретической механике
Раздел «Динамика»
Благовещенск
Издательство ДальГАУ
2013
УДК 531.001 (075)
ББК22.21Я73
Методические указания для выполнения контрольных работ по теоретической механике (Раздел «Динамика») подготовлены к.т.н. профессором В.Н. Рябченко, к.т.н., профессором М.В. Канделя, доцентом Л.С.Силохиной.
Методические указания включают краткое содержание теории, контрольные задания и алгоритм решения 10-го варианта каждой задачи. Предназначены для студентов направления 110800.62 «Анроинженерия».
Рецензент – Л.В. Козлова, к.т.н., доцент
Рекомендовано к печати методическим советом факультета механизации сельского хозяйства ФБГОУ ВПО ДальГАУ (Протокол №3 от 09 ноября 2013 года).
Издательство ДальГАУ
2013
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания публикуются на основе опыта преподавания дисциплины «Теоретическая механика» ДальГАУ. Настоящее издание подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования 2000 года и предназначены для активизации самостоятельного изучения курса теоретической механики и выполнения контрольных заданий по разделам: статика, кинематика и динамика.
Методические указания подготовлены в соответствии с программой курса теоретической механики для специальностей: 190601 - «Автомобили и автомобильное хозяйства», 110300 - «Агроинженерия», 110302 – «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» и могут быть использованы студентами очного и заочного обучения.
Формулы, рисунки и номера расчетно-графических заданий имеют двойную нумерацию: первая цифра соответствует номеру раздела (главы), вторая - порядковому номеру формулы, рисунка или задания. Формулы в примерах решения задач имеют простую порядковую нумерацию.
Изучать материал рекомендуется по темам (разделам) программы, основным положениям теории, по главам (параграфам) указаний или учебника. Следует прочитать весь материал темы (главы), затем надо вернуться к местам, вызвавшие затруднения, и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание следует обращать на формулировки соответствующих определений, теорем и т.д. (они обычно бывают набраны в учебнике курсивом или разрядкой); важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами.
Необходимо также понять ход всех доказательств и разобраться в их деталях. Доказательства надо уметь воспроизводить самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв идею доказательства. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект, по возможности не заглядывая в методические указания или учебник. При изучении курса по учебнику особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал каждой темы, надо сначала обязательно разобраться в решении соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методические указания по их решению.
Студенту необходимо выполнить все задачи своего варианта. Вариант выбирается по последней цифре шифра. Номер рисунка берется по предпоследней цифре шифра. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой написать фамилию и инициалы, шифр, номер контрольной работы и вариант.
При оформлении контрольной работы следует обязательно оставлять поля для замечаний рецензента.
Выполняя контрольные работы, необходимо полностью переписывать текст каждой задачи и аккуратно и точно делать соответствующий чертеж. Размеры деталей чертежа, углы, заданные векторы сил, скоростей и ускорений изображать в масштабе в соответствии с данными варианта. На чертежах должны изображаться все векторы, которые встречаются в ходе решения.
Решение каждой задачи должно сопровождаться пояснениями, иначе задание напрвляется для полного оформления и только после этого принимается для защиты. Для облегчения выполнения контрольного задания приводится пример выполнения 10-го варианта для каждой задачи.
ДИНАМИКА
Глава IX. Динамика материальной точки
§39. Введение в динамику. Законы динамики
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с учетом действующих на них сил и инертности тел.
Всякое движение рассматривается в динамике связи с учетом физических факторов, определяющих характер этого движения. В этом заключается отличие динамики от кинематики, где движение рассматривается только с геометрической стороны. Изучение динамики начинается обычно с изучения движения наиболее простого объекта - материальной точки.
Материальной точкой называется материальное тело, размерами которого по сравнению с проходимыми расстояниями можно пренебречь.
Для решения задач в динамике пользуются как установленными в статике способами сложения сил и приведения их систем к простейшему виду, так и принятыми в кинематике характеристиками и приемами описания различных движений. Количественные соотношения между различными физическими величинами, связанными с движением материальных тел, устанавливаются в динамике путем математических выводов на основе законов классической механики.
Эти законы служат фундаментом, на котором строится все содержание динамики.
Первый закон (закон инерции): изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на нее не подействует какая-нибудь сила. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.
Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как будет изменяться скорость тела, если на него действует сила: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
Математически этот закон выражается векторным равенством:
. (9.1)
Между модулем ускорения и модулем силы имеет место зависимость:
. (9.2)
Если на точку действует одновременно несколько сил, то уравнение (9.2), выражающее основной закон динамики, принимает вид:
. (9.3)
В соответствии со вторым законом динамики вес тела
, (9.4)
где g - ускорение свободного падения, м/с2. Отсюда масса тела
. (9.5)
Третий закон (закон равенства действия и противодействия): два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Для двух взаимодействующих тел с массами т1, и т2 их ускорения на основании третьего закона будут обратно пропорциональны массам.
§40. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Как правило, для решения задач динамики используются две системы дифференциальные уравнений:
Уравнения в декартовых координатах. Проектируя векторное равенство (9.3) на координатные оси х, у, z и учитывая, что получим дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе координат:
, (9.6)
где - алгебраические суммы проекций действующих на точку сил на соответствующие координатные оси, Н.
Уравнения (9.6) можно записать и в другом виде, т.к. проекции ускорения, в частности на ось х, может быть выражены в следующей форме .
Уравнения движения в естественной форме. Для получения этих уравнений, спроектируем обе части равенства (9.3) на естественные (скоростные) координатные оси . С учетом значений касательного ускорения и нормального ускорения получим:
, (9.7)
где р - радиус кривизны траектории точки, м;
V - скорость точки, м/с;
- алгебраические суммы проекций сил, соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории точки, Н.
§41. Две основные задачи динамики и их решение
Множество частных задач динамики материальной точки, как правило, сводятся к двум основным задачам.
Первая задача динамики заключается в определении действующих сил по заданному закону движения.
Вторая задача динамики — определение закона движения точки по известным действующим силам, в том числе и определение реакций наложенных связей.
Решение первой задачи динамики производится путём составления дифференциальных уравнений движения в виде уравнений (9.6) или (9.7) (подробный порядок рассмотрен ниже). Затем находят соответствующие ускорения методом дифференцирования уравнений движения по времени, если движение задано в функциях: ) или Если ускорение известно по условию задачи, то в дальнейшем определяются искомые силы или реакции связей из полученных дифференциальных уравнений движения в соответствии с данными задачи.
Решение второй задачи динамики необходимо производить в следующем порядке:
1. Составить дифференциальные уравнения движения, для чего:
1.1. Изобразить тело в текущем положении (в любой момент времени).
1.2. Выбрать систему координат. Если тело движется по прямой или траектория неизвестна, то выбирается декартова система координат. Если траектория известна, то используются естественные оси координат.
1.3. Записать уравнения вида (9.6) или (9.7) и начальные условия задачи: при
2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения движения методами математики. Если применяется неопределенный интеграл, то, используя начальные условия движения, определяются постоянные интегрирования. Можно брать определенный интеграл в пределах изменения переменных.
3. Определить искомые величины из уравнений после первого и (или) второго интегрирования. Решение проводить в общем виде, что позволит косвенно (по размерностям) проверить правильно ли выполнено решение.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Задача Д1
Груз массой m, получив в точке А скорость o , движется по участку ABC. На груз, кроме силы тяжести , действуют силы: на участке АВ – сила , зависящая от времени, на участке ВС — постоянная сила и сила трения скольжения тр .
Коэффициент трения скольжения f, расстояние AB=, BC=, время движения груза по участку АВ равно . При переходе с участка АВ на участок ВС груз не меняет величины скорости.
Значения параметров для различных вариантов сведены в таблицу Д1. Схемы движения груза представлены на рисунках Д1.0-Д1.10.
Таблица Д1
|
Номер варианта |
m, КГ |
, м/с |
, м |
, м. |
, с |
f |
Q, Н |
F, Н |
, град |
|
0 |
1 |
20 |
- |
2 |
2 |
0,1 |
40 |
6 |
30 |
|
1 |
2 |
15 |
0,2 |
1 |
- |
0,12 |
20 |
9 |
45 |
|
2 |
3 |
10 |
- |
3 |
1 |
0,15 |
30 |
10 |
60 |
|
3 |
4 |
12 |
0,3 |
2 |
- |
0,1 |
50 |
8 |
30 |
|
4 |
2 |
16 |
- |
1 |
3 |
0,14 |
70 |
4 |
45 |
|
5 |
5 |
25 |
0,1 |
3 |
- |
0,2 |
80 |
6 |
60 |
|
6 |
4 |
14 |
- |
4 |
2 |
0,1 |
60 |
2 |
30 |
|
7 |
1 |
18 |
0,4 |
2 |
- |
0,16 |
50 |
4 |
45 |
|
8 |
2 |
20 |
- |
1 |
1 |
0,18 |
30 |
15 |
60 |
|
9 |
3 |
15 |
0,2 |
2 |
- |
0,2 |
60 |
2 |
30 |
|
10 |
5 |
16 |
- |
4 |
3 |
0,25 |
20 |
8 |
60 |
Найти законы движения груза по участкам АВ и ВС, кроме того определить скорость груза в точках В и С.
Пример решения задачи Д1 для варианта 10 (рис. Д1.10)
Решение: Задача Д1 решается методом интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) на расстоянии х1 от начала движения и действующие на него силы: - вес груза, - переменная сила, F = 8t и - реакция поверхности (рис. Д1.11).
Проводим ось и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
,
где - сумма проекций сил на ось . . Тогда уравнение примет вид:
. (1)
После преобразования (делим обе части этого равенства на массу m), получим:
. (2)
Разделяем переменные в выражении (2) и берем неопределенный интеграл от обеих частей. После первого интегрирования будем иметь:
. (3)
Интегрируем равенство (3) второй раз:
. (4)
Постоянные интегрирования и находим по начальным условиям задачи. При t=0; =0; =. Подставляя начальные условия в равенства (3) и (4), получим: =; =0. С учётом значений и :
. (5)
. (6)
Подставляя численные значения в уравнение (5), получим закон изменения скорости груза на участке АВ:
или (7)
Уравнение движения груза будет иметь следующий вид:
. (8)
Подставляя в равенство (7) время t=3с, найдём скорость груза в точке В.
.
Рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем груз (в произвольном положении) на расстоянии х от точки В и действующие на него силы: - вес груза, - постоянная сила; тр - сила трения скольжения, - реакция поверхности. Проведём из т. В оси Вх и Ву и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх2:
, (9)
где .
Для определения составим уравнение в проекции на ось Ву. Так как груз не перемещается вдоль оси Ву то ау=0 и, следовательно, тогда 0=-Pcos, откуда =Pcos и Fmp=fPcos. Подставляем в уравнение (9) значение силы трения скольжения, и, сокращая обе части уравнения на т, получим:
. (10)
Разделяя переменные и интегрируя уравнение (10) дважды, получим:
(11)
. (12)
Записываем начальные условия движения груза на участке BС. При t=0; =0; =.
Подставляем начальные условия в уравнения (11) и (12), находим: .
С учётом численных значений: g=10; sina=sin 60=0,87; cosα=cos60°=0,5; Q = 20Н; т=5КГ; f=0,25; =VB=23,2; С2=0, получим:
, (13)
. (14)
Уравнение (13) выражает закон изменения скорости на участке ВС, а уравнение (14) - закон движения груза на этом же участке.
Подставляя в уравнение (14) х==4м, находим время движения груза по участку ВС:
4=2,95t2+23,2t.
Преобразуя последнее равенство, получим:
t2+7,86t-1,35=0,
откуда
=0,22c, t2=7,64c.
Определяем скорость груза в т. С, подставляя полученные значения t1 и t2 в уравнения (13):
,
.
§42. Общие теоремы динамики точки
1. Теорема об изменении количества движения точки
Количество движения точки.
Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения.
Количеством движения материальной точки называется векторная величина m, равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор m так же, как и скорость точки, т.е. по касательной к ее траектории.
Единица измерения количества движения в СИ - 1кгм/с=1Нc.
Импульс силы.
Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторой промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Элементарный импульс d силы - это векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени ее действия:
. (9.8)
Элементарный импульс направлен по вектору силы. Импульс силы за конечный промежуток равен интегральной сумме ее элементарных импульсов за этот промежуток времени.
. (9.9)
В частном случае, если сила постоянная (=const), то =t.
Проекции импульса силы на оси координат:
. (9.10)
Единица измерения импульса силы, как и количества движения в СИ - 1кгм/с=1Нс. Следовательно, эти величины имеют одинаковую размерность и их можно сравнить.
Уравнение (9.3), выражающее основной закон динамики, можно записать в другом виде (т.к. m=const, = d/dt ):
. (9.11)
Это уравнение одновременно выражает теорему об изменении количества движения.
Разделяя переменные в уравнение (9.11) и беря определенные интегралы в пределах изменения переменных, получим:
. (9.12)
Уравнение (9.12) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за этот же промежуток времени.
При решении задач вместо векторного уравнения (9.12) часто пользуются уравнениями в проекциях на координатные оси:
,
, (9.13)
,
2. Теорема об изменении момента количества движения точки
(теорема моментов)
В ряде задач динамики вместо динамической характеристики вектора mиспользуется его момент относительно центра или оси. Определяется вектор момента количества движения точки относительно центра (оси) так же, как и момент силы:
(9.14)
Момент количества движения точки относительно некоторого центра О равен векторному произведению радиуса-вектора движущейся точки на количество движения m.
Модуль момента количества движения равен
, (9.15)
где h - плечо вектора т относительно центра О.
В векторной форме теорема о моменте количества движения материальной точки соответствует теореме об изменении количества движения: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра О равна сумме моментов действующих сил относительно этого же центра, т.е.
. (9.16)
Проекция векторного равенства (9.16) на какую-либо из координатных осей, проходящих через центр О, даёт уравнение, выражающее эту же теорему в скалярной форме:
. (9.17)
3. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Работа и мощность силы.
Работа силы — скалярная величина, характеризующая эффект действия силы в зависимости от пути, на протяжении которого эта сила действует.
, (9.18)
где S-перемещение точки.
dA = FdScosa. (9.19)
как интеграл от элементарной работы:
. (9.20)
dA=Fxdx+FYdv+Fzdz. (9.21)
A=±Ph, (9.22)
где h- вертикальное перемещения центра тяжести.
. (9.23)
, (9.24)
где – крутящий момент, равный .
Если момент постоянный, то
. (9.25)
Единицей измерения работы в международной системе единиц СИ является 1джоуль ().
Мощность.
Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N=A/t, где t - время, в течение которого произведена работа. В общем случае при поступательном движении
. (9.26)
При вращательном движении
. (9.27)
Следовательно, мощность при поступательном движении равна произведению касательной составляющей силы на скорость или при вращательном движении произведению момента вращения на угловую скорость.
Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1Вт=1Дж/с).
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы силы (в СИ - 1Дж).
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме выражается следующим равенством:
(9.28)
Проинтегрировав обе части равенства (9.28) в пределах изменения переменных в точках от Мо до М1, найдем окончательно
. (9.29)
Уравнение (9.29) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии материальной точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Глава X. Введение в динамику механической системы.
Геометрия масс
§43. Механическая система.
Классификация сил, действующих на систему
Под механической системой в механике понимается совокупность взаимодействующих между собой материальных тел или точек, определенным образом увязанных между собой. Положение и движение каждого тела или точки системы зависит от положения и движения всех остальных.
Действующие на механическую систему активные силы и реакции связей разделяют на внешние - и внутренние - (индексы е и i от латинских exterior - внешний и interior - внутренний).
Рис. 10.1
Внешними называют силы, действующие на систему со стороны других систем или тел, не входящих в состав данной системы. Внутренними называют силы, с которыми тела или точки данной системы действуют друг на друга. Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.
Свойство внутренних сил:
1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы (рис. 10.1) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то
. (10.1)
2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис. 10.1 видно, что . Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:
. (10.2)
Из доказанных свойств не следует, однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенной вся совокупность внутренних сил будет у системы, представляющей собой абсолютно твердое тело.
§44. Масса системы. Центр масс
Масса системы (обозначаем М или т) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:
. (10.3)
Распределение масс в системе определяется значениями масс ее точек и их взаимными положениями, т.е. их координатами . Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины , а некоторые, выражаемые через их суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы и двух их координат). Эти характеристики мы в данной главе и рассмотрим.
Центр масс. В однородном поле тяжести (g=const) центр масс и центр тяжести системы или твердого тела совпадают. Однако центр масс имеет более широкое значение, т.к. он имеет место и в невесомости. Положение центра масс по координатным осям находится также, как и центра тяжести:
, (10.4)
где - координаты тел системы или отдельных точек твердого тела.
Исходя из уравнения (10.4), радиус-вектор центра масс тела определяется выражением:
. (10.5)
§45. Момент инерции относительно оси (центра).
Радиус инерции
Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или центра О) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси (центра):
. (10.6)
Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кгм2.
В технике для расчета момента инерции часто используется следующая формула:
(10.7)
где , - радиус инерции твердого тела относительно оси Oz.
Для стандартных материалов и изделий, выпускаемых промышленностью, значения радиуса инерции приводятся в справочных данных.
Радиус инерции определяет расстояние от оси Oz до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции полученной точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела.
Моменты инерции некоторых однородных тел
1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М:
, (10.8)
, (10.9)
где О - крайняя точка стержня,
- центр масс стержня,
- длина стержня.
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса R и массы М:
. (10.10)
3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиуса R и массы М:
. (10.11)
4. Прямоугольная пластина, конус, шар:
а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами: а вдоль оси х и b - вдоль оси у.
; (10.12)
б) прямой сплошной круглый конус массы М и радиуса основания R:
; (10.13)
в) сплошной шар массы М и радиуса R
. (10.14)
§46. Моменты инерции тела относительно параллельных осей
(Теорема Гюйгенса)
Зная момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела , формулы (10.9-10.14), можно найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной . Проведем через центр масс С тела произвольные оси С , а через любую точку О на оси - оси О такие, что , (рис. 10.2). Расстояние между осями С z и О z обозначим через d. Применяя выражение (10.6), определим момент инерции относительно оси .
Рис. 10.2
Впервые это было доказано X. Гюйгенсом и формула, выражающая теорему, имеет следующий вид:
, (10.15)
где d - расстояние между осями и .
Теорема Гюйгенса формулируется следующим образом: момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
Из формулы (10.15) следует, что . Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно оси, проходящей через центр масс тела (см уравнения (10.8) и (10.9) §45).
§47. Центробежные моменты инерции.
Понятия о главных осях инерции
Если через точку О провести координатные оси Oxyz, то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины Jxy, Jyz, Jzx, определяемые равенствами:
, (10.16)
где - массы точек; - координаты точек по соответствующим осям.
Для сплошных тел формулы (10.16) принимают вид:
и т.д. (10.17)
В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz могут обращаться в нули.
Отметим следующие свойства центробежных моментов инерции:
1). Если тело имеет ось симметрии Oz, то центробежные моменты инерции с индексом этой оси будут равны нулю, т.е.
. (10.18)
Ось Oz, для которой выполняется равенство (10.18) называется главной осью инерции. Если ось проходит через центр масс, то ее называют главной центральной осью инерции.
2). Если тело имеет плоскость симметрии, то центробежные моменты инерции с индексом оси, перпендикулярной плоскости симметрии, также равны нулю и эта ось является главной осью инерции.
Понятия о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. В частности, если ось вращения тела или системы является главной осью инерции, то вращающиеся массы уравновешены и статически, и динамически.
Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из рассмотренного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.
Глава XI. Основные теоремы динамики системы
§48. Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой тк. Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики .
Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет
,
,
(11.1)
.
Уравнения (11.1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме (в них ). Входящие в правые части уравнений силы могут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.
Проекции равенства (11.1) на координатные оси, дают дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси. Однако при решении задач динамики уравнения вида (11.1) практически не используется из-за сложности и громоздкости расчетов.
§49. Теорема о движении центра масс
В инженерной практике, как правило, применяются теоремы динамики, в которых используются обобщенные динамические характеристики тел или систем, определенным образом влияющие на их движение. В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (11.1) и сложим почленно их левые и правые части. Так как по свойству внутренних сил системы , получим
. (11.2)
Преобразуем формулу (10.5) к виду . Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и учитывая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем
.
или
, (11.3)
где - ускорение центра масс системы. И окончательно:
. (11.4)
Уравнение (11.4) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
Проектируя обе части равенства (11.4) на координатные оси, получим:
. (11.5)
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.
§50. Закон сохранения движения центра масс
Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия.
.
Тогда из уравнения (11.4) следует, что или с=const. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно. В частности, если вначале центр масс был в покое, то он и остается в покое. Действие внутренних сил движение центра масс системы изменить не может.
Тогда первое из уравнений (11.5) дает
или .
Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось, равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент, то и в любой последующий момент времени , т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси х перемещаться не будет ().
Все эти результаты выражают собой закон сохранения движения центра масс системы: никакими внутренними силами нельзя изменить положение центра масс системы.
Если имеет место закон сохранения движения центра масс системы по оси х, то справедливо следующее выражение:
, (11.6)
где -абсолютное перемещение центра каждой части масс системы по оси х.
Из выражения (11.6) можно по перемещению одной части системы найти перемещение его другой части.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
ЗАДАЧА Д 2
Грузы массой и , соединённые нерастяжимой нитью, переброшенной через блок А, скользят по гладким боковым сторонам клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную плоскость (рис. Д2.0-Д2.9). Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза массы , на высоту h. Масса клина т.
Значения параметров для различных вариантов сведены в таблицу Д2.
Таблица Д2
|
Номер варианта |
, КГ |
, КГ |
т, КГ |
, рад |
, рад |
h, м |
|
0 |
0,15 |
|||||
|
1 |
0,12 |
|||||
|
2 |
0,14 |
|||||
|
3 |
0,08 |
|||||
|
4 |
0,07 |
|||||
|
5 |
0,05 |
|||||
|
6 |
0,1 |
|||||
|
7 |
0,09 |
|||||
|
8 |
0,06 |
|||||
|
9 |
0,13 |
|||||
|
10 |
0,1 |
Пример решения задачи Д2 для варианта 10.
Решение: Задача Д2 на применение теоремы о движении центра масс системы. Система, состоящая из клина и грузов, находится в покое под действием четырёх внешних вертикальных сил: веса грузов и , клина и реакции гладкой горизонтальной поверхности , линия действия которой проходит через центр масс системы (рис. Д2.11).
Проведём из точки В горизонтальную и вертикальную оси координат. Обозначим через х1, х2, и х3 - координаты центра масс отдельных тел системы, находящейся в покое, и вычислим координату центра масс этой системы по формуле:
, (1)
где: - масса отдельных тел системы,
- координаты центров этих тел.
Для заданной системы
. (2)
Так как проекция на ось x главного вектора внешних сил, действующих на систему, равна нулю и начальная скорость равна нулю, то согласно второму следствию теоремы о движении центра масс, координата центра масс не изменяется. Отсюда следует, что при движении груза вдоль АВ вниз, клин переместится вправо настолько, что центр масс системы останется на той же вертикали. Найдём новые координаты центров масс грузов , обозначив смещение клина через x, а смещение грузов вдоль плоскостей через s. Новые координаты отдельных тел системы обозначим через . Выразим их через координаты центров масс этих тел до перемещения:
,
, (3)
.
Координаты центра масс системы в этом положении с учётом выражений (2) и (3) определим следующим образом:
, (4)
Так как координата по оси X центра масс системы не изменяется, то
.
С учётом уравнений (1) и (4) получим
.
После преобразований
. (5)
Зная h, определим S
. (6)
После подстановки численных данных уравнение (3) примет вид:
.
Выражая значение m и через , получим: .
Откуда .
§51. Теорема об изменении количества движения системы
Количество движения системы (твердого тела).Количеством движения системы называется векторная величина Q, равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 10.3).
Рис. 10.3
Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять величину , а также уяснить ее смысл. Из равенства (10.5) следует, что
.
Беря от обеих частей производную по времени, получим
.
Отсюда находим, что
, (11.7)
т.е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.
Из формулы (11.7) видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.
Если же движение тела является сложным, то величина не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс .
Таким образом, количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения системы (тела), а при сложном движении - как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс.
Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (11.2). Левую часть выразим через количество движения системы:
.
Окончательно уравнение (11.2) примет вид:
. (11.8)
Уравнение (11.8) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси получим:
. (11.9)
Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент времени t=0 количество движения системы равно ,а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства (11.8) на dt и интегрируя в пределах изменения переменных, получим
или
. (11.10)
Уравнение (11.10) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за любой промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
В проекциях на координатные оси будет:
. (11.11)
Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство (11.8) и учитывая, что по , получим, что , т.e. уравнение (11.4).
Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением обычно пользоваться удобнее. Для, непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы.
Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).
§52. Закон сохранения количества движения
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.
нулю
.
Тогда из уравнения (11.8) следует, что при этом = const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
.
Тогда из уравнений (11.9) следует, что при этом Qx = const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.
Эти результаты и выражают закон изменения количества движения системы: никакими внутренними силами нельзя изменить количество движения системы.
§53. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов)
Момент количеств движения системы. Главный момент количеств движения системы с учетом уравнения (9.14) относительно центра О будет равен геометрической сумме моментов количеств движения всех точек этой системы:
. (11.12)
На основании соответствующей теоремы статики (проекция вектора момента силы на любую ось равна моменту силы относительно оси), уравнения (11.12) в проекции на координатные оси будет иметь вид:
. (11.13)
Тогда по величине главный момент количеств движения системы можно определить через его проекции на координатные оси по известной формуле:
. (11.14)
В технике наиболее часто применяется момент количеств движения (кинетический момент) относительно оси вращения. Его величина равна:
, (11.15)
т.е. кинетический момент любой системы относительно оси вращения равен произведению момента инерции системы (твердого тела) относительно этой оси на угловую скорость.
Для обоснования формулы (11.15) вычислим (так же как и для момента силы) кинематический момент произвольной точки тела массы тк, находящейся от оси вращения Oz на расстоянии hк:
.
Кинетический момент всего тела будет равен
.
Заменяя , и вынося за знак суммы, получим:
.
Следует заметить, что формула (11.15) по физической сути идентична формуле (11.7). При поступательном движении учитывается динамическая характеристика - количество движения , при вращении - кинетический момент (.
Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки (см. §49), будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой , имеющую скорость k, то для нее будет:
.
Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим
.
Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда, учитывая равенство (11.12), окончательно получим
. (11.16)
Уравнение (11.16) выражает следующую теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра. Проектируя обе части равенства (11.16) на неподвижные оси Oxyz, получим:
. (11.17)
Уравнения (11.17) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.
§54. Закон сохранения главного момента количеств движения
Из теоремы моментов можно получить такие следствия.
1. Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т.е.
.
Тогда из уравнения (11.16) следует, что при этом =const, Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этого центра будет постоянным по величине и по направлению.
2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Oz равна нулю:
.
Тогда из уравнений (11.17) следует, что при этом =const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.
Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.
Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси z. Тогда кинетический момент относительно этой оси . Если в этом случае , то .
Отсюда приходим к следующим выводам:
а) если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то и, следовательно, , т.е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью;
б) если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вызывает увеличение , или приближаться к оси, что приведет к уменьшению . Но поскольку , то при увеличении момента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при уменьшении момента инерции - увеличиваться. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как постоянство не означает вообще постоянства .
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
ЗАДАЧА Д3
Однородный сплошной диск радиуса R и массы вращается вокруг вертикальной оси OZ. На диске находится ползун Д с массой , который может перемещаться по диску в радиальных направляющих. Диску сообщена начальная угловая скорость . Зная закон относительного движения ползуна , определить угловую скорость диска через t секунд после начала относительного перемещения ползуна. Трением пренебречь (рис Д3).
Данные для различных вариантов сведены в таблицу ДЗ.
Таблица Д3
|
Номер варианта |
, КГ |
, КГ |
R, м |
, |
t, с |
S, м |
|
0 |
25 |
15 |
0,6 |
3 |
2 |
|
|
1 |
30 |
15 |
0,8 |
2 |
1 |
|
|
2 |
35 |
20 |
0,8 |
3 |
1 |
|
|
3 |
40 |
20 |
1,0 |
2 |
2 |
|
|
4 |
45 |
25 |
1,0 |
4 |
2 |
|
|
5 |
50 |
25 |
1,2 |
2 |
4 |
|
|
6 |
55 |
30 |
1,2 |
3 |
1 |
|
|
7 |
60 |
35 |
1,4 |
2 |
3 |
|
|
8 |
65 |
35 |
1,4 |
3 |
4 |
|
|
9 |
62 |
34 |
0,5 |
2 |
1 |
|
|
10 |
20 |
10 |
0,6 |
2 |
1 |
|
Пример решения задачи Д3 для варианта 10
Решение: Задача Д3 на применение теоремы о кинетическом моменте системы. Проведём оси координат Oxyz, как показано на рис. Д3.10. Рассмотрим механическую систему, состоящую из диска и ползуна. Внешними силами, действующими на систему, являются вес диска , вес ползуна , реакции подшипника: О - , , и подшипника С - с, c. Так как реакции опор пересекают ось Z, а силы тяжести и параллельны оси Z, то алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на систему относительно оси вращения Z, равна нулю, т.е.
,
где - главный момент внешних сил.
Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси Oz, будем иметь:
, (1)
Вследствие того, что , то и .
Следовательно, кинетический момент до начала движения ползуна должен быть равен кинетическому моменту в любой момент времени: .
Определим системы. Кинетический момент системы равен:
, (2)
где - кинетический момент диска,
- кинетический момент ползуна.
, (3)
где - момент инерции диска относительно оси Z.
,
, (4)
, (5)
где h - плечо вектора количества движения ползуна Д.
Va - абсолютная скорость ползуна.
Так как в начальный момент относительная скорость движения ползуна равна нулю, то абсолютная скорость ползуна равна скорости ползуна в переносном движении:
. (6)
Подставляя уравнение (6) в выражение (5), получим , следовательно, кинетический момент при t0:
. (7)
Определим кинетический момент системы () через t секунд после начала движения ползуна:
. (8)
В данный момент времени ползун находится на расстоянии г от центра диска: r=R-S, St=0,4t2=0,4м, r=0,6-0,4=0,2м.
Ползун совершает сложное движение, абсолютная скорость определяется по формуле (рис. Д3.11).
, (9)
где - вектор относительной скорости ползуна,
, - вектор переносной скорости ползуна.
Относительная скорость определяется:
, (10)
Переносная скорость определяется:
. (11)
Определим h, используя рис. Д3.11.
. (12)
где - угол между векторами: и .
Из рис. Д3.11
, (13)
Тогда
. (14)
Кинетический момент ползуна через t секунд равен:
.
Кинетический момент системы через t секунд равен:
.
Приравниваем значения кинетического момента: , получим:
.
Отсюда найдём искомую угловую скорость диска через t секунд:
. (15)
§55 Теорема об изменении кинетической энергии системы
Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:
. (11.18)
Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Главное отличие величины Т от введенных ранее характеристик u o состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменение этих направлений.
Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел, т.е., .
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела для разных случаев движения.
1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. Следовательно, для любой точки Vk=Vc и формула (11.18) дает
или
. (11.19)
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Oz, то скорость любой его точки , где - расстояние точки до оси вращения, а - угловая скорость тела. Поставляя это значение в формулу (11.18) и вынося общие множители за скобки, получим
.
Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем
, (11.20)
т.е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3 Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей p (рис. 11.1). Следовательно, по формуле (11.20)
, (11.21)
где - момент инерции тела относительно названной выше оси;
- угловая скорость тела.
Величина будет переменной, так как положение центра p при движении тела все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (§50), где . После преобразований уравнения (11.21), получим:
.
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс (рис. 11.2).
Рис 11.1 Рис 11.2
Доказанная в §42 теорема (формула 9.29) справедлива для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой тк, имеющую скорость Vk , то для этой точки будет
,
где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем:
или
. (11.22)
Равенство (11.22) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где значение кинетической энергии становится равным , получим
. (11.23)
Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической анергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Рассмотрим два важных частных случая.
. (11.24)
. (11.25)
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Задача Д4
К грузу A массой прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок Д массой и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка В массой . При движении груза A вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту, вращается блок Д, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути S, если в начальный момент система находилась в покое.
Блок Д и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и весом нити пренебречь.
Данные для различных вариантов сведены в таблицу Д4.
Таблица Д4
|
Номер варианта |
, кг |
, кг |
, кг |
, paд |
, рад |
S, м |
, м. |
, м. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
m |
m/2 |
2m |
/3 |
/4 |
4 |
0,20 |
0,30 |
|
1 |
m |
m/4 |
3m |
/3 |
/6 |
6 |
0,25 |
0,35 |
|
2 |
m |
m/3 |
4m |
/4 |
/6 |
7 |
0,15 |
0,30 |
|
3 |
m |
m/4 |
3m |
/4 |
/6 |
2 |
0,20 |
0,40 |
|
4 |
m |
m/4 |
3m |
/4 |
/6 |
2 |
0,15 |
0,25 |
|
5 |
m |
m/2 |
4m |
0 |
/3 |
3 |
0,16 |
0,30 |
|
6 |
m |
m/3 |
2m |
0 |
/4 |
4 |
0,10 |
0,25 |
|
7 |
m |
m/4 |
3m |
0 |
/6 |
5 |
0,20 |
0,15 |
|
8 |
m |
m/3 |
2m |
/4 |
/4 |
3 |
0,30 |
0,20 |
|
9 |
m |
m/2 |
3m |
/6 |
/3 |
5 |
0,10 |
0,40 |
|
10 |
m |
m/4 |
2m |
/3 |
/6 |
6 |
0,40 |
0,50 |
Рис. Д4.8-4.10
Решение: Задача Д4 на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы.
, (1)
где и - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях,
- сумма работ всех внешних сил, приложенных к системе.
Так как в начале система находилась в покое, то , следовательно уравнение (1) имеет вид:
. (2)
Определим кинетическую энергию системы в конечном её положении. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел А, В и Д:
. (3)
Кинетическая энергия груза А, движущегося поступательно:
.
Кинетическая энергия блока Д.
,
где - момент инерции блока Д относительно горизонтальной оси Oz, проходящей через его центр тяжести.
, (4)
где - радиус блока Д
С учётом значений момента инерции блока, кинетическая энергия блока:
, (5)
где – угловая скорость блока Д.
Так как вращательная скорость точек обода блока Д равна скорости движения сходящей с блока нити, то:
.
Тогда:
. (5’)
Кинетическая энергия катка В, совершающего плоское движение:
,
где - скорость центра тяжести С катка;
- момент инерции катка относительно его центральной продольной
оси ;
- угловая скорость катка.
Момент инерции катка определяется:
.
Выразим скорость и угловую скорость через скорость груза А. Вращательная скорость точек обода катка В равна скорости движения сходящей с блока нити и следовательно:
.
Мгновенный центр скоростей катка B находится в точке р. Следовательно:
,
.
С учётом этого кинетическая энергия катка равна:
. (6)
После подстановки значений , , в уравнение (3) кинетическая энергия системы
. (7)
Найдём сумму работ всех сил, приложенных к системе на заданном её перемещении S.
На груз А действуют силы: вес и нормальная реакция плоскости , (рис. Д4.11).
На блок Д действуют силы: вес и составляющая реакция подшипника и .
На каток В действуют силы: вес и нормальная реакция плоскости
Работа нормальных реакций и равна нулю.
Силы и не производят работы, так как приложены к неподвижной точке.
Работа силы определяется:
. (8)
Работа силы определяется:
. (9)
Работа крутящего момента
. (10)
Сумма работ всех сил, приложенных к рассматриваемой системе, и момента равна:
.
Приравняв значения и , получим:
.
Откуда, при m=10кг
. (11)
Глава XII. Принцип Даламбера
§56. Принцип Даламбера для точки и механической системы
Принцип Даламбера является одним из общих принципов механики, которые позволяют другим, более эффективным способом, решать задачи динамики.
Этот принцип вытекает из основного закона Ньютона. Уравнение (9.3) можно представить для несвободной материальной точки в форме:
, (12.1)
где - активные силы, вызывающие движение точки;
- реакция наложенной связи.
В неявном виде уравнение (12.1) будет иметь вид:
.
Вектор назван силой инерции :
. (12.2)
Из формулы (12.2) следует, что сила инерции точки по модулю равна произведению массы точки на ее ускорение и направлена противоположно ускорению. Уравнение (12.1) с учетом (12.2) имеет вид:
. (12.3)
Эта формула выражает принцип Даламбера для материальной точки. Если к активным силам и реакции связи добавить возникающую при движении точки силу инерции, то совокупность этих сил можно рассматривать в состоянии равновесия.
Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил (в которые входят и активные силы, и реакции связей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением . Введя для этой точки силу инерции , получим согласно равенству (12.3), что
. (12.4)
Рассматривая все точки системы, получаем следующий результат, выражающий принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил добавить возникающие силы инерции, то полученная система сил может рассматриваться уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.
Из статики известно, что в общем случае геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю. Это справедливо для сил, действующих не только на твердое тело, но и на любую изменяемую механическую систему. Тогда на основании принципа Даламбера для всех точек системы должно быть:
=0,
. (12.5)
Введем обозначения:
(12.6)
Величины , представляют собой главный вектор и главный момент сил инерции системы относительно центра О. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств (12.5):
. (12.7)
Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия в статике. Это делает единообразным подход к решению задач и часто упрощает соответствующие расчеты.
§57. Главный вектор и главный момент сил инерции
Сравнивая первое из равенств (12.7) с уравнением, выражающим теорему о движении центра масс , найдем, что
, (12.8)
т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Если ускорение разложить на касательное и нормальное, то вектор разложится на составляющие
. (12.9)
Сравнив теперь второе из равенств (12.7) с уравнением, выражающим теорему моментов , и учтя, что аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси, получим:
, (12.10)
т.е. главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или оси.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Поступательное движение. В этом случае ускорения всех точек тела одинаковы и равны ускорению центра масс С тела , тогда угловое ускорение , а главный момент сил инерции относительно центра масс из уравнения (12.10) будет равен нулю, т.к.
. (12.11)
Таким образом, при поступательном движении
. (12.12)
т.е. при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к главному вектору сил инерции , равному произведению массы тела на ускорение центра масс тела, приложенному в центре масс и направленному противоположно ускорению.
2. Вращательное движение. Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Oz, перпендикулярной этой плоскости (рис. 12.1, где показано сечение тела плоскостью Оху). Если привести силы инерции к центру О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут лежать в плоскости Оху и момент пары будет равен . Тогда главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции будут равны:
, (12.12')
. (12.13)
Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела приводится к силе , определяемой формулой (12.12) и приложенной в точке O (рис. 6), и к паре с моментом , определяемым формулой (12.13), лежащей в плоскости симметрии тела.
Рис. 12.1
2.1. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Если тело вращается вокруг оси , проходящей через центр масс C тела, то , так как . Следовательно, в этом случае система сил инерции тела приводится только к одной паре с моментом , лежащей в плоскости симметрии тела, т. е:
. (12.14)
2.2. Вращение вокруг оси , смещенной относительно центра масс. Исходя из уравнений (12.12') и (12.13) получим
. (12.15)
3. Плоскопараллельное движение: Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс C тела, и паре с моментом . Модуль момента , а его направление, противоположно направлению углового ускорения .
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
ЗАДАЧА Д5
Ломаный стержень EDK с точечным грузом в точке K жёстко соединён с валом АВ. Вал вращается равномерно вокруг оси By с угловой скоростью . Найти реакции подшипника A и подпятника B, если ; ; ; ; масса стержня ED - ; масса стержня DK - ; масса точечного груза - . Если масса , стержень изображать на схеме, считая его невесомым, если , точечный груз не изображать на схеме.
Данные для различных вариантов приведены в таблице Д5.
Таблица Д5
|
Номер варианта |
, кг |
, кг |
, кг |
, |
, м |
, м |
а, м |
d, м |
а, град |
|
0 |
10 |
5 |
0 |
5 |
1 |
0,5 |
0,2 |
0,8 |
30 |
|
1 |
7 |
0 |
3 |
4 |
0,5 |
0,25 |
0,4 |
0,12 |
45 |
|
2 |
8 |
2 |
0 |
8 |
4 |
1 |
0,2 |
0,6 |
60 |
|
3 |
6 |
2 |
3 |
7 |
0,6 |
0,2 |
0,1 |
0,5 |
30 |
|
4 |
5 |
1 |
0 |
6 |
1 |
0,2 |
0,2 |
0,8 |
45 |
|
5 |
4 |
0 |
5 |
2 |
2 |
1 |
0,4 |
0,6 |
60 |
|
6 |
6 |
2 |
0 |
1 |
0,9 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
60 |
|
7 |
12 |
3 |
0 |
4 |
1,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
45 |
|
8 |
20 |
5 |
0 |
5 |
0,8 |
0,2 |
0,1 |
0,6 |
30 |
|
9 |
10 |
0 |
6 |
2 |
1 |
0,5 |
0,4 |
0,6 |
60 |
|
10 |
18 |
6 |
4 |
10 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,6 |
30 |
Рис. Д5.11 Рис. Д5.12
Пример решения задачи Д5 для варианта 10. Определить реакции подшипников A и В для схемы рис Д5.10.
Решение: Задача Д5 на применение принципа Даламбера. Покажем на схеме (рис. Д5.11) действующие на систему силы: , - вес стержня ED; вес стержня DK; - вес точечного груза K; ХА, YB, XB - реакции подшипников.
К действующим на систему силам добавляем силы инерции. При равномерном вращении возникнут только нормальные силы инерции (касательные силы инерции в этом случае отсутствуют).
Сила инерции, возникающая при вращении стержня ED, по величине будет равна:
, (1)
где - нормальное ускорение точки ; ;
- центр масс стержня ED.
Направлен вектор к центру вращения точки , т.е. от точки к точке , следовательно вектор - главный вектор сил инерции стержня ED направлен противоположно вектору . Приложен вектор согласно закону распределения сил инерции по длине стержня (рис. Д5.12) на расстоянии , считая от точки Е.
Сила инерции, возникающая при вращении стержня DK, определяется по величине:
, (2)
где .
.
Направлен вектор противоположно нормальному ускорению точки (рис.Д5.11).
Сила инерции, возникающая при вращении точечного груза, по величине равна:
.
Направлен вектор противоположно нормальному ускорению точки K (рис. Д5.11). Составляем согласно принципу Даламбера уравнения равновесия для системы. Данную систему в любой момент времени можно рассматривать как плоскую, поэтому составляем три уравнения равновесия:
, (3)
, (4)
. (5)
Из уравнения (4) находим реакцию YB:
.
Из уравнения (5) определяем реакцию :
.
Из уравнения (3) находим реакцию :
.
Для проверки решения составим уравнения моментов относительно точки D: .
Глава XIII. Принцип возможных перемещений и общее уравнение
динамики
§58. Связи и их классификация
Понятие о связях, введенное в разделе статики, охватывает не все их виды. Рассматриваемые некоторые методы решения задач в динамике применимы к системам не с любыми связями. Поэтому вопрос о связях и их классификации следует уточнить.
Связи - любые ограничения, которые налаживаются на положения и скорости точек механической системы. Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем - нестационарными.
Связи, ограничивающие положение (координаты) точек системы, называются геометрическими, а ограничивающие еще и скорости - кинематическими или дифференциальными. Если, дифференциальную связь можно представить как геометрическую, то такая связь называется интегрируемой, если нет - то неинтегрируемой.
Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называют голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи неголономными. Механические системы, имеющие голономные связи, называются голономными системами, в противном случае - неголономными системами.
Различают связи удерживающие (сохраняющиеся при любом положении системы) и неудерживающие, от которых система может «освобождаться».
Примеры:
1. Связи, рассмотренные в разделах статики[2,3], являются стационарными и притом геометрическими (голономными).
2. Качение колеса без скольжения и буксования определяется геометрической связью координатами: - центр колеса и - угол поворота. При качении выполняется условие и . Это геометрическая, дифференциальная и интегральная связь. Такие наложенные связи называются голономными. При качении колеса со скольжением или буксованием связь будет не интегрируемая - неголономная.
Подробнее о классификации связей можно ознакомиться в учебной литературе [1,2,3,4 и др.].
§59. Возможные перемещения системы.
Число степеней свободы
Эффект связей можно учитывать не только величиной их реакций, но и рассматривая те возможные перемещения, которые точки системы могут иметь при наложенных на них связях. Такой подход позволяет без определения неизвестных реакций получать уравнение равновесия или движения, что существенно упрощает решение многих задач динамики. Такие перемещения называются возможными или виртуальными. Они должны удовлетворять двум условиям: во-первых, быть бесконечно малыми, так как при конечных перемещениях система займет другое положение, где эффект связей будет другим; во-вторых, они должны быть допускаемы наложенными связями, иначе изменится вид рассматриваемой системы.
Следовательно, возможными (виртуальными) перемещениями называются бесконечно малые перемещения точек механической системы, допускаемые наложенными связями.
В дальнейшем следует различать действительное перемещение движущейся точки, которое она совершает за элементарное время , и возможное перемещение, которое точка не совершает, но могла бы совершить, не нарушая наложенные на нее в данный промежуток времени связи.
Чтобы учесть это различие, возможное перемещение обозначают символом . Модуль будем обозначать , т.е. . При этом - проекции вектора на координатные оси вычисляются так же, как дифференциалы.
Следуют отметить, что при стационарных связях действительные перемещения любой точки системы, также должны допускаться наложенными связями и совпадают с одним из возможных перемещений . При нестационарных связях ни с одним из возможных перемещений не совпадает. В общем случае механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако, для любой системы можно определить некоторое число независимых между собой перемещений, через которые можно выразить всякие другие возможные перемещения.
Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.
Точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы. Это означает, что ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами, например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей). Одновременно положение такой точки определяется тремя независимыми координатами х, у, z и т.д.
Этот результат оказывается общим, т.е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат. Так, у кривошипно-ползунного механизма одна степень свободы (у него одно независимое возможное перемещение, например поворот кривошипа ОА, и одна независимая координата, например угол ). У свободного твердого тела шесть степеней свободы (независимых перемещений: три поступательных вдоль координатных осей и три поворота вокруг этих осей, а независимых координат - три координаты полюса и три угла Эйлера).
§60. Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия системы при наличии только стационарных связей.
Следует дать понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую могла бы совершить сила на возможном перемещении. Возможная (виртуальная) работа определяется так же, как и для действительных перемещений и обозначается символом - для активных сил и - для реакций связей.
В механике введено понятие об идеальных связях: идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.
. (13.1)
Докажем, что если механическая система с идеальными связями находится под действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство
(13.2)
или
, (13.2′)
где - угол между силой и возможным перемещением.
Составив такие равенства для всех точек системы, на каждую из которых действуют - активная сила и - реакция связи, и сложив их почленно, получим:
.
Это равенство с учетом уравнения (13.1) для идеальных связей подтверждает выражение (13.2).
Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (13.2), которое называют также уравнением возможных работ. Это условие (13.2) можно еще представить в аналитической форме:
. (13.3)
Решение задач
При решении задач вначале определяют число степеней свободы по числу независимых возможных перемещений или координат.
Для системы с одной степенью свободы (кривошипно-ползунный механизм, кулисный механизм привода строгального станка и т.п.) необходимо соблюдать следующий порядок:
1. Вычертить схему в заданном положении и изобразить все действующие на систему силы и моменты сил.
2. Дать системе возможное перемещение и показать на схеме линейные возможные перемещения точек приложения сил и угловые перемещения звеньев, к которым приложены моменты пар сил. Записать уравнения (13.2) возможных работ по формулам:
. (13.4)
Примечание: зависимость между и находят двумя способами: 1) из геометрических соотношений методами геометрии с тригонометрией или 2) из кинематических соотношений, принимая и , что справедливо, так как получаемые за время dt действительные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных.
Пример: Найти зависимость между моментом М пары, действующей на кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис. 13.1), и силой давления P на поршень при равновесии, если ОА=r; AB = l, .
Рис.13.1
Решение. Механизм имеет одну степень свободы:
1. Изображаем схему механизма в заданном положении и прикладываем к кривошипу пару сил с моментом М и силу давления Р;
2. Задаем системе возможное перемещение и показываем кривошипа и ползуна. Записываем уравнение возможных работ:
. (1)
3. Устанавливаем зависимость кинематическим способом: , следовательно:
. (2)
4. Тогда из уравнения (1) с учетом уравнения (2) получим:
. (3)
Скорость ползуна в зависимости от можно определить по теореме о проекциях скоростей: или при помощи мгновенного центра скоростей: .
Произведем расчет по теореме о проекциях скоростей. Поскольку угол ОАD, как внешний угол треугольника ОАВ, равен , то и, следовательно:
. (4)
Исключим из этого равенства угол . Из треугольника ОАВ по теореме синусов . Кроме того:
. (5)
В результате находим
. (6)
Подставляя в формулу (3) значение из уравнения (6), окончательно получим:
. (7)
§61. Общее уравнение динамики
Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.
Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей , прибавить соответствующие силы инерции , то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим
.
Но для идеальных связей по условию (13.1) равна нулю. Тогда окончательно получим:
. (13.5)
Из полученного результата вытекает следующий принцип Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и возникающих при движении сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.
Уравнение (13.5), выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме уравнение имеет вид:
. (13.6)
Уравнения (13.5) или (13.6) позволяют составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если при этом система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин), а затем применить принцип возможных перемещений. Задачи решаются в том же порядке, как и в предыдущем параграфе, но с учетом возникающих сил инерции.
Примечание: Уравнение (13.5) используются в таком же виде и в случае наличия неидеальных связей, но в этом случае реакции неидеальных связей (как правило, это силы трения скольжения или качения) включаются в число активных сил.
Глава XIV. Условия равновесия
и уравнения движения системы в обобщенных координатах
§62. Обобщенные координаты и обобщенные скорости
Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться s обобщенными координатами
. (14.1)
Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат
(14.2)
также между собой независимы. При этом каждая из величин выражения(14.2) определяет соответствующее, независимое от других, возможное перемещение системы.
Как при всяком переводе от одной системы координат к другой, декартовы координаты любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить через обобщенные координаты зависимостями вида: и т.д. Следовательно, и для радиуса - вектора этой точки, поскольку , тоже будет
. (14.3)
При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться. Закон этого движения определится уравнениями:
. (14.4)
Уравнения (14.4) представляют собой кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах.
Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы и обозначаются обычными символами
,
где и т.д. Размерность обобщенной скорости зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Если q – линейная величина, то - линейная скорость; если q-угол, то - угловая скорость.
§63. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы . Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (14.1). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение , а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов- векторов точек системы получит элементарное приращение . Значение вычисляется, как частный дифференциал, так как при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения). Следовательно:
.
Найдем сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим :
Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно
, (14.5)
где
. (14.6)
По аналогии с равенством , определяющим элементарную работу силы , величину называют обобщенной силой, соответствующей координате .
Сообщая системе другое независимое возможное перемещение , при котором изменяется только координата , получим аналогично для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение
, (14.7)
где
. (14.8)
Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате и т. д.
Для возможного перемещения системы, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством
. (14.9)
Формула (14.9) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы - это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.
Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины убудут представлять собой обобщенные активные силы системы.
Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты:
, (14.10)
т.е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q - линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в Н), если q - угол (величина безразмерная), то Q будет измеряться в Нм и имеет размерность работы или момента; если q - объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом надпоршневого пространства), то Q будет измеряться в Н/ и имеет размерность давления, и т. д.
Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (14.5), (14.7), что сводится к вычислению возможной элементарной работы. Сначала следует установить число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (13.4) и представить полученное выражение в виде (14.5). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются .
Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т.е. . Но при переходе к обобщенным координатам все могут быть выражены через эти координаты и тогда . Следовательно, вычисляя как полный дифференциал от функции , найдем, что
.
Сравнивая это выражение с равенством (11.9), заключаем, что в данном случае
(14.11)
или так как потенциальная энергия , то
. (14.12)
Следовательно, если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции (или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам.
§64. Условия равновесия системы в обобщенных координатах
Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил (и сил трения, если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т.е. условие . В обобщенных координатах это условие, согласно равенству (14.9), дает
. (14.13)
Так как все величины между собой независимы, то равенство (14.13) может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности равен нулю, т.е.
. (14.14)
Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (14.14) равно, как видим, числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы.
При решении задач с помощью принципа возможных перемещений также вычисляются соответствующие обобщенные силы, а затем приравниваются к нулю.
Случай потенциальных сил. В этом случае условия равновесия (14.14), если учесть равенства (14.11) и (14.12), дают:
(14.15)
или
. (14.15)
Отсюда следует, что при равновесии полный дифференциал функций U или равен нулю, т.е.
.(14.16)
Равенства (14.15) или (14.16) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, система, на которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максимум), находится в равновесии.
§65. Уравнения Лагранжа
Для нахождения уравнений движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики, которое в общем случае можно записать:
. (14.17)
Если среди наложенных на систему связей будут иметь место не идеальные, то первая сумма будет включать работу как активных сил, так и работу сил трения.
Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами . Тогда по формуле (14.9)
. (14.18)
Очевидно, что для сил аналогично, как и для сил, можно по отношению к обобщенным координатам записать элементарную работу сил инерции:
, (14.19)
где - обобщенные силы инерции, которые согласно формулам (14.6, 14.8) будут:
. (14.20)
Подставляя величины (14.18) и (14.19) в уравнение (14.17), получим
.
Так как все между собой независимы, то полученное равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности равен нулю. Следовательно, должно быть
. (14.21)
Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Однако процесс составления этих уравнений значительно упростится, если выразить все входящие сюда обобщенные силы инерции через кинетическую энергию системы. Преобразуем сначала соответствующим образом величину . Поскольку сила инерции любой из точек системы , то первая из формул (14.20) дает
. (14.22)
Чтобы выразить через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (14.22) так, чтобы она содержала только скорости точек системы. С этой целью заметим, прежде всего, что
. (14.23)
В справедливости равенства (14.23) легко убедиться, продифференцировав произведение, стоящее справа в скобках. Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:
. (14.24)
Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно , то
.
Справедливость второго из равенств (14.24) следует из того, что операции полного дифференцирования по t и частного по переместительны, т.е.
.
Подставив теперь величины (14.24) в равенство (14.23), получим
и формула (14.22), если учесть, что сумма производных равна производной от суммы, a , примет вид
.
где - кинетическая энергия системы.
Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции. В результате равенства (14.20) дадут окончательно
,
,
……………………... (14.25)
.
Уравнения (14.25) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа. Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы.
Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся. Определяется число уравнений Лагранжа числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (14.25) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.
Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде (14.4), т.е. определить обобщенные координаты как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей , то при дифференцировании первых членов уравнений (14.24) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат .
Случай потенциальных сил. Если действующие на систему силы потенциальные, то, используя формулы (14.12), можно первое из уравнений (14.24) представить в виде
.
Последнее равенство справедливо потому, что потенциальная энергия зависит только от координат , а от обобщенных скоростей не зависит и .
Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы (14.25). Введем функцию
. (14.26)
Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид:
,
,
…………………… (14.27)
.
Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы.
При соответствующем обобщении понятий функции, аналогичные функции Лагранжа описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (14.27) играют важную роль в ряде областей физики.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
ЗАДАЧА Д6
Механическая система состоит из шкивов 1 и 2 веса и с радиусами ступеней (массу каждого шкива считать равномерно распределённой по его внешнему ободу) и грузов 3 и 4 веса и (рис. Д6.0-Д6.9).
Грузы соединены нитями, намотанными на шкивы, участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения. Кроме сил тяжести на один из грузов действует постоянная сила F, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные моменты сил сопротивления и .
Данные для различных вариантов приведены в таблице Д6.
Таблица Д6
|
Номер варианта |
, Н |
, Н |
, Н |
, Н |
, Нм |
, Нм |
F, Н |
R, см |
Найти |
|
0 |
Р |
ЗР |
4Р |
4Р |
М |
0 |
10 |
0,5 |
|
|
1 |
2Р |
ЗР |
ЗР |
2Р |
2М |
0 |
10 |
0,3 |
|
|
2 |
Р |
2Р |
ЗР |
4Р |
0 |
M |
10 |
0,1 |
|
|
3 |
4Р |
ЗР |
2Р |
2Р |
3M |
0 |
8 |
1,0 |
|
|
4 |
ЗР |
ЗР |
ЗР |
2Р |
0 |
2М |
7 |
0,25 |
|
|
5 |
Р |
Р |
2Р |
ЗР |
3М |
0 |
6 |
0,8 |
|
|
6 |
4Р |
2Р |
2Р |
ЗР |
0 |
М |
9 |
0,7 |
|
|
7 |
ЗР |
2Р |
2Р |
Р |
4М |
0 |
5 |
0,2 |
|
|
8 |
5Р |
4Р |
ЗР |
2Р |
5М |
0 |
7 |
0,2 |
|
|
9 |
Р |
2Р |
5Р |
Р |
0 |
3М |
11 |
0,9 |
|
|
10 |
Р |
4Р |
2Р |
6Р |
0 |
4М |
6 |
1,0 |
Рис. Д6.8.9.10
Определить угловое ускорение согласно варианту задачи.
Решение: Задача Д6 на применение уравнений Лагранжа второго рода.
Данная система имеет одну степень свободы, так как положение данного механизма определяется одним параметром - углом поворота шкива φ. Этот угол примем за обобщённую координату q данной системы, т.е. положим . Тогда:
, (1)
где - угловая скорость шкива 1. Искомое угловое ускорение шкива l равно:
. (2)
Данная система имеет одну степень свободы, необходимо составить одно уравнение Лагранжа. Для чего вычислим кинетическую энергию T системы и выразим все вошедшие в выражение Т скорости через обобщённую скорость , затем вычислим обобщённую силу Q.
Кинетическая энергия T системы.
, (3)
где - кинетическая энергия шкива 1,
- кинетическая энергия шкива 2,
- кинетическая энергия груза 3,
- кинетическая энергия груза 4.
, (4)
, (5)
, (6)
. (7)
Учитывая, что скорость точки на ободе шкива равна скорости соответствующего груза, и выражая, угловую скорость шкива 2 и скорости грузов 3 и 4 и через угловую скорость шкива 1 получим:
,
где - скорость на ободе шкива радиуса
. (8)
С учётом этих выражений получим:
, (9)
, (10)
. (11)
. (12)
Выразим кинетическую энергию системы через обобщённую скорость:
. (13)
Отсюда находим:
.
.
Так как кинетическая энергия T не зависит от обобщённой координаты , то .
Определим обобщённую силу Q. Для этого сообщим системе возможное перемещение , соответствующее изменению обобщённой координаты на весьма малую величину , и вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на этом перемещении:
, (14)
где - работа силы ,
- работа силы ,
- работа силы .
- работа момента сил сопротивления.
Выразим через .
Получим следующее выражение для элементарной работы:
. (15)
Эта сумма элементарных работ равна:
,
. (16)
Так как углы поворота пропорциональны их угловым скоростям, то.
.
Тогда
.
Обобщённая сила:
.
Подставив значения , будем иметь:
(17)
Уравнение Лагранжа для данной системы:
. (18)
С учётом значений T и Q уравнение (18) принимает следующий вид:
. (19)
Из уравнения (19) найдём искомое угловое ускорение
. (20)
Размерности в формуле (20) в левой и правой части одинаковы, следовательно, расчеты проведены, верно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
Дополнительная
6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов / Под общ. ред. проф. А.А. Яблонского. - 10-е изд., стереотип. - М.: Интеграл-Пресс, 2003.
Лицензия ЛР 020427 от 25.04.1997 г.
Подписано к печати 25.12.2009 г. Формат 6090/16.
Уч.-изд.л. – 3,3. Усл.-п.л. – 4,5.
Тираж 150 экз. Заказ 358.
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии издательства ДальГАУ
675005, г. Благовещенск, ул. Политехническая, 86