тематического знания как его поразному видят математики и философы Математика ~ это наука особенная той с
Работа добавлена на сайт samzan.net:
|
Алексей Шухов |
Предмет математического знания, как его по-разному видят математики и философы
Математика – это наука, особенная той своей странностью, что она допускает для себя возможность поиска ответа на всякий заданный вопрос. Положим, мы спрашиваем математику, можно ли 1 разделить на 2. Несколько задержав ответ, математика подтвердит нам – да, такое деление возможно, если требуемый результат позволяет записывать его не в виде натурального числа, но теперь в виде рационального.
Поскольку опереться на строго формальные принципы самой математики мы в силу такой ее вседостаточности не можем, философии следует определить поначалу тот ряд вопросов, которые она задала бы себе в связи и с существованием самой математической науки, и основного предмета всякого ее анализа – числа.
Всего этих вопросов оказывается не один, а три, и все они связаны с проблемой статуса числа, то есть:
1. Представляет ли собой число, включающее в себя все известные математике виды чисел, единый предмет?
2. Представляет ли собой, напротив, число условие некоторой категории, включающей в себя ряд отдельных предметов, роли которых будут исполнять известные математике виды чисел – натуральное, рациональное, действительное и т.п.?
3. Или, что вероятно, разные виды чисел вообще не допускают определения какой-либо общности, создаваемой посредством понятия "число", и слово "число" представляет собой просто фонему, используемую при создании имен различных чисел-предметов?
Искать ответ на заданные вопросы мы начнем именно с того, что возьмем на себе труд определения тех позиций, какие стремятся занять в дискуссии с философией не только математика, но и другие науки.
Дело в том, что условность такой сущности как "число", в отличие от предметов, изучаемых иными науками, обеспечивает математикам, в их спорах с философией, определенное преимущество. Последнее появляется в силу того, что число, в отличие от довольно многочисленных иных предметов научного анализа, не обладает статусом, который бы определял его место внутри бытия.
В этой связи посмотрим, например, на вариант диалога, который философия ведет с представителем любой другой науки, к примеру, ботаники. Если оппонирующий философу ботаник представит возражения, касающиеся того, что философ не столь глубоко осведомлен в его предмете, не столь глубоко знаком со всеми нюансами лиственных и хвойных, сложноцветных и крестоцветных, то ответный аргумент философа окажется вполне объяснимым.
- Да, систематика ботанической науки не столь проста и мне практически не известна, но любое существование, описываемое ботаникой, благодаря тому, что ему таки присвоен статус внутри бытия, философия и анализирует на уровне достаточности собственного представления.
Такой достаточностью философского представления в данном случае будет понимание предмета растения как материального тела, основным отличием которого оказывается присущая ему форма динамической организации (то есть – состояние ни на момент не прекращающегося внутри растения обмена веществ). Философии достаточно знать всего только подобную основную посылку, и уже с этой меркой она может легко подходить к предмету всякого из растений, а всю ту сложную комбинаторику, которая из подобной посылки как раз и вытекает, она предоставляет возможность анализировать именно ботанике. Философия в таком случае задает ботанике всего лишь констуитивы, делом же ботаники остается совершенствование ее систематики.
Совершенно иначе дискуссия пойдет в том случае, когда философия обсуждает какой-либо предмет с математикой. Математика предъявит философии претензии, которые будут вытекать из того удивительного ее тезиса, что, якобы, незнакомство с полным содержанием математики не позволяет вести философский анализ каких-либо математических предметов. То есть, в частности, наше отдельное знание любых, натуральных ли, рациональных ли или действительных чисел не позволяет нам обсуждать предмет математики с подобной частной стороны. Математика дана только лишь всецело вся и не дана в своих частях; не удивительной ли покажется такая ее любопытная манера самооценки?
Фактически подобная позиция, занимаемая математикой в ходе дискуссии с философией, обеспечена поддержкой именно следующего положения: математика закрывает себя от даже незначительной возможности использовать хоть какие-нибудь конституирующие ее предмет положения философии. То есть она, вопреки Гёделю, пытается конституировать себя на основе своего же познания, то есть определяя, как это мы в дальнейшем покажем, базовый констуитив числа посредством представления о множестве, не реализуемом без возможности понимания числа и т.п. В этом смысле направление ее усилий можно понимать в форме следующего намерения – ни в коем случае не допустить вхождение числа в перечень соответствующих бытию элементов.
Именно подобная закрытость от философии главного предмета анализа математики – числа – и позволяет математике предпринимать многочисленные попытки самой построить себя же. Мы же попытаемся создать альтернативный вариант теории числа, главной гипотезой которого мы сделаем определенную, вполне конкретно функциональную включенность числа в действительность.
Некоторой самой первой рассматриваемой в связи с определением числа проблемой мы выберем очевидно напрашивающийся здесь вопрос о посылках, достаточных для конституирования простого ряда натуральных чисел. В этой связи полезно было бы обратить внимание на то, как именно сама математика пытается определить натуральный ряд. Цитирую Алексея Кожушко:
[натуральный ряд представляет собой] результат поиска по таблице. … Слово "таблица" я использую как иллюстрацию. Операция (например, сложение) - это отношение между натуральными числами, которое каждой паре натуральных чисел m и n ставит в соответствие третье число m+n. Это отношение может быть определено двумя способами: (1) задан набор троек: (0,0,0), (0,1,1), (1,0,1),(0,2,2), (1,1,2), (2,0,2),(0,3,3), (1,2,3), (2,1,3), (3,0,3), и т.д. В каждой тройке первые два элемента - слагаемые, третий - сумма. И, чтобы найти сумму 4 и 5, например, надо найти тройку, в которой первые два элемента будут 4 и 5. Тогда третий элемент этой тройки - 9 - и будет искомой суммой. Это я и имею в виду, говоря о "таблице".
То есть посредством некоторых комплексных выражений математика совершает попытку определить численную величину не только просто как определенность величины и неопределенность функции, но именно как единую определенность и величины и функции. Число (4) уже самим своим появлением подразумевает то, что ему соответствует т.н. “тройка” (2,2,4).
Философское же понимание подобного определения будет свидетельствовать о некоторой торопливости решения, согласно которому мы можем формулировать столь сложное определение. Если согласиться на построения определений посредством комплексных выражений, то элементы числового ряда уже самим своим появлением должны будут рассматриваться как открыто проявляющие свои функциональные качества. Напротив, непредвзятый анализ должен обратить внимание на то, что всякое комплексное решение представляет собой неприемлемую модернизацию. В ином случае число обязано будет само свидетельствовать свои функции; мы должны будем сразу только по виду числа знать, является ли 5678114233 простым числом, или оно допускает деление еще и на другие числа.
Следовательно, как предполагает предпринятый анализ, натуральный ряд чисел требует определения его через элементы, заданные в виде функционально неразвитого простого условия, которые лишь в какой-то перспективе могут порождать число. Подобного решения мы можем достичь посредством лишь одной "техники" - метода простого перечисления.
Более того, первичное определение, которое мы прилагаем к натуральному ряду – фактической основе всего последующего здания математической науки, должно удовлетворять одному важному требованию, – представлять собой аксиому, а если и не аксиому, то оказаться таким, которое не содержало бы возвращаемых из математического познания условий.
То есть, если нам трудно определить принцип натурального ряда как некую аксиому, мы должны определить его посредством индукции либо же аналогии, либо другого именно заимствования элементов из сферы, внешней математическому знанию.
Тогда нужное нам "первичное определение натурального ряда" примет следующий вид:
Для конституирования натурального ряда достаточно двух вещей – идеи имен отдельных указателей групп (количеств), в начальном их состоянии бессмысленных (не связанных не с какими генерациями), и идеи принципа размера группы (суммы); данные простые понятия, заимствованные из сферы физической действительности, оказываются теми простыми основаниями, которые конституируют возможность математической комбинации.
Самое важное в данном определении то, что ни на какие расширенные возможности рационализированных интерпретаций оно уже в таком случае не ссылается.
Но само собой математическое знание не ограничивается свою задачу проблемами сложения и составления сумм и очередей, а позволяет и множество иных операций над числами. Располагая идеей простого основания теперь, вероятно, нам любопытно посмотреть на то, как при таком первоначальном ограничении будет развиваться то, что заслуживает имени "расширенной математической индукции".
Поясню вначале, что я же буду понимать под подобным термином. Фактически под таким именем я описываю все то содержание математики, которое не задано первоначальными констуитивами натурального ряда. То есть – это все действия, отличающиеся от сложения, и все виды чисел, отличающиеся от натуральных.
Подумаем в этой связи над простой задачей: так ли элементарно с философской точки зрения получение величины "1/2" из чисел "1" и "2". Главное состоит здесь в следующем – те возможности, которыми мы располагаем благодаря существованию натурального ряда чисел, не позволяют нам принять подобное решение. Но то, что мы можем здесь себе позволить – это сделать следующий шаг, воспользовавшись решением о введении некоего допущения.
То есть если мы предположим, что натуральные числа не просто обозначают количество неких экземпляров, но и, составив собой соотношение незавершенного действия деления, могут обозначать пропорцию, то мы получим возможность пользоваться новой формой численных выражений – дробями.
С другой стороны, это наше предположение диктует нам порядок возможного развития сложности математической интерпретации – все формы чисел, которые мы формируем посредством возможных вариантов решений на базе натурального ряда, образуются, в первую очередь, именно при помощи арифметических действий.
Следовательно, мы уже можем изложить идею конституирующей последовательности, фиксирующей развитие сложности, появляющейся в системе математической комбинаторики. Главное условие подобного развития – расширение числа допущений, которыми может обрастать первоначальная сущность натурального ряда.
Определенный двумя сущностями – именами количеств и всего лишь одной возможностью действия сложения - натуральный ряд допускает введение других действий, представляющих собой, в случае умножения – рационализацию самого сложения, в случае вычитания – операцию обратную сложению, и в случае деления – рационализацию вычитания.
На следующем этапе именно деление приводит к введению допущения, позволяющего зафиксировать идею нецелых чисел – дробей.
Параллельно с подобным допущением вычитание приводит к появлению допущения, позволяющему ввести нецелые числа.
В такой связи можно сказать и о том, что если умножение полностью сводится к сложению, то деление будет представлять собой самостоятельное действие. Деление будет действием другого рода, нежели вычитание – действием разбиения на части, но в случае, когда делимое больше делителя, деление остается обращением вычитания.
Разница между рациональными и действительными числами в философском смысле носит в принципе довольно условный характер, поскольку дроби подобные 1/3 весьма похожи на действительные числа вроде “корень из 2”.
Комплексные числа представляют собой такую возможность описания, для которого трудно выделить соответствие в виде физического смысла мнимой части. Комплексные числа используются при описании электрического тока, причем мнимой частью обозначается магнитная составляющая, для которой правил соответствия какому-либо иному физическому эквиваленту (как подобный эквивалент появляется в таком случае, где запас механической энергии переходит в запас химической энергии) в качественной форме никто не представляет.
Собственно качественные проекции математических мер (указателей) в сферу реальности следует описать двумя форматами: определительного и мерительного указателей.
Смысл определительного указателя заключается в том, что число действий никогда не бывает нецелым, как невозможно сделать семь с половиной шагов, но можно семь полных и один короткий. Подобное имеет глубокий смысл в программировании, где языки программирования категорически требуют указывать число последовательных операций программы ("шагов") целыми числами.
Рациональные числа (в их множество входят и целые) служат для указания мер – отрезков, которые мы можем сформировать произвольным образом, используя мерные шкалы.
В завершении мне следует дать мой ответ на поставленный в начале доклада вопрос. Я думаю, что математическую комбинаторику представляет в бытии идеальный объект – система натурального ряда чисел. То есть в бытии число представлено в виде сложного объекта "система чисел".
Далее я приведу материал дискуссии о проблемах математики (которую я вел с Алексеем Кожушко):
AK> Я ведь не зря ранее говорил о свойствах. "Множество" в математике определяется не на основании понятия "число", а на основании понятия "свойство", а именно: Пусть имеется некоторое (любое) свойство P.
Математика при этом не забывает, что свойство - это объект действительный именно в пределах случая, но не существования в целом, так?
AK> Назовем "классом" P множество _всех_ объектов (реальных, идеальных - любых), обладающих свойством P.
AK> Для классов естественным образом определены операции объединения и пересечения: P U Q - объединение классов P и Q" - это совокупность всех объектов, обладающих или свойством P, или свойством Q ("или" - неисключающее); P ^ Q - "пересечение классов P и Q" - это совокупность всех объектов, обладающих как свойством P, так и свойством Q".
Для философии это (одноуровневые) системы или иерархии, для которых можно наблюдать вхождения других систем или иерархий; проблема же их похожести (для математики - объединение) никак не отличается от анализа сходства предметов.
AK> Также (вот именно здесь делается некое философское допущение, с которым можно соглашаться, но можно и спорить) постулируется аксиома экстенсиональности - каждый класс полностью определяется своими элементами, то есть, если каждый объект, обладающий свойством P, обладает и свойством Q, и наоборот, то свойства P и Q - одно и то же свойство (соответственно, класс P = классу Q). Для избежания порочного круга, связанного с попытками обращения со свойствами как с идеальными объектами и вводится понятие "множество".
Да, но тремя абзацами раньше класс же был уже определен именем "множество"; ну, может, это такая невинная погрешность, но посмотрим.
AK> "Множество" - это класс (свойство), с которым можно обращаться как с идеальным объектом. Иными словами, множества - это те совокупности объектов, которые можно рассматривать _и_ как единое целое.
Итак, "множества" математического языка, для философского они же системы (иерархии), которые обладают способностью проявлять себя как неразделяемый предмет (подобно поезду и его вагонам); прекрасно.
AK> Отнюдь не все совокупности такие - например, свойство "быть множеством" определяет некий класс V - "универсальный класс", но сам этот класс множеством _не_ является. Подобные классы называются, в отличие от множеств, "собственными классами".
Согласен - бусинки на бусах и в коробке.
AK> Любая фраза, в которой собственный класс используется в качестве объекта, объявляется в математике бессмысленной на уровне языка. В частности, нельзя сказать, что собственный класс имеет некоторое свойство P.
Да.
AK> Отметим, что всегда существует пустой класс - класс, описываемый внутренне противоречивым свойством.
То есть это свойство, я понял, не входящих в класс объектов, а класса в целом. Если это так, то это от любви математики вводить "0".
Таким образом, здесь высказана следующая мысль - если по причине противоречивости утверждение не способно состояться, оно все же находит себе определение как именно "несостоявшееся".
Идем дальше.
AK> Естественно, такой класс не содержит ни одного элемента. Этот класс является множеством ("пустое множество"). Теперь двинемся в сторону чисел. Сначала определим понятие "равномощности" - "количественного равенства" - двух множеств. Если мы можем поставить в соответствие каждому элементу одного множества элемент другого множества, и такое соответствие будет взаимно-однозначным, то будем говорить, что эти множества равномощны. (Я не говорю "количества элементов в них равны" - понятие "количество" пока еще не определено).
И здесь теория на высоте положения.
AK> Теперь начинаем считать.
Уже?
AK> Для начала используем в качестве эталона количества пальцы - если стадо коров равномощно пальцам одной руки, то будем говорить, что в стаде - 5 коров. Если стадо коров равномощно множеству из большого и указательного пальцев левой руки, будем говорить, что в стаде - 2 коровы и т.д. Проблема лишь в том, что рано или поздно пальцев не хватит. Ну что ж - возьмем вместо пальцев палочки, веточки или еще какие-нибудь предметы. Увы! - и палочки закончились, а считать всё еще надо. Попробуем построить идеальные "счетные палочки". Из чего их сделать? Да ведь у нас имеется идеальный объект: множества!
Математически м.б., это только словесное выражение, но как прекрасно - число, все-таки, это идеальный объект!
AK> Пустое множество, очевидно, будет соответствовать количеству 0.
Несостоявшееся "0" соответствует, да.
AK> Уже хорошо. Теперь построим одноэлементное множество (мы еще не знаем, что такое 1, мы это только сейчас определяем). В качестве 1 можно взять множество {0}. Теперь - множество 2 = {0,1}. Заметим, что, строя каждое новое число, мы пользуемся только уже построенными ранее числами. В общем виде, если число n уже построено, то число n' - "следующее за n" - мы строим как n U {n}.
Это доказательство признаю, много лучше палочек, но я не ошибался в своих двух условиях (которые здесь оказались не только двумя - их разбавили, на моем языке - свойство, система, объект, предмет и "обозначение неданности"), которые именно конституируют натуральный ряд.
AK> Теперь, построив числа, мы можем ввести понятие количества и сказать, что множество S имеет n элементов, если множество S равномощно множеству n.
Да.
AK> Построив натуральные числа, мы можем определять над ними арифметические операции - например, сложение, умножение. Базовая операция - "следующее" - для этих целей у нас уже есть. Обратите внимание также на то, что (1) такой способ определения чисел опирается лишь на понятия "объект" и "свойство";
Да, система - определена как "набор"; идеи "наборов" или "групп", по вашему - множеств - они просто "объектом" не порождаются, здесь я буду упираться. Группа - еще одна идея.
AK> (2) все прочие понятия строятся строго последовательно, и никаких замкнутых кругов не возникает.
Да.
AK> Есть один подвох во всей этой истории - понятие "бесконечности", с чего и начался разговор. Дело в том, что это понятие не удается построить, исходя только из понятий "свойство" и "объект". Разумеется, совокупность натуральных чисел - бесконечна, но это - "потенциальная бесконечность". Мы строим натуральные числа - но не построили натурального ряда. Существование "актуальной бесконечности" в математике попросту постулируется: либо утверждение, что "совокупность всех натуральных чисел ("натуральный ряд") является множеством" объявляется аксиомой, либо вводится "аксиома бесконечности", и на основании её доказывается, что натуральный ряд - множество.>
"Актуальная" бесконечность как некая аксиома, то есть, в моем понимании, метафора, что тоже самое - умозрительно заданное представление, все это правильно.
Превосходное изложение оснований математики, разрешите мне его где-нибудь использовать.
И как, такого средства интерпретации, которое объединяет все (или какую-либо важнейшую часть видов чисел) не существует?
AK> Существует. И даже несколько. И даже есть несколько подходов к такой классификации. Первый подход - "алгебраический", классификация производится на основании операций, определенных на множестве интересующих нас объектов.
То есть на основании двух условий - возможности таких операций и возможности таких множеств (это по традиции - группа как сущность нами не понимается).
AK> Эти категории выделяются, например, исходя из того, какие операции над математическими объектами определены, и какими свойствами они обладают. >
То есть операции производят внутри множеств некое вычленение.
AK> Например, есть "кольца" - когда на некотором множестве определены ассоциативные операции сложения (+) и умножения (*), причем сложение - коммутативно и обратимо, есть некий элемент 0 (не обязательно число, это он так просто называется), причем для любого элемента x+0=x, >
Я понимаю, что подобные определения вводятся для обоснований неких сложных возможностей комбинации, а нет ли в этом поспешности определений?
AK> а умножение и сложение связаны друг с другом дистрибутивными
(по русски - распределительными, если где-либо читаете "интенциональный", то знайте что это "намеренностный")
AK> законами: x*(y+z)=x*y+x*z и (x+y)*z=x+z+y*z. В кольцах от умножения не требуют ни коммутативности, ни обратимости. Есть "поля" - это кольца, в которых не только сложение, но и умножение коммутативно и обратимо (разумеется, делить на 0 в полях все же нельзя). >
Я вас понял, что таким образом делает математика - сразу торопится ввести определения, относящиеся к действиями с невычисленными значениями типа (x+y), а не следовало бы ввести следующий порядок определения - вначале мы определяем возможности комбинации по отношению явно известных значений, и только потом расширяем их в том отношении, как они могут быть использованы с невычисленными выражениями.
А возможности коммутативности и обратимости не вводим, а как-то связываем с возможностями вычитания и деления, которые, я так понимаю, их фактически и востребуют?
AK> Есть "группы" - определена только одна ассоциативная и обратимая операция. То есть мы имеем здесь натуральный ряд. Есть "полугруппы" - с одной ассоциативной (но не обязательно обратимой) операцией. Есть и более сложные категории. Беда лишь в том, что различные виды чисел относятся к разным классам.
Для философии эта попытка обойти категоризацию - она и выглядит странной (этим я не ставлю под сомнение ее прагматическую рациональность для математического анализа). Математика делает следующее - разрабатывает определения, действительные вопреки рамкам некоторой категориальной принадлежности определяемого, и с ее точки зрения подобное, видимо, правильно.
AK> Например, натуральные числа - это всего лишь полугруппа (как по сложению, так и по умножению), целые числа - коммутативное кольцо, рациональные и действительные числа - поля. А, наряду с рациональными числами, к полям относится и такая своеобразная (хотя и практически используемая) алгебраическая система Z_2: есть всего два элемента {0,1}, а правила сложения и умножения задаются так: 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1, 0*0=0*1=1*0=0, 1*1=1 (операцию сложения в такой системе иногда называют "исключающее или", а операцию умножения - "и"). Сама по себе классификация очень четкая, последовательная и логичная. Просто понятие "число" вообще - отнюдь не последовательное и не логичное. >
Социализм - понятие последовательное и логичное, но генеральная линия партии, по исключительно субъективным, виноват, основаниям, прямой никогда не была.
Я понимаю, что данной форме знания легче жить без категориального аппарата, не отличать явное представление значения от косвенного.
AK> Я имел в виду, что "в соответствии с существующим определением натурального ряда 0 является элементом натурального ряда, хотя возможны и иные определения, согласно которым 0 элементом натурального ряда не является; поэтому пока явно не будет указано, что натуральный ряд начинается с 1, я буду использовать существующее определение". Однако счел слова "принято считать" вполне адекватной заменой этой длинной фразе.
Теперь о том, какие же результаты принесла дискуссия на основе материала данного доклада, прошедшая в ОФИРе.
Мы пришли к такому определению:
Основой для построения численного метода является редукция свойственного многообразия (свойственного потенциала) объектов. Тогда на базе элементов, утерявших весь свойственный потенциал, кроме одного свойства – нетождественности, создаются группы, которые в отношении друг друга, если вторая группа создается путем добавления того же самого элемента к исходной группе, будут наделять себя свойствами предыдущий - следующий.
Подобный ограниченный набор возможностей позволяет нам создать такой предмет как натуральное число и такую операцию как действие сложения.
2. I Kehtestus kindrl Frnko dikttuur
3. . Состав свойства и классификация жиров 4 2
4. Petersburger Zentrlviertels ht eine ereignisreiche Geschichte
5. на тему продвинутых методов естественного лечения предположительно
6. Тема выбрать тему интерес узнать что делали до тебя 1
7. винтику государственной машины жесткое функциональное воспитание без учета процесса социального формир
8. Обязательственное право по ПСГ
9. Определение оценки рыночной стоимости объектов недвижимости
10. Химическое загрязнение атмосферы а Основные загрязняющие вещества
11. Topic. Infltion is inevitble in developing countries 3
12. Развитие образной речи старших дошкольников на основе произведений и фольклорного жанра
13. воспитательного процесса с конкретным контингентом занимающихся
14. БЦРБ; Ворожищева Светлана Александровна администрация Белоярского района; Ведерникова Евгения МОСШ
15. Учение о составе возникло значительно раньше двух других концептуальных систем ~ уже в античной натурфилос
16. Характеристика экономического развития древних цивилизаций
17. Доклад- Кролик в доме
18. Исполнение сделки с ценными бумагами вопросы правовой регламентации
19. тема видовременных форм латинского языка
20. Мастер своего дела Дальнего востока на базе ПГУ им