Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
"ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПАРАЛЛЕЛЬНОМ КОНТУРЕ"
Колебательным контуром называют электрическую цепь, состоящую из элементов, способных запасать электрическую и магнитную энергию, и в которой могут возбуждаться электрические колебания. Эквивалентная схема простейшего колебательного контура состоит из ёмкости, индуктивности и сопротивления.
Параллельным колебательным контуром называется цепь,состав-
ленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключенных параллельно
выходным зажимам источника.
Режим цепи, при котором реактивная составляющая входной проводимости
равна нулю, называется резонансом токов.
,где
b=0 при w0?,
откуда
Комплексное входное сопротивление контура:
при RL<<wL и
Амплитудно-частотная характеристика
Поскольку параллельный колебательный
контур является нагрузкой генератора , внутреннее сопротивление Ri
которого не регулируется в широких пределах, то для согласования контура с
генератором необходимо изменить его параметры так, чтобы изменилось вход-
ное сопротивление Rэ при неизменной резонансной частоте и полосе пропус-
кания. Это условие выполняется в сложных контурах II и III вида с неполным
включением индуктивности и ёмкости
В общем случае соотношения между L1 и L2 ;C1 и C2 можно изменять.
Эквивалентная добротность контура
С уменьшением внутреннего сопротивления генератора эквивалентная
добротность уменьшается, а полоса пропускания увеличивается.
В реальных условиях, при произвольном внутреннем сопротивлении генератора частотно-зависимыми функциями являются как напряжение на контуре,так и ток в неразветвленной части цепи
Колебательные контуры нашли широчайшее применение в радиоэлектронике в качестве различных частотно- избирательных систем, то есть, систем, у которых амплитуда отклика цепи может резко изменится, когда частота внешнего воздействия достигает некоторых значений, определяемых параметрами цепи. Явление резкого возрастания амплитуды отклика называется амплитудным резонансом.
Если рассматривать колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний, нужно включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав контур, подать напряжение:
Вынужденные колебания в колебательном контуре
U = Umcosw, тогда уравнение будет иметь вид:
,после замены получим
Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид:
,где
Подставив в эти выражения значения , получим:
Разделив заряд на емкость, получим напряжение на конденсаторе:
,
.
Установившийся ток в контуре:
.
Амплитуда тока имеет вид:
Резонансная частота для контура:
Резонансные кривые для UC и тока I имеют такой вид:
Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3 соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура
При резонансные кривые стремятся к Um – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при .Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .
Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей, настроив контур на одну из частот и т. д. (т. е., подобрав соответствующим образом его параметры С и L, можно получить на конденсаторе напряжение, в несколько раз превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс имеет место, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.
В теории цепей обычно используется другое определение резонанса. Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей ёмкости и индуктивности, при котором реактивные составляющие входных сопротивления и проводимости равны нулю, то есть, отсутствует сдвиг фаз между напряжением и током на входе колебательного контура. Такой резонанс называют фазовым. Частоты, соответствующие фазовому и амплитудному резонансам, как правило, близки и в некоторых случаях могут совпадать.
Простейшей электрической цепью, в которой наблюдается явление резонанса, является одиночный колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, соединённых в замкнутую цепь. В зависимости от способа подключения к колебательному контуру источника энергии различают последовательный (рис.1) и параллельный (рис.2) колебательные контура.
В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На (рис. 3) приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя - можно лишь складывать проводимости На (рис. 4) приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности BL = j/ωL, конденсатора ВC = -jωC, а также суммарной проводимости ВΣ, этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току. Действительно, если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты XΣ=1/BΣ, эта кривая (рис. 5) в точке ω = ωр будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности - оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.
Рис3 Параллельный колебательный контур
Рис4. Зависимости реактивных проводимостей катушки и конденсатора и суммарная проводимость этих двух элементов
Рис5. Зависимость реактивного сопротивления контура от частоты
Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний и параллельного колебательного контура. В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление Rэкв=Q·ρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер (рис. ) на более низких частотах - индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких - наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты). В процессе работы контура, дважды за период колебаний, происходит энергетический обмен между катушкой и конденсатором (рис. 6). Энергия поочередно накапливается то в виде энеогии электрического поля заряженного конденсатора, то в виде энергии магнитного поля катушки индуктивности. При этом в контуре протекает собственный контурный ток Iк, превосходящий по величине ток во внешней цепи I в Q раз. В случае идеального контура (без потерь), добротность которого теоретически бесконечна, величина контурного тока также будет бесконечно большой.
Рис6. Процесс работы контура
Рис 7а Рис 7б
Рассмотрим, как изменяются коэффициенты передачи четырехполюсников от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а параллельных. Четырехполюсник, изображенный на рис. 7а, на резонансной частоте контура представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω=ωр его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника - возрастать. Этот случай соответствует графику АЧХ, приведенному на рассмотренном ранее рис. 5б. Для четырехполюсника, приведенного на рис. 7б, ситуация будет противоположной - на резонансной частоте контур будет представлять собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е коэффициент передачи будет максимален и близок к единице). При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника, окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю.
Отметим тот факт, что достаточно часто в реальной радиоэлектронной аппаратуре приходится сталкиваться с необходимостью перестройки колебательных контуров - например, в приемнике, для обеспечения возможности приема радиостанций, работающих на разных частотах В этом случае емкостные элементы контуров выполняются в виде конденсаторов переменной емкости, либо специальных диодов - варикапов, обладающих большой барьерной емкостью, зависящей от приложенного к ней запирающего напряжения В ряде случаев применяют и перестраиваемый катушки индуктивности - вариометры.
При подаче импульсного напряжения мы получим график затухающих колебаний (рис.8), в аналитическом представлении этот график имеет вид
U(t) = Uecoswt
где d - коэффициент затухания.
Рис 8 График затухающих колебаний.
Кроме d у системы есть ещё одна важная характеристика Q – добротность, которую можно найти как отношение U или U к U при резонансной частоте. Через параметры системы выражениe для Q можно записать в виде
Q = = =
Так же добротность можно выразить через d,т.е.
Q = ,где T – период колебания
Зависимость коэффициента усиления от частоты.
|
f,кГц |
2 |
5 |
8 |
10 |
13 |
15 |
18 |
20 |
21 |
23 |
25 |
28 |
32 |
35 |
36 |
39 |
|
K |
0,2 |
1,2 |
2,7 |
3,9 |
4,5 |
5,1 |
6,3 |
8,7 |
9,9 |
13 |
16 |
20 |
16 |
10 |
6,1 |
2,1 |
Зависимость коэффициента усиления от частоты.
|
f,кГц |
10 |
14 |
16 |
20 |
24 |
26 |
27 |
28 |
30 |
35 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
|
K |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
2,5 |
4,7 |
8,4 |
21,7 |
16,6 |
7,8 |
3,4 |
1,9 |
0,7 |
0,6 |
0,2 |
0,1 |
Зависимость коэффициента усиления и разности фаз от частоты
|
f,кГц |
6 |
8 |
9 |
10 |
12 |
14 |
16 |
19 |
|
K |
0,03 |
0,05 |
0,06 |
0,09 |
0,12 |
0,14 |
0,15 |
0,18 |
|
Dj,o |
66,6 |
59,4 |
55,8 |
54 |
52,2 |
45 |
43,2 |
36 |
|
f,кГц |
25 |
26 |
27 |
28 |
30 |
33 |
35 |
|
K |
0,57 |
0,91 |
0,79 |
0,66 |
0,52 |
0,41 |
0,28 |
|
Dj,o |
23,4 |
10,8 |
16,2 |
25,2 |
109,8 |
118,8 |
126 |
АЧХ для L,С
График 2. АЧХ для сопротивления
ФЧХ для сопротивления
АЧХ параллельного контура
Векторная диаграмма токов и напряжения для параллельного контура при нерезонансной частоте сопротивление имеет индуктивный характер) расположится вправо от вектора напряжения Е под углом а к последнему. Вектор тока /д в питающей цепи определится как геометрическая сумма векторов токов в обеих ветвях = /1 -Ь /г-
Разложим токи в ветвях на активные и реактивные составляющие. Реактивная составляющая тока 1\ в левой ветви равна /isincpi и опережает по фазе вектор напряжения на 90°. Активная составляющая тока в левой етви равна/1 cos cpi и совпадает по фазе с вектором напряжения £ Аналогично для правой ветви активная слагающая тока равна TaCostPg и совпадает по фазе с вектором напряжения Е, а реактивная составляющая тока в правой ветви равна/а sin и отстаёт на 90° от вектора напряжения Е. Таким образом, реактивные составляющие токов в -ветвях сдвинуты по фазе одна отпосительно другой на 180°, вследствие чего при геометрическом сложении вычитаются, а активные составляющие токов в ветвях совпадают по фазе и при сложении складываются сумма всех слагающих токов в неразветвлённой цепи, сдвинутой по фазе по отношению к напряжению.
Рассмотрим, как зависят коэффициенты передачи четырехполюсников от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а параллельных.
Четырехполюсник, изображенный на рисунке, на резонансной частоте контура представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω=ωр его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника - возрастать
Для четырехполюсника, приведенного на рисунке выше, ситуация будет противоположной - на резонансной частоте контур будет представлять собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е коэффициент передачи будет максимален и близок к единице). При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника, окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю.
В связи с тем, что конденсатор и катушка индуктивности обладают реактивными свойствами, в колебательном контуре протекает контурный ток. Путь протекания этого тока проходит через конденсатор и катушку индуктивности. Направление этого тока меняется два раза за период колебаний. Этот процесс, наглядно изображён на примере простейшего транзисторного каскада на иллюстрации ниже:
Для упрощения, считаем, что транзистор работает без дополнительного смещения базы. Все переходные процессы протекания тока питания и контурного тока происходят в течение одного периода колебания, а в последующих периодах повторяются.
•Участок «0» временной характеристики, можно назвать первоначальным, когда процессы заряда и перезаряда ёмкости и индуктивности ещё не «устоялись», так как в начальный момент они разряжены. На этом этапе происходит заряд ёмкости от источника питания через открытый транзистор, при этом ток заряда сначала максимальный, а по окончании 1/4 периода падает до нуля. Ток в катушке индуктивности, обладающей инерционностью минимален. По окончании отрезка «0», контур переходит в резонансный «устоявшийся» режим.
•На участке «В» временной характеристики, когда конденсатор заряжен до напряжения источника питания, ток протекающий по пути «источник питания – катушка - открытый транзистор - источник питания» постепенно увеличивается. Когда в результате закрытия транзистора, напряжение на конденсаторе превысит потенциал, прикладываемый от источника тока, конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности, к концу 1/2 периода разрядившись на неё полностью. Таким образом, в этот промежуток времени «В» через катушку индуктивности течёт два тока – ток источника питания и контурный ток разряда ёмкости.
•На участке «С» временной характеристики, когда переход транзистора закрыт, по причине инерционности катушки индуктивности происходит перезаряд конденсатора от катушки индуктивности. Катушка индуктивности полностью разряжается, а конденсатор оказывается заряженным противоположным потенциалом. Ток источника питания в этот момент «С» через элементы контура не течёт.
•На участке «D» временной характеристики, когда переход транзистора закрыт, происходит обратный разряд конденсатора на катушку индуктивности. Конденсатор полностью разряжается, а индуктивность наоборот, оказывается заряженной потенциалом противоположным источнику питания. Ток источника питания в этот момент «D» через элементы контура, по-прежнему, не течёт.
•На участке «А» временной характеристики, происходит заряд конденсатора от катушки индуктивности, а при разряде катушки до значения меньше напряжения источника питания подаваемого через открытый транзистор, конденсатор заряжается от источника питания. При этом ток заряда конденсатора сначала максимальный, а по окончании периода сигнала падает до нуля. Ток в катушке индуктивности, сначала - максимальный, а в конце временного интервала «А» становится равным нулю. В промежуток времени «А» через конденсатор течёт два тока – ток источника питания и контурный ток разряда ёмкости.
Процесс работы резонансного контура циклически повторяется по схеме: А – В – С – D – А.
Таким образом, в резонансном контуре ровно половину периода гармонического сигнала на участках А и В происходит сложение двух токов – тока источника питания и контурного тока, что в свою очередь с каждым периодом (процесса перезаряда) повышает энергию контура. Повышение энергии резонансного контура происходит только за счёт источника питания. Сколько в резонансный контур попадает энергии, столько энергии и тратится на нагрузку и потери в элементах схемы.