030509 ldquo;Облік і аудитrdquo; Частина І З

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІГІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра обліку і аудиту

ЕКОНОМЕТРІЯ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До практичних занять та самостійної роботи  

для студентів спеціальності 6.030509 “Облік і аудит”

Частина І

Затверджено на засіданні Кафедри обліку і аудиту Протокол № .  від               2013 р

ЧЕРНІГІВ ЧДТУ 2011

Економетрія. Методичні вказівки до практичних робіт та самостійної роботи для студентів спеціальності 6.050100 — “Облік і аудит”. / Укладач: ст..викл.Волот О.І. — Чернігів: ЧДТУ, 2013. — 46с.

Укладачі:  ст.викл.Волот О.І.

Відповідальний за випуск: Лень В.С., завідувач кафедри  обліку

                                                                і аудиту, кандидат

                                                                економічних наук, доцент

Рецензент: …………………

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….….....4

ТЕМА 1. EКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ....…….......... 5

ТEMA 2. ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ.………………..........14

ТEMA 3. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ ..............22

ТЕМА 4. МУЛЬТИКОЛІНЕАРНІСТЬ..………………….....................................33

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА.....................................................................45

ДОДАТОК А..........................................................................................................46

ВСТУП

Предметом курсу «Економетрія» є методи побудови та застосування економетричних моделей, що характеризують взаємозв’язок між економічними показниками. Уже виходячи із визначення очевидно, що питома вага теоретичних викладок методів та їх практичної реалізації для конкретних економічних задач має бути приблизно однаковою. Не можна вивчити методи оцінки параметрів економетричних моделей, не застосувавши той чи інший алгоритм методу для конкретної реалізації на прикладах. Студент може знати ідею методу та вивчити його алгоритм, але щоб вміти методом користуватись, необхідно мати досвід розв’язання конкретних економічних задач на його базі. Тут дуже чітко слід розділити поняття «знати» та «вміти».

Студенти мають знати теоретичний матеріал, що включає опис та алгоритмізацію методів оцінки параметрів моделі, вміти застосовувати ці методи для кількісного виміру взаємозв’язку між конкретними економічними показниками, враховуючи особливості вихідної інформації, робити відповідні висновки.

ТЕМА 1. EКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ З ДВОМА

ЗМІННИМИ

1.1. Основні положення теми

Серед багаточисленних зв’язків між економічними показниками завжди можна виділити такий показник, вплив якого на результативну ознаку є основним, найбільш важливим. Щоб виміряти цей зв’язок кількісно, необхідно побудувати економетричну модель з двома змінними (просту модель). Загальний вигляд такої моделі:

Y = f (X, u),

де Y — залежна змінна (результативна ознака); X — незалежна змінна (фактор); u — стохастична складова.

Аналітична форма цієї моделі може бути різною залежно від економічної сутності зв’язків. Найбільш поширені форми залежностей:

;

;

;

,

де а0, а1 — невідомі параметри моделі.

Неважко переконатись, що наведені нелінійні форми залежностей за допомогою елементарних перетворень приводяться до лінійних. Якщо припустити, що економетрична модель з двома змінними є лінійною:

,

в якій стохастична складова (залишки) має нульове математичне сподівання та постійну дисперсію, то параметри моделі можна оцінити на основі звичайного методу найменших квадратів (1МНК).

В основі методу 1МНК лежить принцип мінімізації суми квадратів залишків моделі. Реалізація цього принципу дає можливість отримати систему нормальних рівнянь:

В даній системі n — кількість спостережень, , ,,  — величини, які можна розрахувати на основі вихідних спостережень над змінними   і .

Розв’язавши систему нормальних рівнянь, одержимо оцінки невідомих параметрів моделі   і :

.

Достовірність побудованої економетричної моделі можна перевірити, користуючись елементами дисперсійного аналізу. Перш за все слід розрахувати залишки моделі

та знайти їх дисперсію:

,

де  — кількість змінних моделі ().

необхідно визначити стандартну помилку кожного параметра моделі.
в цій формулі характеризує відповідний діагональний елемент матриці помилок (матриці, оберненої до матриці системи нормальних рівнянь).

На основі коефіцієнта детермінації

можна зробити висновок про ступінь значущості вимірюваного зв’язку на основі економетричної моделі

.

Оскільки коефіцієнт детермінації R2 характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежної змінної, то чим ближче R2 до одиниці, тим суттєвішим є зв’язок між цими змінними.

Коефіцієнт кореляції R = характеризує тісноту зв’язку між змінними моделі. Він може знаходитись на множині . Чим ближче R до одиниці по модулю, тим тіснішим є зв’язок. Від’ємний знак свідчить про обернений зв’язок, додатній — про прямий.

Якщо прийняти відповідну гіпотезу про закон розподілу залишків економетричної моделі, то параметри її можна оцінити на основі метода максимальної правдоподібності.

Нехай залишки моделі розподіляються за нормальним законом, тоді функція правдоподібності запишеться так:

і

Продифереціюємо цю функцію за невідомими параметрами   ,  і     і, прирівнявши похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь:

Підставимо в цю систему величини , , , , які розраховуються на основі вихідних даних, і розв’яжемо її відносно параметрів ,  і . В результаті отримаємо оцінки параметрів моделі  і , а також оцінку дисперсії залишків.

1.2. Економетрична модель з двома змінними:

побудова та аналіз

Приклад 1.1. На основі даних про роздрібний товарообіг і доходи населення побудувати економетричну модель роздрібного товарообігу. Дати загальну характеристику достовірності моделі та зробити висновки.

Вихідні дані та елементарні перетворення цих даних для побудови моделі наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

N п/п		X	X2	XY
1	17	18	324	306	16.67	-6.5	-5	42.25	32.5	0.33	0.1089	25
2	18	20	400	360	18.31	-4.5	-4	20.25	18.0	-0.31	0.0961	16
3	19	21	441	399	19.31	-3.5	-3	12.25	10.5	-0.13	0.0169	9
5	21	24	576	504	21.59	-0.5	-1	0.25	0.5	-0.59	0.3481	1
6	23	25	625	575	22.41	0.5	1	0.25	0.5	0.59	0.3481	1
7	24	27	729	648	24.05	2.5	2	6.25	5.0	-0.05	0.0125	4
8	25	28	784	700	24.87	3.5	3	12.25	10.5	0.13	0.0169	9
9	26	29	841	754	25.69	4.5	4	20.25	18.0	0.31	0.0961	16
10	27	31	961	837	27.33	6.5	5	42.25	32.5	-0.33	0.1089	25
	220	245	6165	5523	-----	----	--	162.5	133.	----	1.145	110

Розв’язання:

1. Ідентифікуємо змінні:

— роздрібний товарообіг (залежна змінна);

— доходи населення (незалежна змінна).

2. Нехай специфікація моделі  визначається лінійною функцією; вона має такий вигляд:

,

де    –– параметри моделі;

–– стохастична складова, залишки.

3. Оцінимо параметри моделі  за методом 1МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:

n = 10 –– кількість спостережень.

Підставимо в цю систему величини n, , ,   , які розраховані на основі вихідних даних табл. 1.1; тоді система набуде такого вигляду:

Розв’яжемо цю систему відносно невідомих параметрів .

Таким чином, економетрична модель запишеться так:

.

4. Знайшовши відхилення кожної змінної від своєї середньої арифметичної, розрахуємо параметри моделі альтернативним способом:

5. Розрахуємо дисперсії залежної змінної та залишків:

6. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Оскільки коефіцієнт детермінації R2 = 0,99, це свідчить, що варіація обсягу роздрібного товарообігу на 99% визначається варіацією доходів населення. Коефіцієнт кореляції  характеризує тісний зв’язок між цими соціально-економічними показниками. Величини R2 і R для парної економетричної моделі свідчать про її достовірність, якщо вони наближаються до одиниці.

7. Знайдемо матрицю помилок C (матрицю, обернену до матриці системи нормальних рівнянь):

 — матриця помилок.

8. Визначимо стандартні помилки оцінок параметрів моделі, враховуючи дисперсію залишків:

Порівняємо стандартні помилки оцінок параметрів моделі з величиною цих оцінок. В результаті визначимо, що стандартна помилка оцінки параметрa  становить 3,4% абсолютного значення цієї оцінки (0,82), що свідчить про незміщеність даної оцінки параметрa моделі. Стандартна помилка оцінки параметрa  становить 38% абсолютного значення цієї оцінки (1,91), а це означає, що даний параметр може мати зміщення, яке зумовлюється невеликою сукупністю спостережень (n = 10).

9. Висновки. Економетрична модель  кількісно описує зв’язок роздрібного товарообігу і доходів населення.

Параметр  характеризує граничну величину витрат на купівлю товарів у роздрібній торгівлі, коли дохід збільшується на одиницю, тобто при збільшенні доходів на одиницю обсяг роздрібного товарообігу зростає на 0,82 одиниці .

Визначимо коефіцієнт еластичності роздрібного товарообігу залежно від доходів населення:

.

На основі коефіцієнта еластичності можна стверджувати, що при збільшенні доходів населення на один процент роздрібний товарообіг зросте на 0,91%.

1.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.1. На основі даних по дев’яти металобазах побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами обігу та вантажооборотом. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Зробити економічні висновки. Вихідні дані наведені в табл. 1.2 — 1.31.

Таблиця 1		Таблиця 2		Таблиця 3
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,7	15,6		1	2,6	16,9		1	2,9	14,1
2	3,0	15,3		2	2,9	16,1		2	2,.6	17,2
3	2,8	14,9		3	2,7	15,0		3	2,8	17,1
4	2,9	15,1		4	2,5	18,0		4	2,7	17,8
5	2,6	16,1		5	2,7	17,2		5	2,7	16,2
6	2,5	16,7		6	2,6	17,1		6	2,9	17,2
7	2,8	15,4		7	2,7	16,4		7	2,4	16,8
8	2,6	17,1		8	2,6	16,7		8	2,9	14,8
9	2,5	16,8		9	2,8	16,9		9	2,3	19,6
Таблиця 4		Таблиця 5		Таблиця 6
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-борот
1	3.3	11,4		1	3,0	11,7		1	2,9	15,7
2	2.5	17,1		2	2,5	18,3		2	2,6	17,9
3	2.4	19,5		3	2,5	18,2		3	2,7	15,3
4	3.0	12,5		4	2,6	15,6		4	2,7	16,3
5	2.7	16,5		5	2,1	17,4		5	2,6	17,7
6	2.7	16,0		6	2,9	13,8		6	2,5	16,8
7	2.7	16,1		7	2,7	15,0		7	2,7	17,5
8	2.8	16,2		8	2,4	18,6		8	2,8	16,7
9	2.5	18,0		9	2,8	15,7		9	2,9	18,0

 

Таблиця 7		Таблиця 8		Таблиця 9
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо- оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,8	13,8		1	2,7	14,9		1	2,3	32,1
2	2,7	14,8		2	2,5	16,1		2	1,9	31,0
3	2,4	16,9		3	2,1	19,7		3	2,3	32,4
4	2,3	16,8		4	2,8	14,0		4	2,5	33,2
5	2,5	14,8		5	2,4	17,1		5	2,6	31,2
6	2,5	17,9		6	2,3	18,2		6	2,0	34,8
7	2,5	17,6		7	2,5	17,4		7	1,9	35,4
8	2,4	15,7		8	2,7	16,1		8	2,4	33,0
9	2,3	15,2		9	2,4	18,0		9	2,2	34,8
Таблиця 10		Таблиця 11		Таблиця 12
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	1,8	36,1		1	2,0	33,4		1	2,8	14,0
2	2,4	38,3		2	2,0	37,8		2	2,4	17,1
3	2,5	30,6		3	2,2	35,8		3	2,3	18,2
4	2,3	32,1		4	1,9	34,2		4	2,5	17,4
5	2,3	37,6		5	2,4	37,2		5	2,7	16,1
6	2,5	34,8		6	1,9	38,2		6	2,4	18,8
7	2,4	34,2		7	2,2	29,4		7	2,3	32,2
8	2,5	34,2		8	2,4	37,2		8	1,9	31,0
9	2,1	32,5		9	2,2	34,5		9	2,3	32,4
Таблиця 13		Таблиця 14		Таблиця 15
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,5	33,2		1	1,8	36,1		1	1,9	33,4
2	2,6	31,2		2	2,4	38,3		2	2,0	37,8
3	2,0	34,.8		3	2,5	30,6		3	2,2	35,8
4	1,9	35,4		4	2,3	32,1		4	1,9	34,2
5	2,4	33,0		5	2,3	37,6		5	2,4	37,2
6	2,2	34,8		6	2,5	34,8		6	1,9	38,2
7	2,1	33,3		7	2,4	34,2		7	2,1	29,4
8	1,8	36,1		8	2,5	34,2		8	2,4	37,2
9	2,4	38,3		9	2,1	32,5		9	2,2	34,5
Таблиця 16		Таблиця 17		Таблиця 18
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,0	35,0		1	3,0	29,4		1	2,4	40,2
2	2,3	43,7		2	2,6	35,4		2	2,2	39,4
3	2,7	31,9		3	2,3	39,7		3	2,6	43,7
4	2,2	37,3		4	2,5	37,1		4	2,6	38,4
5	2,4	40,9		5	2,2	35,7		5	2,3	38,8
6	2,3	38,8		6	2,4	40,2		6	2,2	39,9
7	2,3	35,7		7	2,2	39,4		7	2,8	30,1
8	2,6	43,2		8	2,6	43,7		8	2,8	31,7
9	2,7	30,5		9	2,6	38,4		9	2,6	37,2
Таблиця 19		Таблиця 20		Таблиця 21
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,0	38,2		1	2,5	34,8		1	2,3	11,1
2	2,1	36,9		2	2,4	34,2		2	2,1	10,9
3	2,3	39,7		3	2,5	34,2		3	2,2	11,0
4	2,6	37,2		4	2,1	32,5		4	2,1	11,4
5	2,8	31,7		5	2,0	33,4		5	2,2	12,5
6	2,8	30,1		6	2,0	37,8		6	2,0	10,1
7	2,2	39,9		7	2,2	35,8		7	2,1	11,3
8	2,3	38,8		8	1,9	34,2		8	2,3	13,7
9	2,6	38,4		9	2,4	37,2		9	2,1	12,4
Таблиця 22		Таблиця 23		Таблиця 24
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	3,7	16,6		1	3,7	16,9		1	2,9	16,6
2	4,0	16,3		2	4,0	16,1		2	2,.6	16,3
3	3,8	15,9		3	3,8	15,0		3	2,8	15,9
4	3,9	14,1		4	3,9	18,0		4	2,7	14,1
5	3,6	15,1		5	3,6	17,2		5	2,7	15,1
6	3,5	15,7		6	3,5	17,1		6	2,9	15,7
7	3,8	14,4		7	3,8	16,4		7	2,4	14,4
8	3,6	16,1		8	3,6	16,7		8	2,9	16,1
9	3,5	15,8		9	3,5	16,9		9	2,3	15,8
Таблиця 25		Таблиця 26		Таблиця 27
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-борот
1	3,7	11,4		1	3,0	16,9		1	2,9	16,7
2	4,0	17,1		2	2,5	16,1		2	2,6	18,9
3	3,8	19,5		3	2,5	15,0		3	2,7	16,3
4	3,9	12,5		4	2,6	18,0		4	2,7	17,3
5	3,6	16,5		5	2,1	17,2		5	2,6	18,7
6	3,5	16,0		6	2,9	17,1		6	2,5	17,8
7	3,8	16,1		7	2,7	16,4		7	2,7	18,5
8	3,6	16,2		8	2,4	16,7		8	2,8	17,7
9	3,5	18,0		9	2,8	16,9		9	2,9	19,0
Таблиця 28		Таблиця 29		Таблиця 30
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо- оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
1	2,8	12,8		1	2,7	12,8		1	2,3	32,1
2	2,7	13,8		2	2,5	13,8		2	1,9	31,0
3	2,4	15,9		3	2,1	15,9		3	2,3	32,4
4	2,3	15,8		4	2,8	15,8		4	2,5	33,2
5	2,5	13,8		5	2,4	13,8		5	2,6	31,2
6	2,5	16,9		6	2,3	16,9		6	2,0	34,8
7	2,5	16,6		7	2,5	16,6		7	1,9	35,4
8	2,4	14,7		8	2,7	14,7		8	2,4	33,0
9	2,3	14,2		9	2,4	14,2		9	2,2	34,8

ТEMA 2. ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ

2.1. Основні положення теми

Для того щоб кількісно описати зв’язок між кількома або багатьма змінними, одна з яких є залежною, інші — незалежними змінними, необхідно розглянути лінійну економетричну модель, яка базується на регресійному аналізі.

У загальному вигляді цю модель можна записати так:

де  — залежна змінна;

— незалежні змінні;

u — стохастична складова.

Залежна змінна Y називається також пояснюваною, ендогенною змінною, незалежні змінні Xj — пояснюючими, предетермінованими, екзогенними змінними.

Аналітична форма загальної лінійної економетричної моделі:

,

де     — параметри моделі.

В матричній формі економетрична модель має такий вигляд:

,

X — матриця незалежних змінних; A — вектор оцінок параметрів моделі; u — вектор залишків.

Щоб оцінити параметри моделі на основі методу 1МНК, необхідно дотримуватися таких передумов (гіпотез):

1) математичне сподівання залишків має дорівнювати нулю, тобто

;

2) значення вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію:

1.  незалежні змінні моделі не зв’язані із залишками, тобто

;

4) незалежні змінні моделі створюють лінійно-незалежну систему векторів, тобто

Оператор оцінювання параметрів моделі на основі 1МНК:

Неважко довести, що оцінки , які можна отримати на основі оператора оцінювання 1МНК, мінімізують суму квадратів залишків u. При цьому значення вектора  є розв’язком нормальної системи рівнянь:

Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від своєї середньої, то матрицю  називають матрицею моментів. Числа, що стоять на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.

Оцінки параметрів загальної економетричної моделі повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

Оцінка параметра моделі буде незміщеною, коли дотримується рівність:

.

Якщо ця рівність не дотримується, то різниця  називається зміщенням оцінки.

Оцінка параметра моделі буде обгрунтованою, якщо при заданій малій величині  справедливе відношення:

.

Оцінки  параметрів A називаються ефективними, коли вони мають найменшу дисперсію.

Якщо функція  відповідає функції , то оцінки  параметрів A є інваріантними.

2.2. Загальна економетрична модель: побудова й аналіз

Приклад 2.1. Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування, загальними затратами та складом сім’ї на основі даних, наведених у табл. 2.1. Проаналізувати зв’язок, визначений на основі побудованої моделі.

Таблиця 2.1

№ п / п	Витрати на харчування	Загальні затрати	Склад сім’ї
1	2	3	4
1	20	45	1,5
2	32	75	1,6
3	48	125	1,9
4	65	223	1,8
5	45	92	3,4
6	64	146	3,6
7	79	227	3,5
8	104	358	5,5
9	68	135	5,4
10	93	218	5,4
11	117	331	5,3
12	145	490	8,5
13	91	175	8,3
14	131	205	8,1
15	167	468	7,3
16	195	749	8,4

Розв’язання:

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

Y — витрати на харчування (залежна змінна);

X1 — загальні витрати (незалежна змінна);

X2 — розмір сім’ї (незалежна змінна);

u — залишки (стохастична складова).

Загальний вигляд моделі:

.

2. Специфікуємо модель, тобто в даному випадку визначимо її аналітичну форму:

3. Оцінимо параметри моделі на основі методу 1МНК, попередньо висунувши гіпотезу, що всі чотири передумови для його застосування дотримані.

Оператор оцінювання на основі 1МНК:

У даному операторі матриця X характеризує всі незалежні змінні моделі. Оскільки економетрична модель має вільний член , для якого всі , то матрицю X треба доповнити першим стовпцем, в якому всі шістнадцять членів є одиницями. — матриця, транспонована до матриці, а вектор — вектор залежної змінної.

;

;

.

Підставимо отримані значення оберненої матриці  і добуток матриць  в оператор оцінювання і визначимо оцінки параметрів моделі:

;

Таким чином,  Звідси еконо-метрична модель має вигляд:

.

1.  Визначимо розрахункові значення залежної змінної  на основі моделі, підставивши в неї значення незалежних змінних  та  . Потім віднімемо розрахункові значення  від фактичних , в результаті отримаємо залишки: . Всі ці розрахунки наведені в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

№ п / п
1	28,1424	–8,1424	66,2979	–71,5000	5112,2500
2	34,3382	–2,3382	5,4673	–59,5000	3540,2500
3	45,5785	2,4215	5,8637	–43,5000	1892,2500
4	63,9961	1,0039	1,0077	–26,5000	702,2500
5	49,7976	–4,7976	23,0169	–46,5000	2162,2500
6	61,0872	2,9128	8,4843	–27,5000	756,2500
7	75,2802	3,7198	13,8372	–12,5000	156,2500
8	113,0501	–9,0501	81,9051	12,5000	156,2500
9	71,4035	–3,4035	11,5837	–23,5000	552,2500
10	86,6492	6,3508	40,3332	1,5000	2,2500
11	106,7200	10,2800	105,6793	23,5000	650,2500
12	157,8576	–12,8576	165,3171	53,5000	2862,2500
13	98,6267	–7,6267	58,1665	–0,5000	0,2500
14	121,1347	9,8653	97,3237	39,5000	1560,2500
15	145,5920	21,4080	458,3011	75,5000	5700,2500
16	204,7461	–9,7461	94,9859	103,5000	10712,2500
Всього		0,0000	1237,5704		36518,0000

5. Розрахуємо дисперсії залишків та залежної змінної :

6. Визначимо матрицю коваріацій оцінок параметрів моделі:

.

Діагональні елементи цієї матриці характеризують дисперсії оцінок параметрів моделі:

Інші елементи даної матриці визначають рівень коваріації між оцінками параметрів моделі.

7. Знайдемо стандартні помилки оцінок параметрів:

Порівняємо стандартні помилки оцінок параметрів моделі з величиною оцінки. Так, співвідношення стандартної помилки й абсолютного значення параметра  становить 56% , параметра  — 10,6%, параметра  — 20,4%. Перше й третє співвідношення свідчать про те, що оцінки параметрів моделі  і  можуть мати зміщення, а друге співвідношення підтверджує незміщеність оцінки параметра .

8. Дамо змістовне тлумачення параметрів моделі.

Оцінка параметра  характеризує граничну зміну величини витрат на харчування залежно від зміни загальних затрат на одиницю. Тобто, якщо загальні затрати сім’ї зростуть на одиницю, то витрати на харчування в них збільшаться на 0,18 одиниці при незмінному складі сім’ї.

Оцінка параметра  характеризує граничне зростання витрат на харчування при збільшенні сім’ї на одного члена. Так, якщо склад сім’ї збагатиться ще одним членом, то витрати на харчування зростуть на 6,854 одиниці при незмінній величині доходу.

2.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 2.1. Побудувати економетричну модель, що характеризує залежність між витратами обігу, обсягом вантажообороту та фондомісткістю бази. Визначити стандартні помилки параметрів. Дати змістовне тлумачення взаємозв’язку. Вихідні дані наведені в табл. 2.3 -2.5.

Таблиця 2.3

Вантажо-оборот
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1	1	3	4	1	1	1	1	4	3	1	1	1	1	1
2	2	2	3,5	4,5	1,5	1,5	1,5	1,5	4,5	3,5	2	2	1,5	1,5	1,5
3	2,5	3	2,5	4	2	2	2	2	4	2,5	3	2,5	2	2	2
4	3	3,5	2	5	3	3	3	3	5	2	3,5	3	3	3	3
5	4	3,5	3,5	5	3,5	3,5	3,5	3,5	5	3,5	3,5	4	3,5	3,5	3,5
6	5	4	4	5,5	4	4	4	4	5,5	4	4	5	4	4	4
7	5,5	4,5	4	6	4	4	4	4	6	4	4,5	5,5	5,5	4	5,5
8	6	5	4,5	5	4,5	4	4,5	4	5	4,5	5	6	6	4	6
9	6	6	5	5	4	4,5	4	4,5	5	5	6	6	5	4,5	6
10	6,5	6,5	5,5	6	5	4	5	4,5	6	5,5	6,5	6,5	5	4	6,5
11	6,5	7	5,5	6	6	5	6	5	6	5,5	7	6,5	6	5	6,5
12	7	8	6	7	7	5	7	5,5	7	6	8	7	6	5	7
№	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	1	1	1	1,5	1	4	1	3	4	3	1	1	1	1	1
2	2	1,5	1,5	2	2	4,5	1,5	3	4	3,5	2,5	2	1,5	1,5	1,5
3	3	2	2	3	3	4	2	4	4,5	2,5	3	2,5	2	2,5	2
4	3,5	3	3	3,5	3,5	5	3	4,5	4,5	2	3,5	3	3	3	3,5
5	3,5	3,5	3,5	3,5	3,5	5	3,5	5	5	3,5	3,5	4	3,5	3,5	3,5
6	4	4	5,5	4	4	5,5	4,5	5,5	5,5	4	4	5	4	4	4
7	4,5	4	6	4,5	4,5	6	5,5	6	6	4	4,5	5,5	5,5	4	5,5
8	5	4,5	5	5	5	5	6	6,5	6	4,5	5	6	6	4	6
9	6	4	5	6	6	5	5	6,5	7	5	6	6	5	4,5	6
10	6,5	5	6	6,5	6,5	6	5,5	7	8	5,5	6,5	6,5	5,5	4	6,5
11	7	6	6	7	6,5	6	6	7	8,5	6	7	6,5	6	5	6,5
12	8	7	5	8	7	7	6	8	9	6,5	8	7	6	5	7

Таблиця 2.4

Фондомісткість

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	4	6	4,5	6	4	3	4	5	3	3	3	3	3	6	4
2	5	7	4,5	6,5	3	3,5	3	5,5	3,5	3,5	4	3,5	3,5	7	5
3	6	8	5	7	3,5	3	2	5	4,5	4,5	4,5	3	4,5	8	6
4	6,5	9	5	7	4	3	2	6	5	5	5	3	5	9	6,5
5	7	10	5,5	8	5	4	3,5	6	5,5	5,5	5,5	4	5,5	10	7
6	7,5	10,5	6	8	5,5	4,5	5	6,5	6	6	5,5	4,5	6	10,5	7,5
7	8	10,5	7	8,5	5	5	5	7	6,5	6,5	6	5	6,5	10,5	8
8	8	11	7,5	9,5	7	6	5,5	6	7	7	7	6	7	11	8
9	8,5	11,5	8	9	7,5	7	6	6	7,5	7,5	7,5	7	7,5	11,5	8,5
10	9	11	8,5	10	8	7,5	6	7	8	8	8	7,5	8	11	9
11	9	12	9	11	8,5	8	7	8	9	8	8,5	8	9	12	9
12	10	12,5	10	11,5	9	9	8	9	10	9	9	9	10	12,5	10
№	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	6	4	5	3	3	5	4,5	6	4,5	5	4	4,5	6	4	4
2	6,5	3	5,5	3,5	3,5	5,5	4,5	7	5	5,5	5	5	7	3	5
3	7	3,5	5	4,5	3	4	5	8	6	5	6	6	8	2	6
4	7	4	6	5	3	5	5	9	6,5	6	6,5	6,5	9	2	6,5
5	8	5	6	5,5	4	6	5,5	10	7	6	7	7	10	3,5	7
6	8	5,5	6,5	6	4,5	6,5	6	10,5	7,5	6,5	7,5	7,5	10,5	5	7,5
7	8,5	6,5	7	6,5	5	7	7	10,5	8	7	8	8	10,5	5	8
8	9,5	7	6	7	6	6	7,5	11	8,5	6	8	8,5	11	5,5	8
9	9	7,5	6	7,5	7	5	8	11,5	8,5	6	8,5	8,5	11,5	6	8,5
10	10	8	7	8	7,5	6	8,5	11	9	7	9	9	11	6,5	9
11	11	8,5	8	9	8	6	9	12	9,5	8	9	9,5	12	7	9,5
12	11,5	9	9	10	9	7	10	12,5	10	9	10	10	12,5	8	10

Таблиця 2.5

Витрати обігу

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	12	14	10	10	8	7	12	13	6	6	12	14	10	10	8
2	10	14	10,5	11	8	7,5	11	13,5	6,5	6,5	10	14	10,5	11	8
3	12	15	10	11,5	8,5	7	10	13	7	7	12	15	10	11,5	8,5
4	12,5	15,5	11	12	9	8	9	14	8	8	12,5	15,5	11	12	9
5	13	16	11,5	12,5	9,5	8,5	11,5	14	9	9	13	16	11,5	12,5	9,5
6	14	16	12	13	10	9	12	14,5	9,5	9,5	14	16	12	13	10
7	14	16,5	12,5	13	11	9,5	12	15	10	10	14	16,5	12,5	13	11
8	14,5	17	13	13,5	11,5	10,5	12,5	14	10,5	13	14,5	17	13	13,5	11,5
9	15	17,5	13	14	12	11	13	14	9	13,5	15	17,5	13	14	12
10	15,5	18	14	14	13	11,5	14	16	11	13	15,5	18	14	14	13
11	15	18	14,5	14,5	14	12	14,5	16,5	12	14	15	18	14,5	14,5	14
12	16	18,5	15	15,5	15	12,5	16	17	14	14	16	18,5	15	15,5	15

№	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	29	29	30
1	7	12	13	6	6	12	6	10	8	14	10	10	8	13	7
2	7,5	11	13,5	6,5	6,5	10	6,5	10,5	8	14	10,5	11	8	13,5	7,5
3	7	10	13	7	7	12	7	10	8,5	15	10	11,5	8,5	13	7
4	8	9	14	8	8	12,5	8	11	9	15,5	11	12	9	14	8
5	8,5	11,5	14	9	9	13	9	11,5	9,5	16	11,5	12,5	9,5	14	8,5
6	9	12	14,5	9,5	9,5	14	9,5	12	10	16	12	13	10	14,5	9
7	9,5	12	15	10	10	14	10	12,5	11	16,5	12,5	13	11	15	9,5
8	10,5	12,5	14	10,5	13	17	13,5	12,5	11,5	17	13	13,5	11,5	14	10,5
9	11	13	14	9	13,5	17,5	14	13	14	17,5	13	14	12	14	11
10	11,5	14	16	11	13	18	14	14	16	18	14	14	13	16	11,5
11	12	14,5	16,5	12	14	18	14,5	14,5	16,5	18	14,5	14,5	14	16,5	12
12	12,5	16	17	14	14	18,5	15,5	16	17	18,5	15	15,5	15	17	12,5

ТEMA 3. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ

МОДЕЛІ

3.1. Основні положення теми

Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом кореляції, що характеризує тісноту зв’язку, існує зв’язок. Для простої економетричної моделі його можна записати так:

 ,

де  — коефіцієнт парної кореляції;

,  — середньоквадратичне відхилення відповідно залежної і незалежної змінної.

Це співвідношення було покладено в основу алгоритму визначення альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має назву покрокової регресії і наступні кроки:

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

Крок 2. Визначення кореляційної матриці , елементи якої розраховуються таким чином:

Крок 3. Із усіх елементів матриці  вибирається той, якому відповідає . Це означає, що незалежна змінна  найтісніше зв’язана з залежною змінною . Будується економетрична модель:

.

Крок 4. Серед інших елементів матриці  знову вибирається . Якщо даному коефіцієнту кореляції відповідає , то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель; в результаті дістанемо:

і т.д.

Процес продовжується до тих пір, поки всі незалежні змінні поступово будуть включені в модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими й невиправленими на число ступеней свободи.

Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:

Позначимо елементи  через вектор , а інші елементи  –— через матрицю , тоді система рівнянь у матричному вигляді матиме такий вигляд:

.

Звідси , тобто отримаємо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі за методом 1МНК.

Оскільки оцінки параметрів моделі  відносяться до стандарти-зованих змінних, то щоб перейти до оцінок параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:

, чи

.

Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступеней свободи:

.

Співвідношення між ними дорівнюватиме:

.

Множинний коефіцієнт кореляції  характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними. Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині

Якщо оцінка параметрів моделі отримана на основі покрокової регресії, то для визначення коефіцієнта детермінації можна використати такі співвідношення:

де  – визначник матриці ;

 –– алгебраїчне доповнення першого елемента матриці .

Гіпотеза про наявність чи відсутність зв’язку між залежною і незалежною змінними може бути перевірена на основі -критерію:

.

Фактичне значення — критерію порівнюється з табличним при сту-пенях свободи  і  і вибраному рівні довіри. Якщо факт > табл , то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку — відкидається.

Альтернативна формула розрахунку — критерію через коефіцієнт детермінації:

.

Значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі — критерію:

.

Значення критерію  порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і  ступенями свободи. Якщо факт > табл , то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

На основі — критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів :

.

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих залежних змінних можна виконати на основі такого співвідношення:

.

У цьому співвідношенні  є стандартною помилкою прогнозу:

,

де  — прогнозні значення незалежних змінних.

3.2. Приклад дисперсійного аналізу економетричної

моделі та прогноз

Приклад 3.1. Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для економетичної моделі, яка побудована в прикладі 2.1. Перевірити гіпотезу про суттєвість зв’язку на основі F- і t- критеріїв. Виконати прогноз витрат на харчування, якщо загальні затрати становитимуть 900 одиниць, а середній склад сім’ї – 8,5.

Розв’язання

Економетрична модель має вигляд:

.

1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:

,

де ,  — відповідно залишкова й загальна дисперсії.

.

Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація витрат на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних затрат і складу сім’ї.

2. Коефіцієнт кореляції . Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними затратами і складом сім’ї є дуже тісним.

3. Визначимо F- критерій (критерій Фішера):

.

Порівняємо розраховане значення критерію Фішера з табличним. При ступенях свободи ;  і рівні довіри , Fтабл 

Оскільки Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який описується економетричною моделлю, підтверджується.

4. Розрахуємо t- критерії:

Табличне значення t- критерію при ступені свободи  і рівні довіри  дорівнює 2,16. Враховуючи, що

оцінки параметрів моделі  і  є достовірними. Оскільки , то знизимо рівень довіри: . У цьому випадку tтабл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.

5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

1.  Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі еконо-

метричної моделі.

6.1. Визначимо точковий прогноз витрат на харчування на основі моделі:

6.2. Знайдемо дисперсію прогнозу:

.

6.3. Стандартна помилка прогнозу:

6.4. Визначимо довірчі інтервали прогнозного рівня витрат на харчування:

.

При .

Таким чином, точковий прогноз витрат на харчування дорівнює 233,1678 одиниць, а інтервальний буде знаходитись у межах від 211,8896 до 254,4455 одиниць.

Приклад 3.2. Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між продуктивністю праці, фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, на основі покрокової регресії. Перевірити достовірність моделі та її параметрів. Дати змістовне тлумачення параметрів моделі. Вихідні дані наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

№ п / п	Продуктивність праці	Фондомісткість продукції	Плинність робочої сили
1	32	1,0	20
2	29	0,5	16
3	30	0,8	14
4	31	0,7	10
5	25	0,6	24
6	34	0,6	13
7	29	0,8	18
8	24	0,5	15
9	20	0,6	15
10	33	1,0	8

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

Y — продуктивність праці, залежна змінна;

X1 — фондомісткість продукції, незалежна змінна;

X2— плинність робочої сили, незалежна змінна.

У загальному вигляді економетрична модель:

.

2. Специфікуємо модель в лінійній формі:

Оскільки оцінка параметрів моделі за методом 1МНК виконуватиметься на основі покрокової регресії, то спочатку буде побудована економетрична модель виду:

,

де

3. Нормалізуємо змінні моделі. Розрахунки представимо в табл. 3.2.

Таблиця 3.2

№ п / п	Y
1	32	1	20	3,3000	0,2900	4,7000	10.8900	0,0841	22,0900
2	29	0,5	16	0,3000	–0,2100	0,7000	0,0900	0,0441	0,4900
3	30	0,8	14	1,3000	0,0900	–1,3000	1,6900	0,0081	1,6900
4	31	0,7	10	2,3000	–0,0100	–5,3000	5,2900	0,0001	28,0900
5	25	0,6	24	–3,7000	–0,1100	8,7000	13,6900	0,0121	75,6900
6	34	0,6	13	5,3000	–0,1100	–2,3000	28,0900	0,0121	5,2900
7	29	0,8	18	0,3000	0,0900	2,7000	0,0900	0,0081	7,2900
8	24	0,5	15	–4,7000	–0,2100	–0,3000	22,0900	0,0441	0,0900
9	20	0,6	15	–8,7000	–0,1100	–0,3000	75,6900	0,0121	0,0900
10	33	1	8	4,3000	0,2900	–7,3000	18,4900	0,0841	53,2900
	287	7,1	153				176,1	0,309	194,1

Продовження табл. 3.2

№ п / п
1	0,7864	1,6489	1,0668
2	0,0715	–1,1946	0,1589
3	0,3098	0,5120	–0,2951
4	0,5481	–0,0569	–1,2030
5	–0,8817	–0,6258	1,9747
6	1,2630	–0,6258	–0,5221
7	0,0715	0,5120	0,6128
8	–1,1200	–1,1946	–0,0681
9	–2,0732	–0,6258	–0,0681
10	1,0247	1,6498	–1,6570

Середні значення:

.

Дисперсія:

Середньоквадратичні відхилення:

;

4. Побудуємо кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів кореляції):

.

Розрахунок елементів кореляційної матриці наведено в табл. 3.3.

 Таблиця 3.3

Y*2
0,6184	2,7217	1,1381	1,2973	0,8389	1,7600
0,0051	1,4272	0,0252	–0,0854	0,0114	–0,1898
0,0960	0,2621	0,0871	0,1586	–0,0914	–0,1511
0,3004	0,0032	1,4472	–0,0312	–0,6593	0,0684
0,7774	0,3916	3,8995	0,5517	–1,7411	–1,2357
1,5951	0,3916	0,2725	–0,7903	–0,6593	0,3267
0,0051	0,2621	0,3756	0,0366	0,0438	0,3138
1,2544	1,4272	0,0046	1,3380	0,0763	0,0813
4,2981	0,3916	0,0046	1,2973	0,1412	0,0426
1,0500	2,7217	2,7455	1,6905	–1,6978	–2,7336
Всього
10,0000	10,0000	10,0000	5,4632	–3,7375	–1,7174

Звідси кореляційна матриця:

.

5. Враховуючи, що

,

то на першому етапі треба побудувати економетричну модель виду:

.

Рівняння для визначення параметру  має вигляд:

Запишемо модель:

,

6. На другому етапі включимо в економетричну модель , в результаті модель набуде такого вигляду:

.

Система рівнянь для визначення параметрів цієї моделі:

Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо:

Економетрична модель має вигляд:

.

7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація продуктивності праці лише на 37,9% визначається варіацією фондомісткості продукції та плинності робочої сили.

Коефіцієнт кореляції характеризує не тісний зв’язок факторів із продуктивністю праці.

8. Оцінимо достовірність моделі та її параметрів на основі критеріїв Фішера та Стьюдента.

При  ступенях свободи  і ; рівні довіри  Fтабл = 19,36. Оскільки Fфакт < Fтабл, то нульова гіпотеза відносно суттєвості зв’язку, який вимірюється на основі економетричної моделі, відхиляється. Це означає, що економетрична модель є недостовірною, тому перевірка значущості оцінок параметрів моделі є недоцільною.

9. Виконаємо перехід до економетричної моделі, в якій змінні виражені в абсолютних значеннях (вони наведені в табл. 3.1)

.

10. Наведемо розраховані економетричні моделі в даному прикладі і дамо змістовне тлумачення параметрів цих моделей.

1) ;

2) .

Перш за все звернімо увагу на відсутність вільного члена в першій економетричній моделі. Це пов’язано з тим, що всі змінні нормалізовані і мають одну й ту саму одиницю виміру. Параметри першого рівняння характеризують граничну зміну залежної змінної, якщо незалежна збільшиться на величину свого середньоквадратичного відхилення . Так, якщо  збільшиться на , то  — на  при незмінній величині ; якщо  збільшиться на , то  — на 0,288 при незмінній величині фактора . Враховуючи, що всі змінні мають одну й ту саму величину виміру, параметри першої економетричної моделі характеризують порівняльну силу впливу незалежних змінних на залежну. При параметрі  це свідчить, що фондомісткість продукції сильніше впливає на продуктивність праці, ніж плинність робочої сили.

В другій економетричній моделі, яка характеризує зв’язок продуктивності праці з фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, коли кожний економічний показник має свою початкову одиницю виміру, є вільний член. Його рівень залежить від початку відрахунку змінних, а також від одиниць виміру кожної змінної моделі.

Параметр  показує, що при зміні фондомісткості продукції на 1 тис.грн. продуктивність праці зросте на 11,86 тис.грн., якщо плинність робочої сили не зміниться. Параметр  показує, що при збільшенні плинності робочої сили на 1% продуктивність праці зменшиться на 0,288 тис.грн. У загальному кожний із цих параметрів характеризує граничну зміну продуктивності праці, якщо відповідний фактор зміниться на одиницю за умови, що інший є константою. Маючи оцінку параметрів лінійної моделі  і  та співвідношення середніх значень продуктивності праці і кожного із факторів зокрема, знайдемо коефіцієнти еластичності:

Коефіцієнти еластичності характеризують, на скільки процентів зміниться продуктивність праці, якщо кожний із факторів, зокрема, зміниться на 1%. Так, = 0,29, тобто якщо фондомісткість продукції збільшиться на 1% , продуктивність праці – на 0,29%.= – 0,15, а це означає, що граничне збільшення продуктивності праці при зниженні плинності робочої сили на 1% складатиме 0,15%.

3.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 3.1.  Для моделі, яка побудована для даних, наведених у табл. 2.3 — 2.5, виконати дисперсійний аналіз, зробити висновки відносно достовірності моделі та її параметрів.

Завдання 3.2. За даними, які наведені в табл. 2.3 — 2.5, побудувати економетричну модель за методом 1МНК на основі покрокової регресії. Порівняти оцінки параметрів даної економетричної моделі з оцінками параметрів моделі для відповідних даних завдання 2.3. Дати змістовне тлумачення оцінок параметрів, зробити висновки.

ТЕМА 4. МУЛЬТИКОЛІНЕАРНІСТЬ

4.1. Основні положення теми

На практиці при кількісній оцінці параметрів економетричної моделі досить часто зустрічаються з проблемою взаємозв’язку між предетермінованими (пояснюючими змінними). Якщо взаємозв’язок досить тісний, то оцінка параметрів моделі може мати велику похибку. Такий взаємозв’язок між пояснюючими змінними називається мультиколінеарністю. Мультиколінеарність незалежних змінних приводить до зміщення оцінок параметрів моделі, які розраховуються за методом 1МНК. На основі цих оцінок неможливо зробити конкретні висновки про результати взаємозв’язку між пояснюваною і пояснюючими змінними.

Ознаки мультиколінеарності

1. Якщо серед парних коефіцієнтів кореляції незалежних змінних є такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту кореляції, то це свідчить про можливість існування мультиколінеарності. Інформацію про парну залежність може дати симетрична матриця коефіцієнтів парної кореляції, або кореляції нульового порядку:

.

Але якщо в моделі фігурує більше двох незалежних змінних,  вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що дає ця матриця. Явище мультиколінеарності ні в якому разі не зводиться тільки до існування парної кореляції між незалежними змінними.

Більш загальна перевірка передбачає визначення визначника (детермінанта) матриці r, який називається детермінантом кореляції і позначається . Числові значення детермінанта кореляції знаходяться на множині: .

2. Якщо , то існує повна мультиколінеарність, якщо — мультиколінеарність відсутня, чим ближче  до нуля, тим певніше можна стверджувати, що між незалежними змінними існує мультиколінеарність. Незважаючи на те, що на числове значення  впливає дисперсія незалежних змінних, цей показник можна вважати точковою мірою тісноти мультиколінеарності.

3. Якщо в економетричній моделі одержано мале значення параметра  при високому рівні коефіцієнта детермінації і при цьому F-критерій суттєво відрізняється від нуля, то це також свідчить про наявність мультиколінеарності.

4. Якщо коефіцієнт детермінації , що розрахований для регресійних залежностей між однією незалежною змінною та іншими, має значення, яке близьке до одиниці, то можна говорити про наявність мультиколінеарності.

5. Якщо при побудові економетричної моделі на основі покрокової регресії включення нової незалежної змінної суттєво змінює оцінку параметрів моделі при незначному підвищенні (або зниженні) коефіцієнтів кореляції чи детермінації, то ця змінна, очевидно, знаходиться в лінійній залежності від інших, які введені в модель раніше.

Всі ці методи виявлення мультиколінеарності мають один загальний недолік: жоден із них не проводить чіткої межі між тим, що треба вважати «суттєвою» мультиколінеарністю, яку треба враховувати, і тим, коли мультиколінеарністю можна знехтувати.

Алгоритм Феррара—Глобера

Hайбільш повне дослідження мультиколінеарності можна здійснити на основі алгоритму Феррара—Глобера. Цей алгоритм включає три види статистичних критеріїв, на основі яких перевіряється мультиколінеарність всього масиву незалежних змінних (, хі-квадрат); кожної незалежної змінної зі всіма незалежними змінними (F-критерій) і мультиколінеарність кожної пари незалежних змінних (t-критерій).

Всі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають можливість зробити конкретні висновки відносно наявності чи відсутності мультиколінеарності незалежних змінних.

Опишемо алгоритм Феррара—Глобера.

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) змінних.

Позначимо вектори незалежних змінних економетричної моделі через . Елементи стандартизованих векторів розрахуємо за формулою:

де n — число спостережень, ;

   m — число незалежних змінних, ;

   — середня арифметична — її незалежної змінної;

   — дисперсія -ї незалежної змінної.

Крок 2. Знаходження кореляційної матриці (матриці моментів стандартизо-

ваної системи нормальних рівнянь):

,

де — матриця стандартизованих незалежних змінних;

    — матриця, транспонована до матриці .

Крок 3. Визначення критерію  (хі-квадрат):

,

де  — визначник кореляційної матриці .

Значення цього критерію порівнюється з табличним при  ступенях свободи і рівні значущості . Якщо факт табл , в масиві незалежних змінних не існує мультиколінеарності.

Крок 4. Визначення оберненої матриці  (див.п.3):

.

Крок 5. Розрахунок F- критеріїв:

,

де ckk — діагональні елементи матриці C. Фактичні значення критеріїв Fk порівнюються з табличними при  і  ступенях свободи і рівні значущості . Якщо Fk факт > Fтабл , відповідна k-та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Коефіцієнт детермінації для кожної змінної розраховується таким чином:

.

Крок 6. Знаходження часткових коефіцієнтів кореляції:

,

де ckj — елемент матриці C, що заходиться в k-му рядку і j-му стовпці, , ckk і сjj — діагональні елементи матриці .

Крок 7. Розрахунок t критеріїв:

.

Фактичні значення критеріїв tkj порівнюються з табличними при  ступенях свободи і рівні значущості . Якщо tkj факт > tтабл, між незалежними змінними Xk і Xj існує мультиколінеарність.

4.2. Дослідження наявності мультиколінеарності

на основі алгоритму Феррара—Глобера

Розглянемо застосування алгоритму Феррара—Глобера для розв’язу-вання конкретної задачі.

Приклад 4.1. На середньомісячну заробітну плату впливає ряд факторів. Виділимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили. Щоб побудувати економетричну модель заробітної плати від наведених чинників на основі методу найменших квадратів, треба переконатись, що продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили як незалежні змінні — не мультиколінеарні.

Вихідні дані наведені в табл. 4.1.                                      Таблиця 4.1

Номер цеха	Продуктивність праці, млн.грн./ люд.	Фондомісткість, грн./грн.	Коефіцієнт плинності робочої сили, %
1	32	0,59	10,5
2	29	0,43	15,5
3	30	0,70	13,5
4	31	0,61	9,5
5	25	0,51	2,5
6	34	0,51	1,5
7	29	0,65	17,5
8	24	0,43	14,5
9	20	0,51	14,5
10	35	0,92	7,5

Розв’язання

Крок 1. Нормалізація змінних.

Позначимо вектори незалежних змінних — продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили — через відповідно Х1, Х2, Х3. Елементи стандартизованих векторів розрахуємо за формулою:

де    n — кількість спостережень, ;

m — число незалежних змінних, ;

— середня арифметична вектора ;

— дисперсія змінної .

В табл. 4.2 наведені всі розрахунки по стандартизації незалежних змінних X1, X2, X3 згідно з наведеним  співвідношенням.

Таблиця 4.2

3.3	0,004	–3,4	10,89	0,000015	11,56	0,2487	0,0091	–0,2518
0.3	–0,156	1,6	0,09	0,024336	2,56	0,0226	–0,2531	0,1185
1.3	0,114	–0,4	1,69	0,012996	0,16	0,0979	0,2580	–0,0296
2.3	0,024	–4,4	5,29	0,000576	19,36	0,1733	0,0543	-0,3258
3.7	–0,076	9,6	13,09	0,005776	92,16	–0,2788	–0,1720	0,7108
5.3	–0,076	–1,4	23,09	0,005776	1,96	0,3994	–0,1720	–0,1037
0.3	0,064	3,5	10,09	0,004095	12,95	0,0226	0,1448	0,2666
–4.7	–0,156	0,6	22,09	0,024336	0,36	–0,3542	–0,3531	0,0444
–8.7	–0,076	0,6	75,69	0,005776	0,36	–0,6556	–0,1720	0,0444
4.3	0,334	–6,4	14,49	0,111556	40,95	0,3240	0,7559	–0,4739
			17,1	0,19524	182,4

Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:

;

;

Тоді знаменник для стандартизації кожної незалежної змінної буде дорівнювати:

для X1:    ;

для X2:    ;

для X3:    .

Матриця стандартизованих змінних матиме вигляд:

.

Крок 2. Знаходження кореляційної матриці :

R = X * ' X *,

де — матриця транспонована до матриці .

Ця матриця симетрична і має розмір 3 х 3. Для даної задачі:

.

Кожен елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Інші елементи матриці R трактуються так:

;

;

,

тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції незалежних змінних. На основі цих коефіцієнтів можна зробити висновок, що між змінними X1, X2, X3 існує зв’язок. Але чи можна стверджувати, що цей зв’язок є явищем мультиколінеарності і він негативно впливатиме на оцінку економетричної моделі?

Щоб відповісти на це запитання, треба продовжити розв’язання на основі алгоритму Феррара—Глобера і в результаті знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.

Крок 3. Знайдемо детермінант кореляційної матриці  і критерій X2:

3а) ;

3б) .

При ступені свободи  і рівні значущості  = 0,01 Х2табл = 11,34. Приймаючи факт табл , можна зробити висновок, що в масиві змінних не існує мультиколінеарність.

Крок 4. Знайдемо матрицю, обернену до матриці :

;

.

Крок 5. Використовуючи  діагональні  елементи  матриці C, розрахуємо  F-критерії:

;

;

.

При рівні значущості  і ступенях свободи  і  критичне (табличне) значення критерію .

Через те, що факт < табл,

факт < табл,

факт < табл,

то жодна із незалежних змінних не мультиколінеарна з двома іншими.

Щоб визначити наявність попарної мультиколінеарності, продовжимо розрахунок і перейдемо до кроку 6.

Kрок 6. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції, використавши елементи матриці :

;

;

.

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними за умови, що третя не впливає на цей зв’язок.

Порівнявши часткові коефіцієнти кореляції з парними, які наведені вище, можна помітити, що часткові коефіцієнти значно менше парних. Це ще раз підтверджує, що на основі парних коефіцієнтів кореляції не можна зробити висновки про наявність чи відсутність мультиколінеарності.

Крок 7. Визначимо t- критерії на основі часткових коефіцієнтів кореляції:

;

;

.

Табличне значення t- критерію при n – m = 7 ступенях свободи і рівні значущості  = 0,05 дорівнює 1,89. Всі числові значення t- критеріїв, знайдених для кожної пари змінних, менше за їх табличне значення. Звідси робимо висновок, що всі пари незалежних змінних не є мультиколінеарними.

Таким чином, незважаючи на те, що між незалежними змінними, що досліджуються, існує лінійна залежність, але вона не є явищем мультиколінеарності і не буде негативно впливати на кількісні параметри економетричної моделі.

Якщо F- критерій більше табличного значення, а це значить, що k-та змінна залежить від всіх інших в масиві, то необхідно вирішувати питання про її виключення з переліку змінних.

Якщо tkj - критерій більше табличного, то ця пара змінних (k і j) тісно взаємопов’язані. Звідси, аналізуючи рівень обох видів критеріїв і t, можна зробити обгрунтований висновок про те, яку із змінних необхідно виключити із дослідження чи замінити іншою. Але заміна масиву незалежних змінних завжди повинна узгоджуватись із економічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.

4.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 4.1. Нехай на витрати обігу впливають: обсяг вантажообороту, запаси по вантажообороту та трудомісткість його одиниці. Щоб побудувати економетричну модель цієї залежності на основі методу 1МНК, необхідно бути впевненим, що між факторами вантажообороту, запасів та трудомісткості не існує мультиколінеарності. Треба дослідити наявність мультиколінеарності між цими факторами на основі даних, що наведені в табл. 4.3.1 — 4.3.30.

Вказівка. Дані кожної таблиці є одним із варіантів завдання 4.1.

Таблиця 4.3.1		Таблиця 4.3.2
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудоміст-кість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	15,6	40,4	2,11		1	15,1	32,0	2,12
2	13,5	38,9	2,78		2	16,1	32,4	1,98
3	15,3	36,6	2,17		3	16,7	32,6	1,96
4	14,9	41,4	2,15		4	15,5	38,7	2,15
5	15,1	32,2	2,11		5	17,2	44,3	2,02
6	16,1	31,4	1,97		6	16,9	39,3	2,05
7	16,7	32,6	1,96		7	17,0	40,4	2,02
8	15,4	38,7	2,12		8	16,2	41,5	2,13
9	17,1	44,3	2,02		9	15,0	45,2	2,14
10	16,8	39,3	2,13		10	18,0	50,2	1,90
Таблиця 4.3.3		Таблиця 4.3.4
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудомісткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	16,9	39,2	2,02		1	17,2	51,8	2,48
2	16,2	41,0	2,13		2	17,1	50,4	1,95
3	15,5	41,3	2,14		3	16,5	48,0	1,92
4	18,2	45,2	1,89		4	16,8	48,6	1,96
5	17,3	50,2	2,48		5	14,5	49,8	2,68
6	17,1	51,6	1,94		6	17,2	45,0	2,22
7	16,4	48,0	1,93		7	17,1	40,4	2,23
8	16,7	48,6	1,96		8	17,9	41,7	2,15
9	14,2	49,8	2,57		9	16,2	38,8	2,41
10	17,2	45,0	2,21		10	17,3	40,6	2,25
Таблиця 4.3.5		Таблиця 4.3.6
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	14,3	49,8	2,68		1	17,8	41,8	2,17
2	17,2	45,2	2,21		2	16,3	38,7	2,40
3	17,0	41,4	2,24		3	17,2	40,5	2,24
4	17,8	41,7	2,15		4	16,8	34,6	2,13
5	16,3	38,7	2,41		5	14,9	13,9	2,55
6	17,3	40,6	2,25		6	19,6	31,5	1,90
7	16,9	33,6	2,13		7	11,5	52,5	3,00
8	14,8	13,9	2,56		8	17,2	37,0	2,22
9	19,6	32,5	1,90		9	19,5	43,6	1,96
10	11,4	52,5	3,00		10	12,5	48,3	2,82
Таблиця 4.3.7		Таблиця 4.3.8
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	16,9	33,7	2,13		1	19,5	43,6	1,95
2	14,5	13,8	2,56		2	12,4	48,3	2,83
3	19,5	31,5	1,91		3	17,2	44,7	2,29
4	11,5	52,5	3,00		4	19,5	35,7	2,33
5	17,1	37,0	2,23		5	12,6	49,2	2,31
6	19,6	43,6	1,96		6	16,5	41,3	2,54
7	12,5	48,3	2,82		7	16,1	43,8	2,11
8	16,5	44,7	2,29		8	16,0	48,5	2,42
9	16,0	35,7	2,33		9	16,2	42,3	2,38
10	16,1	49,3	2,31		10	18,0	43,0	2,46
Таблиця 4.3.9		Таблиця 4.3.10
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	11,7	44,2	2,85		1	18,4	38,7	1,89
2	18,3	42,4	1,81		2	15,6	36,5	2,25
3	18,2	38,9	1,88		3	17,5	35,2	1,98
4	15,6	36,4	2,25		4	13,8	45,5	2,48
5	17,4	35,2	1,98		5	15,0	35,2	2,25
6	13,8	45,5	2,48		6	18,7	41,6	1,85
7	15,0	35,2	2,25		7	16,2	42,2	2,15
8	18,6	41,6	1,85		8	15,7	40,4	2,25
9	16,2	42,2	2,15		9	17,9	47,3	1,90
10	15,7	40,4	2,25		10	15,4	47,1	2,20
			Таблиця 4.3.11					Таблиця 4.3.12
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	13,8	45,5	2,46		1	18,8	42,1	1,86
2	15,0	35,2	2,25		2	16,4	42,3	2,15
3	18,6	41,6	1,85		3	16,1	40,4	2,25
4	16,2	42,3	2,15		4	17,8	47,4	1,90
5	15,7	40,4	2,25		5	15,5	47,1	2,20
6	17,9	47,4	1,90		6	16,3	43,2	2,10
7	15,3	47,1	2,20		7	17,8	39,0	1,86
8	16,3	43,2	2,09		8	16,8	38,2	2,00
9	17,7	39,1	1,87		9	17,5	37,3	2,48
10	16,8	38,2	2,00		10	16,7	36,7	2,02
Таблиця 4.3.13		Таблиця 4.3.14
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	13,8	48,0	2,45		1	16,8	40,4	1,88
2	14,8	46,4	2,30		2	17,0	42,3	2,00
3	16,9	42,3	2,00		3	14,8	40,1	2,21
4	16,8	39,4	2,05		4	17,9	39,4	2,01
5	14,8	42,3	2,23		5	16,9	39,1	2,31
6	18,0	40,1	1,89		6	19,7	43,2	2,16
7	17,5	39,4	2,00		7	14,0	44,5	1,74
8	15,7	39,1	2,21		8	17,1	45,7	2,25
9	15,3	43,2	2,01		9	18,2	37,8	1,87
10	14,9	44,7	2,31		10	17,4	46,4	1,82
Таблиця 4.3.15		Таблиця 4.3.16
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	19,7	37,8	1,74		1	32,1	48,0	2,12
2	14,0	46,4	2,25		2	31,0	42,1	2,20
3	17,2	48,2	1,88		3	32,4	42,3	2,11
4	18,3	49,6	1,82		4	33,4	43,7	2,08
5	17,4	46,4	1,90		5	31,2	42,8	2,21
6	16,1	42,6	1,98		6	34,8	41,8	1,88
7	18,8	49,4	1,77		7	35,4	30,8	1,91
8	17,9	40,1	1,89		8	33,0	44,4	2,00
9	17,6	39,4	2,00		9	34,8	51,2	1,90
10	15,7	39,1	2,21		10	33,3	54,6	1,99
Таблиця 4.3.17		Таблиця 4.3.18
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	35,4	30,0	1,90		1	30,6	57,6	2,23
2	33,0	44,4	2,00		2	32,1	58,3	2,14
3	34,8	51,2	1,91		3	37,6	55,7	1,84
4	33,3	54,6	1,99		4	35,8	55,7	2,01
5	36,1	57,6	1,54		5	34,2	56,4	2,04
6	38,3	53,2	1,74		6	34,4	60,4	2,02
7	30,6	57,6	2,23		7	32,5	34,4	1,98
8	32,1	58,3	2,14		8	33,4	33,9	1,95
9	37,6	55,7	1,84		9	37,8	34,2	1,70
10	34,8	55,7	2,01		10	35,8	38,0	2,10
Таблиця 4.3.19		Таблиця 4.3.20
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	34,2	30,3	1,75		1	40,2	66,5	1,95
2	37,2	31,1	1,86		2	39,4	63,0	1,62
3	38,2	28,5	1,82		3	43,7	65,5	2,24
4	29,4	36,7	1,89		4	38,4	64,2	1,88
5	37,2	38,7	2,01		5	38,8	61,6	1,68
6	34,5	45,7	1,75		6	39,9	63,2	1,62
7	35,0	41,5	1,60		7	30,1	75,5	2,15
8	43,7	39,0	1,69		8	31,7	75,5	2,03
9	31,9	42,7	1,78		9	37,2	71,0	1,95
10	37,3	39,8	2,48		10	39,7	67,2	1,63
Таблиця 4.3.21		Таблиця 4.3.22
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	11,7	44,2	3,85		1	19,4	38,7	1,89
2	18,3	42,4	2,81		2	16,6	36,5	2,25
3	18,2	38,9	2,88		3	18,5	35,2	1,98
4	15,6	36,4	3,25		4	14,8	45,5	2,48
5	17,4	35,2	2,98		5	16,0	35,2	2,25
6	13,8	45,5	3,48		6	19,7	41,6	1,85
7	15,0	35,2	3,25		7	17,2	42,2	2,15
8	18,6	41,6	2,85		8	16,7	40,4	2,25
9	16,2	42,2	3,15		9	18,9	47,3	1,90
10	15,7	40,4	2,25		10	16,4	47,1	2,20
			Таблиця 4.3.23					Таблиця 4.3.24
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	13,8	46,5	3,46		1	18,8	42,1	3,86
2	15,0	36,2	3,25		2	16,4	42,3	4,15
3	18,6	42,6	2,85		3	16,1	40,4	3,25
4	16,2	43,3	3,15		4	17,8	47,4	3,90
5	15,7	41,4	3,25		5	15,5	47,1	4,20
6	17,9	48,4	2,90		6	16,3	43,2	4,10
7	15,3	48,1	3,20		7	17,8	39,0	3,86
8	16,3	44,2	3,09		8	16,8	38,2	4,00
9	17,7	40,1	2,87		9	17,5	37,3	4,48
10	16,8	39,2	2,00		10	16,7	36,7	3,02
Таблиця 4.3.25		Таблиця 4.3.26
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	14,8	48,0	2,45		1	16,8	41,4	1,88
2	15,8	46,4	2,30		2	17,0	43,3	2,00
3	17,9	42,3	2,00		3	14,8	41,1	2,21
4	17,8	39,4	2,05		4	17,9	40,4	2,01
5	15,8	42,3	2,23		5	16,9	40,1	2,31
6	19,0	40,1	1,89		6	19,7	44,2	2,16
7	18,5	39,4	2,00		7	14,0	45,5	1,74
8	16,7	39,1	2,21		8	17,1	46,7	2,25
9	16,3	43,2	2,01		9	18,2	38,8	1,87
10	15,9	44,7	2,31		10	17,4	47,4	1,82
Таблиця 4.3.27		Таблиця 4.3.28
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	19,7	37,8	1,74		1	32,1	48,0	2,12
2	14,0	46,4	2,25		2	31,0	42,1	2,20
3	17,2	48,2	1,88		3	32,4	42,3	2,11
4	18,3	49,6	1,82		4	33,4	43,7	2,08
5	17,4	46,4	1,90		5	31,2	42,8	2,21
6	16,1	42,6	1,98		6	34,8	41,8	1,88
7	18,8	49,4	1,77		7	35,4	30,8	1,91
8	17,9	40,1	1,89		8	33,0	44,4	2,00
9	17,6	39,4	2,00		9	34,8	51,2	1,90
10	15,7	39,1	2,21		10	33,3	54,6	1,99
Таблиця 4.3.29		Таблиця 4.3.30
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
1	14,8	48,0	3,45		1	17,8	41,4	1,88
2	15,8	46,4	3,30		2	18,0	43,3	2,00
3	17,9	42,3	3,00		3	15,8	41,1	2,21
4	17,8	39,4	3,05		4	18,9	40,4	2,01
5	15,8	42,3	3,23		5	17,9	40,1	2,31
6	19,0	40,1	2,89		6	20,7	44,2	2,16
7	18,5	39,4	3,00		7	15,0	45,5	1,74
8	16,7	39,1	3,21		8	18,1	46,7	2,25
9	16,3	43,2	3,01		9	19,2	38,8	1,87
10	15,9	44,7	3,31		10	18,4	47,4	1,82

Рекомендована література

1.  Грубер И. Економетрія: Посібник для студентів економічних спеціальностей,т.2/ Пер..-К.:1998 -295с.
2.  Лугінін О.Є., Білоусова С.В., Білоусов О.М. Економетрія: Навчальний посібник. –К.,2005.- 252с.
3.  Лук”яненко Т.Г., Краснікова Л.І. Економетрія: Підричник. – К.: Т-во „Знання” КОО, 1998 -494с.
4.  Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навчальний посібник. — К.: КНЕУ, 1998. —236 с

Додаток А

Теоретичні питання до РГР

1.  Економіко математичне моделювання. Його сутність. Історія розвитку
2.  .Ендогенні та екзогенні фактори, їх вплив на побудову моделі.
3.  Кореляційна залежність між економічними показниками.
4.  Специфікація моделі.
5.  Лінійні та нелінійні залежності. Методи лінеаризації.
6.  Моделі виробничих функцій і область їх застосування.
7.  Загальний метод побудови емпіричної виробничої функції.
8.  Суть методу найменших квадратів.
9.  Система нормальних рівнянь.
10.  Поняття про коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі.
11.  Поняття про кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів кореляції).
12.  Побудова регресивної моделі на основі покрокової регресії.
13.  Властивості оцінок параметрів моделі. Поняття про коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі.
14.  Передумови застосування методу найменших квадратів.
15.  Показники, за якими перевіряється адекватність математичної моделі.
16.  Стандартна похибка рівняння.
17.  Коефіцієнти кореляції і детермінації для моделі парної регресії.
18.  Перевірка простої регресійної моделі на адекватність.
19.  F-критерій Фішера та інші критерії якості лінійної моделі.
20.  Довірчі інтервали параметрів регресії.
21.  Точковий та інтервальний прогнози значень залежної змінної в моделі лінійної регресії.
22.  Приклади багатофакторних економетричних моделей.
23.  Метод найменших квадратів оцінювання параметрів багатофакторної регресійної моделі.
24.  Коефіцієнти множинної кореляції та детермінації в багатофакторній регресійній моделі.
25.  Означення мультиколінеарності, її теоретичні та практичні наслідки.
26.  Основні ознаки мультиколінеарності.
27.  Методи і критерії, які використовують для виявлення мультиколінеарності.
28.  Метод Феррара – Глобера тестування наявності мультиколінеарності.
29.  Способи усунення мультиколінеарності.
30.  Ідея методу головних компонентів та його застосування.
31.  Поняття про гомо- та гетероскедастичність. Їх вплив на оцінювання параметрів.
32.  Способи тестування наявності гетероскедастичності.
33.  Способи вилучення гетероскедастичності.
34.  Метод Ейткена оцінювання параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастичними залишками.
35.  Автокореляція в економетричних моделях.
36.  Наслідки автокореляції залишків.
37.  Методи перевірки наявності автокореляції.
38.  Метод Ейткена оцінювання параметрів лінійної економетричної моделі за наявності автокореляції.
39.  Метод перетворення вихідної інформації.
40.  Наближені методи Кочрена-Оркатта та Дарбіна.
41.  Поняття лагу і лагових змінних.
42.  . Залежні та незалежні лагові змінні.
43.  Методи оцінювання параметрів у моделях розподіленого лагу.

PAGE  

PAGE  

PAGE  13

PAGE  2