Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Семинар 18.
Момент импульса: операторы, коммутационные соотношения, общие свойства решений уравнений на собственные значения
Дать определение операторов орбитального момента импульса в квантовой механике и напомнить, что согласно общим принципам квантовой механики свойства момента определяются решениями уравнений на собственные значения. Поскольку коммутация операторов связана с существованием общих собственных функций, то знание коммутаторов операторов момента позволит сделать ряд выводов без решений уравнений.
Поставить задачу на семинар: исследовать свойства момента импульса в квантовой механики без решения уравнений на основе коммутационных соотношений между операторами.
Задача 1. Доказать, что операторы проекций и квадрата момента импульса эрмитовы.
Задача 2. Используя явные выражения для операторов проекций момента импульса, найти коммутаторы: , .
Задача 3. Доказать, что не существует состояний частицы, в которых вектор момента импульса имел бы определенное значение и направление.
Задача 4. Доказать, что если некоторая функция является общей собственной функцией операторов и , то: (а) она является также собственной функцией операторов и ; (б) отвечает собственным значениям и .
Задача 5. Какие из четырех физических величин , , , могут иметь определенные (ненулевые) значения в одном и том же состоянии?
Задача 6. Частица находится в состоянии , в котором величины и имеют определенные значения и соответственно. Доказать, что собственные значения и удовлетворяют неравенствам .
Задача 7. Частица находится в состоянии с определенным значением . Доказать, что в этом состоянии .
Задача 8. Доказать, что все не равные нулю собственные значения оператора вырождены, то есть каждому собственному значению отвечает несколько линейно независимых собственных функций . Доказать, что можно построить такие линейные комбинации функций , которые будут являться собственными функциями оператора .
Задача 9. Частица находится в состоянии, в котором квадрат орбитального момента имеет определенное значение. Какие из величин - , или имеют в этом состоянии определенное значение?
Задача 10. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось имеет определенное значение. Будет ли эта функция собственной функцией оператора квадрата момента?
Задача 11. Частица находится в состоянии, в котором квадрат орбитального момента импульса имеет определенное значение, а проекция момента на ось может принимать два значения. Будет ли волновая функция этого состояния собственной функцией оператора ? оператора? И оператора и оператора ?
Задача 12. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось имеет определенное значение, а квадрат момента может принимать два значения. . Будет ли волновая функция этого состояния собственной функцией оператора ? Оператора ? И оператора и оператора ?
Домашнее задание
1. Могут ли следующие физические величины одновременно иметь в одном и том же состоянии определенные значения: и , и ?
2. Частица находится в состоянии , в котором величины и имеют определенные значения. Доказать, что волновая функция этого состояния будет собственной функцией оператора . Какому собственному значению она будет отвечать?
3. Частица находится в состоянии с определенными значениями и . Доказать, что .
4. Частица находится в состоянии с определенными значениями и . Найти , , в этом состоянии.
3