У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

18 Лабораторная работа 3

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.6.2025

Лабораторная работа №3.3

Исследование потери устойчивости плоской формы изгиба пластины

Цель работы. Исследовать явление потери устойчивости прямоугольной тонкой пластинки под действием силы, лежащей в плоскости пластины.

Работа состоит из 3-х частей:

а) вывода уравнения потери устойчивости на основе прикладной теории Кирхгофа изгиба тонких стержней;

б) нахождение критической силы и сравнение результатов с экспериментальными данными;

в) вывод формулы для определения жесткости при изгибе стержня прямоугольного сечения.

I. Краткое описание теоретической части

Явление потери устойчивости плоских тел под действием нагрузок, лежащих в плоскости тела заключается в том, что в теле появляются перемещения, перпендикулярные плоскости тела. Такие явления в технике приводят к выпучиванию пластин и могут нарушить работоспособность конструкции в целом.

Как и в случае потери устойчивости прямолинейной формы стержня, здесь приходится учитывать возникающие деформации изгиба.

Существует несколько прикладных теорий этого явления. Ниже описывается теория сложного нагружения прямолинейных стержней – теория Кирхгофа. В нашем случае пластина заменяется прямолинейным стержнем прямоугольного сечения (см. рис.1)

Размеры пластины ℓ, , h, P – сила, приложенная в центре сечения на конце пластины.

При потере устойчивости пластина испытывает сложное напряженное состояние: здесь и деформации изгиба, здесь и деформации кручения, а также не исключаются из рассмотрения и деформации растяжения и поперечных сдвигов. Необходимо из всей гаммы выбрать основные, описывающие именно потерю устойчивости тонкостенного прямолинейного стержня.

Пусть нейтральная линия в деформированном состоянии занимает некоторое положение. Заметим, что отличие от деформаций изгиба в главных осях , где имеется нейтральный слой, здесь имеется именно линия. Пусть дуга, отсчитываемая от какой-либо точки (обычно от какого-либо конца), обозначена через . Тогда с этой линией можно связать естественный трехгранник , где  - единичный вектор, касательный к линии,  - нормаль, а  - бинормаль. Выделим элемент упругой линии  (), и через  и  назовем главный вектор и главный момент сил, действующих в сечении  и представляющих воздействия отброшенной части на рассматриваемый элемент. Главный вектор и главный момент сил в сечении  соответственно будут:

  и   

Составим уравнения равновесия элемента  (см. рис.2)

Рис. 2

;        

Величину  можно представить в виде , где  - касательный вектор в сечении , кроме того .

В результате из первого уравнения , т.е.  сохраняет постоянную величину и неизменное направление во всех точках стержня. А второе уравнение принимает вид:

 (1)

Векторы  и  мы можем проектировать на любые оси, в частности на оси естественного трехгранника . При этом необходимо помнить, что при переходе от точки к точке сам трехгранник поворачивается и в связи с этим дифференцирование в (1) должно учитывать и этот поворот. Однако естественный трехгранник не совсем удобен. Дело в том, что он связан лишь с кривизной и кручением нейтральной оси и никак не отражает искривление самого сечения стержня (см. рис. 3).

Рис. 3

Поэтому в дальнейшем вводится в рассмотрение новая система координат , которая связана с сечением стержня. Эта система выбирается следующим образом. Ось  совпадает по направлению с касательным вектором . Ось  выходит из точки М и является касательной к нейтральной линии, которая в недеформированном состоянии проходила по тем материальным частицам, которые совпадали с одной из главных осей. Ось  выбирается так, чтобы – образовывали декартову прямоугольную систему координат правой ориентации. Ясно, что ось и вектор нормали  теперь уже могут не совпадать, но они лежат в плоскости, перпендикулярной оси , и образуют некоторый угол .

Пусть – единичные орты введенной системы координат. Между единичными ортами  и  существует связь:

           (2)

Разложим и  по осям :

Найдем:

 (3)

Согласно формулам перехода (2) производные от единичных ортов {} можно выразить через производные от ортов естественного трехгранника . А для производных этих векторов существуют формулы Френе:

где  и  обозначают кривизну и кручение нейтральной линии в деформируемом состоянии. Найдем производные:

Подставляя сюда формулы Френе, а затем, выражая базисные векторы естественного трехгранника через орты , которые находим из (2)

получим:

Сделаем обозначения:

; ; .

Тогда уравнения главного момента (1) в компонентах принимают вид:

   (4)

Введем в рассмотрение лагранжевы координаты: длину дуги стержня в недеформированном состоянии . Относительное удлинение нейтральной оси:

.

Но по условию нагружения стержня относительное удлинение нейтральной линии будет мало. В связи с этим  и дифференцирование по  можно заменить дифференцированием по . Тогда формула (4) принимает вид

                                                                                     

                                                                                                                                                (5)

                                                                                     

      Далее в уравнениях (5) произведём следующие подстановки. Пусть стержень нагружен только перерезывающей силой P, которая в недеформированном состоянии параллельна оси . Рассмотрим форму равновесия стержня, бесконечно близкую к прямолинейной. Тогда каждая точка М0 нейтральной оси перейдёт в некоторую точку М, а система осей

 Mx0y0z0, повернувшись на весьма малые углы  вокруг осей x0, y0, z0, займёт положение Mxyz. По углам  определяются кривизны нейтральной оси в плоскостях xz и yz и кручение:

;   ;   

Однако, полученные ранее формулы дифференцирования единичных ортов , ,  можно представить в виде

;   ;  ,

где , а по формулам дифференциальной геометрии означает, что

                                                          (6)

С другой стороны проекции моментов Mx, My, Mz можно представить через эти кривизны и жёсткости на изгиб и кручение (согласно формулам сопротивления материалов).

                                       (7)

Подставляя (6), (7) в (5) и учитывая, что  (см. рис. 3)

; ,

получим

                                            

                                            

      В полученной системе произведём оценки входящих в неё членов. Во-первых, отметим, что жёсткость стержня на изгиб в плоскости xz намного больше жёсткости на изгиб в плоскости yz и кручения, т. е.  .

      С другой стороны имеем соотношения для кривизн на изгиб . Поэтому первые два уравнения системы примут вид

Отсюда находим

Будем отсчитывать дугу от точки приложения силы, тогда при  имеем

т.к. сила параллельна оси .

Первое уравнение теперь даёт

Это уравнение также можно проинтегрировать один раз

При   

Найденные кривизны  и  подставляем в третье уравнение

Обозначим   , уравнение примет вид

                                                         (8)

с граничными условиями

при ;     при                                         (9)

      Для решения краевой задачи (8), (9) введём новую независимую переменную , где  - неопределённый коэффициент. Подстановка в (8) даёт

Решение этого дифференциального уравнения будем разыскивать в виде , где a – пока неизвестный коэффициент. После подстановки уравнение принимает вид:

Распорядимся введёнными постоянными следующим образом: а=; k=.

Тогда уравнение принимает вид уравнения Бесселя:

,

где  и имеет решение

.

Возвращаясь к исходной переменной, будем иметь:

,

где A, B – новые произвольные постоянные.

Удовлетворим граничным условиям. Для удовлетворения первого граничного условия воспользуемся представлением функций Бесселя в виде степенных рядов, тогда:

.

Находим .

Отсюда получаем A = 0.

Удовлетворяя второму граничному условию, имеем:

.

Так как мы разыскиваем нетривиальное решение, то B ≠ 0, и тогда получаем:

.

Наименьший из корней этого уравнения равен 2.0063, ему соответствует критическое значение для силы

      (10)

Для пластины прямоугольного сечения h x δ имеем:

Для получения формулы жёсткости на кручение надо воспользоваться определением жёсткости на кручение M = C γ, как коэффициента пропорциональности между прикладываемым моментом, закручивающим стержень и углом закручивания. В связи с этим необходимо поставить и решить задачу Сен-Венана о закручивании стержня длины l прямоугольного сечения h x δ.

  1.  Описание установки для проведения эксперимента.

Установка состоит из:

  1.  Основания;
    1.  Стойки;
      1.  Исследуемой пластинки;
        1.  Чаши для разновесов;

  1.  Порядок проведения эксперимента и обработка результатов.
    1.  Установить чашу для разновесов в среднее отверстие.
      1.  Провести замеры пластины.
        1.  Взять у преподавателя значения модуля Юнга и модуля сдвига материала пластины.
        2.  Осторожно (пинцетом) нагружая пластину, добиться положения отклонения её от плоского состояния (момент потери устойчивости определяется визуально).
        3.  Провести запись в журналах измерений.
        4.  Провести эксперимент не менее 10 раз.
        5.  Обработать результаты эксперимента, сравнить полученные результаты с теоретическим.
        6.  Решить задачу Сен-Венана о кручении стержня прямоугольного сечения.
        7.  Сделать отчёт о работе и сдать преподавателю.

  1.  Контрольные вопросы и задания.
    1.  В чём заключается потеря устойчивости плоской формы стержня.
    2.  Что означает математически потеря устойчивости.
    3.  Как влияет погрешность измерения толщины пластинки на критическую силу.
    4.  Решить задачу о потере устойчивости пластины, предложенной преподавателем.




1. Психология религии для студентов обучающихся по сокращенной программе 1
2. Создание коммерческого имени - бренда
3. во времена расцвета студенческого строительного движения
4. докладов к семинару 6 ТИПОЛОГИЯ ОБЩЕСТВ
5. Методы менеджмента в муниципальном унитарном предприятии Аптека 35
6. Лабораторная работа ’4 Исследование динамического JK триггера
7. Культура России второй половины 19 века
8. основна складність паралельного програмування яке справедливо вважається набагато складнішим ніж послід
9. на тему- Створення компіляція й використання найпростішого програмного проекту
10. ТЕМА 8 ПАТЕНТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 1 час Вопрос 1