18 Лабораторная работа 3

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Лабораторная работа №3.3

Исследование потери устойчивости плоской формы изгиба пластины

Цель работы. Исследовать явление потери устойчивости прямоугольной тонкой пластинки под действием силы, лежащей в плоскости пластины.

Работа состоит из 3-х частей:

а) вывода уравнения потери устойчивости на основе прикладной теории Кирхгофа изгиба тонких стержней;

б) нахождение критической силы и сравнение результатов с экспериментальными данными;

в) вывод формулы для определения жесткости при изгибе стержня прямоугольного сечения.

I. Краткое описание теоретической части

Явление потери устойчивости плоских тел под действием нагрузок, лежащих в плоскости тела заключается в том, что в теле появляются перемещения, перпендикулярные плоскости тела. Такие явления в технике приводят к выпучиванию пластин и могут нарушить работоспособность конструкции в целом.

Как и в случае потери устойчивости прямолинейной формы стержня, здесь приходится учитывать возникающие деформации изгиба.

Существует несколько прикладных теорий этого явления. Ниже описывается теория сложного нагружения прямолинейных стержней – теория Кирхгофа. В нашем случае пластина заменяется прямолинейным стержнем прямоугольного сечения (см. рис.1)

Размеры пластины ℓ, , h, P – сила, приложенная в центре сечения на конце пластины.

При потере устойчивости пластина испытывает сложное напряженное состояние: здесь и деформации изгиба, здесь и деформации кручения, а также не исключаются из рассмотрения и деформации растяжения и поперечных сдвигов. Необходимо из всей гаммы выбрать основные, описывающие именно потерю устойчивости тонкостенного прямолинейного стержня.

Пусть нейтральная линия в деформированном состоянии занимает некоторое положение. Заметим, что отличие от деформаций изгиба в главных осях , где имеется нейтральный слой, здесь имеется именно линия. Пусть дуга, отсчитываемая от какой-либо точки (обычно от какого-либо конца), обозначена через . Тогда с этой линией можно связать естественный трехгранник , где - единичный вектор, касательный к линии, - нормаль, а - бинормаль. Выделим элемент упругой линии (), и через и назовем главный вектор и главный момент сил, действующих в сечении и представляющих воздействия отброшенной части на рассматриваемый элемент. Главный вектор и главный момент сил в сечении соответственно будут:

Составим уравнения равновесия элемента (см. рис.2)

Рис. 2

;

Величину можно представить в виде , где - касательный вектор в сечении , кроме того .

В результате из первого уравнения , т.е. сохраняет постоянную величину и неизменное направление во всех точках стержня. А второе уравнение принимает вид:

(1)

Векторы и мы можем проектировать на любые оси, в частности на оси естественного трехгранника . При этом необходимо помнить, что при переходе от точки к точке сам трехгранник поворачивается и в связи с этим дифференцирование в (1) должно учитывать и этот поворот. Однако естественный трехгранник не совсем удобен. Дело в том, что он связан лишь с кривизной и кручением нейтральной оси и никак не отражает искривление самого сечения стержня (см. рис. 3).

Рис. 3

Поэтому в дальнейшем вводится в рассмотрение новая система координат , которая связана с сечением стержня. Эта система выбирается следующим образом. Ось совпадает по направлению с касательным вектором . Ось выходит из точки М и является касательной к нейтральной линии, которая в недеформированном состоянии проходила по тем материальным частицам, которые совпадали с одной из главных осей. Ось выбирается так, чтобы – образовывали декартову прямоугольную систему координат правой ориентации. Ясно, что ось и вектор нормали теперь уже могут не совпадать, но они лежат в плоскости, перпендикулярной оси , и образуют некоторый угол .

Пусть – единичные орты введенной системы координат. Между единичными ортами и существует связь:

(2)

Разложим и по осям :

Найдем:

(3)

Согласно формулам перехода (2) производные от единичных ортов {} можно выразить через производные от ортов естественного трехгранника . А для производных этих векторов существуют формулы Френе:

где и обозначают кривизну и кручение нейтральной линии в деформируемом состоянии. Найдем производные:

Подставляя сюда формулы Френе, а затем, выражая базисные векторы естественного трехгранника через орты , которые находим из (2)

получим:

Сделаем обозначения:

; ; .

Тогда уравнения главного момента (1) в компонентах принимают вид:

(4)

Введем в рассмотрение лагранжевы координаты: длину дуги стержня в недеформированном состоянии . Относительное удлинение нейтральной оси:

Но по условию нагружения стержня относительное удлинение нейтральной линии будет мало. В связи с этим и дифференцирование по можно заменить дифференцированием по . Тогда формула (4) принимает вид

(5)

Далее в уравнениях (5) произведём следующие подстановки. Пусть стержень нагружен только перерезывающей силой P, которая в недеформированном состоянии параллельна оси . Рассмотрим форму равновесия стержня, бесконечно близкую к прямолинейной. Тогда каждая точка М0 нейтральной оси перейдёт в некоторую точку М, а система осей

Mx0y0z0, повернувшись на весьма малые углы вокруг осей x0, y0, z0, займёт положение Mxyz. По углам определяются кривизны нейтральной оси в плоскостях xz и yz и кручение:

; ;

Однако, полученные ранее формулы дифференцирования единичных ортов , , можно представить в виде

; ; ,

где , а по формулам дифференциальной геометрии означает, что

(6)

С другой стороны проекции моментов Mx, My, Mz можно представить через эти кривизны и жёсткости на изгиб и кручение (согласно формулам сопротивления материалов).

(7)

Подставляя (6), (7) в (5) и учитывая, что (см. рис. 3)

; ,

получим

В полученной системе произведём оценки входящих в неё членов. Во-первых, отметим, что жёсткость стержня на изгиб в плоскости xz намного больше жёсткости на изгиб в плоскости yz и кручения, т. е. .

С другой стороны имеем соотношения для кривизн на изгиб . Поэтому первые два уравнения системы примут вид

Отсюда находим

Будем отсчитывать дугу от точки приложения силы, тогда при имеем

т.к. сила параллельна оси .

Первое уравнение теперь даёт

Это уравнение также можно проинтегрировать один раз

При

Найденные кривизны и подставляем в третье уравнение

Обозначим , уравнение примет вид

(8)

с граничными условиями

при ; при (9)

Для решения краевой задачи (8), (9) введём новую независимую переменную , где - неопределённый коэффициент. Подстановка в (8) даёт

Решение этого дифференциального уравнения будем разыскивать в виде , где a – пока неизвестный коэффициент. После подстановки уравнение принимает вид:

Распорядимся введёнными постоянными следующим образом: а=; k=.

Тогда уравнение принимает вид уравнения Бесселя:

где и имеет решение

Возвращаясь к исходной переменной, будем иметь:

где A, B – новые произвольные постоянные.

Удовлетворим граничным условиям. Для удовлетворения первого граничного условия воспользуемся представлением функций Бесселя в виде степенных рядов, тогда:

Находим .

Отсюда получаем A = 0.

Удовлетворяя второму граничному условию, имеем:

Так как мы разыскиваем нетривиальное решение, то B ≠ 0, и тогда получаем:

Наименьший из корней этого уравнения равен 2.0063, ему соответствует критическое значение для силы

(10)

Для пластины прямоугольного сечения h x δ имеем:

Для получения формулы жёсткости на кручение надо воспользоваться определением жёсткости на кручение M = C γ, как коэффициента пропорциональности между прикладываемым моментом, закручивающим стержень и углом закручивания. В связи с этим необходимо поставить и решить задачу Сен-Венана о закручивании стержня длины l прямоугольного сечения h x δ.

Описание установки для проведения эксперимента.

Установка состоит из:

Основания;
1. Стойки;
  1. Исследуемой пластинки;
    1. Чаши для разновесов;

Порядок проведения эксперимента и обработка результатов.
1. Установить чашу для разновесов в среднее отверстие.
  1. Провести замеры пластины.
    1. Взять у преподавателя значения модуля Юнга и модуля сдвига материала пластины.
    2. Осторожно (пинцетом) нагружая пластину, добиться положения отклонения её от плоского состояния (момент потери устойчивости определяется визуально).
    3. Провести запись в журналах измерений.
    4. Провести эксперимент не менее 10 раз.
    5. Обработать результаты эксперимента, сравнить полученные результаты с теоретическим.
    6. Решить задачу Сен-Венана о кручении стержня прямоугольного сечения.
    7. Сделать отчёт о работе и сдать преподавателю.

Контрольные вопросы и задания.
1. В чём заключается потеря устойчивости плоской формы стержня.
2. Что означает математически потеря устойчивости.
3. Как влияет погрешность измерения толщины пластинки на критическую силу.
4. Решить задачу о потере устойчивости пластины, предложенной преподавателем.

1. Сибирская академия государственной службы Л
2. Контрольная работа по дисциплине- Конституционное государственное право России
3. Недисциплинированность самая грозная опасность туристского путешествия
4. Адаптация детей раннего возраста в детском образовательном учреждении
5. Аудит 1
6. Восприятие времени
7. первых спасибо Всем за интерес к моей деятельности
8. Приазовський державний технічний університет Маріупольський механікометалургійний коледж ldquo;ЗАТ
9. Воронежская государственная медицинская академия им.html
10. Звери
11. Курсовая работа- Конструкция и методика расчёта индукционных вакуумных печей
12. рестораны которые делают длительную поездку более приятной
13. я Бернулли для струйки идеальной жидкости
14. Реферат Радиационные процессы в ионных кристаллах
15. Реферат Философский анализ общества
16. Тема дипломного проекта Руководитель проекта Результаты защиты Оценка защ.html
17. Вариант 13 131 Происходит в профазе 1 мейоза Самая продолжительная фаза
18. Социологические исследования
19. Реферат- Месторождения золота
20. Антропологические и этические воззрения представителей древнегреческой философии

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе