Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №3.3
Исследование потери устойчивости плоской формы изгиба пластины
Цель работы. Исследовать явление потери устойчивости прямоугольной тонкой пластинки под действием силы, лежащей в плоскости пластины.
Работа состоит из 3-х частей:
а) вывода уравнения потери устойчивости на основе прикладной теории Кирхгофа изгиба тонких стержней;
б) нахождение критической силы и сравнение результатов с экспериментальными данными;
в) вывод формулы для определения жесткости при изгибе стержня прямоугольного сечения.
I. Краткое описание теоретической части
Явление потери устойчивости плоских тел под действием нагрузок, лежащих в плоскости тела заключается в том, что в теле появляются перемещения, перпендикулярные плоскости тела. Такие явления в технике приводят к выпучиванию пластин и могут нарушить работоспособность конструкции в целом.
Как и в случае потери устойчивости прямолинейной формы стержня, здесь приходится учитывать возникающие деформации изгиба.
Существует несколько прикладных теорий этого явления. Ниже описывается теория сложного нагружения прямолинейных стержней – теория Кирхгофа. В нашем случае пластина заменяется прямолинейным стержнем прямоугольного сечения (см. рис.1)
Размеры пластины ℓ, , h, P – сила, приложенная в центре сечения на конце пластины.
При потере устойчивости пластина испытывает сложное напряженное состояние: здесь и деформации изгиба, здесь и деформации кручения, а также не исключаются из рассмотрения и деформации растяжения и поперечных сдвигов. Необходимо из всей гаммы выбрать основные, описывающие именно потерю устойчивости тонкостенного прямолинейного стержня.
Пусть нейтральная линия в деформированном состоянии занимает некоторое положение. Заметим, что отличие от деформаций изгиба в главных осях , где имеется нейтральный слой, здесь имеется именно линия. Пусть дуга, отсчитываемая от какой-либо точки (обычно от какого-либо конца), обозначена через . Тогда с этой линией можно связать естественный трехгранник , где - единичный вектор, касательный к линии, - нормаль, а - бинормаль. Выделим элемент упругой линии (), и через и назовем главный вектор и главный момент сил, действующих в сечении и представляющих воздействия отброшенной части на рассматриваемый элемент. Главный вектор и главный момент сил в сечении соответственно будут:
и
Составим уравнения равновесия элемента (см. рис.2)
Рис. 2
;
Величину можно представить в виде , где - касательный вектор в сечении , кроме того .
В результате из первого уравнения , т.е. сохраняет постоянную величину и неизменное направление во всех точках стержня. А второе уравнение принимает вид:
(1)
Векторы и мы можем проектировать на любые оси, в частности на оси естественного трехгранника . При этом необходимо помнить, что при переходе от точки к точке сам трехгранник поворачивается и в связи с этим дифференцирование в (1) должно учитывать и этот поворот. Однако естественный трехгранник не совсем удобен. Дело в том, что он связан лишь с кривизной и кручением нейтральной оси и никак не отражает искривление самого сечения стержня (см. рис. 3).
Рис. 3
Поэтому в дальнейшем вводится в рассмотрение новая система координат , которая связана с сечением стержня. Эта система выбирается следующим образом. Ось совпадает по направлению с касательным вектором . Ось выходит из точки М и является касательной к нейтральной линии, которая в недеформированном состоянии проходила по тем материальным частицам, которые совпадали с одной из главных осей. Ось выбирается так, чтобы – образовывали декартову прямоугольную систему координат правой ориентации. Ясно, что ось и вектор нормали теперь уже могут не совпадать, но они лежат в плоскости, перпендикулярной оси , и образуют некоторый угол .
Пусть – единичные орты введенной системы координат. Между единичными ортами и существует связь:
(2)
Разложим и по осям :
Найдем:
(3)
Согласно формулам перехода (2) производные от единичных ортов {} можно выразить через производные от ортов естественного трехгранника . А для производных этих векторов существуют формулы Френе:
где и обозначают кривизну и кручение нейтральной линии в деформируемом состоянии. Найдем производные:
Подставляя сюда формулы Френе, а затем, выражая базисные векторы естественного трехгранника через орты , которые находим из (2)
получим:
Сделаем обозначения:
; ; .
Тогда уравнения главного момента (1) в компонентах принимают вид:
(4)
Введем в рассмотрение лагранжевы координаты: длину дуги стержня в недеформированном состоянии . Относительное удлинение нейтральной оси:
.
Но по условию нагружения стержня относительное удлинение нейтральной линии будет мало. В связи с этим и дифференцирование по можно заменить дифференцированием по . Тогда формула (4) принимает вид
(5)
Далее в уравнениях (5) произведём следующие подстановки. Пусть стержень нагружен только перерезывающей силой P, которая в недеформированном состоянии параллельна оси . Рассмотрим форму равновесия стержня, бесконечно близкую к прямолинейной. Тогда каждая точка М0 нейтральной оси перейдёт в некоторую точку М, а система осей
Mx0y0z0, повернувшись на весьма малые углы вокруг осей x0, y0, z0, займёт положение Mxyz. По углам определяются кривизны нейтральной оси в плоскостях xz и yz и кручение:
; ;
Однако, полученные ранее формулы дифференцирования единичных ортов , , можно представить в виде
; ; ,
где , а по формулам дифференциальной геометрии означает, что
(6)
С другой стороны проекции моментов Mx, My, Mz можно представить через эти кривизны и жёсткости на изгиб и кручение (согласно формулам сопротивления материалов).
(7)
Подставляя (6), (7) в (5) и учитывая, что (см. рис. 3)
; ,
получим
В полученной системе произведём оценки входящих в неё членов. Во-первых, отметим, что жёсткость стержня на изгиб в плоскости xz намного больше жёсткости на изгиб в плоскости yz и кручения, т. е. .
С другой стороны имеем соотношения для кривизн на изгиб . Поэтому первые два уравнения системы примут вид
Отсюда находим
Будем отсчитывать дугу от точки приложения силы, тогда при имеем
т.к. сила параллельна оси .
Первое уравнение теперь даёт
Это уравнение также можно проинтегрировать один раз
При
Найденные кривизны и подставляем в третье уравнение
Обозначим , уравнение примет вид
(8)
с граничными условиями
при ; при (9)
Для решения краевой задачи (8), (9) введём новую независимую переменную , где - неопределённый коэффициент. Подстановка в (8) даёт
Решение этого дифференциального уравнения будем разыскивать в виде , где a – пока неизвестный коэффициент. После подстановки уравнение принимает вид:
Распорядимся введёнными постоянными следующим образом: а=; k=.
Тогда уравнение принимает вид уравнения Бесселя:
,
где и имеет решение
.
Возвращаясь к исходной переменной, будем иметь:
,
где A, B – новые произвольные постоянные.
Удовлетворим граничным условиям. Для удовлетворения первого граничного условия воспользуемся представлением функций Бесселя в виде степенных рядов, тогда:
.
Находим .
Отсюда получаем A = 0.
Удовлетворяя второму граничному условию, имеем:
.
Так как мы разыскиваем нетривиальное решение, то B ≠ 0, и тогда получаем:
.
Наименьший из корней этого уравнения равен 2.0063, ему соответствует критическое значение для силы
(10)
Для пластины прямоугольного сечения h x δ имеем:
Для получения формулы жёсткости на кручение надо воспользоваться определением жёсткости на кручение M = C γ, как коэффициента пропорциональности между прикладываемым моментом, закручивающим стержень и углом закручивания. В связи с этим необходимо поставить и решить задачу Сен-Венана о закручивании стержня длины l прямоугольного сечения h x δ.
Установка состоит из: